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9. Interferencia Intersimbólica (ISI)

Module by: Mariangela Mezoa. E-mail the authorEdited By: Mariangela MezoaTranslated By: Mariangela Mezoa

Summary: En este módulo se introducirá el concepto de la interferencia intersimbólica dentro de un sistema de comunicación digital. Se considerarán los dos criterios de Nyquist y se explicarán los pasos para poder calcular la fdp de la ISI y su probabilidad de Error.

INTERFERENCIA INTERSIMBÓLICA (ISI)

González C. Y. Venuska

Mezoa R. Mariangela

Resumen

En este módulo se introducirá el concepto de la interferencia intersimbólica dentro de un sistema de comunicación digital. Se considerarán los dos criterios de Nyquist y se explicarán los pasos para poder calcular la fdp de la ISI y su probabilidad de Error.

Cuando deseamos transmitir un mensaje, el objetivo primordial es que éste sea recibido de manera íntegra. Sin embargo, debido a ciertas limitaciones en el sistema, se dan los casos en el que el mensaje llega completamente distorsionado. Pongamos el siguiente ejemplo: Supongamos que se tiene una señal a la entrada de un filtro Pasabajos:

Figura 1: Respuestas al impulso.
Figura 1 (graphics1.png)

El caso ideal sería un filtro que no introduce ningún tipo de distorsión de fase o amplitud a la señal, por lo que la señal a la salida del filtro deberá ser igual a la señal de entrada. Pero, en el caso real, el filtro es imperfecto, por lo que la respuesta de salida se aproximará a la parte derecha de la imagen mostrada. Se observa que los pulsos de salida se ‘chorrean’ en el tiempo, interfiriendo con los pulsos siguientes. Dicho de otra manera, los extremos de los pulsos se solapan, interfiriendo con el lóbulo principal del pulso. Esto es lo que se conoce como Interferencia Intersimbólica (intersymbol interference, ISI): los pulsos rectangulares no mantendrán su forma siempre que el ancho de banda para el proceso de transmisión sea finito. Mientras más pequeño sea el ancho de banda, los pulsos se dispersarán, interfiriendo con el siguiente pulso transmitido.

Esta interferencia puede atribuirse a cuatro causas principales: problemas de sincronismo, distorsión de amplitud o de fase, o limitación del ancho de banda del canal

La FDP de la ISI se calculará mediante el ejemplo de transmisión polar banda base siguiente: Cuando un pulso pasa por la cadena conformada por Tx-Canal-Rx, se verá afectado por retardos o limitaciones del canal:

Figura 2
Figura 2 (graphics2.png)

Si transmitimos una secuencia de pulsos:

Figura 3
Figura 3 (graphics3.png)

Observe que en este ejemplo tb=1 seg. El pulso punteado (centrado en t=6seg) será el que aislaremos. Tal como lo muestra la figura, se ve afectado por sus pulsos vecinos, por lo que se deberá calcular el valor total de ISI en el período donde el pulso esté dispersado (es decir, de 6seg.-2tb hasta 6seg.+2tb).

Se deben tomar los voltajes de todos los pulsos que coincidan con el centro del pulso aislado (t=6seg). A primera vista se observa que los pulsos amarillo y rojo tienen voltaje 0 para 6seg., por lo tanto no lo interfieren

Paso 1:

Primero tomamos el pulso que se encuentra a -2tb a la izquierda (azul claro). Para t=6seg., toma el valor de -0.2V. Pero si el pulso fuese el de polaridad opuesta, el valor sería de 0.2V. Luego tomamos el pulso que está a –tb a la izquierda (verde). Para t=6seg. toma un valor de 0.4V. Si fuese el de polaridad opuesta, tendría un valor de -0.4V.

Paso 2:

Repetimos el procedimiento del paso 1, pero tomando en consideración los pulsos que estén a +tb y +2tb del aislado (naranja y morado, respectivamente).

Paso 3:

Elaboramos una tabla que contenga todas las combinaciones de ISI posibles. Dado que el pulso aislado se ve afectado por cuatro vecinos (dos a su izquierda y dos a su derecha), cada uno con dos valores posibles, el total de combinaciones será de dieciséis (16):

Tabla 1
-2tb -tb tb 2tb TOTAL ISI Probabilidad de ocurrencia
-0.2V 0.4V 0.4V -0.2V 0.4 1/16
-0.2V 0.4V 0.4V 0.2V 0.8 1/16
-0.2V 0.4V -0.4V -0.2V -0.4 1/16
-0.2V 0.4V -0.4V 0.2V 0 1/16
-0.2V -0.4V 0.4V -0.2V -0.4 1/16
-0.2V -0.4V 0.4V 0.2V 0 1/16
-0.2V -0.4V -0.4V -0.2V -1.2 1/16
-0.2V -0.4V -0.4V 0.2V -0.8 1/16
0.2V 0.4V 0.4V -0.2V 0.8 1/16
0.2V 0.4V 0.4V 0.2V 1.2 1/16
0.2V 0.4V -0.4V -0.2V 0 1/16
0.2V 0.4V -0.4V 0.2V 0.4 1/16
0.2V -0.4V 0.4V -0.2V 0 1/16
0.2V -0.4V 0.4V 0.2V 0.4 1/16
0.2V -0.4V -0.4V -0.2V -0.8 1/16
0.2V -0.4V -0.4V 0.2V -0.4 1/16

Finalmente:

Tabla 2
Total ISI Probabilidad
0 4/16
0.4 3/16
-0.4 3/16
0.8 2/16
-0.8 2/16
1.2 1/16
-1.2 1/16

Es a partir de esta tabla que se puede graficar la fdp:

Figura 4
Figura 4 (graphics4.png)

Para el cálculo de la probabilidad de error se deben considerar las combinaciones de la primera tabla que pudieran provocar la decisión incorrecta. El pulso punteado toma como máximos valores 1 (para el “1”) y -1 (para el “0”). Cuando a estos valores se les sume la ISI podrá ocurrir un error. Por ejemplo si se transmitió un “1” (1 volt.) y la ISI vale -1.2, al sumar 1-1.2=-0.2. Como el umbral está en cero se tomará la decisión de que lo transmitido fue un “0” y se comete un error. Si se analizan todos los casos posibles, existen dos posibilidades de error por interferencia: que se transmita un “1” y la ISI sea de -1.2V o que se transmita un “0” y la ISI dé 1.2V. Por lo tanto:

Pe = 1 2 P + 1 2 P = 2 1 2 . 1 16 = 1 16 Pe = 1 2 P + 1 2 P = 2 1 2 . 1 16 = 1 16 size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } P left ( {e} wideslash {t rSub { size 8{1} } } right )+ { {1} over {2} } P left ( {e} wideslash {t rSub { size 8{0} } } right )=2 left ( { {1} over {2} } "." { {1} over {"16"} } right )= { {1} over {"16"} } } {}
(1)

Aún cuando la interferencia Intersimbólica es crítica al momento de recibir una señal, pudiéramos disminuir (o eliminar) los errores de decisión a través de ciertos métodos. Como se sabe, una señal codificada y(t) puede representarse como la convolución de una secuencia de impulsos aleatorios x(t) con un pulso conocido p(t) (determinístico). Este pulso se puede variar de forma tal que se controle interferencia: Para ello presentaremos los siguientes criterios:

Primer Criterio de Nyquist

El pulso determinístico p(t) debe cumplir con los siguientes parámetros:

p ( t ) = { 1 ; t = 0 0 ; t = ± nt b BW = 1 2t b p ( t ) = { 1 ; t = 0 0 ; t = ± nt b BW = 1 2t b alignl { stack { size 12{p \( t \) = left lbrace matrix { matrix { 1 {} # ; {} # t=0{} } {} ## {} ## matrix { 0 {} # ; {} # t= +- ital "nt" rSub { size 8{b} } {} } {} } right none } {} # {} # matrix { {} # {} } ital "BW"= { {1} over {2t rSub { size 8{b} } } } {} } } {}
(2)

Una posibilidad es que p(t) sea un Sinc lo que arrojaría un pulso rectangular en frecuencia como se muestra en la figura:

Figura 5: Pulso determinístico en los dominios de tiempo y frecuencia.
Figura 5 (graphics5.png)

Sin embargo, esto aplicaría para un caso ideal. Para el caso real, pudiéramos considerar un ancho de banda ligeramente mayor. Para determinar que tipo de pulsos, como éste, pueden ser usados para evitar la ISI se plantea el problema en el dominio del tiempo y luego se llega a una condición en el dominio de la frecuencia. En el receptor lo que se hace es muestrear cada tb (seria como convolucionar p(t) con una sumatoria infinita de impulsos); lo que se desea es que al muestrear cada pulso y sus vecinos, solo quede el valor del pulso en el instante de muestreo de interés. Por ejemplo suponga que estamos tomando el valor en t=0

 

Figura 6
caso1

Esto implica que al sumar todas las repeticiones de P(f) cada fb estas deben sumar una constante

Figura 7
caso2

El pulso resultante tiene simetría vestigial

Figura 8
Figura 8 (graphics8.png)

Este filtro puede representarse como la suma de:

Figura 9
Figura 9 (graphics9.png)

Matemáticamente:

P ( f ) = f f b + H 1 ( f ) p ( t ) = 1 t b Sinc t t b + h 1 ( t ) P ( f ) = f f b + H 1 ( f ) p ( t ) = 1 t b Sinc t t b + h 1 ( t ) alignl { stack { size 12{P \( f \) = Prod { left ( { {f} over {f rSub { size 8{b} } } } right )} +H rSub { size 8{1} } \( f \) } {} # p \( t \) = { {1} over {t rSub { size 8{b} } } } ital "Sinc" left ( { {t} over {t rSub { size 8{b} } } } right )+h rSub { size 8{1} } \( t \) {} } } {}
(3)

H1(f) es simétrica y par.

h 1 ( t ) = H 1 ( f ) e jωt df = 2 0 H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df h 1 ( t ) = 2 β H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df + 2 + β H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df c . d . v : { Para la primera Integral : f = x Para la segunda Integral : f = + x Entonces : h 1 ( t ) = 2 0 β H 1 fb 2 x Cos ( ( fb 2 x ) ) tdx + 2 0 β H 1 fb 2 + x Cos ( ( fb 2 + x ) ) tdx Por simetría : H 1 ( fb 2 + x ) = H 1 ( fb 2 x ) h 1 ( t ) = 2 0 β H 1 fb 2 + x Cos 2πt ( fb 2 + x ) Cos 2πt ( fb 2 x ) dx h 1 ( t ) = 4 0 β H 1 fb 2 + x Sen πf b t . Sen ( xt ) dx h 1 ( t ) = 4 Sen πf b t 0 β H 1 fb 2 + x Sen ( xt ) dx h 1 ( t ) = H 1 ( f ) e jωt df = 2 0 H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df h 1 ( t ) = 2 β H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df + 2 + β H 1 ( f ) Cos ( ωt ) df c . d . v : { Para la primera Integral : f = x Para la segunda Integral : f = + x Entonces : h 1 ( t ) = 2 0 β H 1 fb 2 x Cos ( ( fb 2 x ) ) tdx + 2 0 β H 1 fb 2 + x Cos ( ( fb 2 + x ) ) tdx Por simetría : H 1 ( fb 2 + x ) = H 1 ( fb 2 x ) h 1 ( t ) = 2 0 β H 1 fb 2 + x Cos 2πt ( fb 2 + x ) Cos 2πt ( fb 2 x ) dx h 1 ( t ) = 4 0 β H 1 fb 2 + x Sen πf b t . Sen ( xt ) dx h 1 ( t ) = 4 Sen πf b t 0 β H 1 fb 2 + x Sen ( xt ) dx alignl { stack { size 12{h rSub { size 8{1} } \( t \) = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) e rSup { size 8{jωt} } ital "df"=2} Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{ infinity } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} } {} # h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} - β} } cSup { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} +2 Int cSub { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} } } cSup { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} +β} } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} {} # matrix { {} # {} # {} # matrix { {} # {} # c "." d "." v: left lbrace matrix { matrix { ital "Para"` ital "la"` ital "primera"` ital "Integral": {} # f= { ital "fb"} wideslash {2} - x {} # {} } {} ## {} ## matrix { ital "Para"` ital "la"` ital "segunda"` ital "Integral": {} # f= { ital "fb"} wideslash {2} +x {} # {} } {} } right none {} } {} } {} # ital "Entonces": {} # h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } - x right ) ital "Cos" \( 2π \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) \) ital "tdx"} +2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) ital "Cos" \( 2π \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) \) ital "tdx"} {} # {} # matrix { matrix { matrix { {} # {} } {} # {} } {} # ital "Por"` ital "simetría": {} # {} # H rSub { size 8{1} } \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) {} } = - H rSub { size 8{1} } \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) {} # {} # h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) left [ ital "Cos" left (2πt \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) right ) - ital "Cos" left (2πt \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) right ) right ] ital "dx"} {} # {} # h rSub { size 8{1} } \( t \) = - 4 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) left [ ital "Sen" left (πf rSub { size 8{b} } t right ) "." ital "Sen" \( 2π ital "xt" \) right ] ital "dx" {} # {} # h rSub { size 8{1} } \( t \) = - 4 ital "Sen" left (πf rSub { size 8{b} } t right ) Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) ital "Sen" \( 2π ital "xt" \) ital "dx" {} } } {}
(4)

Para cada ntb el término que se encuentra fuera de la integral se anulará. De esta forma, se evita la interferencia.

A partir de este criterio podemos implementar el filtro de simetría vestigial de tipo Coseno Alzado: Este se caracteriza porque puede reducir la ISI. La parte no nula del espectro es un coseno que, en su forma más simple, está alzado (es decir, se encuentra por encima del eje de frecuencia):

Figura 10
Figura 10 (graphics10.png)

Figura 11: Representación del pulso en los dominios de frecuencia y tiempo.
Figura 11 (graphics11.png)

Segundo Criterio de Nyquist

En este criterio se busca no sólo eliminar la interferencia, también se presenta como objetivo el disminuir el ancho de banda. Esto se hace definiendo, en el transmisor, una interacción conocida entre pulsos vecinos. El sacrificio, en este caso, es un mayor consumo de potencia.

Entonces, en vez de transmitir ak (secuencia original), se enviará yk=ak+ak-1. De esta forma se pueden enviar dos bits haciendo uso del mismo ancho de banda. Supongamos el siguiente ejemplo:

Secuencia original de bits: 01010011

Tabla 3
Secuencia original 0 1 0 1 0 0 1 1
ak -1 1 -1 1 -1 -1 1 1
yk   0 0 0 0 -2 0 2

El filtro que se coloca en el transmisor pudiera modelarse como:

Figura 12
Figura 12 (graphics12.png)

Teniendo considerada la condición de un sistema con interferencia, ahora se debe tomar en cuenta cuando se introduce ruido AWGN al canal. Supongamos que a la entrada de un sistema de comunicaciones se tiene una secuencia aleatoria, con código de línea NRZ y duración tb. La Densidad Espectral de Potencia sería:

G ( f ) = P ( f ) 2 tb ; P ( f ) Transformada de Fourier de la señal de entrada . G ( f ) = P ( f ) 2 tb ; P ( f ) Transformada de Fourier de la señal de entrada . alignl { stack { size 12{G \( f \) = { { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { ital "tb"} } ;} {} # P \( f \) rightarrow ital "Transformada"` ital "de"` ital "Fourier"` ital "de"` ital "la"` ital "señal"` ital "de"` ital "entrada" "." {} } } {}
(5)

Asumiendo un sistema como sigue:

Figura 13
Figura 13 (graphics13.png)

La salida del sistema sería una sucesión de pulsos y(t), asociada a un pulso de salida pR(t) y a los de entrada:

A k P R ( f ) = P ( f ) . H T ( f ) . H c ( f ) . H R ( f ) Ecuación ( 1 ) Si la potencia de transmisión es : S T = P ( f ) 2 H T ( f ) 2 tb df Pudiéramos Expresarla en función de la ecuación ( 1 ) : tb . S T = A k 2 P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df A k P R ( f ) = P ( f ) . H T ( f ) . H c ( f ) . H R ( f ) Ecuación ( 1 ) Si la potencia de transmisión es : S T = P ( f ) 2 H T ( f ) 2 tb df Pudiéramos Expresarla en función de la ecuación ( 1 ) : tb . S T = A k 2 P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df alignl { stack { size 12{A rSub { size 8{k} } lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline = lline P \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline ~ rightarrow ` ital "Ecuación"` \( 1 \) } {} # {} # ital "Si"` ital "la"` ital "potencia"` ital "de"` ital "transmisión"` ital "es": {} # S rSub { size 8{T} } = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { ital "tb"} } } ital "df" {} # ital "Pudiéramos"` ital "Expresarla"` ital "en"` ital "función"` ital "de"` ital "la"` ital "ecuación"` \( 1 \) : {} # {} # matrix { {} # {} # {} } ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } =A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df" {} } } {}

Ahora bien, como nuestro objetivo es maximizar la relación señal a ruido, despejamos el valor de Ak (Amplitud del pulso) y definimos σ² (que debe ser minimizado):

A k 2 = tb . S T P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df y σ 2 = Gn ( f ) H R ( f ) 2 df Por lo que : A k 2 σ 2 = tb . S T Gn ( f ) H R ( f ) 2 df . P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df Minimizar A k 2 = tb . S T P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df y σ 2 = Gn ( f ) H R ( f ) 2 df Por lo que : A k 2 σ 2 = tb . S T Gn ( f ) H R ( f ) 2 df . P R ( f ) 2 H c ( f ) . H R ( f ) df Minimizar alignl { stack { size 12{A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } = { { ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } } over { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df"} } } {} # y {} # σ rSup { size 8{2} } = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { ital "Gn" \( f \) } lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df" {} # ital "Por"` ital "lo"` ital "que": {} # {} # { {A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { { ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } } over { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { ital "Gn" \( f \) } lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df" "." Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df"} } matrix { {} ## {} ## rightarrow ` ital "Minimizar" } {} } } {}
(6)

A través de la igualdad de Schwartz podemos cumplir el objetivo:

V ( f ) . W ( f ) df V ( f ) 2 . df . W ( f ) 2 . df Que será igual cuando V ( f ) = k . W ( f ) . Si : W ( f ) = P R ( f ) H C ( f ) H R ( f ) y V ( f ) = H R ( f ) Gn ( f ) Entonces : H R ( f ) Gn ( f ) = k P R ( f ) H C ( f ) H R ( f ) H R ( f ) 2 = k P R ( f ) H C ( f ) Gn ( f ) V ( f ) . W ( f ) df V ( f ) 2 . df . W ( f ) 2 . df Que será igual cuando V ( f ) = k . W ( f ) . Si : W ( f ) = P R ( f ) H C ( f ) H R ( f ) y V ( f ) = H R ( f ) Gn ( f ) Entonces : H R ( f ) Gn ( f ) = k P R ( f ) H C ( f ) H R ( f ) H R ( f ) 2 = k P R ( f ) H C ( f ) Gn ( f ) alignl { stack { size 12{ lline Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {V \( f \) "." W rSup { size 8{*} } \( f \) ital "df"} rline <= Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline V \( f \) rline rSup { size 8{2} } "." ital "df"} "." Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline W \( f \) rline rSup { size 8{2} } "." ital "df"} } {} # {} # ital "Que"` ital "será"` ital "igual"` ital "cuando"`V \( f \) =k "." W \( f \) "." ` ital "Si": {} # {} # W \( f \) = { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } ~y~V \( f \) = lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } {} # {} # ital "Entonces": {} # {} # lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } =k left [ { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } right ] {} # {} # matrix { {} # {} # lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } =k left [ { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } } } right ]{} } {} } } {}

Finalmente, con la ecuación (1) tenemos que:

H T ( f ) 2 = A k 2 P R ( f ) Gn ( f ) k H C ( f ) P R ( f ) 2 H T ( f ) 2 = A k 2 P R ( f ) Gn ( f ) k H C ( f ) P R ( f ) 2 size 12{ lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } = { {A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } } over {k lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } } } {}
(7)

Simulaciones en LabVIEW

El VI correspondiente a la teoría de este módulo puede descargarse a través del siguiente enlace: Media File: ISI.rar

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Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

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