Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Eksponensiale

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

  • Siyavula: Wiskunde

    This module is included inLens: Siyavula Textbooks Wiskunde
    By: Free High School Science Texts Project

    Click the "Siyavula: Wiskunde" link to see all content affiliated with them.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer van 'n eenvoudiger manier om uitdrukkings soos 2×2×2×22×2×2×2 te skryf. Dit staan bekend as eksponensiaalnotasie.

Definisie

Eksponensiaalnotasie is 'n kort manier om te skryf dat 'n getal meermale met homself vermenigvuldig word. Byvoorbeeld, eerder as om te skryf 5×5×55×5×5, gebruik ons 5353 om aan te dui dat die getal 5 drie maal met homself vermenigvuldig word en 'n mens sê "5 tot die mag 3". Soortgelyk is 5252 dieselfde as 5×55×5 en 3535 is 3×3×3×3×33×3×3×3×3. Laat ons beter definieer hoe om eksponensiaalnotasie te gebruik.

Definition 1: Eksponensiaalnotasie

Eksponensiaalnotasie verwys na 'n getal wat geskryf word as

a n a n
(1)

waar nn 'n heelgetal is en aa enige reële getal is. Ons noem aa die grondtal en nn die eksponent.

aa tot die mag nn is

a n = a × a × × a ( n -keer ) a n = a × a × × a ( n -keer )
(2)

Dit wil sê, aa word nn keer met homself vermenigvuldig.

Ons kan ook 'n negatiewe eksponent, -n-n, gebruik. In hierdie geval

a - n = 1 a × a × × a ( n -keer ) a - n = 1 a × a × × a ( n -keer )
(3)

leidraad:

Eksponente

Indien nn 'n ewe getal is, sal anan altyd 'n positiewe getal wees vir enige reële getal aa, behalwe 00. Byvoorbeeld, hoewel -2-2 negatief is, is beide (-2)2=-2×-2=4(-2)2=-2×-2=4 en (-2)-2=1-2×-2=14(-2)-2=1-2×-2=14 positief.

Figuur 1
Khan Academy video oor eksponente 1 (in Engels)

Figuur 2
Khan Academy video oor eksponente 2 (in Engels)

Eksponentwette

Daar is heelwat eksponentwette wat ons kan gebruik om getalle met eksponente te vereenvoudig. Sommige van hierdie wette het ons reeds in vorige grade teëgekom, maar ons sal die volledige lys hier sien en elke wet verduidelik, sodat jy hulle kan verstaan en nie bloot memoriseer nie.

a 0 = 1 a m × a n = a m + n a - n = 1 a n a m ÷ a n = a m - n ( a b ) n = a n b n ( a m ) n = a m n a 0 = 1 a m × a n = a m + n a - n = 1 a n a m ÷ a n = a m - n ( a b ) n = a n b n ( a m ) n = a m n
(4)

Eksponente, Wet 1: a0=1a0=1

Volgens die definisie van eksponensiaalnotasie is

a 0 = 1 , ( a 0 ) a 0 = 1 , ( a 0 )
(5)

Byvoorbeeld, x0=1x0=1 en (1000000)0=1(1000000)0=1

Toepassing van Wet 1: a0=1,(a0)a0=1,(a0)

  1. 16 0 16 0
  2. 16 a 0 16 a 0
  3. ( 16 + a ) 0 ( 16 + a ) 0
  4. ( - 16 ) 0 ( - 16 ) 0
  5. - 16 0 - 16 0

    Kliek hier vir die oplossing

Eksponente, Wet 2: am×an=am+nam×an=am+n

Figuur 3
Khan Academy video oor eksponente 3 (in Engels)

Die definisie van eksponensiaalnotasie wys dat

a m × a n = 1 × a × ... × a ( m -keer ) × 1 × a × ... × a ( n -keer ) = 1 × a × ... × a ( m + n -keer ) = a m + n a m × a n = 1 × a × ... × a ( m -keer ) × 1 × a × ... × a ( n -keer ) = 1 × a × ... × a ( m + n -keer ) = a m + n
(6)

Byvoorbeeld,

2 7 × 2 3 = ( 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ) × ( 2 × 2 × 2 ) = 2 7 + 3 = 2 10 2 7 × 2 3 = ( 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ) × ( 2 × 2 × 2 ) = 2 7 + 3 = 2 10
(7)

Opmerking: Interessante feit :

Hierdie eenvoudige wet is die rede waarom eksponente oorspronklik geskep is. Voor die dae van rekenaars moes vermenigvuldiging met potlood en papier gedoen word. Dit vat baie lank om vermenigvuldiging te doen, maar dit is vinnig en eenvoudig om getalle bymekaar te tel. Hierdie eksponentwet wys dat dit moontlik is om twee getalle te vermenigvuldig deur hulle eksponente bymekaar te tel (indien hulle dieselfde grondtal het). Hierdie ontdekking het wiskundiges baie tyd gespaar, wat hulle toe kon gebruik om iets meer produktiefs te doen.

Toepassing van Wet 2: am×an=am+nam×an=am+n

  1. x 2 · x 5 x 2 · x 5
  2. 2 3 . 2 4 2 3 . 2 4 [Neem kennis dat die grondtal (2) dieselfde bly.]
  3. 3 × 3 2 a × 3 2 3 × 3 2 a × 3 2

    Kliek hier vir die oplossing

Eksponente, Wet 3: a-n=1an,a0a-n=1an,a0

Die definisie van eksponensiaalnotasie vir 'n negatiewe eksponent wys dat

a - n = 1 ÷ a ÷ ... ÷ a ( n -keer ) = 1 1 × a × × a ( n -keer ) = 1 a n a - n = 1 ÷ a ÷ ... ÷ a ( n -keer ) = 1 1 × a × × a ( n -keer ) = 1 a n
(8)

Dit beteken dat 'n minus teken in die eksponent 'n alternatiewe manier is om aan te dui dat die hele eksponensiaal gedeel eerder as vermenigvuldig moet word.

Byvoorbeeld,

2 - 7 = 1 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 2 7 2 - 7 = 1 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 2 7
(9)

Toepassing van Wet 3: a-n=1an,a0a-n=1an,a0

  1. 2 - 2 = 1 2 2 2 - 2 = 1 2 2
  2. 2 - 2 3 2 2 - 2 3 2
  3. ( 2 3 ) - 3 ( 2 3 ) - 3
  4. m n - 4 m n - 4
  5. a - 3 · x 4 a 5 · x - 2 a - 3 · x 4 a 5 · x - 2

    Kliek hier vir die oplossing

Eksponente, Wet 4: am÷an=am-nam÷an=am-n

Met Wet 3 het ons reeds besef dat 'n minusteken 'n manier is om te wys dat die eksponensiaal gedeel eerder as vermenigvuldig moet word. Wet 4 is basies 'n meer algemene manier om dieselfde stelling te maak. Ons verkry hierdie wet deur Wet 3 aan beide kante met amam te vermenigvuldig en dan Wet 2 te gebruik.

a m a n = a m a - n = a m - n a m a n = a m a - n = a m - n
(10)

Byvoorbeeld,

2 7 ÷ 2 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 4 = 2 7 - 3 2 7 ÷ 2 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 4 = 2 7 - 3
(11)

Figuur 4
Khan Academy video oor eksponente 4 (in Engels)

Toepassing van Wet 4: am÷an=am-nam÷an=am-n

  1. a 6 a 2 = a 6 - 2 a 6 a 2 = a 6 - 2
  2. 3 2 3 6 3 2 3 6
  3. 32 a 2 4 a 8 32 a 2 4 a 8
  4. a 3 x a 4 a 3 x a 4

    Kliek hier vir die oplossing

Eksponente, Wet 5: (ab)n=anbn(ab)n=anbn

Die volgorde waarin twee getalle vermenigvuldig word, is onbelangrik. Dus,

( a b ) n = a × b × a × b × ... × a × b ( n -keer ) = a × a × ... × a ( n -keer ) × b × b × ... × b ( n -keer ) = a n b n ( a b ) n = a × b × a × b × ... × a × b ( n -keer ) = a × a × ... × a ( n -keer ) × b × b × ... × b ( n -keer ) = a n b n
(12)

Byvoorbeeld,

( 2 · 3 ) 4 = ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) = ( 2 × 2 × 2 × 2 ) × ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = ( 2 4 ) × ( 3 4 ) = 2 4 3 4 ( 2 · 3 ) 4 = ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) × ( 2 · 3 ) = ( 2 × 2 × 2 × 2 ) × ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = ( 2 4 ) × ( 3 4 ) = 2 4 3 4
(13)

Toepassing van Wet 5: (ab)n=anbn(ab)n=anbn

  1. ( 2 x y ) 3 = 2 3 x 3 y 3 ( 2 x y ) 3 = 2 3 x 3 y 3
  2. ( 7 a b ) 2 ( 7 a b ) 2
  3. ( 5 a ) 3 ( 5 a ) 3

    Kliek hier vir die oplossing

Eksponente, Wet 6: (am)n=amn(am)n=amn

Dit is moontlik om die eksponensiaal van 'n eksponensiaal te bereken. Die eksponensiaal van 'n getal is 'n reële getal. So, selfs al klink die eerste sin ingewikkeld, beteken dit bloot dat 'n mens die eksponensiaal van 'n getal bereken en dan die eksponensiaal van die resultaat bereken.

( a m ) n = a m × a m × ... × a m ( n -keer ) = a × a × ... × a ( m × n -keer ) = a m n ( a m ) n = a m × a m × ... × a m ( n -keer ) = a × a × ... × a ( m × n -keer ) = a m n
(14)

Byvoorbeeld,

( 2 2 ) 3 = ( 2 2 ) × ( 2 2 ) × ( 2 2 ) = ( 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) = ( 2 6 ) = 2 ( 2 × 3 ) ( 2 2 ) 3 = ( 2 2 ) × ( 2 2 ) × ( 2 2 ) = ( 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) = ( 2 6 ) = 2 ( 2 × 3 )
(15)

Toepassing van Wet 6: (am)n=amn(am)n=amn

  1. ( x 3 ) 4 ( x 3 ) 4
  2. [ ( a 4 ) 3 ] 2 [ ( a 4 ) 3 ] 2
  3. ( 3 n + 3 ) 2 ( 3 n + 3 ) 2

    Kliek hier vir die oplossing

Exercise 1: Vereenvoudig die eksponente

Vereenvoudig: 52x-1·9x-2152x-352x-1·9x-2152x-3

Solution
  1. Stap 1. Faktoriseer al die grondtalle in priemfaktore:
    = 5 2 x - 1 · ( 3 2 ) x - 2 ( 5 . 3 ) 2 x - 3 = 5 2 x - 1 · 3 2 x - 4 5 2 x - 3 · 3 2 x - 3 = 5 2 x - 1 · ( 3 2 ) x - 2 ( 5 . 3 ) 2 x - 3 = 5 2 x - 1 · 3 2 x - 4 5 2 x - 3 · 3 2 x - 3
    (16)
  2. Stap 2. Tel die eksponente van ooreenstemmende grondtalle bymekaar, volgens Wette 2 en 4:
    = 5 2 x - 1 - 2 x + 3 · 3 2 x - 4 - 2 x + 3 = 5 2 · 3 - 1 = 5 2 x - 1 - 2 x + 3 · 3 2 x - 4 - 2 x + 3 = 5 2 · 3 - 1
    (17)
  3. Stap 3. Skryf die vereenvoudigde antwoord met positiewe eksponente:
    = 25 3 = 25 3
    (18)

Ondersoek: Eksponensiale

Skryf die korrekte antwoord in the Antwoord kolom. Die beskikbare antwoorde is: 3232, 1, -1-1, -13-13, 8. Antwoorde mag herhaal word.

Tabel 1
Vraag Antwoord
2 3 2 3  
7 3 - 3 7 3 - 3  
( 2 3 ) - 1 ( 2 3 ) - 1  
8 7 - 6 8 7 - 6  
( - 3 ) - 1 ( - 3 ) - 1  
( - 1 ) 23 ( - 1 ) 23  

Die volgende video gee 'n voorbeeld van hoe om sommige van die konsepte wat in hierdie hoofstuk gedek is, te gebruik.

Figuur 5
Khan Academy video oor eksponente 5 (in Engels)

Hoofstukoefeninge

  1. Vereenvoudig so ver as moontlik.
    1. 30203020
    2. 1010
    3. (xyz)0(xyz)0
    4. [(3x4y7z12)5(-5x9y3z4)2]0[(3x4y7z12)5(-5x9y3z4)2]0
    5. (2x)3(2x)3
    6. (-2x)3(-2x)3
    7. (2x)4(2x)4
    8. (-2x) 4(-2x) 4

      Kliek hier vir die oplossing
  2. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Skryf antwoorde met positiewe eksponente.
    1. 3x-3(3x)23x-3(3x)2
    2. 5x0+8-2-(12)-2·1x5x0+8-2-(12)-2·1x
    3. 5b-35b+15b-35b+1

      Kliek hier vir die oplossing
  3. Vereenvoudig en wys alle stappe.
    1. 2a-2.3a+36a2a-2.3a+36a
    2. a2m+n+pam+n+p·ama2m+n+pam+n+p·am
    3. 3n·9n-327n-13n·9n-327n-1
    4. (2x2ay-b)3(2x2ay-b)3
    5. 23x-1·8x+142x-223x-1·8x+142x-2
    6. 62x·112x222x-1·32x62x·112x222x-1·32x

      Kliek hier vir die oplossing
  4. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
    1. (-3)-3·(-3)2(-3)-4(-3)-3·(-3)2(-3)-4
    2. (3-1+2-1)-1(3-1+2-1)-1
    3. 9n-1·273-2n812-n9n-1·273-2n812-n
    4. 23n+2·8n-343n-223n+2·8n-343n-2

      Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks