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7. Introducción del ruido en los sistemas de Comunicaciones Digitales: Detección Óptima y Probabilidad de Error

Module by: Mariangela Mezoa. E-mail the authorEdited By: Mariangela MezoaTranslated By: Mariangela Mezoa

Summary: El contenido de este módulo abarca la introducción del ruido en los sistemas de comunicación digital, específicamente el ruido AWGN (Additive White Gaussian Noise). Se observarán los cambios que produce en las señales codificadas y moduladas en formato tanto binario como m-ario y se usará el procedimiento de Detección Coherente (Óptima) para la recepción de las mismas.

INTRODUCCIÓN DEL RUIDO EN LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES: DETECCIÓN ÓPTIMA Y PROBABILIDAD DE ERROR

González C. Y. Venuska

Mezoa R. Mariangela

Resumen

El contenido de este módulo abarca la introducción del ruido en los sistemas de comunicación digital, específicamente el ruido AWGN (Additive White Gaussian Noise). Se observarán los cambios que produce en las señales codificadas y moduladas en formato tanto binario como m-ario y se usará el procedimiento de Detección Coherente (Óptima) para la recepción de las mismas.

En un sistema digital (y en cualquier sistema de comunicación en general) se desea que el mensaje a transmitir llegue completo y sin problemas hasta el destino. Sin embargo, debido a ciertos factores como:

  • Limitación del ancho de banda del canal;
  • Medio de transmisión que se use;
  • Interferencias producidas por el hombre o por la naturaleza del medio, entre otros.

Existe la posibilidad de que el mensaje llegue errado o incompleto (o incluso que el mismo no llegue a su destino). De los factores mencionados nos encontramos con uno que siempre está presente en el sistema, independientemente de si hay una señal de entrada o no: este se llama Ruido No Correlacionado.

De este tipo de ruido resalta uno que es el que tomaremos en cuenta para este módulo: Ruido AWGN (Blanco Gaussiano Aditivo).

Definition 1: AWGN
Corresponde a un modelo en el que al canal de comunicaciones se le suma ruido blanco en banda base, con una densidad espectral constante (/2) y una amplitud de distribución Gaussiana.

Antes de observar los cambios que genera el ruido AWGN sobre el sistema, debemos resaltar el procedimiento de detección óptima o coherente:

Detección Coherente

Este tipo de detección se obtiene cuando en el receptor se usa un filtro óptimo cuya respuesta impulsiva estará relacionada con las formas de onda transmitidas codificadas o moduladas.

Supongamos que se tiene una señal de entrada (modulada) p(t), y que al pasar por el filtro óptimo, se obtiene la señal de salida y(t). A la entrada también se le suma el ruido n(t), que al pasar por el filtro se llamará nout(t).

Figura 1
Figura 1 (graphics1.png)

El objetivo de esta detección es la de maximizar la relación entre la señal modificada por el filtro y(t0) en un tiempo de muestreo específico t0 y el voltaje rms del ruido a la salida (σ):

∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = ∣ ∫ − ∞ ∞ P ( f ) . H R ( f ) . e jwt 0 df ∣ 2 ∫ − ∞ ∞ Gn ( f ) ∣ H R ( f ) ∣ 2 df ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = ∣ ∫ − ∞ ∞ P ( f ) . H R ( f ) . e jwt 0 df ∣ 2 ∫ − ∞ ∞ Gn ( f ) ∣ H R ( f ) ∣ 2 df size 12{ { { lline y \( t rSub { size 8{0} } \) rline rSup { size 8{2} } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { { lline Int rSub { - infinity } rSup { infinity } {P \( f \) "." H rSub { size 8{R} } \( f \) "." e rSup { size 8{ ital "jwt" rSub { size 6{0} } } } ital "df"} rline rSup {2} } over { size 12{ Int rSub { - infinity } rSup { infinity } { ital "Gn" \( f \) lline H rSub {R} size 12{ \( f \) } rline rSup {2} size 12{ ital "df"}} } } } } {}
(1)

Esta ecuación puede simplificarse si usamos el concepto de la desigualdad de Schwartz:

∣ ∫ − ∞ ∞ V ( f ) . W ( f ) df ∣ 2 ≤ ∫ − ∞ ∞ ∣ V ( f ) ∣ 2 df . ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( f ) ∣ 2 df Si : V ( f ) = k . W ( f ) ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( f ) ∣ 2 df = ∣ ∫ − ∞ ∞ V ( f ) . W ( f ) df ∣ 2 ∫ − ∞ ∞ ∣ V ( f ) ∣ 2 df ∣ ∫ − ∞ ∞ V ( f ) . W ( f ) df ∣ 2 ≤ ∫ − ∞ ∞ ∣ V ( f ) ∣ 2 df . ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( f ) ∣ 2 df Si : V ( f ) = k . W ( f ) ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( f ) ∣ 2 df = ∣ ∫ − ∞ ∞ V ( f ) . W ( f ) df ∣ 2 ∫ − ∞ ∞ ∣ V ( f ) ∣ 2 df alignl { stack { size 12{ lline Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {V \( f \) "." W rSup { size 8{*} } \( f \) ital "df"} rline rSup { size 8{2} } <= Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline V \( f \) rline } rSup { size 8{2} } ital "df" "." Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline W \( f \) rline } rSup { size 8{2} } ital "df"} {} # matrix { matrix { {} # {} # {} } {} # ital "Si": {} # V \( f \) =k "." W \( f \) {} } {} # {} # matrix { {} # {} # Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline W \( f \) rline } rSup { size 8{2} } ital "df"={}{} } { { lline Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {V \( f \) "." W rSup { size 8{*} } \( f \) ital "df"} rline rSup { size 8{2} } } over { Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline V \( f \) rline } rSup { size 8{2} } ital "df"} } {} } } {}
(2)

Pudiéramos entonces asignar los siguientes valores en base a la función maximizada:

V ( f ) = Gn ( f ) H R ( f ) V ( f ) . W ∗ ( f ) = Gn ( f ) H R ( f ) . W ∗ ( f ) = P ( f ) . H R ( f ) . e jwt 0 W ( f ) = P ∗ ( f ) e − jwt 0 Gn ( f ) V ( f ) = Gn ( f ) H R ( f ) V ( f ) . W ∗ ( f ) = Gn ( f ) H R ( f ) . W ∗ ( f ) = P ( f ) . H R ( f ) . e jwt 0 W ( f ) = P ∗ ( f ) e − jwt 0 Gn ( f ) alignl { stack { size 12{V \( f \) = sqrt { ital "Gn" \( f \) } H rSub { size 8{R} } \( f \) } {} # V \( f \) "." W* \( f \) = sqrt { ital "Gn" \( f \) } H rSub { size 8{R} } \( f \) "." W* \( f \) =P \( f \) "." H rSub { size 8{R} } \( f \) "." e rSup { size 8{ ital "jwt" rSub { size 6{0} } } } {} # matrix { matrix { {} # {} # {} # {} } {} # {} # {} # W \( f \) ={}{} } { {P* \( f \) e rSup { - ital "jwt" rSub { size 6{0} } } } over { size 12{ sqrt { ital "Gn" \( f \) } } } } {} } } {}
(3)

Para cumplir con la igualdad:

V ( f ) = kW ( f ) = k . P ∗ ( f ) e − jwt 0 Gn ( f ) V ( f ) = kW ( f ) = k . P ∗ ( f ) e − jwt 0 Gn ( f ) size 12{V \( f \) = ital "kW" \( f \) =k "." { {P* \( f \) e rSup { size 8{ - ital "jwt" rSub { size 6{0} } } } } over { sqrt { ital "Gn" \( f \) } } } } {}
(4)

Finalmente, tenemos que la ecuación del filtro óptimo es:

Figura 2
Figura 2 (graphics2.png)

Cuando el ruido que se introduce en el sistema es AWGN, el filtro toma el nombre de filtro adaptado ya que su respuesta impulsiva tiene la forma de p(t) (pulso transmitido). En este caso:

∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η ∫ − ∞ ∞ ∣ P ( f ) ∣ 2 df = 2 η E Donde : E x = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ∣ 2 ( f ) df = S . ts S = Potencia ts = Tsímbolo ⇒ ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η S . tb = S ηB = S N ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η ∫ − ∞ ∞ ∣ P ( f ) ∣ 2 df = 2 η E Donde : E x = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ∣ 2 ( f ) df = S . ts S = Potencia ts = Tsímbolo ⇒ ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η S . tb = S ηB = S N alignl { stack { size 12{ { { lline y \( t rSub { size 8{0} } \) rline rSup { size 8{2} } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {η} } Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df"} = { {2} over {η} } E} {} # ital "Donde": {} # E rSub { size 8{x} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline X rline rSup { size 8{2} } \( f \) ital "df"} =S "." ital "ts" {} # S= ital "Potencia" {} # ital "ts"= ital "Tsímbolo" {} # {} # drarrow { { lline y \( t rSub { size 8{0} } \) rline rSup { size 8{2} } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {η} } S "." ital "tb"= { {S} over {ηB} } = left ( { {S} over {N} } right ) {} } } {}
(5)

Probabilidad de Error:

La probabilidad de error es la expectativa de que cierto sistema contenga una tasa de errores. Por ejemplo, si se obtiene una Probabilidad de Error de 10-4, quiere decir que por cada 10.000 transmitidos se tiene, en promedio, 1 bit errado.

Ahora bien, debemos considerar la situación en la que se tiene una señal que se desea pasar por el proceso de detección óptima para obtener el mensaje original en el destino. Para eso tomamos como condición inicial el cálculo de la probabilidad de error por bit de una señal polar en bandabase.

Para un sistema binario, supongamos que a la salida del receptor se tienen dos niveles de amplitud: 0.5A y -0.5A más el ruido blanco. La probabilidad de error quedaría así:

Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < Umbral ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > Umbral ) Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < Umbral ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > Umbral ) size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } P \( 0 "." 5A+n< ital "Umbral" \) + { {1} over {2} } P \( - 0 "." 5A+n> ital "Umbral" \) } {}
(6)

Como los valores de salida (0.5A y -0.5A) son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrencia, entonces el valor del umbral es CERO:

Umbral = 1 2 ( 0 . 5A + ( − 0 . 5A ) ) = 0 Umbral = 1 2 ( 0 . 5A + ( − 0 . 5A ) ) = 0 size 12{ ital "Umbral"= { {1} over {2} } \( 0 "." 5A+ \( - 0 "." 5A \) \) =0} {}
(7)

Por lo que la probabilidad de error quedaría:

Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < 0 ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > 0 ) = P ( n > 0 . 5A ) Ecuación ( a ) Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < 0 ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > 0 ) = P ( n > 0 . 5A ) Ecuación ( a ) size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } P \( 0 "." 5A+n<0 \) + { {1} over {2} } P \( - 0 "." 5A+n>0 \) =P \( n>0 "." 5A \) matrix { {} # ital "Ecuación" {} # \( a \) {} } } {}
(8)

En general, para un sistema bandabase polar con y(t) de salida, tendríamos que la probabilidad de error es:

Pe = P ( n > y ( t o ) ) Pe = P ( n > y ( t o ) ) size 12{ ital "Pe"=P \( n>y \( t rSub { size 8{o} } \) \) } {}
(9)

Siendo to el momento donde se toma la decisión.

Partiendo de la ecuación (a) podemos obtener las probabilidades de error correspondientes a cada modulación binaria en la cual los pulsos para el “0” (p0(t)) y para el “1” (p1(t)) toman formas diferentes. Entonces la probabilidad de error puede calcularse en función de los pulsos a la salida p00(t0) y p10(t0):

Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > Umbral ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < Umbral ) y : Umbral = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) Entonces : Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) ⇒ Pe = ( n > 1 2 ( P1o ( t 0 ) − P0o ( t 0 ) ) ) Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > Umbral ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < Umbral ) y : Umbral = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) Entonces : Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) ⇒ Pe = ( n > 1 2 ( P1o ( t 0 ) − P0o ( t 0 ) ) ) alignl { stack { size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +n> ital "Umbral" \) + { {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) +n< ital "Umbral" \) } {} # matrix { {} # {} # {} # {} } matrix { {} # {} # {} # y:{} } {} # matrix { {} # {} # {} # {} } matrix { {} # ital "Umbral"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) {} # {} # {} } {} # matrix { {} # {} # {} # {} } matrix { {} # {} # {} # ital "Entonces":{} } {} # ital "Pe"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +n> { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) + { {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) +n< { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) {} # {} # drarrow ital "Pe"= \( n> { {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) - P0o \( t rSub { size 8{0} } \) \) \) {} } } {}
(10)

Haciendo uso de la fórmula para el filtro óptimo podemos hallar la probabilidad de error. El valor de p(t) lo sustituimos por ½(p1(t)-p0(t)) (Que serán los dos posibles pulsos de entrada correspondientes al “1” lógico y “0” lógico) y cuando se consiga la representación en frecuencia se sustituirá por su equivalente en frecuencia

Figura 3
Figura 3 (graphics3.png)

H R ( f ) ⇒ h R ( t ) h R ( t ) = k . [ p 1 ( t 0 − t ) − p 0 ( t 0 − t ) ] η Entonces : y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = ∫ − ∞ ∞ ∣ p 1 ( t ) − p 0 ( t ) ∣ 2 2η = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) 2η dt + ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) 2η dt − 2 ∫ − ∞ ∞ p 1 ( t ) . p 0 ( t ) 2η dt ( b ) H R ( f ) ⇒ h R ( t ) h R ( t ) = k . [ p 1 ( t 0 − t ) − p 0 ( t 0 − t ) ] η Entonces : y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = ∫ − ∞ ∞ ∣ p 1 ( t ) − p 0 ( t ) ∣ 2 2η = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) 2η dt + ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) 2η dt − 2 ∫ − ∞ ∞ p 1 ( t ) . p 0 ( t ) 2η dt ( b ) alignl { stack { size 12{H rSub { size 8{R} } \( f \) drarrow h rSub { size 8{R} } \( t \) } {} # h rSub { size 8{R} } \( t \) =k "." { { \[ p rSub { size 8{1} } \( t rSub { size 8{0} } - t \) - p rSub { size 8{0} } \( t rSub { size 8{0} } - t \) \] } over {η} } {} # ital "Entonces": {} # { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } \rline rSub { size 8{ ital "máx"} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { { lline p rSub { size 8{1} } \( t \) - p rSub { size 8{0} } \( t \) rline rSup { size 8{2} } } over {2η} } } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) } over {2η} } } ital "dt"+ Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{0} rSup { size 8{2} } } \( t \) } over {2η} } } ital "dt" - 2 Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{1} } \( t \) "." p rSub { size 8{0} } \( t \) } over {2η} } } ital "dt" matrix { {} # {} # \( b \) {} } {} } } {}
(11)

Se define el coeficiente de correlación entre los pulsos como λ y:

λ = 1 E 1 E 0 ∫ − ∞ ∞ p 0 ( t ) p 1 ( t ) dt E 1 = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) dt E 0 = ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) dt λ = 1 E 1 E 0 ∫ − ∞ ∞ p 0 ( t ) p 1 ( t ) dt E 1 = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) dt E 0 = ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) dt alignl { stack { size 12{λ= { {1} over { sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } } } Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{0} } \( t \) p rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {} # E rSub { size 8{1} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} {} # E rSub { size 8{0} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{0} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} {} } } {}
(12)

Por lo que pudiéramos ver la ecuación (b) expresada en función de las definiciones anteriores:

y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) ⇒ Pe = Q y 2 ( t 0 ) σ 2 = Q 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) Para E 1 = E 0 = E y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η ( 1 − λ ) Pe = Q E η ( 1 − λ ) Para λ = 0 ; p 1 ∧ p 0 : ortogonales y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η Pe = Q E η Para λ = − 1 y 2 ( t 0 ) σ 2 = 2 E η ; Pe = Q 2 E η y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) ⇒ Pe = Q y 2 ( t 0 ) σ 2 = Q 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) Para E 1 = E 0 = E y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η ( 1 − λ ) Pe = Q E η ( 1 − λ ) Para λ = 0 ; p 1 ∧ p 0 : ortogonales y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η Pe = Q E η Para λ = − 1 y 2 ( t 0 ) σ 2 = 2 E η ; Pe = Q 2 E η alignl { stack { size 12{ { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } \rline rSub { size 8{ ital "máx"} } = { {1} over {2η} } \( E rSub { size 8{1} } +E rSub { size 8{0} } - 2λ sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } \) } {} # {} # drarrow ital "Pe"=Q sqrt { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } } =Q left ( sqrt { { {1} over {2η} } \( E rSub { size 8{1} } +E rSub { size 8{0} } - 2λ sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } \) } right ) {} # {} # matrix { * ital "Para" {} # E rSub { size 8{1} } =E rSub { size 8{0} } =E{} } {} # matrix { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {E} over {η} } \( 1 - λ \) {} # {} # {} } ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {E} over {η} } \( 1 - λ \) } right ) {} # {} # matrix { * ital "Para" {} # λ=0; matrix { {} # p rSub { size 8{1} } &p rSub { size 8{0} } : ital "ortogonales"{} } {} } {} # matrix { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {E} over {η} } {} # {} # {} } ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {E} over {η} } } right ) {} # {} # matrix { * ital "Para" {} # λ= - 1{} } {} # matrix { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2E} over {η} } {} # ; {} # {} } ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {2E} over {η} } } right ) {} } } {}
(13)

1. DETECCIÓN COHERENTE PARA MODULACIONES BINARIAS

1.1 Detección Coherente para la modulación ASK

Para detectar de forma coherente la señal ASK se necesita un receptor como sigue:

Figura 4: Receptor para ASK
Figura 4 (graphics4.png)

Queda claro que la integración y el cierre del interruptor ocurrirá cada tb.

Dado que trabajamos con un caso especial de ASK: OOK (On-Off Keying), los pulsos p1(t) y p0(t) son:

p 1 ( t ) = V ∏ t − tb 2 tb Cos ( w c t ) p 0 ( t ) = 0 p 1 ( t ) = V ∏ t − tb 2 tb Cos ( w c t ) p 0 ( t ) = 0 alignl { stack { size 12{p rSub { size 8{1} } \( t \) =V Prod { left [ { {t - { { ital "tb"} over {2} } } over { ital "tb"} } right ]} ital "Cos" \( w rSub { size 8{c} } t \) } {} # p rSub { size 8{0} } \( t \) =0 {} } } {}
(14)

Entonces:

Pe OOK = Q Ep η Pe OOK = Q Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "OOK"} } =Q left ( sqrt { { { ital "Ep"} over {η} } } right )} {}
(15)

1.2 Detección Coherente para la modulación PSK

El diagrama de bloques para un receptor coherente PRK es:

Figura 5: Receptor para PRK
Figura 5 (graphics5.png)

Dado que p1(t) y p0(t) son señales antípodas (opuestas entre sí), el factor λ será igual a -1, por lo que:

Pe PRK = Q 2 Ep η Pe PRK = Q 2 Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "PRK"} } =Q left ( sqrt { { {2 ital "Ep"} over {η} } } right )} {}
(16)

1.3 Detección Coherente para la modulación FSK

Como en la modulación FSK (binaria) se trabaja con dos frecuencias distintas, se estima un proceso de detección para cada frecuencia:

Figura 6: Receptor para FSK
Figura 6 (graphics6.png)

Los pulsos p1(t) y p0(t) Se diferencian por la frecuencia a la que trabajan, es decir:

p 1 ( t ) = VCos ( ( w c + Ω ) t ) p 0 ( t ) = VCos ( ( w c − Ω ) t ) p 1 ( t ) = VCos ( ( w c + Ω ) t ) p 0 ( t ) = VCos ( ( w c − Ω ) t ) alignl { stack { size 12{p rSub { size 8{1} } \( t \) = ital "VCos" \( \( w rSub { size 8{c} } + %OMEGA \) t \) } {} # p rSub { size 8{0} } \( t \) = ital "VCos" \( \( w rSub { size 8{c} } - %OMEGA \) t \) {} } } {}
(17)

Ahora bien, que si ocurre que λ=0 (es decir, si las frecuencias son tales que los pulsos son ortogonales) y los factores E1 y E0 son iguales, la probabilidad de error para FSK será la misma que para OOK. Es decir:

Pe FSK = Q Ep η Pe FSK = Q Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "FSK"} } =Q left ( sqrt { { { ital "Ep"} over {η} } } right )} {}
(18)

A continuación se muestra una gráfica que compara los valores de Pe vs E/. A través de ella se puede determinar la fortaleza de cada modulación ante la inducción del ruido en el sistema.

Figura 7: Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones Binarias.
Figura 7 (graphics7.png)

2. PROBABILIDAD DE ERROR PARA MODULACIONES M-ARIAS

A continuación se muestran las gráficas de Pe vs E/ para diversas modulaciones m-arias utilizando, en todos los casos, un receptor óptimo:

Figura 8: Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones M-aria PSK.
Figura 8 (graphics8.png)

Figura 9: Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones M-aria QAM.
Figura 9 (graphics9.png)

Simulaciones en LabVIEW

Para reforzar los conocimientos adquiridos en este módulo, se presentan a continuación una serie de VIs referentes a la detección óptima binaria y M-aria. Es importante resaltar que para la ejecución de cada uno es necesario tener instalado en el ordenador el software MATLAB, debido a que varios procedimientos fueron realizados haciendo uso del módulo de mathscript.

VI de Detección Coherente Binaria

Media File: ASK Coherente.rar Media File: FSK Coherente.rar Media File: PSK Coherente.rar

VI de Detección Coherente M-aria

Media File: QAMdeteccionULTIMATE.vi Media File: QPSKdeteccionULTIMATE.vi

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'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

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Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

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Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

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