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Transmisión de señales DSB en cuadratura

Module by: José Miguel Hobaica Alvarado. E-mail the author

Summary: Envio de dos señales por un mismo canal y a la misma frecuencia. Incluye un programa realizado en MATLAB y otro realizado en LabVIEW acerca de este tema, además de videos explicativos de los mismos.

Se tiene un mensaje x(t) (voz por ejemplo) con una expresión en frecuencia de X(f) cuya ocupación espectral está entre [-W,W], como se observa a continuación:

Figura 1: Mensaje en frecuencia.
Figura 1 (graphics1.png)

Para enviar este mensaje por el aire habría que trasladarlo a una frecuencia más alta para poder compartir el canal y además para que la antena sea de una dimensión razonable. Esto podría lograrse usando una modulación en Doble Banda Lateral (DSB), la cual se logra multiplicando el mensaje por una señal sinusoidal, denominada portadora. La señal DSB tiene una expresión como la mostrada en la ecuación 1:

Acx(t)Cos(ωct)Acx(t)Cos(ωct) size 12{A rSub { size 8{c} } x \( t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(1)

El espectroresultante luciría de la siguiente forma:

Figura 2: Señal modulada en DSB.
Figura 2 (Imagen 3.png)

Si en vez de multiplicar por Coseno, multiplica por Seno, el mensaje se traslada al mismo sitio y ocupa el mismo ancho de banda.

Disponiéndose de un canal en frecuencia centrado en fc y de ancho de banda B (fc>>B) y requiriéndose transmitir 2 señales que, alrededor de fc, ocuparían, cada una de ellas, toda la banda de ancho B, se puede utilizar la opción de enviarlas en cuadratura, es decir, ambas señales x1(t) y x2(t) se envían por un mismo canal modulándose cada una en DSB, esto se logra utilizando una portadora de sen(ωct) para x1(t) y una portadora de cos(ωct) para x2(t) y sumando las señales obtenidas, dando como resultado la siguiente expresión:

y(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct)y(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct) size 12{y \( t \) =x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(2)

Esto se denomina modulación en cuadratura. La señal Y(t) ocupará el ancho de banda de cada una de ellas individualmente (no el doble) y aunque están en la misma banda de frecuencias podrán separarse si en el receptor se demodula con ambas portadoras por separado, tal y como lo indican las siguientes ecuaciones:

y'1(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Sen(ωct)y'1(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Sen(ωct) size 12{y' rSub { size 8{1} } \( t \) = left [x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) right ] ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(3)
y'1(t)=x1(t)Sen2(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Sen(ωct)y'1(t)=x1(t)Sen2(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Sen(ωct) size 12{y' rSub { size 8{1} } \( t \) =x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" rSup { size 8{2} } \( ω rSub { size 8{c} } t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(4)
y'1(t)=x1(t)2−x1(t)Cos(2ωct)2+x2(t)Sen(2ωct)2y'1(t)=x1(t)2−x1(t)Cos(2ωct)2+x2(t)Sen(2ωct)2 size 12{y' rSub { size 8{1} } \( t \) = left [ { {x rSub { size 8{1} } \( t \) } over {2} } - { {x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Cos" \( 2ω rSub { size 8{c} } t \) } over {2} } + { {x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Sen" \( 2ω rSub { size 8{c} } t \) } over {2} } right ]} {}
(5)

Al pasar por un filtro pasabajos esta señal se eliminan las componentes de alta frecuencia:

y1(t)=x1(t)2y1(t)=x1(t)2 size 12{y rSub { size 8{1} } \( t \) = { {x rSub { size 8{1} } \( t \) } over {2} } } {}
(6)

De manera similar ocurre con la otra señal:

y'2(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Cos(ωct)y'2(t)=x1(t)Sen(ωct)+x2(t)Cos(ωct)Cos(ωct) size 12{y' rSub { size 8{2} } \( t \) = left [x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) right ] ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(7)
y'2(t)=x1(t)Sen(ωct)Cos(ωct)+x2(t)Cos2(ωct)y'2(t)=x1(t)Sen(ωct)Cos(ωct)+x2(t)Cos2(ωct) size 12{y' rSub { size 8{2} } \( t \) =x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" \( ω rSub { size 8{c} } t \) ital "Cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" rSup { size 8{2} } \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}
(8)
y'2(t)=x2(t)2+x2(t)Cos(2ωct)2+x1(t)Sen(2ωct)2y'2(t)=x2(t)2+x2(t)Cos(2ωct)2+x1(t)Sen(2ωct)2 size 12{y' rSub { size 8{2} } \( t \) = left [ { {x rSub { size 8{2} } \( t \) } over {2} } + { {x rSub { size 8{2} } \( t \) ital "Cos" \( 2ω rSub { size 8{c} } t \) } over {2} } + { {x rSub { size 8{1} } \( t \) ital "Sen" \( 2ω rSub { size 8{c} } t \) } over {2} } right ]} {}
(9)
y2(t)=x2(t)2y2(t)=x2(t)2 size 12{y rSub { size 8{2} } \( t \) = { {x rSub { size 8{2} } \( t \) } over {2} } } {}
(10)

En la figura 3 se muestra un sistema completo (Transmisor, Canal y Receptor) que usa este principio.

Figura 3: Sistema DSB en Cuadratura
Figura 3 (Imagen 4.png)

Autoevaluación

Ejercicio 1

¿Qué se obtendrá si una señal modulada en cuadratura como la de la ecuación 2 se demodula con una señal sin(ωct+45°)sin(ωct+45°) size 12{"sin" \( ω rSub { size 8{c} } t+"45"° \) } {}?

Solution

sin(ωct+45°)sin(ωct+45°) size 12{"sin" \( ω rSub { size 8{c} } t+"45"° \) } {} se puede escribir como sin(45°)cos(ωct)+cos(45°)sin(ωct)sin(45°)cos(ωct)+cos(45°)sin(ωct) size 12{"sin" \( "45"° \) "cos" \( ω rSub { size 8{c} } t \) +"cos" \( "45"° \) "sin" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}, es decir, se está demodulando la señal con la suma de un seno más un coseno, por lo que se obtendrá a la salida una combinación de ambos mensajes originales.

Ejercicio 2

¿Qué se obtendrá si una señal modulada en cuadratura como la de la ecuación 2 se demodula con una señal cos(ωct+90°)cos(ωct+90°) size 12{"cos" \( ω rSub { size 8{c} } t+"90"° \) } {}?

Solution

cos(ωct+90°)cos(ωct+90°) size 12{"cos" \( ω rSub { size 8{c} } t+"90"° \) } {} es igual a −sin(ωct)−sin(ωct) size 12{ - "sin" \( ω rSub { size 8{c} } t \) } {}, por lo que se obtendrá el mensaje x1(t) con signo negativo. Para señales de audio, el efecto del signo negativo no se hace notar.

Simuladores

ESTE VINCULO contiene una carpeta con un programa realizado en MATLAB que simula un sistema de modulación DSB en Cuadratura. La carpeta incluye el .m y todos los archivos necesarios para su funcionamiento, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, el programa podría no funcionar correctamente. La figura 4 contiene un video explicativo acerca del uso del programa.

Figura 4: Video explicativo de la utilización del programa realizado en MATLAB
Modulador en Cuadratura en MATLAB

Puede obtenerse también un programa realizado en LabVIEW acerca del mismo tema por medio de ESTE VINCULO. La carpeta incluye el .vi y todos los archivos necesarios para su funcionamiento. Igualmente, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, el programa podría no funcionar correctamente. La figura 5 contiene un video explicativo acerca del uso del programa

Figura 5: Video explicativo de la utilización del programa realizado en LabVIEW
Modulador en Cuadratura LabVIEW

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