Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Гранична вредност на функција

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Гранична вредност на функција

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира поимот за гранична вредност на функција или накратко само граница на функција. Се дефинира лева и десна граница и бесконечно големи и бесконечно мали величини како и начини за нивно споредување и оценување на нивната големина.

ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НА ФУНКЦИЈА

Нека функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана во околина на точката x=ax=a size 12{x=a} {}, без да се бара функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} да е дефинирана во точката aa size 12{a} {}.

Дефиниција.

Бројот AA size 12{A} {} се нарекува гранична вредност на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} кога xx size 12{x} {} тежи кон бројот aa size 12{a} {} ако на секој број ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} му одговара број δ>0δ>0 size 12{δ>0} {} таков што f(x)A<εf(x)A<ε size 12{ lline `f \( x \) - A` rline <ε} {} кога xa<δxa<δ size 12{ lline `x - a` rline <δ} {} и се пишува limxaf(x)=Alimxaf(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A} {}.

Постоењето на граничната вредност AA size 12{A} {} не означува дека вредноста на функцијата во точката aa size 12{a} {} мора да е еднаква на бројот AA size 12{A} {}, бидејќи функцијата не мора да е да е дефинирана во таа точка.

Од дефиницијата за гранична вредност следува дека за секоја εε size 12{ε} {}-околина на точката AA size 12{A} {} ќе постои δδ size 12{δ} {}-околина на точката aa size 12{a} {} таква што со функцијата ff size 12{f} {} целата δδ size 12{δ} {}-околина на точката aa size 12{a} {} се пресликува во εε size 12{ε} {}-околина на точката AA size 12{A} {}.

Граничната вредност накратко се нарекува граница на функцијата.

За функција се дефинираат еднострани граници преку лева и десна граница.

Дефиниција.

Граничната вредност

lim x a f ( x ) = A 1 lim x a f ( x ) = A 1 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =A rSub {1} } {}

се нарекува лева граница на функција f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}, а

lim x a + f ( x ) = A 2 lim x a + f ( x ) = A 2 size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) =A rSub {2} } {}

е десна граница.

Десната граница на функцијата е вредноста која се добива кога xx size 12{x} {} тежи кон aa size 12{a} {} од десно (преку поголемите вредности од aa size 12{a} {}), а левата граница се добива кога xx size 12{x} {} тежи кон aa size 12{a} {} од лево (преку помалите од aa size 12{a} {}).

Ако левата и десната граница во една точка се различни, функцијата нема граница во таа точка, а ако пак тие се еднакви, т. е. A=A1=A2,A=A1=A2, size 12{A=A rSub { size 8{1} } =A rSub { size 8{2} } ,} {} тогаш функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има граница и

A=limxaf(x)=A=limxaf(x)= size 12{`A= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) ={}} {}limxaf(x)=limxaf(x)= size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) ={}} {}limxa+f(x)limxa+f(x) size 12{` {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) } {}.

Често пати, постоењето на едната од едностраните граници не мора да значи дека ќе постои и другата еднострана граница.

Example 1: ПРИМЕР 1.

Нека е дадена функцијата f(x)=2xf(x)=2x size 12{f \( x \) = sqrt {2 - x} } {}. Нејзината дефинициона област е Df=(,2]Df=(,2] size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,2 \] } {} и границата на функцијата е

limxa2x=2a,limxa2x=2a, size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } sqrt {2 - x} = sqrt {2 - a} ,} {} за a(,2).a(,2). size 12{a in \( - infinity ,2 \) "." } {}

Иако функцијата 2x2x size 12{ sqrt {2 - x} } {} е дефинирана во точката x=2,x=2, size 12{x=2,} {} таа ќе нема граница во таа точка бидејќи нема десна граница. Навистина,

левата граница на функцијата е

limx22x=0limx22x=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{ - {}} } } } sqrt {2 - x} =0} {},

додека десната граница

limx2+2xlimx2+2x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2 rSup { size 6{+{}} } } } sqrt {2 - x} } {} не постои,

бидејќи за x>2x>2 size 12{x>2} {} функцијата 2x2x size 12{ sqrt {2 - x} } {} добива имагинарна вредност, па затоа и границата limx22xlimx22x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } sqrt {2 - x} } {} не постои.

Границата на функцијата не мора да биде конечен број.

Дефиниција.

Граничната вредност е бесконечна и се пишува

lim x a f ( x ) =+ lim x a f ( x ) =+ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) "=+" infinity } {}

ако за секој позитивен број M (доволно голем) постои позитивен број δδ size 12{δ} {} така што

f(x)>Mf(x)>M size 12{ lline f \( x \) rline >M} {} кога xa<δxa<δ size 12{ lline x - a rline <δ} {}.

При тоа, кога f(x)>Mf(x)>M size 12{f \( x \) >M} {} важи limxaf(x)=+limxaf(x)=+ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) "=+" infinity } {}, додека за f(x)<Mf(x)<M size 12{f \( x \) < - M} {} важи limxaf(x)=limxaf(x)= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = - infinity } {}.

Симболите за бесконечност +,+, size 12{+ infinity , - infinity } {} не се реални вредности и тие само означуваат одредено поведение на функцијта. Кога вредностите на функцијата постојано растат, но не надминуваат некој конечен број MM size 12{a} {}, тогаш функцијата за граница го има бројот MM size 12{a} {} или некој помал број. Ако таков конечен број MM size 12{a} {} не постои, се вели дека функцијата постанува бесконечна и во тој случај границата не постои.

Можни се повеќе случаи на кога функцијата нема граница:

Случај 1: Функција со различни конечни граници

Ако левата и десната граница на функцијата во точката aa size 12{a} {} се конечни и различни (Сл. 1), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {}.

Figure 1: Слика 1.
Figure 1 (graphics1.jpg)

Случај 2: Функција со бесконечни граници

а) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон плус бесконечност (Сл. 2), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};

Figure 2: Слика 2.
Figure 2 (graphics2.jpg)

б) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон минус бесконечност (Сл. 3), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};

Figure 3: Слика 3.
Figure 3 (graphics3.jpg)

в) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон бесконечност, но левата бесконечност е позитивна а десната е негативна (Сл. 4), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};

Figure 4: Слика 4.
Figure 4 (graphics4.jpg)

г) Ако двете еднострани граници во точката aa size 12{a} {} тежат кон бесконечност, но левата е негативна бесконечност а десната е позитивна (Сл. 5), функцијата нема граница во точката aa size 12{a} {};

Figure 5: Слика 5.
Figure 5 (graphics5.jpg)

Случај 3: Функција со конечна и бесконечна граница

Ако во точката aa size 12{a} {} едната еднострана граница е конечна, а другата бесконечна (на пример како на Сл 6. левата граница е конечна а десната бесконечна), функцијата ќе нема граница во точката aa size 12{a} {}.

Figure 6: Слика 6.
Figure 6 (graphics6.jpg)

Особини на граничните вредности

За граничните вредности на функците важат аналогни правила како за граничните вредности на низите. Така, ако limxaf(x)=Alimxaf(x)=A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A} {} и limxag(x)=Blimxag(x)=B size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =B} {}, тогаш:

lim x a kf ( x ) = k lim x a f ( x ) = kA , ( k const ) ; lim x a kf ( x ) = k lim x a f ( x ) = kA , ( k const ) ; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } ital "kf" \( x \) =k {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = ital "kA", \( k - ital "const" \) ;} {}

lim x a ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim x a f ( x ) ± lim x a g ( x ) = A ± B ; lim x a ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim x a f ( x ) ± lim x a g ( x ) = A ± B ; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } \( f \( x \) +- g \( x \) \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) +- {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A +- B;} {}

lim x a ( f ( x ) g ( x ) ) = lim x a f ( x ) lim x a g ( x ) = A B ; lim x a ( f ( x ) g ( x ) ) = lim x a f ( x ) lim x a g ( x ) = A B ; size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } \( f \( x \) g \( x \) \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) cdot {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =A cdot B;} {}

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) lim n g ( x ) = A B , ( B 0 ) . lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) lim n g ( x ) = A B , ( B 0 ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) } over { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } g \( x \) } } = { {A} over {B} } ,~ \( B <> 0 \) "." } {}

Некои поважни граници

Без да се докажат ќе наведеме некои поважни граници на функции:

lim x 0 sin x x = 1 lim x 0 sin x x = 1 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"sin"x} over {x} } =1} {}

lim x 1 + 1 x x = e lim x 1 + 1 x x = e size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left (1+ { {1} over {x} } right ) rSup { size 8{x} } = size 14{e}} {}

lim x 0 1 + x 1 x = e lim x 0 1 + x 1 x = e size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } left (1+x right ) rSup { size 8{ { {1} over {x} } } } = size 14{e}} {}

lim x 0 e x 1 x = 1 lim x 0 e x 1 x = 1 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {e rSup { size 8{x} } - 1} over {x} } =1} {}

lim x 0 a x 1 x = ln a . lim x 0 a x 1 x = ln a . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {a rSup { size 8{x} } - 1} over {x} } ="ln"a "." } {}

Example 2: ПРИМЕР 2.

а) limx2(x23x+4)=226+4=2limx2(x23x+4)=226+4=2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } \( x rSup { size 8{2} } - 3x+4 \) =2 rSup { size 8{2} } - 6+4=2} {}.

б) limx2x23x+42x2=limx2(x23x+4)limx22x2=28=14limx2x23x+42x2=limx2(x23x+4)limx22x2=28=14 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {x rSup { size 8{2} } - 3x+4} over {2x rSup { size 8{2} } } } = { { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } \( x rSup { size 8{2} } - 3x+4 \) } over { {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } 2x rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {8} } = { {1} over {4} } } {}.

в) limx3x3x2+2x15=limx3x3(x3)(x+5)=limx31x+5=18limx3x3x2+2x15=limx3x3(x3)(x+5)=limx31x+5=18 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {x - 3} over {x rSup { size 8{2} } +2x - "15"} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {x - 3} over { \( x - 3 \) \( x+5 \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {1} over {x+5} } = { {1} over {8} } } {}.

За пресметување на граница на функција која е количник од полиноми и кога аргументот тежи кон size 12{ infinity } {} се дели со највисоката степен на полиномот и се користи границата limx1x=0limx1x=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {1} over {x} } =0} {}.

Example 3: ПРИМЕР 3.

а) limxx3+2xx+1=limxx3x3+2xx3xx3+1x3=limx1+2x21x2+1x3=10=limxx3+2xx+1=limxx3x3+2xx3xx3+1x3=limx1+2x21x2+1x3=10= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {x rSup { size 8{3} } +2x} over {x+1} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { { {x rSup { size 8{3} } } over {x rSup { size 8{3} } } } + { {2x} over {x rSup { size 8{3} } } } } over { { {x} over {x rSup { size 8{3} } } } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {1+ { {2} over {x rSup { size 8{2} } } } } over { { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } } = { {1} over {0} } = infinity } {}.

б) limxx2+1+xx3+x4x+2=limxx2+1x+xxx3+x4xxx+2x=limxx2+1x2+xx2x3+xx441+2x=limx1+1x2+1x1x+1x341+2x=11=1.limxx2+1+xx3+x4x+2=limxx2+1x+xxx3+x4xxx+2x=limxx2+1x2+xx2x3+xx441+2x=limx1+1x2+1x1x+1x341+2x=11=1.alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} + sqrt {x} } over { nroot { size 8{4} } {x rSup { size 8{3} } +x} - x+2} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } over {x} } + { { sqrt {x} } over {x} } } over { { { nroot { size 8{4} } {x rSup { size 8{3} } +x} } over {x} } - { {x} over {x} } + { {2} over {x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt { { {x rSup { size 8{2} } +1} over {x rSup { size 8{2} } } } } + sqrt { { {x} over {x rSup { size 8{2} } } } } } over { nroot { size 8{4} } { { {x rSup { size 8{3} } +x} over {x rSup { size 8{4} } } } } - 1+ { {2} over {x} } } } ={}} {} # = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { sqrt {1+ { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } } + sqrt { { {1} over {x} } } } over { nroot { size 8{4} } { { {1} over {x} } + { {1} over {x rSup { size 8{3} } } } } - 1+ { {2} over {x} } } } = { {1} over { - 1} } = - 1 "." {} } } {}

Example 4: ПРИМЕР 4.

Да се пресмета границата limx01+x21xlimx01+x21x size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } } {}.

РЕШЕНИЕ:

Оваа граница е неопределеност 0000 size 12{ { {0} over {0} } } {} и за да се одлободиме од неа, множиме и делиме со изразот 1+x2+101+x2+10 size 12{ sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 <> 0} {} кога x0x0 size 12{x rightarrow 0} {}.

Затоа границата ќе биде

lim x 0 1 + x 2 1 x = lim x 0 1 + x 2 1 x 1 + x 2 + 1 1 + x 2 + 1 = lim x 0 1 + x 2 1 x ( 1 + x 2 + 1 ) = lim x 0 x 2 x ( 1 + x 2 + 1 ) = lim x 0 x 1 + x 2 + 1 = 0 2 = 0 . lim x 0 1 + x 2 1 x = lim x 0 1 + x 2 1 x 1 + x 2 + 1 1 + x 2 + 1 = lim x 0 1 + x 2 1 x ( 1 + x 2 + 1 ) = lim x 0 x 2 x ( 1 + x 2 + 1 ) = lim x 0 x 1 + x 2 + 1 = 0 2 = 0 . alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } - 1} over {x} } cdot { { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} } ={}} {} # {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {1+x rSup { size 8{2} } - 1} over {x \( sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {x rSup { size 8{2} } } over {x \( sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1 \) } } ={} {} # = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {x} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } +1} } = { {0} over {2} } =0 "." {} } } {}

Споредување на функциите

Вредностите на различни функциите во околина на дадена точка може да се споредуваат и кога тоа не е очигледно, а често споредувањето се врши преку нивниот количник.

Функцијата се нарекува бесконечно мала величина или инфинитезимала кога xaxa size 12{x rightarrow a} {} ако нејзина гранична вредност е нула.

Нека се дадени две бесконечно мали величини f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} за кои limxaf(x)=0limxaf(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =0} {} и limxag(x)=0limxag(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =0} {}. Овие бесконечно мали величини може да се споредат во околина на точката x=ax=a size 12{x=a} {} преку граничната вредност на нивниот количник и притоа ако:

Ако limxaf(x)g(x)=0limxaf(x)g(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } =0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно мала величина од повисок ред во однос на бесконечно малата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога xaxa size 12{x rightarrow a} {};

Ако limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = infinity } {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно мала величина од понизок ред во однос на бесконечно малата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога xaxa size 12{x rightarrow a} {};

Ако limxaf(x)g(x)=const0limxaf(x)g(x)=const0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = ital "const" <> 0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} се вели дека се бесконечно мали величини од ист ред. Ако const=1const=1 size 12{ ital "const"=1} {}, бесконечно малите величини се еквивалентни.

Аналогно, можно е да се споредат и бесконечно големите величини.

Функцијата се нарекува бесконечно голема величина кога xaxa size 12{x rightarrow a} {} ако има бесконечна граница.

Бесконечно големите величини f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} за кои limxaf(x)=limxaf(x)= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {} и limxaf(x)=limxaf(x)= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = infinity } {} може да се споредат по големина ако се пресмета границата од нивниот количник. Притоа:

Ако limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)= size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = infinity } {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно голема величина од повисок ред во однос на бесконечно големата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога xaxa size 12{x rightarrow a} {};

Ако limxaf(x)g(x)=0limxaf(x)g(x)=0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } =0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се вели дека е бесконечно голема величина од понизок ред во однос на бесконечно големата величина g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} кога xaxa size 12{x rightarrow a} {};

Ако limxaf(x)g(x)=const0limxaf(x)g(x)=const0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = ital "const" <> 0} {}, за f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} се вели дека се бесконечно големи од ист ред. Ако const=1const=1 size 12{ ital "const"=1} {}, бесконечно големите величини се еквивалентни кога xaxa size 12{x rightarrow a} {}.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks