Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Kwadratiese rye - Graad 11

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry?

Definition 1: Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; ... 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; ...
(1)

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1 a 3 - a 2 = 4 - 2 = 2 a 4 - a 3 = 7 - 4 = 3 a 5 - a 4 = 11 - 7 = 4 a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1 a 3 - a 2 = 4 - 2 = 2 a 4 - a 3 = 7 - 4 = 3 a 5 - a 4 = 11 - 7 = 4
(2)

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille {1;2;3;4;...1;2;3;4;...} te neem:

2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 4 - 3 = 1 ... 2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 4 - 3 = 1 ...
(3)

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is vergelyking 1 'n kwadratiese ry.

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry {1;2;3;4;...1;2;3;4;...}, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van vergelyking 1 te neem, 'n linêere formule van die vorm ax+bax+b.

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ... 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; 71 ; ... 2 ; 10 ; 26 ; 50 ; 82 ; ... 31 ; 30 ; 27 ; 22 ; 15 ; ... 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ... 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; 71 ; ... 2 ; 10 ; 26 ; 50 ; 82 ; ... 31 ; 30 ; 27 ; 22 ; 15 ; ...
(4)

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Exercise 1: Kwadratiese ry

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die n de n de term in die ry 5,12,23,38,...,...,5,12,23,38,...,...,

Solution

  1. Stap 1. Vind die eerste verskille tussen die terme:

    i.e. 7,11,157,11,15

  2. Stap 2. Vind die tweede verskille tussen die terme:

    die tweede verskil is 4.

    As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

    15 + 4 = 19 15 + 4 = 19

    19 + 4 = 23 19 + 4 = 23

  3. Stap 3. Om die volgende twee terme te vind:

    Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

    38 + 19 = 57 38 + 19 = 57

    57 + 23 = 80 57 + 23 = 80

    Dus sal die ry die volgende wees: 5,12,23,38,57,805,12,23,38,57,80

  4. Stap 4. Ons moet nou die formula vir die ry vind:

    Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus 2n22n2 wees.

  5. Stap 5. Ons moet nou die volgende deel van die ry uitwerk:

    Indien n=1n=1, moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen 2n2=22n2=2 en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot n+2n+2.

    Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer n=2n=2.

    Dan is 2n2=82n2=8. Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as n+2n+2.

    Dus vir die ry 5,12,23,38,...5,12,23,38,... is die formule vir die n de n de term 2n2+n+22n2+n+2.

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die n de n de term Tn=an2+bn+cTn=an2+bn+c wees

Tabel 1
TERME a + b + c a + b + c   4 a + 2 b + c 4 a + 2 b + c   9 a + 3 b + c 9 a + 3 b + c  
1ste1ste verskil   3 a + b 3 a + b   5 a + b 5 a + b   7 a + b 7 a + b
2de2de verskil     2 a 2 a   2 a 2 a  

In elke geval is die tweede verskil 2a2a. Hierdie feit kan gebruik word om aa te vind, dan bb en dan cc.

Exercise 2: Kwadratiese ry

Die volgende ry is kwadraties: 8,22,42,68,...8,22,42,68,... Vind die formule.

Solution
  1. Stap 1. Neem aan dat die formule an2+bn+can2+bn+c is:
    Tabel 2
    TERME 8   22   42   68  
    1ste1ste verskil   14   20   26
    2de2de verskil     6   6   6  
  2. Stap 2. Bepaal die waardes vir a,ba,b en cc :
    Dan is 2 a = 6 wat gee a = 3 En 3 a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 En a + b + c = 8 3 + 5 + c = 8 c = 0 Dan is 2 a = 6 wat gee a = 3 En 3 a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 En a + b + c = 8 3 + 5 + c = 8 c = 0
    (5)
  3. Stap 3. Vind die formule :

    Die formule is dus:    n de term=3n2+5nn de term=3n2+5n

  4. Stap 4. Gaan antwoord na:

    Vir

    n = 1 , T 1 = 3 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = 8 n = 2 , T 2 = 3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = 22 n = 3 , T 3 = 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) = 42 n = 1 , T 1 = 3 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = 8 n = 2 , T 2 = 3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = 22 n = 3 , T 3 = 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) = 42
    (6)

Bepaling van die n de n de -term van 'n kwadratiese ry

Laat die ndende-term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

a n = A · n 2 + B · n + C a n = A · n 2 + B · n + C
(7)

waar AA, BB and CC konstantes is wat bepaal moet word.

a n = A · n 2 + B · n + C a 1 = A ( 1 ) 2 + B ( 1 ) + C = A + B + C a 2 = A ( 2 ) 2 + B ( 2 ) + C = 4 A + 2 B + C a 3 = A ( 3 ) 2 + B ( 3 ) + C = 9 A + 3 B + C a n = A · n 2 + B · n + C a 1 = A ( 1 ) 2 + B ( 1 ) + C = A + B + C a 2 = A ( 2 ) 2 + B ( 2 ) + C = 4 A + 2 B + C a 3 = A ( 3 ) 2 + B ( 3 ) + C = 9 A + 3 B + C
(8)
Laat d = a 2 - a 1 d = 3 A + B Laat d = a 2 - a 1 d = 3 A + B
(9)
B = d - 3 A B = d - 3 A
(10)

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

D = ( a 3 - a 2 ) - ( a 2 - a 1 ) = ( 5 A + B ) - ( 3 A + B ) = 2 A D = ( a 3 - a 2 ) - ( a 2 - a 1 ) = ( 5 A + B ) - ( 3 A + B ) = 2 A
(11)
A = D 2 A = D 2
(12)

Dus, vanuit vergelyking 10,

B = d - 3 2 · D B = d - 3 2 · D
(13)

Vanuit vergelyking 8,

C = a 1 - ( A + B ) = a 1 - D 2 - d + 3 2 · D C = a 1 - ( A + B ) = a 1 - D 2 - d + 3 2 · D
(14)
C = a 1 + D - d C = a 1 + D - d
(15)

Uiteindelik word die algemene formule vir die ndendeterm van 'n kwadratiese ry gegee deur

a n = D 2 · n 2 + ( d - 3 2 D ) · n + ( a 1 - d + D ) a n = D 2 · n 2 + ( d - 3 2 D ) · n + ( a 1 - d + D )
(16)

Exercise 3: Die gebruik van die stel vergelykings

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

  1. Wat is die volgende getal in die ry?
  2. Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
  3. Wat sal die 100ste100ste term van die ry wees?
Solution
  1. Stap 1. Die volgende getal in die ry is :

    Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

    1+6(1)=71+6(1)=7, dan is 7+6(2)=197+6(2)=19

    19+6(3)=3719+6(3)=37, dan is 37+6(4)=6137+6(4)=61

    Dus is 61+6(5)=9161+6(5)=91

    Die volgende getal in die ry is 91.

  2. Stap 2. Om die patroon te veralgemeen:
    Tabel 3
    TERME 1   7   19   37   61  
    1ste1ste verskil   6   12   18   24
    2de2de verskil     6   6   6   6  

    Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

    Dus is an2+bn+c=yan2+bn+c=y

    Vir die eerste term: n=1n=1, dan is y=1y=1

    Vir die tweede term: n=2n=2, dan is y=7y=7

    Vir die derde term: n=3n=3, dan is y=19y=19

    ensovoorts....

  3. Stap 3. Om die stel vergelykings op te stel :
    a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 7 9 a + 3 b + c = 19 a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 7 9 a + 3 b + c = 19
    (17)
  4. Stap 4. Los die stel vergelykings op :
    verg. ( 2 ) - verg. ( 1 ) : 3 a + b = 6 verg. ( 3 ) - verg. ( 2 ) : 5 a + b = 12 verg. ( 5 ) - verg. ( 4 ) : 2 a = 6 a = 3 , b = - 3 e n c = 1 verg. ( 2 ) - verg. ( 1 ) : 3 a + b = 6 verg. ( 3 ) - verg. ( 2 ) : 5 a + b = 12 verg. ( 5 ) - verg. ( 4 ) : 2 a = 6 a = 3 , b = - 3 e n c = 1
    (18)
  5. Stap 5. Finale antwoord :

    Die algemene formule vir die patroon is 3n2-3n+13n2-3n+1

  6. Stap 6. Term 100 :

    Vervang nn met 100:

    3 ( 100 ) 2 - 3 ( 100 ) + 1 = 29 701 3 ( 100 ) 2 - 3 ( 100 ) + 1 = 29 701

    Die waarde van die 100ste100ste term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van anan vs. nn lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ...
(19)

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Figuur 1
Figuur 1 (MG11C5_001.png)

Oefeninge

  1. Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
    an=n2+2n+1an=n2+2n+1
    (20)
  2. Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
    1. 6;9;14;21;30;...6;9;14;21;30;...
    2. 1;7;17;31;49;...1;7;17;31;49;...
    3. 8;17;32;53;80;...8;17;32;53;80;...
    4. 9;26;51;84;125;...9;26;51;84;125;...
    5. 2;20;50;92;146;...2;20;50;92;146;...
    6. 5;19;41;71;109;...5;19;41;71;109;...
    7. 2;6;10;14;18;...2;6;10;14;18;...
    8. 3;9;15;21;27;...3;9;15;21;27;...
    9. 10;24;44;70;102;...10;24;44;70;102;...
    10. 1;2,5;5;8,5;13;...1;2,5;5;8,5;13;...
    11. 2,5;6;10,5;16;22,5;...2,5;6;10,5;16;22,5;...
    12. 0,5;9;20,5;35;52,5;...0,5;9;20,5;35;52,5;...
  3. Gegee an=2n2an=2n2, vind die waarde van nn, an=242an=242
  4. Gegee an=(n-4)2an=(n-4)2, vind vir watter waarde van nn, an=36an=36
  5. Gegee an=n2+4an=n2+4, vind die waarde van nn, an=85an=85
  6. Gegee an=3n2an=3n2, vind a11a11
  7. Gegee an=7n2+4nan=7n2+4n, vind a9a9
  8. Gegee an=4n2+3n-1an=4n2+3n-1, vind a5a5
  9. Gegee an=1,5n2an=1,5n2, vind a10a10
  10. Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a100a100 te vind.
    1. 4,7,12,19,28,...4,7,12,19,28,...
    2. 2,8,18,32,50,...2,8,18,32,50,...
    3. 7,13,23,37,55,...7,13,23,37,55,...
    4. 5,14,29,50,77,...5,14,29,50,77,...
    5. 7,22,47,82,127,...7,22,47,82,127,...
    6. 3,10,21,36,55,...3,10,21,36,55,...
    7. 3,7,13,21,31,...3,7,13,21,31,...
    8. 3,9,17,27,39,...3,9,17,27,39,...

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks