'n Kwadratiese ongelykheid is ongelykheid van die vorm
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
a
x
2
+
b
x
+
c
<
0
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
a
x
2
+
b
x
+
c
<
0
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
(1)Om 'n kwadratiese ongelykheid op te los is dieselfde as om uit te werk watter dele van die grafiek bo of onder die xx-as is.
Los die ongelykheid 4x2-4x+1≤04x2-4x+1≤0 op en interpreteer die oplossing grafies.
- Stap 1. Faktoriseer die kwadratiese funksie :
Laat f(x)=4x2-4x+1f(x)=4x2-4x+1. Faktorisering van die funksie lewer f(x)=(2x-1)2f(x)=(2x-1)2.
- Stap 2. Vervang die oorspronklike ongelykheid met die faktore :
(
2
x
-
1
)
2
≤
0
(
2
x
-
1
)
2
≤
0
(2) - Stap 3. Vind die wortels van die funksie :
f(x)=0f(x)=0 slegs as x=12x=12.
- Stap 4. Skryf die finale antwoord neer :
Dit beteken dat die grafiek van f(x)=4x2-4x+1f(x)=4x2-4x+1 die xx-as raak by x=12x=12, maar daar is geen areas waar die grafiek onder die xx-as is nie.
- Stap 5. Grafiese interpretasie van die oplossing :
Vind al die oplossings van die ongelykheid x2-5x+6≥0x2-5x+6≥0.
- Stap 1. Faktoriseer die kwadratiese funksie :
Die faktore van x2-5x+6x2-5x+6 is (x-3)(x-2)(x-3)(x-2).
- Stap 2. Skryf die ongelykheid met die faktore :
x
2
-
5
x
+
6
≥
0
(
x
-
3
)
(
x
-
2
)
≥
0
x
2
-
5
x
+
6
≥
0
(
x
-
3
)
(
x
-
2
)
≥
0
(3) - Stap 3. Bepaal watter intervalle ooreenstem met die ongelykheid :
Ons moet bepaal watter waardes van xx die ongelykheid bevredig. Vanaf die faktorisering is daar vyf areas om na te kyk.
- Stap 4. Bepaal of die funksie positief of negatief is in elkeen van die areas :
Laat f(x)=x2-5x+6f(x)=x2-5x+6. Kies 'n punt in elkeen van areas en evalueer die funksie.
Tabel 1
| |
|
f
(
x
)
f
(
x
)
|
teken van f(x)f(x) |
| Area A |
x
<
2
x
<
2
|
f
(
1
)
=
2
f
(
1
)
=
2
|
+ |
| Area B |
x
=
2
x
=
2
|
f
(
2
)
=
0
f
(
2
)
=
0
|
+ |
| Area C |
2
<
x
<
3
2
<
x
<
3
|
f
(
2
,
5
)
=
-
2
,
5
f
(
2
,
5
)
=
-
2
,
5
|
- |
| Area D |
x
=
3
x
=
3
|
f
(
3
)
=
0
f
(
3
)
=
0
|
+ |
| Area E |
x
>
3
x
>
3
|
f
(
4
)
=
2
f
(
4
)
=
2
|
+ |
Ons kan sien dat die funksie positief is vir x≤2x≤2 en x≥3x≥3.
- Stap 5. Skryf die finale antwoord neer en stel dit voor op 'n getallelyn :
Ons sien dat x2-5x+6≥0x2-5x+6≥0 waar is vir x≤2x≤2 en x≥3x≥3.
Los die kwadratiese ongelykheid -x2-3x+5>0-x2-3x+5>0 op.
- Stap 1. Bepaal hoe om die probleem te benader :
Laat f(x)=-x2-3x+5f(x)=-x2-3x+5. f(x)f(x) kan nie deur inspeksie gefaktoriseer word nie, dus gebruik ons die formule vir kwadratiese vergelykings. Die xx-afsnitte is die oplossings van die kwadratiese funksie.
-
x
2
-
3
x
+
5
=
0
x
2
+
3
x
-
5
=
0
∴
x
=
-
3
±
(
3
)
2
-
4
(
1
)
(
-
5
)
2
(
1
)
=
-
3
±
29
2
x
1
=
-
3
-
29
2
x
2
=
-
3
+
29
2
-
x
2
-
3
x
+
5
=
0
x
2
+
3
x
-
5
=
0
∴
x
=
-
3
±
(
3
)
2
-
4
(
1
)
(
-
5
)
2
(
1
)
=
-
3
±
29
2
x
1
=
-
3
-
29
2
x
2
=
-
3
+
29
2
(4) - Stap 2. Bepaal watter intervalle ooreenstem met die ongelykheid :
Ons moet bepaal watter waardes van xx die ongelykheid bevredig. Vanaf die antwoorde het ons vyf areas om te ondersoek.
- Stap 3. Bepaal of die funksie negative of positief is in elkeen van die areas :
Daar is nog 'n manier om die teken van die funksie te bepaal in verskillende areas: deur 'n rowwe skets van die grafiek van die funksie te maak. Ons weet dat die wortels van die funksie ooreenstem met die xx-afsnitte van die grafiek. Laat g(x)=-x2-3x+5g(x)=-x2-3x+5. Ons kan sien dat die die funksie 'n parabool is met 'n maksimum draaipunt en wat die xx-as by x1x1 en x2x2 sny.
Dit is duidelik dat g(x)>0g(x)>0 vir x1<x<x2x1<x<x2
- Stap 4. Skryf die finale antwoord neer en stel die oplossing grafies voor :
-x2-3x+5>0-x2-3x+5>0 vir x1<x<x2x1<x<x2
Wanneer die veranderlike van die ongelykheid in die noemer eerder as die teller is, is 'n ander benadering nodig.
Los op: 2x+3≤1x-32x+3≤1x-3
- Stap 1. Trek 1x-31x-3 af aan beide kante :
2
x
+
3
-
1
x
-
3
≤
0
2
x
+
3
-
1
x
-
3
≤
0
(5) - Stap 2. Vereenvoudig die breuk deur die KGD te vind :
2
(
x
-
3
)
-
(
x
+
3
)
(
x
+
3
)
(
x
-
3
)
≤
0
x
-
9
(
x
+
3
)
(
x
-
3
)
≤
0
2
(
x
-
3
)
-
(
x
+
3
)
(
x
+
3
)
(
x
-
3
)
≤
0
x
-
9
(
x
+
3
)
(
x
-
3
)
≤
0
(6) - Stap 3. Teken 'n getallelyn vir die ongelykheid :
Ons sien dat die uitdrukking negatief is vir x<-3x<-3 en 3<x≤93<x≤9.
- Stap 4. Skryf die finale antwoord :
x
<
-
3
o
f
3
<
x
≤
9
x
<
-
3
o
f
3
<
x
≤
9
(7)
