Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Getalpatrone

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Getalpatrone

In vorige jare het jy patrone gesien in die vorm van prentjies en getalle. In hierde hoofstuk sal ons meer leer van die wiskunde van patrone. Patrone is herkenbaar as herhalende reekse wat gevind kan word in die natuur, vorms, gebeure, groepe van getalle en op baie ander plekke in ons daaglikse lewe. Byvoorbeeld, patrone kan gevind word in die sade van sonneblomme, sneeuvlokkies, geometriese patrone op lappieskomberse en teëls en reekse getalle soos 0; 4; 8; 12; 16; ...

Ondersoek : Patrone

Kan jy die patrone herken in die volgende reekse van getalle?

  1. 2; 4; 6; 8; 10; ......
  2. 1; 2; 4; 7; 11; ......
  3. 1; 4; 9; 16; 25; ......
  4. 5; 10; 20; 40; 80; ......

Algemene Getalpatrone

Reekse van getalle kan interessante patrone bevat. Die volgende is ʼn lys van die mees algemene patrone en hoe hulle gevorm word.

Voorbeelde:

  1. 1;4;7;10;13;16;19;22;25;...1;4;7;10;13;16;19;22;25;... Hierdie reeks het ʼn verskil van 3 tussen al die getalle. Die patroon word gevorm deur elke keer 3 by te tel by die vorige getal.
  2. 3;8;13;18;23;28;33;38;...3;8;13;18;23;28;33;38;... Hierdie reeks het ʼn verskil van 5 tussen al die getalle. Die patroon word gevorm deur elke keer 5 by te tel by die vorige getal.
  3. 2;4;8;16;32;64;128;256;...2;4;8;16;32;64;128;256;... Hierdie reeks het ʼn faktor van 2 tussen al die getalle. Die volgende getal in die reeks word gevorm deur die vorige een met 2 te vermenigvuldig.
  4. 3;9;27;81;243;729;2187;...3;9;27;81;243;729;2187;... Hierdie reeks het ʼn faktor van 3 tussen al die getalle. Die volgende getal in die reeks word gevorm deur die vorige een met 3 te vermenigvuldig.

Spesiale Reekse

Driehoeksgetalle

1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; . . . 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; . . .

Hierdie reekse word gevorm deur ʼn patroon van kolletjies wat ʼn driehoek vorm. Deur nog ʼn ry kolletjies aan te heg (waar die elke nuwe ry een meer kolletjie bevat as die vorige een) en die kolletjies te tel, is dit moontlik om die volgende getal in die reeks te vind.

Vierkantsgetalle

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; . . . 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; . . .

Die waarde van ʼn term in die reeks word gevind deur die posisie (pleknommer in die ry) te kwadreer. Die tweede getal in die reeks is 2 kwadraat (22of2×222of2×2

 
). Die sewende getal is 7 kwadraat (72of7×772of7×7
 
) ens.

Derdemagsgetalle

1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; 512 ; 729 ; . . . 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; 512 ; 729 ; . . .

Die waarde van ʼn term in die reeks word gevind deur die posisie tot die derde mag te verhef. Die tweede getal in die reeks is 2 tot die mag 3 (23of2×2×223of2×2×2

 
). Die sewende getal in die reeks is 7 tot die mag 3 (73of7×7×773of7×7×7
  
) ens.

Fibonacci Getalle

0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; . . . 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; . . .

Die waarde van ʼn term in die reeks word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar te tel. Die 2 word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar te tel (1+11+1). Die 21 word gevind deur die twee getalle voor die 2 in die reeks bymekaar te tel (8+138+13). Die volgende getal in die reeks sal 55 wees (21+3421+34).

Kan jy die volgende paar getalle vind?

Figuur 1
Khan Academy video oor getalpatrone - 1

Exercise 1: Studeertafels

Gestel jy en 3 vriende besluit om te studeer vir wiskunde, en dat julle om ʼn vierkantige tafel sit. ʼn Paar minute later sluit 2 ander vriende by julle aan en hulle wil kom sit. Om sitplek te kry vir hulle, besluit julle om ʼn tafel te skuif en dit langs julle tafel te sit sodat daar genoeg sitplek is vir die 6 van julle. Daarna besluit nog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif ʼn derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle.

Figuur 2: Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.
Figuur 2 (MG10C7_002.png)

Ondersoek hoe die aantal mense om die tafels verband hou met die aantal tafels.

Solution

  1. Stap 1. Tabelleer ʼn paar terme om te sien of daar ʼn patroon is :
    Tabel 1
    Aantal tafels, nn Aantal mense wat sitplek het
    1 4 = 4 4 = 4
    2 4 + 2 = 6 4 + 2 = 6
    3 4 + 2 + 2 = 8 4 + 2 + 2 = 8
    4 4 + 2 + 2 + 2 = 10 4 + 2 + 2 + 2 = 10
    n n 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
  2. Stap 2. Beskryf die patroon :

    Ons kan sien dat met 3 tafels is daar plek vir 8 mense, met 4 tafels is daar plek vir 10 mense ens. Ons begin met 4 mense en voeg elke keer 2 mense by. So, vir elke tafel wat bygevoeg word, is daar sitplek vir nog 2 mense.

Notasie

Figuur 3
Khan Academy video oor getalpatrone

Die ndende-term van 'n reeks word geskryf as anan. So byvoorbeeld, is die eerste term van 'n reeks a1a1 en die tiende term van 'n reeks is a10a10. ʼn Reeks hoef nie ʼn patroon te volg nie, maar wanneer dit wel 'n patroon het, kan ons dit gewoonlik as ʼn formule skryf om die ndende-term, anan, te bereken. In die reeks

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ... 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ...
(1)

waar die reeks bestaan uit die vierkante van heelgetalle, is die formule vir die ndende-term:

a n = n 2 a n = n 2
(2)

Jy kan sien dat dit reg is deur te kyk na:

a 1 = 1 2 = 1 a 2 = 2 2 = 4 a 3 = 3 2 = 9 a 4 = 4 2 = 16 a 5 = 5 2 = 25 ... a 1 = 1 2 = 1 a 2 = 2 2 = 4 a 3 = 3 2 = 9 a 4 = 4 2 = 16 a 5 = 5 2 = 25 ...
(3)

Dus, deur vergelyking 2 te gebruik, kan ons ʼn patroon van die vierkante van heelgetalle vorm.

Ons kan ook 'n konstante verskil tussen die terme bepaal vir sekere patrone.

Definition 1: Konstante verskil
Die konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met die letter d.

Byvoorbeeld, beskou die reeks: 10;7;4;1;...10;7;4;1;.... Om die gemeenskaplike verskil te vind, trek ons die betrokke term af van die volgende term.

7-10 = -3 4-7 = -3 1-4 = -3 7-10 = -3 4-7 = -3 1-4 = -3
(4)

Exercise 2: Studeertafel voortgesit ....

Soos voorheen, studeer jy en 3 vriende wiskunde, en julle sit rondom ʼn vierkantige tafel. ʼn Paar minute later besluit 2 ander vriende om by julle aan te sluit en wil kom sit en julle sit ʼn ekstra tafel by sodat al 6 van julle kan sit. Weereens besluit nog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif ʼn derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle soos in die prentjie:

Figuur 4: Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.
Figuur 4 (MG10C7_003.png)

Vind ʼn wiskundige uitdrukking vir die getal mense wat om nn tafels kan sit. Gebruik dan die algemene formule om te bepaal hoeveel mense om 12 tafels kan sit en hoeveel tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

Solution

  1. Stap 1. Tabelleer ʼn paar terme om te sien of daar ʼn patroon is :
    Tabel 2
    Aantal tafels, nn Aantal mense wat kan sit Formule
    1 4 = 4 4 = 4 = 4 + 2 · ( 0 ) = 4 + 2 · ( 0 )
    2 4 + 2 = 6 4 + 2 = 6 = 4 + 2 · ( 1 ) = 4 + 2 · ( 1 )
    3 4 + 2 + 2 = 8 4 + 2 + 2 = 8 = 4 + 2 · ( 2 ) = 4 + 2 · ( 2 )
    4 4 + 2 + 2 + 2 = 10 4 + 2 + 2 + 2 = 10 = 4 + 2 · ( 3 ) = 4 + 2 · ( 3 )
                   
    n n 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 4 + 2 · ( n - 1 ) = 4 + 2 · ( n - 1 )
  2. Stap 2. Beskryf die patroon :

    Die aantal mense wat rondom nn tafels kan sit, is:

    a n = 4 + 2 · ( n - 1 ) a n = 4 + 2 · ( n - 1 )
    (5)
  3. Stap 3. Bereken die 12 de 12 de term :

    Deur te kyk na die voorbeeld van die vorige gedeelte, bereken hoeveel mense kan rondom 12 tafels sit. Ons soek vir a12a12, dit is, waar n=12n=12:

    a n = a 1 + d · ( n - 1 ) a 12 = 4 + 2 · ( 12 - 1 ) = 4 + 2 ( 11 ) = 4 + 22 = 26 a n = a 1 + d · ( n - 1 ) a 12 = 4 + 2 · ( 12 - 1 ) = 4 + 2 ( 11 ) = 4 + 22 = 26
    (6)
  4. Stap 4. Bereken die aantal terme as an=20an=20 :
    a n = a 1 + d · ( n - 1 ) 20 = 4 + 2 · ( n - 1 ) 20 - 4 = 2 · ( n - 1 ) 16 ÷ 2 = n - 1 8 + 1 = n n = 9 a n = a 1 + d · ( n - 1 ) 20 = 4 + 2 · ( n - 1 ) 20 - 4 = 2 · ( n - 1 ) 16 ÷ 2 = n - 1 8 + 1 = n n = 9
    (7)
  5. Stap 5. Finale antwoord :

    26 mense kan rondom 12 tafels sit en 9 tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

Dit is ook belangrik om te let op die verskil tussen nn en anan: nn kan gesien word as 'n plekhouer, terwyl anan die waarde is by die plek wat "gehou" word deur nn. Soos in ons "Studeertafel" voorbeeld, kan 4 mense rondom die eerste tafel (Tabel 1) sit. Dus, by plek n=1n=1, is die waarde van a1=4a1=4 ensovoorts:

Tabel 3
n n 1 2 3 4 ...
a n a n 4 6 8 10 ...

Ondersoek : Algemene Formule

  1. Vind die algemene formule vir die volgende reekse en vind dan a10a10, a50a50 en a100a100:
    1. 2;5;8;11;14;...2;5;8;11;14;...
    2. 0;4;8;12;16;...0;4;8;12;16;...
    3. 2;-1;-4;-7;-10;...2;-1;-4;-7;-10;...
  2. Hieronder is die algemene formules gegee vir 'n paar reekse. Bereken die terme wat weggelaat is.
    1. 0;3;...;15;240;3;...;15;24       n2-1n2-1
    2. 3;2;1;0;...;-23;2;1;0;...;-2       -n+4-n+4
    3. -11;...;-7;...;-3-11;...;-7;...;-3       -13+2n-13+2n

Patrone en Bewerings

Figuur 5
Khan Academy video oor getalpatrone - 2

In wiskunde is 'n bewering 'n wiskundige stelling wat lyk of dit waar is, maar wat nog nie formeel as waar bewys is nie. 'n Bewering kan gesien word as 'n intelligente raaiskoot of idee wat moontlik 'n patroon kan wees.

Byvoorbeeld: Maak 'n bewering oor die getal wat sal volg, gebaseer op die patroon 2;6;11;17:...2;6;11;17:...

Die getalle vermeerder met 4, dan 5, dan 6.

Bewering: Die volgende getal sal vermeerder met 7. So ons verwag dat die volgende getal 17+7=2417+7=24 sal wees.

Exercise 3: Getalpatrone

Beskou die volgende patroon:

1 2 + 1 = 2 2 - 2 2 2 + 2 = 3 2 - 3 3 2 + 3 = 4 2 - 4 4 2 + 4 = 5 2 - 5 1 2 + 1 = 2 2 - 2 2 2 + 2 = 3 2 - 3 3 2 + 3 = 4 2 - 4 4 2 + 4 = 5 2 - 5
(8)
  1. Voeg nog twee rye by aan die die einde van die patroon.
  2. Maak 'n bewering oor die patroon en druk die bewering uit in woorde.
  3. Veralgemeen die bewering vir die patroon (met ander woorde, beskryf die bewering algebraïes).
  4. Bewys dat die bewering waar is.
Solution
  1. Stap 1. Die volgende twee rye :
    5 2 + 5 = 6 2 - 6 6 2 + 6 = 7 2 - 7 5 2 + 5 = 6 2 - 6 6 2 + 6 = 7 2 - 7
    (9)
  2. Stap 2. Bewering :

    As 'n getal gekwadreer word en die getal dan weer by sy kwadraat getel word, is die resultaat dieselfde as om die volgende getal te kwadreer en dan die getal af te trek van die kwadraat.

  3. Stap 3. Veralgemeen :

    Ons het besluit om xx hier te gebruik. Jy kan enige letter kies om die patroon te veralgemeen.

    x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 ) x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )
    (10)
  4. Stap 4. Bewys :
    Linkerkant x 2 + x Linkerkant x 2 + x
    (11)
    Regterkant : ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 ) Regterkant : ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )
    (12)
    Regterkant = x 2 + 2 x + 1 - x - 1 = x 2 + x = Linkerkant Dus x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 ) Regterkant = x 2 + 2 x + 1 - x - 1 = x 2 + x = Linkerkant Dus x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )
    (13)

Opsomming

  • Daar is 'n hele paar spesiale reekse van getalle:
    • Driehoeksgetalle 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; . . . 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; . . .
    • Vierkantsgetalle 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; . . . 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; . . .
    • Derdemagsgetalle 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; 512 ; 729 ; . . . 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; 512 ; 729 ; . . .
    • Fibonacci Getalle 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; . . . 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; . . .
  • Die algemene formule is a n = a 1 + d · ( n - 1 ) a n = a 1 + d · ( n - 1 ) waar dd die konstante verskil is tussen die verskillende terme en anan is die ndende-term. Ons kan 'n algemene formule uitwerk vir elke getalpatroon en dit gebruik om te voorspel wat enige getal in die patroon sal wees.

Oefeninge

  1. Vind die ndende-term vir: 3;7;11;15;...3;7;11;15;... Kliek hier vir die oplossing
  2. Vind die algemene term vir die volgende reekse:
    1. -2;1;4;7;...-2;1;4;7;...
    2. 11;15;19;23;...11;15;19;23;...
    3. reeks met a3=7a3=7 en a8=15a8=15
    4. reeks met a4=-8a4=-8 en a10=10a10=10
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Die sitplekke in 'n gedeelte van 'n sportstadion kan so gerangskik word dat die eerste ry 15 sitplekke het, die tweede ry 19 sitplekke, die derde ry 23 sitplekke, ens. Bereken hoeveel sitpleke is daar in ry 25. Kliek hier vir die oplossing
  4. 'n Enkele vierkant kan gemaak word van 4 vuurhoutjies. Om twee vierkante langs mekaar te maak het jy 7 vuurhoutjies nodig, om drie vierkante langs mekaar in 'n ry te maak het jy 10 vuurhoutjies nodig. Bepaal:
    1. die eerste term
    2. die konstante verskil
    3. die algemene formule
    4. hoeveel vuurhoutjies benodig word om 25 vierkante langs mekaar te maak
    Figuur 6
    Figuur 6 (MG10C7_004.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Jy wil begin om geld te spaar, maar omdat jy dit nog nooit gedoen het nie, besluit jy om stadig te begin. Aan die einde van die eerste week sit jy R5 in jou bankrekening, aan die einde van die tweede week R10, en aan die einde van die derde week R15. Na hoeveel weke sit jy R50 in jou bankrekening? Kliek hier vir die oplossing
  6. 'n Horisontale lyn kruis 'n tou op vier punte en deel die tou op in 5 dele, soos hieronder gewys word.
    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C7_005.png)
    As die tou 19 keer gekruis word deur ewewydige lyne en elke lyn kruis die tou vier keer op verskillende plekke, bereken in hoeveel dele die tou opgedeel word. Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks