Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Wortelvorme - Graad 11

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Berekening van wortelvorme

Daar is verskeie reëls wat dit makliker maak om met wortelvorme te werk. Ons sal elkeen lys en dan in diepte verduidelik waar die reël vandaan kom.

a n b n = a b n a b n = a n b n a m n = a m n a n b n = a b n a b n = a n b n a m n = a m n
(1)

Wortelwet 1: anbn=abnanbn=abn

Dit is gewoonlik nuttig om 'n wortelvorm in eksponensiaalnotasie te beskou, aangesien dit ons toelaat om die eksponentwette, wat ons in Graad 10 geleer het, te gebruik. In eksponensiaalnotasie, an=a1nan=a1n en bn=b1nbn=b1n. Vervolgens,

a n b n = a 1 n b 1 n = ( a b ) 1 n = a b n a n b n = a 1 n b 1 n = ( a b ) 1 n = a b n
(2)

'n Paar voorbeelde wat hierdie wet gebruik:

  1. 16 3 × 4 3 = 64 3 = 4 16 3 × 4 3 = 64 3 = 4
  2. 2 × 32 = 64 = 8 2 × 32 = 64 = 8
  3. a 2 b 3 × b 5 c 4 = a 2 b 8 c 4 = a b 4 c 2 a 2 b 3 × b 5 c 4 = a 2 b 8 c 4 = a b 4 c 2

Wortelwet 2: abn=anbnabn=anbn

Indien ons na abnabn in eksponensieelnotasie kyk en die eksponentwette toepas, dan is

a b n = a b 1 n = a 1 n b 1 n = a n b n a b n = a b 1 n = a 1 n b 1 n = a n b n
(3)

'n Paar voorbeelde wat hierdie wet gebruik:

  1. 12 ÷ 3 = 4 = 2 12 ÷ 3 = 4 = 2
  2. 24 3 ÷ 3 3 = 8 3 = 2 24 3 ÷ 3 3 = 8 3 = 2
  3. a 2 b 13 ÷ b 5 = a 2 b 8 = a b 4 a 2 b 13 ÷ b 5 = a 2 b 8 = a b 4

Wortelwet 3: amn=amnamn=amn

Indien ons na amnamn in eksponensiaalnotasie kyk en die eksponentwette toepas, dan is

a m n = ( a m ) 1 n = a m n a m n = ( a m ) 1 n = a m n
(4)

Byvoorbeeld

2 3 6 = 2 3 6 = 2 1 2 = 2 2 3 6 = 2 3 6 = 2 1 2 = 2
(5)

Gelyksoortige en ongelyksoortige wortelvorme

Twee wortelvorme amam en bnbn word gelyksoortige wortelvorme genoem indien m=nm=n, andersins word hulle ongelyksoortige wortelvorme genoem. Byvoorbeeld, 22 en 33 is gelyksoortig, terwyl 22 en 2323 ongelyksoortig is. Dit is belangrik om op te let dat die wortelwette wat ons pas geleer het almal gelyksoortige wortelvorme is.

Indien ons die wortelwette op ongelyksoortige wortelvorme wil toepas, moet ons hulle eers omskakel na gelyksoortige wortelvorme. Om hierdie reg te kry, gebruik ons die formule

a m n = a b m b n a m n = a b m b n
(6)

om die ongelyksoortige wortelvorme oor te skryf sodat bnbn dieselfde is vir alle wortelvorme.

Exercise 1: Gelyksoortige en ongelyksoortige wortelvorme

Vereenvoudig die gelyksoortige wortelvorme so ver moontlik, en wys alle stappe: 33×5533×55

Solution
  1. Stap 1. Vind die gemene wortel :
    = 3 5 15 × 5 3 15 = 3 5 15 × 5 3 15
    (7)
  2. Stap 2. Gebruik wortelwet 1 :
    = 3 5 . 5 3 15 = 243 × 125 15 = 30 375 15 = 3 5 . 5 3 15 = 243 × 125 15 = 30 375 15
    (8)

Eenvoudigste wortelvorm

Wanneer daar gewerk word met wortelvorme, word antwoorde meestal in die eenvoudigste wortelvorm gegee. Byvoorbeeld

50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2
(9)

5252 is die eenvoudigste wortelvorm van 5050.

Exercise 2: Eenvoudigste wortelvorm

Herskryf 1818 in die eenvoudigste wortelvorm:

Solution
  1. Stap 1. Breek die getal 18 op in sy kleinste faktore:
    18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 2 = 3 2 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 2 = 3 2
    (10)

Exercise 3: Eenvoudigste wortelvorm

Vereenvoudig: 147+108147+108

Solution
  1. Stap 1. Vereenvoudig elke vierkantswortel afsonderlik :
    147 + 108 = 49 × 3 + 36 × 3 = 7 2 × 3 + 6 2 × 3 147 + 108 = 49 × 3 + 36 × 3 = 7 2 × 3 + 6 2 × 3
    (11)
  2. Stap 2. Neem die waardes wat 22 het onder die wortelvorm na die buitekant van die vierkantswortelteken :
    = 7 3 + 6 3 = 7 3 + 6 3
    (12)
  3. Stap 3. Die wortelvorme wat presies dieselfde is kan as "gelyksoortige terme" geneem word en bymekaar getel word :
    = 13 3 = 13 3
    (13)

Rasionaliserende delers

Dit is nuttig om met breuke te werk wat rasionale delers het eerder as wortelvormige delers. Dit is moontlik om enige breuk wat 'n wortelvorm as deler het oor te skryf as 'n breuk met rasionale deleter. Ons sal nou sien hoe dit gedoen kan word.

Enige uitdrukking van die vorm a+ba+b (waar aa and bb rasionaal is) kan verander word in 'n rasionale getal deur dit te vermenigvuldig met a-ba-b (soortgelyk kan a-ba-b gerasionaliseer word deur dit te vermenigvuldig met a+ba+b). Dit is omdat

( a + b ) ( a - b ) = a - b ( a + b ) ( a - b ) = a - b
(14)

wat rasionaal is (aangesien aa en bb rasionaal is).

Indien ons 'n breuk het met 'n deler wat soos a+ba+b lyk, kan ons bloot bo en onder vermenigvuldig met a-ba-b en kry sodoende 'n rasionale deler.

c a + b = a - b a - b × c a + b = c a - c b a - b c a + b = a - b a - b × c a + b = c a - c b a - b
(15)

of soortgelyk

c a - b = a + b a + b × c a - b = c a + c b a - b c a - b = a + b a + b × c a - b = c a + c b a - b
(16)

Exercise 4: Rasionalisering van die deler

Rasionaliseer die deler: 5x-16x5x-16x

Solution
  1. Stap 1. Raak ontslae van die vierkantswortel onder die deler :

    Om ontslae te raak van die xx in die deler, kan 'n mens dit uitvermenigvuldig met nog 'n xx. Dit "rasionaliseer" die wortelvorm in die deler. Let op dat xxxx = 1, en dus word die vergelyking gerasionaliseer deur met 1 te vermenigvuldig en bly dit dieselfde ding.

    5 x - 16 x × x x 5 x - 16 x × x x
    (17)
  2. Stap 2. Daar is nie meer 'n wortelvorm in die deler nie. :

    Die wortelvorm is uitgedruk in die noemer, wat die verkose manier is om wortelvorme te skryf. (Dit is hoekom noemers nie gerasionaliseer word nie.)

    5 x x - 16 x x = ( x ) ( 5 x - 16 ) x 5 x x - 16 x x = ( x ) ( 5 x - 16 ) x
    (18)

Exercise 5: Rasionalisering van die deler

Rasionaliseer die volgende: 5x-16y-105x-16y-10

Solution
  1. Stap 1. Rasionaliseer hierdie deler deur gebruik te maak van 'n slim "1" :
    5 x - 16 y - 10 × y + 10 y + 10 5 x - 16 y - 10 × y + 10 y + 10
    (19)
  2. Stap 2. Vermenigvuldig die noemers en delers:
    5 x y - 16 y + 50 x - 160 y - 100 5 x y - 16 y + 50 x - 160 y - 100
    (20)
  3. Stap 3. In hierdie geval is daar geen volgende stap nie :

    Al die terme in die noemer is verskillend en kan nie verder vereenvoudig word nie en daar is geen wortelvorme meer in die deler nie.

Exercise 6: Rasionaliseer die deler

Vereenvoudig die volgende: y-25y+5y-25y+5

Solution
  1. Stap 1. Vermenigvuldig hierdie vergelykings met 'n slim vorm van "1" wat dit sal rasionaliseer:
    y - 25 y + 5 × y - 5 y - 5 y - 25 y + 5 × y - 5 y - 5
    (21)
  2. Stap 2. Vermenigvuldig die noemers en delers:
    y y - 25 y - 5 y + 125 y - 25 = y ( y - 25 ) - 5 ( y - 25 ) ( y - 25 ) = ( y - 25 ) ( y - 25 ) ( y - 25 ) = y - 25 y y - 25 y - 5 y + 125 y - 25 = y ( y - 25 ) - 5 ( y - 25 ) ( y - 25 ) = ( y - 25 ) ( y - 25 ) ( y - 25 ) = y - 25
    (22)

Oefeninge

  1. Brei uit:
    (x-2)(x+2)(x-2)(x+2)
    (23)
  2. Rasionaliseer die deler:
    10x-1x10x-1x
    (24)
  3. Skryf as 'n enkele breuk:
    32x+x32x+x
    (25)
  4. Skryf in die eenvoudigste wortelvorm:
    Tabel 1
    (a) 7272(b) 45+8045+80
    (c) 48124812(d) 18÷72818÷728
    (e) 4(8÷2)4(8÷2)(f) 16(20÷12)16(20÷12)
  5. Brei uit en vereenvoudig:
    (2+2)2(2+2)2
    (26)
  6. Brei uit en vereenvoudig:
    (2+2)(1+8)(2+2)(1+8)
    (27)
  7. Brei uit en vereenvoudig:
    (1+3)(1+8+3)(1+3)(1+8+3)
    (28)
  8. Rasionaliseer die deler:
    y-4y-2y-4y-2
    (29)
  9. Rasionaliseer die deler:
    2x-20y-102x-20y-10
    (30)
  10. Bewys, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar, dat:
    83+553-16=1322383+553-16=13223
    (31)
  11. Vereenvoudig, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
    98-85098-850
    (32)
  12. Vereenvoudig, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
    5(45+280)5(45+280)
    (33)
  13. Skryf die volgende met 'n rasionale deler:
    5+255+25
    (34)
  14. Vereenvoudig:
    98x6+128x698x6+128x6
    (35)
  15. Evalueer, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar: 2-7212.2+72122-7212.2+7212
  16. Die gebruik van 'n sakrekenaar word toegelaat in hierdie vraag. Vereenvoudig volledig en wys alle stappe: 3-1212+(33)33-1212+(33)3
  17. Vul in die ontbrekende wortelvormgetal wat die volgende vergelyking waar sal maak: -36×-224=-18×...........-36×-224=-18×...........

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks