Нека функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана во околина на точката x=ax=a size 12{x=a} {}, без да се бара функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} да е дефинирана во точката aa size 12{a} {}.
Бројот AA size 12{A} {} се нарекува гранична вредност на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} кога xx size 12{x} {} тежи кон бројот aa size 12{a} {} ако на секој број ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} му одговара број δ>0δ>0 size 12{δ>0} {} таков што ∣f(x)−A∣<ε∣f(x)−A∣<ε size 12{ lline `f \( x \) - A` rline <ε} {} кога ∣x−a∣<δ∣x−a∣<δ size 12{ lline `x - a` rline <δ} {} и се пишува limx→af(x)=Alimx→af(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A} {}.
Постоењето на граничната вредност AA size 12{A} {} не означува дека вредноста на функцијата во точката aa size 12{a} {} мора да е еднаква на бројот AA size 12{A} {}, бидејќи функцијата не мора да е да е дефинирана во таа точка.
Од дефиницијата за гранична вредност следува дека за секоја εε size 12{ε} {}-околина на точката AA size 12{A} {} ќе постои δδ size 12{δ} {}-околина на точката aa size 12{a} {} таква што со функцијата ff size 12{f} {} целата δδ size 12{δ} {}-околина на точката aa size 12{a} {} се пресликува во εε size 12{ε} {}-околина на точката AA size 12{A} {}.
Граничната вредност накратко се нарекува граница на функцијата.
За функција се дефинираат еднострани граници преку лева и десна граница.
Граничната вредност
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
A
1
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
A
1
size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =A rSub {1} } {}
се нарекува лева граница на функција f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}, а
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
A
2
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
A
2
size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) =A rSub {2} } {}
е десна граница.
Десната граница на функцијата е вредноста која се добива кога xx size 12{x} {} тежи кон aa size 12{a} {} од десно (преку поголемите вредности од aa size 12{a} {}), а левата граница се добива кога xx size 12{x} {} тежи кон aa size 12{a} {} од лево (преку помалите од aa size 12{a} {}).
Ако левата и десната граница во една точка се различни, функцијата нема граница во таа точка, а ако пак тие се еднакви, т. е. A=A1=A2,A=A1=A2, size 12{A=A rSub { size 8{1} } =A rSub { size 8{2} } ,} {} тогаш функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има граница и
A=limx→af(x)=A=limx→af(x)= size 12{`A= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) ={}} {}limx→a−f(x)=limx→a−f(x)= size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) ={}} {}limx→a+f(x)limx→a+f(x) size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) } {}.
Често пати, постоењето на едната од едностраните граници не мора да значи дека ќе постои и другата еднострана граница.
Нека е дадена функцијата f(x)=2−xf(x)=2−x size 12{f \( x \) = sqrt {2 - x} } {}. Нејзината дефинициона област е Df=(−∞,2]Df=(−∞,2] size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,2 \] } {} и границата на функцијата е
limx→a2−x=2−a,limx→a2−x=2−a, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } sqrt {2 - x} = sqrt {2 - a} ,} {} за a∈(−∞,2).a∈(−∞,2). size 12{a in \( - infinity ,2 \) "." } {}
Иако функцијата 2−x2−x size 12{ sqrt {2 - x} } {} е дефинирана во точката x=2,x=2, size 12{x=2,} {} таа ќе нема граница во таа точка бидејќи нема десна граница. Навистина,
левата граница на функцијата е
limx→2−2−x=0limx→2−2−x=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } } sqrt {2 - x} =0} {},
додека десната граница
limx→2+2−xlimx→2+2−x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } } sqrt {2 - x} } {} не постои,
бидејќи за x>2x>2 size 12{x>2} {} функцијата 2−x2−x size 12{ sqrt {2 - x} } {} добива имагинарна вредност, па затоа и границата limx→22−xlimx→22−x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } sqrt {2 - x} } {} не постои.
Границата на функцијата не мора да биде конечен број.
Граничната вредност е бесконечна и се пишува
lim
x
→
a
f
(
x
)
=+
∞
lim
x
→
a
f
(
x
)
=+
∞
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) "=+" infinity } {}
ако за секој позитивен број M (доволно голем) постои позитивен број δδ size 12{δ} {} така што
∣f(x)∣>M∣f(x)∣>M size 12{ lline f \( x \) rline >M} {} кога ∣x−a∣<δ∣x−a∣<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {}.
При тоа, кога f(x)>Mf(x)>M size 12{f \( x \) >M} {} важи limx→af(x)=+∞limx→af(x)=+∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) "=+" infinity } {}, додека за f(x)<−Mf(x)<−M size 12{f \( x \) < - M} {} важи limx→af(x)=−∞limx→af(x)=−∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = - infinity } {}.
Симболите за бесконечност +∞,−∞+∞,−∞ size 12{+ infinity , - infinity } {} не се реални вредности и тие само означуваат одредено поведение на функцијта. Кога вредностите на функцијата постојано растат, но не надминуваат некој конечен број MM size 12{a} {}, тогаш функцијата за граница го има бројот MM size 12{a} {} или некој помал број. Ако таков конечен број MM size 12{a} {} не постои, се вели дека функцијата постанува бесконечна и во тој случај границата не постои.
Можни се повеќе случаи на кога функцијата нема граница:
Ако левата и десната граница на функцијата во точката aa size 12{a} {} се конечни и различни (Сл. 1), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {}.
а) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон плус бесконечност (Сл. 2), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};
б) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон минус бесконечност (Сл. 3), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};
в) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон бесконечност, но левата бесконечност е позитивна а десната е негативна (Сл. 4), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};
г) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон бесконечност, но левата е негативна бесконечност а десната е позитивна (Сл. 5), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};
Ако во точката aa size 12{a} {} едната еднострана граница е конечна, а другата бесконечна (на пример како на Сл 6. левата граница е конечна а десната бесконечна), функцијата ќе нема граница во точката aa size 12{a} {}.
За граничните вредности на функците важат аналогни правила како за граничните вредности на низите. Така, ако limx→af(x)=Alimx→af(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A} {} и limx→ag(x)=Blimx→ag(x)=B size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B} {}, тогаш:
lim
x
→
a
kf
(
x
)
=
k
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
kA
,
(
k
−
const
)
;
lim
x
→
a
kf
(
x
)
=
k
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
kA
,
(
k
−
const
)
;
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } ital "kf" \( x \) =k {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = ital "kA", \( k - ital "const" \) ;} {}
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
±
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
A
±
B
;
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
±
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
A
±
B
;
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } \( f \( x \) +- g \( x \) \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A +- B;} {}
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
⋅
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
A
⋅
B
;
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
⋅
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
A
⋅
B
;
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } \( f \( x \) g \( x \) \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) cdot {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A cdot B;} {}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
lim
n
→
∞
g
(
x
)
=
A
B
,
(
B
≠
0
)
.
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
lim
n
→
∞
g
(
x
)
=
A
B
,
(
B
≠
0
)
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } over { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } g \( x \) } } = { {A} over {B} } ,~ \( B <> 0 \) "." } {}
Без да се докажат ќе наведеме некои поважни граници на функции:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"sin"x} over {x} } =1} {}
lim
x
→
∞
1
+
1
x
x
=
e
lim
x
→
∞
1
+
1
x
x
=
e
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } = size 14{e}} {}
lim
x
→
0
1
+
x
1
x
=
e
lim
x
→
0
1
+
x
1
x
=
e
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } left (1+x right ) rSup { size 8{ { {1} over {x} } } } = size 14{e}} {}
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {e rSup { size 8{x} } - 1} over {x} } =1} {}
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
.
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
.
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {a rSup { size 8{x} } - 1} over {x} } ="ln"a "." } {}
а) limx→2(x2−3x+4)=22−6+4=2limx→2(x2−3x+4)=22−6+4=2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } \( x rSup { size 8{2} } - 3x+4 \) =2 rSup { size 8{2} } - 6+4=2} {}.
б) limx→2x2−3x+42x2=limx→2(x2−3x+4)limx→22x2=28=14limx→2x2−3x+42x2=limx→2(x2−3x+4)limx→22x2=28=14 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {x rSup { size 8{2} } - 3x+4} over {2x rSup { size 8{2} } } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } \( x rSup { size 8{2} } - 3x+4 \) } over { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } 2x rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {8} } = { {1} over {4} } } {}.
в) limx→3x−3x2+2x−15=limx→3x−3(x−3)(x+5)=limx→31x+5=18limx→3x−3x2+2x−15=limx→3x−3(x−3)(x+5)=limx→31x+5=18 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {x - 3} over {x rSup { size 8{2} } +2x - "15"} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {x - 3} over { \( x - 3 \) \( x+5 \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {1} over {x+5} } = { {1} over {8} } } {}.
За пресметување на граница на функција која е количник од полиноми и кога аргументот тежи кон ∞∞ size 12{ infinity } {} се дели со највисоката степен на полиномот и се користи границата limx→∞1x=0limx→∞1x=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {1} over {x} } =0} {}.
а) limx→∞x3+2xx+1=limx→∞x3x3+2xx3xx3+1x3=limx→∞1+2x21x2+1x3=10=∞limx→∞x3+2xx+1=limx→∞x3x3+2xx3xx3+1x3=limx→∞1+2x21x2+1x3=10=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {x rSup { size 8{3} } +2x} over {x+1} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { { {x rSup { size 8{3} } } over {x rSup { size 8{3} } } } + { {2x} over {x rSup { size 8{3} } } } } over { { {x} over {x rSup { size 8{3} } } } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {1+ { {2} over {x rSup { size 8{2} } } } } over { { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } } = { {1} over {0} } = infinity } {}.
б) limx→∞x2+1+xx3+x4−x+2=limx→∞x2+1x+xxx3+x4x−xx+2x=limx→∞x2+1x2+xx2x3+xx44−1+2x=limx→∞1+1x2+1x1x+1x34−1+2x=1−1=−1.limx→∞x2+1+xx3+x4−x+2=limx→∞x2+1x+xxx3+x4x−xx+2x=limx→∞x2+1x2+xx2x3+xx44−1+2x=limx→∞1+1x2+1x1x+1x34−1+2x=1−1=−1.alignl { stack {
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} + sqrt {x} } over { nroot { size 8{4} } {x rSup { size 8{3} } +x} - x+2} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } over {x} } + { { sqrt {x} } over {x} } } over { { { nroot { size 8{4} } {x rSup { size 8{3} } +x} } over {x} } - { {x} over {x} } + { {2} over {x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt { { {x rSup { size 8{2} } +1} over {x rSup { size 8{2} } } } } + sqrt { { {x} over {x rSup { size 8{2} } } } } } over { nroot { size 8{4} } { { {x rSup { size 8{3} } +x} over {x rSup { size 8{4} } } } } - 1+ { {2} over {x} } } } ={}} {} #
= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt {1+ { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } } + sqrt { { {1} over {x} } } } over { nroot { size 8{4} } { { {1} over {x} } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } - 1+ { {2} over {x} } } } = { {1} over { - 1} } = - 1 "." {}
} } {}
Да се пресмета границата limx→01+x2−1xlimx→01+x2−1x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } } {}.
РЕШЕНИЕ:
Оваа граница е неопределеност 0000 size 12{ { {0} over {0} } } {} и за да се одлободиме од неа, множиме и делиме со изразот 1+x2+1≠01+x2+1≠0 size 12{ sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 <> 0} {} кога x→0x→0 size 12{x rightarrow 0} {}.
Затоа границата ќе биде
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
=
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
⋅
1
+
x
2
+
1
1
+
x
2
+
1
=
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
(
1
+
x
2
+
1
)
=
lim
x
→
0
x
2
x
(
1
+
x
2
+
1
)
=
lim
x
→
0
x
1
+
x
2
+
1
=
0
2
=
0
.
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
=
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
⋅
1
+
x
2
+
1
1
+
x
2
+
1
=
lim
x
→
0
1
+
x
2
−
1
x
(
1
+
x
2
+
1
)
=
lim
x
→
0
x
2
x
(
1
+
x
2
+
1
)
=
lim
x
→
0
x
1
+
x
2
+
1
=
0
2
=
0
.
alignl { stack {
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } cdot { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} } ={}} {} #
{"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {1+x rSup { size 8{2} } - 1} over {x \( sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {x rSup { size 8{2} } } over {x \( sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 \) } } ={} {} #
= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {x} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} } = { {0} over {2} } =0 "." {}
} } {}
Вредностите на различни функциите во околина на дадена точка може да се споредуваат и кога тоа не е очигледно, а често споредувањето се врши преку нивниот количник.
Функцијата се нарекува бесконечно мала величина или инфинитезимала кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако нејзина гранична вредност е нула.
Нека се дадени две бесконечно мали величини f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} за кои limx→af(x)=0limx→af(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =0} {} и limx→ag(x)=0limx→ag(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =0} {}. Овие бесконечно мали величини може да се споредат во околина на точката x=ax=a size 12{x=a} {} преку граничната вредност на нивниот количник и притоа ако:
Ако limx→af(x)g(x)=0limx→af(x)g(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } =0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно мала величина од повисок ред во однос на бесконечно малата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {};
Ако limx→af(x)g(x)=∞limx→af(x)g(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = infinity } {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно мала величина од понизок ред во однос на бесконечно малата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {};
Ако limx→af(x)g(x)=const≠0limx→af(x)g(x)=const≠0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = ital "const" <> 0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} се вели дека се бесконечно мали величини од ист ред. Ако const=1const=1 size 12{ ital "const"=1} {}, бесконечно малите величини се еквивалентни.
Аналогно, можно е да се споредат и бесконечно големите величини.
Функцијата се нарекува бесконечно голема величина кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {} ако има бесконечна граница.
Бесконечно големите величини f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} за кои limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {} и limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {} може да се споредат по големина ако се пресмета границата од нивниот количник. Притоа:
Ако limx→af(x)g(x)=∞limx→af(x)g(x)=∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = infinity } {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно голема величина од повисок ред во однос на бесконечно големата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {};
Ако limx→af(x)g(x)=0limx→af(x)g(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } =0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно голема величина од понизок ред во однос на бесконечно големата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {};
Ако limx→af(x)g(x)=const≠0limx→af(x)g(x)=const≠0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = ital "const" <> 0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} се вели дека се бесконечно големи од ист ред. Ако const=1const=1 size 12{ ital "const"=1} {}, бесконечно големите величини се еквивалентни кога x→ax→a size 12{x rightarrow a} {}.
