Wiskundige fokusareas bestaan bitter selde as 'n entiteit. Daar is dikwels, net soos in die geval van waarskynlikheid, interaksie tussen die onderskeie fokusareas. 'n Basiese begrip van waarskynlikheid is noodsaaklik vir die verstaan van eenvoudige statistiek. Verder is waarskynlikheid grotendeels abstrak sonder statistiek wat dit prakties toepas.

Die waarskynlikheidsteorie behels die voorspelling van die uitkomste van statistiek. 'n Eenvoudige voorbeeld van 'n alledaagse uitkoms is die gooi van 'n muntstuk. Daar is 'n halwe kans dat dit met sy kop na bo land en 'n halwe kans om met sy stert na bo te land. 'n Verdere voorbeeld is 'n dobbelsteen wat die getalle 1,2,3,4,5 of 6 kan produseer.

Normaalweg behoort 'n onsydige muntstuk se totale aantal "kop" uitkomste die 1212 van die aantal gooie te wees en vir 'n onsydige dobbelsteen, behoort elke getal 'n 1616 van die totale aantal gooie uitmaak. Daarom is die waarskynlikheid van een gooi op 'n onsydige muntstuk 1212 en om 'n vier met 'n enkele rol van 'n onsydige dobbelsteen te kry, is 1616.

U is heel moontlik al aan die idee blootgestel dat verskillende situasies verskillende waarskynlikhede het om te gebeur. Soos in die twee voorbeelde hierbo kan daar dikwels 'n spesifieke aantal uitkomste aan 'n spesifieke situasie gekoppel word. Oor die algemeen kan ons alledaagse gebeurtenisse as volg geklassifiseer:

Hierdie hoofstuk bou op vorige kennis en verduidelik hoe om die waarskynlikheid van verskillende situasies te bereken. Dit verduidelik verder hoe waarskynlikheid gebruik word om 'n relatiewe sekerheid aan verskillende situasies toe te ken en alledaagse waarskynlikhede, byvoorbeeld: 'Die MIV-toets is 85% betroubaar' te interpreteer.

Die term ewekansige- of statistieke eksperimente word gebruik om enige herhaalbare eksperment of situasie te beskryf. om enige nuttige inligting uit 'n eksperiment te kry, moet ons eers die volgende drie begrippe verstaan, nl. Uitkoms, gebeurtenis en steekproefruimte.

Uitkomste, steekproefruimte en gebeurtenisse.

Ons gaan twee eksperimente gebruik om die terme te verduidelik:

• Eksperiment 1 is die waarde verkry uit die gooi van een dobbelsteen
• Eksperiment 2 is die waarde verkry uit die gooi van twee dobbelstene op dieselfde tyd

Uitkoms

Die uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van die eksperiment. In die geval van eksperiment 1, sal die gooi van 'n 4 'n enkele uitkoms wees.

Steekproefruimte

Die steekproefruimte van 'n eksperiment is al die moontlike uitkomste van die eksperiment.

• Eksperiment 1 se steekproefruimte is 1,2,3,4,5,6
• Eksperiment 2 se steekproefruimte is 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Gebeurtenisse

'n Gebeurtenis kan gedefinieer word as die kombinasie van uitkomste waarin jy belangstel.

• Eksperiment 1 se gebeurtenis wat kyk na ewegetalle is 2,4,6
• Eksperiment 2 se gebeurtenis is dan 2,4,6,8,10,12

'n Venn-diagram kan gebruik word om die verhouding tussen die uitkomste, steekproefruimte en gebeure van 'n ewekansige eksperiment uit te beeld. Die Venn-diagram in figuur 1 wys die verskil tussen die algemene versameling, 'n steekproefruimte en gebeure en uitkomste as onderafdelings van die steekproefruimte.

Figuur 1: Diagram to show difference between the universal set and the sample space. The sample space is made up of all possible outcomes of a statistical experiment and an event is a subset of the sample space.

Venn-diagramme kan ook gebruik word om die vereniging en snyding tussen gebeure in 'n steekproefruimte uit te beeld (figuur 2).

Figuur 2: Venn diagram to show (left) union of two events, AA and BB, in the sample space SS and (right) intersection of two events AA and BB, in the sample space SS. The crosshatched region indicates the intersection.

Exercise 1: Willekeurige Eksperimente

In 'n boks is stukkies papier met die getalle van 1 tot 9 daarop.

S={1;2;3;4;5;6;7;8;9}S={1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Solution

1. Stap 1. Oorweeg Die Gebeure: :
   • Tekking van 'n priemgetal: P={2;3;5;7}P={2;3;5;7}
   • Trekking van 'n ewe getal: E={2;4;6;8}E={2;4;6;8}
2. Stap 2. Teken 'n Diagram :

   Figuur 3

3. Stap 3. Vind die Vereniging :

   Die vereniging van PP en EE is die versameling van alle elemente in PP of in EE (of in beide). PofE=2,3,4,5,6,7,8PofE=2,3,4,5,6,7,8. PorEPorE word ook geskryf as P∪EP∪E.

4. Stap 4. Vind die Snyding :

   Die snyding van PP en EE is die versameling van alle elemente in beide PP en EE. PandE=2PandE=2. PandEPandE word ook geskryf as P∩EP∩E.

5. Stap 5. Vind die Getal in Elke Stelsel :

   Ons gebruik n(S)n(S) om te verwys na die aantal elemente in 'n steekproefruimte SS, n(X)n(X) vir die aantal elemente in XX, ens.

   ∴ n ( S ) = 9 n ( P ) = 4 n ( E ) = 4 n ( P ∪ E ) = 7 n ( P ∩ E ) = 2 ∴ n ( S ) = 9 n ( P ) = 4 n ( E ) = 4 n ( P ∪ E ) = 7 n ( P ∩ E ) = 2

   (1)

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Ewekansige Eksperimente

1. S={ whole numbers from1 to 16}S={ whole numbers from1 to 16}, X={ even numbers from1 to 16}X={ even numbers from1 to 16} and Y={ prime numbers from1 to 16}Y={ prime numbers from1 to 16}
   1. Teken 'n Venn-diagram SS, XX en YY.
   2. Skryf neer n(S)n(S), n(X)n(X), n(Y)n(Y), n(X∪Y)n(X∪Y), n(X∩Y)n(X∩Y).
   Klik hier vir die oplossing.
2. Daar is 79 Graad 10 leerders by die skool. Almal van hulle vat Wiskunde, Aardrykskunde of Geskiedenis. Die aantal wat Aardrykskunde vat is 41, die wat Geskiedenis vat is 36 en 30 vat Wiskunde. Die aantal wat Wiskunde en Geskiedenis vat is 16; die aantal wat Geskiedenis en Aardrykskunde vat is 6. Dan is daar 8 wat slegs Wiskunde en 16 wat slegs Geskiedenis vat.
   1. Teken 'n Venn-diagram om al die inligting voor te stel.
   2. Hoeveel leerders vat Wiskunde en Aardrykskunde, maar nie Geskiedenis nie?
   3. Hoeveel leerders vat slegs Aardrykskunde?
   4. Hoeveel leerders vat al drie die vakke?
   Klik hier vir die oplossing.
3. Stukkies papier met die getalle 1 tot 12 word in 'n boks geplaas en die boks word geskud. Een stukkie papier word getrek en dan terug geplaas.
   1. Wat is die steekproefruimte, SS ?
   2. Skryf die versameling AA, van die gebeurtenis om 'n faktor van 12 te trek.
   3. Skryf die versameling BB, van die gebeurtenis om 'n priemgetal te trek.
   4. Verteenwoordig AA, BB en SS deur middel van 'n Venn-diagram.
   5. Skryf neer
      1. n(S)n(S)
      2. n(A)n(A)
      3. n(B)n(B)
      4. n(A∩B)n(A∩B)
      5. n(A∪B)n(A∪B)
   6. Is n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)?
   Klik hier vir die oplossing.

Die woord waarskynlikheid verwys na onsekere gebeure of kennis. Kans, dobbel en wed is ander woorde wat soortgelyke idees uitdruk.

Waarskynlikheid word verbind met onsekerheid. In enige statistieke eksperiment, is die uitkomste miskien bekend, maar presies watter een dalk nie. Wiskundig formuleer die waarskynlikheidsteorie onvolledige kennis dat die gebeurtenis wel sal plaasvind. Byvoorbeeld: 'n Weeraanbieder kan sê daar is 'n 60% kans dat dit môre sal reën. Dit beteken dat dit 6 uit elke 10 kere wat die wêreld in dieselfde toestand as môre is, dit sal reën.

'n Waarskynlikheid is 'n reële getal tussen 0 en 1. In omgangstaal word daar dikwils na 'n waarskynlikheid verwys as 'n persentasie tussen 0 en 100. 'n Waarskynlikheid van 100% beteken 'n gebeurtenis is seker, terwyl 'n waarskynlikheid van 0% dikwels beteken die gebeurtenis is onmoontlik. Daar kan egter onderskei word tussen logies onmoontlik en moontlikheid met 'n 0% waarskynlikheid, bv. As 'n getal ewekansig tussen 0 en 1 gekies word, is die waarskynlikheid om 'n 1/2 te kies 0, maar logies weet ons dit is moontlik. Verder is dit seker dat watter getal ook al gekies word, die waarkynlikheid dat dit gekies sou word, sou ook 0 wees.

'n Ander manier om na waarskynlikheid te verwys is kans. Die kans van 'n gebeurtenis word gedefiniëer as die verhouding van die waarskynlikheid dat die gebeurtenis gaan plaasvind en die waarskynlikheid dat dit nie gaan plaasvind nie. Byvoorbeeld: die waarskynlikheid dat 'n muntstuk op 'n gegewe kant land is 0.50.5=10.50.5=1, en word gewoonlik geskryf "1 tot 1" of "1:1". Dit beteken dat die muntstuk gemiddeld ewe veel op albei kante sal land.

Daar is twee maniere om die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis te bepaal:

Relatiewe Frekwensie word gedefiniëer as die aantal kere wat 'n gebeurtenis in 'n eksperiment plaasvind, gedeel deur die aantal kere wat die eksperiment gedoen is.

Dit verg 'n baie groot aantal eksperimente voor die relatiewe frekwensie van gebeurtenis gelyk is aan die waarskynlikheid daarvan. Byvoorbeeld: die data in tabel 1 verteenwoordig die uitkomste van 100 proewe van 'n statistieke eksperiment (die gooi van 'n muntstuk 100 keer).

Die volgende twee voorbeelde wys dat die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis nie noodwendig gelyk is aan die waarskynlikheid daarvan nie. Relatiewe frekwensie behoort dus eerder beskou te word as 'n benaderde waarskynlikheid.

Voer 'n eksperiment uit wat wys dat die relatiewe frekwensie die waarskynlikheid van 'n gegewe uitkoms benader soos wat die aantal proewe toeneem. Doen 10, 20, 50, 100 en 200 proewe van die gooi van 'n muntstuk.

Die volgende uitslae is van toepassing op die waarskynlikheid vir die steekproefruimte SS en twee gebeure AA en BB, binne SS.

The following video provides a brief summary of some of the work covered so far.

Onderling uitsluitende gebeure is gebeure wat nie op dieselfde tyd kan plaasvind nie.

Voorbeelde van onderling uitsluitende gebeure is:

Dit beteken dat as ons die elemente ondersoek wat die stelle AA en BB opmaak, sal daar geen gemeenskaplike elemente wees nie. Daarom, A∩B=∅A∩B=∅ (waar ∅∅ verwys na die leë stel). Since, P(A∩B)=0P(A∩B)=0, vergelyking vergelyking 6 word:

vir onderling uitsluitende gebeure.

Die waarskynlikheid van komplementêre gebeure verwys na die waarskynlikheid dat gebeure nie sal plaasvind nie. Byvoorbeeld: as P(A)=0.25P(A)=0.25, dan is die warskynlikheid dat AA nie gebeur nie dieselfde as die waarskynlikheid dat al die ander gebeure in SS gebeur minder as die waarskynlikheid dat AA gebeur. Dit beteken dat

waar A' verwys na `nie A' Met ander woorde, die waarskynlikheid van `nie A' is gelyk aan een minus die waarskynlikheid van A.