Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Rasionale getalle

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETMaths display tagshide tags

    This module is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 10-12)
    By: Siyavula

    Review Status: In Review

    Click the "FETMaths" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

'n Getal (soos beskryf in die hersieningshoofstuk) is 'n manier om 'n hoeveelheid voor te stel. Die getalle wat op hoërskool gebruik sal word is almal reëel, maar daar is heelwat verskillende maniere om enige gegewe reële getal voor te stel.

Hierdie hoofstuk beskryf rasionale getalle.

Figuur 1
Khan Academy video oor heelgetalle en rasionale getalle (in Engels)

Die oorhoofse beskouing van getalle

Figuur 2
Figuur 2 (MG10C3_001.png)

Die term "heelgetal" het nie 'n konsekwente definisie nie. Verskillende skrywers gebruik dit op verskillende wyses. Ons gebruik die volgende definisies:

  • natuurlike getalle is (1, 2, 3, ...)
  • telgetalle is (0, 1, 2, 3, ...)
  • heelgetalle is (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....)

Definisie

Die volgende getalle is almal rasionaal

10 1 , 21 7 , - 1 - 3 , 10 20 , - 3 6 10 1 , 21 7 , - 1 - 3 , 10 20 , - 3 6
(1)

Jy kan sien dat al die tellers en noemers heelgetalle is.

Definition 1: Rasionale getal

'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as:

a b a b
(2)

waar aa en bb heelgetalle is en b≠0b≠0.

leidraad:

Slegs breuke wat 'n heeltallige teller en noemer het (wat nie 0 is nie), is rasionale getalle.

Dit beteken dat alle heelgetalle rasionaal is, aangesien hulle geskryf kan word met 'n noemer van 1.

Dus is

2 7 , π 20 2 7 , π 20
(3)

nie voorbeelde van rasionale getalle nie, want in elke geval is óf die teller óf die noemer nie 'n heelgetal nie.

'n Getal wat nie geskryf word in die vorm van 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal nie kan nogtans 'n rasionale getal wees. Dit is omdat die vereenvoudigde resultaat wel as 'n kwosiënt van heelgetalle geskryf kan word. Die reël is dat indien 'n getal geskryf kan word as 'n kwosiënt van heelgetalle, dit rasionaal is, selfs al kan dit op 'n manier geskryf word wat nie so 'n kwosiënt is nie. Hier is twee voorbeelde wat dalk nie na rasionale getalle lyk nie, maar nogtans is, omdat daar ekwivalente vorms gevind kan word wat bestaan uit 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal:

- 1 , 33 - 3 = 133 300 , - 3 6 , 39 = - 300 639 = - 100 213 - 1 , 33 - 3 = 133 300 , - 3 6 , 39 = - 300 639 = - 100 213
(4)

Rasionale getalle

  1. Indien aa 'n heelgetal is, bb 'n heelgetal is en cc irrasionaal is, watter van die volgende is rasionale getalle?
    Tabel 1
    (i) 5656(ii) a3a3(iii) b2b2(iv) 1c1c
    Klik hier vir die oplossing
  2. Indien a1a1 'n rasionale getal is, watter van die volgende is geldige waardes vir aa?
    Tabel 2
    (i) 1(ii) -10-10(iii) 22(iv) 2,12,1
    Klik hier vir die oplossing

Vorme van rasionale getalle

Alle heelgetalle en heeltallige kwosiënte is rasionaal. Daar is twee bykomende vorme van rasionale getalle.

Ondersoek: Desimale getalle

Jy kan die rasionale getal 1212 skryf as die desimale getal 0,5. Skryf die volgende getalle as desimale getalle:

  1. 1 4 1 4
  2. 1 10 1 10
  3. 2 5 2 5
  4. 1 100 1 100
  5. 2 3 2 3

Beskou die getalle na die desimale komma. Kom hulle tot 'n einde of gaan hulle voort? Indien hulle voortgaan, is daar 'n herhalende patroon in die getalle?

Jy kan 'n rasionale getal as 'n desimale getal skryf. Twee tipes desimale getalle wat as rasionale getalle geskryf kan word:

  1. Desimale getalle waarvan die nie-nul getalle na die komma tot 'n einde kom of termineer, byvoorbeeld die breuk 410410 kan geskryf word as 0,4.
  2. Desimale getalle wat 'n nimmereindigende herhalende patroon van getalle na die komma het, byvoorbeeld die breuk 1313 kan geskryf word as 0,3˙0,3˙. Die dot beteken dat die 33'e repeteer, m.a.w. 0,333... = 0,3˙0,333... = 0,3˙.

Byvoorbeeld, die rasionale getal 5656 kan in desimale notasie geskryf word as 0,83˙0,83˙ en soortgelyk kan die desimale getal 0,25 soos volg as 'n rasionale getal geskryf word: 1414.

leidraad: Notasie vir repeterende desimale:

Jy kan 'n kol oor die herhalende desimale aanbring om aan te dui dat die desimaal repeterend is.

Omskakeling tussen terminerende desimale getalle en rasionale getalle

'n Desimale getal het 'n heeltallige deel en 'n breukdeel. Byvoorbeeld 10,58910,589 het 'n heeltallige deel van 10 en 'n breukdeel van 0,5890,589 omdat 10+0,589=10,58910+0,589=10,589. Die breukdeel kan geskryf word as 'n rasionale getal, m.a.w. met 'n teller en 'n noemer wat heelgetalle is.

Elke syfer na die desimale komma is 'n breuk met 'n noemer wat 'n vermeerderende mag van 10 is. Byvoorbeeld:

  • 110110 is 0,10,1
  • 11001100 is 0,010,01

Dit beteken dat:

10 , 589 = 10 + 5 10 + 8 100 + 9 1000 = 10 589 1000 = 10589 1000 10 , 589 = 10 + 5 10 + 8 100 + 9 1000 = 10 589 1000 = 10589 1000
(5)

Breuke

  1. Skryf die volgende as breuke:
    Tabel 3
    (a) 0,10,1(b) 0,120,12(c) 0,580,58(d) 0,25890,2589
    Klik hier vir die oplossing

Omskakeling tussen repeterende desimale breuke en rasionale getalle

Wanneer die desimaal repeterend is, is daar 'n bietjie meer werk nodig om die breukdeel van die desimale getal as 'n breuk te skryf. Ons sal verduidelik aan die hand van 'n voorbeeld.

Indien ons 0,3˙0,3˙ in die vorm abab wil skryf (waar aa en bb heelgetalle is), sal ons soos volg te werk gaan:

x = 0 , 33333 ... 10 x = 3 , 33333 ... vermenigvuldig met 10 aan beide kante 9 x = 3 (trek die tweede verg. van die eerste verg. af) x = 3 9 = 1 3 x = 0 , 33333 ... 10 x = 3 , 33333 ... vermenigvuldig met 10 aan beide kante 9 x = 3 (trek die tweede verg. van die eerste verg. af) x = 3 9 = 1 3
(6)

Nog 'n voorbeeld sou wees om 5, 4˙ 3˙ 2˙ 5, 4˙ 3˙ 2˙ as 'n rasionale breuk te skryf.

x = 5 , 432432432 ... 1000 x = 5432 , 432432432 ... vermenigvuldig met 1 000 aan beide kante 999 x = 5427 (trek die tweede verg. van die eerste verg. af) x = 5427 999 = 201 37 x = 5 , 432432432 ... 1000 x = 5432 , 432432432 ... vermenigvuldig met 1 000 aan beide kante 999 x = 5427 (trek die tweede verg. van die eerste verg. af) x = 5427 999 = 201 37
(7)

In die eerste voorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met 10 en in die tweede voorbeeld is dit vermenigvuldig met 1000. Dit is omdat daar in die eerste voorbeeld slegs een repeterende syfer (nl. 3) was, terwyl die tweede voorbeeld drie repeterende syfers (nl. 432) gehad het.

In die algemeen, as jy een repeterende syfer het, vermenigvuldig jy met 10. As jy twee repeterende syfers het, vermenigvuldig jy met 100. Met drie syfers vermenigvuldig jy met 1000. Kan jy al die patroon raaksien?

Die aantal nulle is dieselfde as die aantal repeterende syfers.

Nie alle desimale getalle kan as rasionale getalle geskryf word nie. Hoekom nie? Irrasionale desimale getalle soos 2=1,4142135...2=1,4142135... kan nie geskryf word met 'n heeltallige teller en noemer nie, omdat daar geen patroon van repeterende syfers is nie. Jy behoort egter, so ver moontlik, eerder rasionale getalle of breuke as desimale getalle te gebruik.

Repeterende desimale notasie

  1. Skryf die volgende in repeterende (herhalende) desimale notasie:
    1. 0,11111111...0,11111111...
    2. 0,1212121212...0,1212121212...
    3. 0,123123123123...0,123123123123...
    4. 0,11414541454145...0,11414541454145...
    Klik hier vir die oplossing
  2. Skryf die volgende in repeterende desimale notasie:
    1. 2323
    2. 13111311
    3. 456456
    4. 219219
    Klik hier vir die oplossing
  3. Skryf die volgende in breukvorm:
    1. 0,6333˙0,6333˙
    2. 5,313131¯5,313131¯
    3. 0,999999˙0,999999˙
    Klik hier vir die oplossing

Opsomming

  1. Reële getalle is óf rasionaal óf irrasionaal.
  2. 'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as a b a b waar aa en bb heelgetalle is en b≠0b≠0
  3. Die volgende is rasionale getalle:
    1. Breuke waarvan beide die teller en die noemer heeltallig is
    2. Heelgetalle
    3. Desimale getalle wat eindig
    4. Desimale getalle wat repeteer

Oefeninge

  1. Indien aa 'n heelgetal is, bb 'n heelgetal is en cc irrasionaal is, watter van die volgende is rasionaal?
    1. 5656
    2. a3a3
    3. b2b2
    4. 1c1c
    Klik hier vir die oplossing
  2. Skryf elkeen van die volgende as 'n onegte breuk:
    1. 0,50,5
    2. 0,120,12
    3. 0,60,6
    4. 1,591,59
    5. 12,277˙12,277˙
    Klik hier vir die oplossing
  3. Wys dat die desimaal 3,211˙8˙3,211˙8˙ 'n rasionale getal is.
    Klik hier vir die oplossing
  4. Druk 0,78˙0,78˙ as 'n breuk abab uit waar a,b∈Za,b∈Z (wys alle stappe).
    Klik hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks