Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Vergelykings en Ongelykhede - Graad 10

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Strategie vir Oplos van Vergelykings

Hierdie hoofstuk handel oor die oplos van verskillende soorte vergelykings met twee veranderlikes. In die algemeen wil ons die onbekende veranderlike alleen aan die linkerkant van die gelykaan teken kry, met al die konstantes aan die regterkant van die gelykaan teken. Byvoorbeeld , in the vergelyking x-1=0x-1=0
, wil ons die vergelyking skryf as x=1x=1.

Soos ons gesien het in hersiening van vorige werk (afdeling wat handel oor herrangskikking van vergelykings), is 'n vergelyking soos 'n weegskaal wat altyd gebalanseerd moet bly. Wanneer ons vergelykings oplos, moet ons in gedagte hou dat wat aan die een kant gedoen word, ook aan die ander kant gedoen moet word.

Metode: Herrangskik Vergelykings

Jy kan 'n getal optel, 'n getal aftrek, met 'n getal vermenigvuldig of met 'n getal deel, solank jy dieselfde bewerking aan beide kante doen.

Byvoorbeeld, in die vergelyking x+5-1=-6x+5-1=-6
, wil ons xx alleen aan die linkerkant van die vergelyking kry. Dit beteken ons moet 5 aftrek en 1 optel aan die linkerkant. Omdat ons die skaal gebalanseerd moet hou, moet ons ook 5 aftrek en 1 optel aan die regterkant.

x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10 x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10
(1)

‘n Ander voorbeeld hiervan is 23x=823x=8. Om xx die onderwerp te maak, moet ons moet aan die linkerkant deel met 2 en vermenigvuldig met 3. Om die vergelyking gebalanseerd te hou moet ons ook aan die regterkant deel met twee en vermenigvuldig met 3.

2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12 2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12
(2)

Hierdie is die basiese reëls wat gevolg moet word wanneer ‘n vergelyking vereenvoudig word. In die meeste gevalle moet die reëls herhaaldelik toegepas word voor ons die gewenste veranderlike as onderwerp het.

leidraad:

Hou ook die volgende in gedagte:
  1. Deel deur 0 is ongedefinieer.
  2. Indien xy=0xy=0, dan is x=0x=0 en y≠0y≠0, omdat deling deur 0 ongedefinieer is.

Nou is ons gereed om vergelykings op te los!

Ondersoek: Strategie vir Oplos van Vergelykings

Identifiseer wat fout is met die volgende.

4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3 4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3
(3)

Oplos van Liniêre Vergelykings

Die eenvoudigste vergelyking om op te los is ‘n liniêre vergelyking. ‘n Vergelyking word liniêr genoem indien die mag van die veranderlike (bv. xx) 1 (een) is.

2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2 2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2
(4)

In hierdie afdeling sal ons leer om te bepaal wat die waarde van ‘n veranderlike moet wees om ‘n vergelyking waar te maak. Byvoorbeeld, watter waarde van xx maak die eenvoudige vergelyking x+1=1x+1=1 waar?

Aangesien die definisie van 'n liniêre vergelyking is dat die mag van die veranderlike hoogstens 1 (een) is, is daar hoogstens een oplossing van die vergelyking. Die oplossing van ‘n vergelyking word ook ‘n wortel van die vergelyking genoem.

Hierdie afdeling gebruik die metodes wat tot dusver bespreek is: vermenigvuldiging van uitdrukkings, groepering van terme en faktorisering. Maak seker dat jy gemaklik is met hierdie metodes voordat jy die res van die werk in hierdie hoofstuk aanpak.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( soortgelyke terme gegroepeer ) 2 x = - 1 ( vereenvoudig sover as moontlik ) 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( soortgelyke terme gegroepeer ) 2 x = - 1 ( vereenvoudig sover as moontlik )
(5)

Ons kan sien dat 2x=-12x=-1. Dit beteken as ons deur 2 deel, sal ons die volgende kry:

x = - 1 2 x = - 1 2
(6)

Indien ons in die oorspronklike vergelyking x=-12x=-12 vervang, kry ons:

L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1 L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1
(7)

Dit is die basiese beginsels waarvolgens liniêre vergelykings opgelos word.

leidraad:

Oplos van Vergelykings

Wanneer jy die oplossing van ‘n vergelyking gevind het, vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking, om jou antwoord te bevestig.

Metode: Oplos van Vergelykings

Die algemene stappe om vergelykings op te los is:

  1. Brei die hakies uit. (Raak ontslae van die hakies).
  2. Neem die terme wat die veranderlike bevat, na die linkerkant van die vergelyking, en al die konstante terme (getalle sonder die veranderlike) na die regterkant van die vergelyking. Hou in gedagte dat die teken van die terme verander van (++) na (--), en omgekeerd, wanneer die terme na die ander kant van die gelykaanteken geneem word.
  3. Groepeer alle soortgelyke terme en vereenvoudig soveel as moontlik.
  4. Faktoriseer indien nodig.
  5. Vind die oplossing.
  6. Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking om die antwoord te bevestig.

Figuur 1
Khan academy video on equations - 1

Exercise 1: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 4-x=44-x=4

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gevra word en wat gegee is :

    Ons word die volgende gegee: 4-x=44-x=4 en ons moet oplos vir xx.

  2. Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak :

    Aangesien daar geen hakies is nie, kan ons begin om soortgelyke terme te groepeer en dan te vereenvoudig.

  3. Stap 3. Los die probleem algebraies op :
    4 - x = 4 - x = 4 - 4 ( Neem alle konstante terme (getalle) na die RK (regterkant) ) - x = 0 ( groepeer soortgelyke terme ) - x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - x = 0 ∴ x = 0 4 - x = 4 - x = 4 - 4 ( Neem alle konstante terme (getalle) na die RK (regterkant) ) - x = 0 ( groepeer soortgelyke terme ) - x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - x = 0 ∴ x = 0
    (8)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord :

    Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking:

    4 - 0 = 4 4 - 0 = 4
    (9)
    4 = 4 4 = 4
    (10)

    Aangesien die twee kante (LK en RK) dieselfde resultaat lewer, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer. :

    Die oplossing van 4-x=44-x=4 is x=0x=0.

Exercise 2: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gevra word en wat gegee is :

    Ons word gegee 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x en moet oplos vir xx.

  2. Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak :

    Ons begin deur die hakies uit te brei, groepeer soortgelyke terme en los dan op.

  3. Stap 3. Los die probleem algebraies op :
    4 ( 2 x - 9 ) - 4 x = 4 - 6 x 8 x - 36 - 4 x = 4 - 6 x ( brei die hakies uit ) 8 x - 4 x + 6 x = 4 + 36 (neem al die terme met x na die LK en al die konstante terme na die RK) ( 8 x - 4 x + 6 x ) = ( 4 + 36 ) ( groepeer soortgelyke terme ) 10 x = 40 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) 10 10 x = 40 10 ( deel elke kant met 10 ) x = 4 4 ( 2 x - 9 ) - 4 x = 4 - 6 x 8 x - 36 - 4 x = 4 - 6 x ( brei die hakies uit ) 8 x - 4 x + 6 x = 4 + 36 (neem al die terme met x na die LK en al die konstante terme na die RK) ( 8 x - 4 x + 6 x ) = ( 4 + 36 ) ( groepeer soortgelyke terme ) 10 x = 40 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) 10 10 x = 40 10 ( deel elke kant met 10 ) x = 4
    (11)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord :

    Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking:

    4 ( 2 ( 4 ) - 9 ) - 4 ( 4 ) = 4 - 6 ( 4 ) 4 ( 8 - 9 ) - 16 = 4 - 24 4 ( - 1 ) - 16 = - 20 - 4 - 16 = - 20 - 20 = - 20 4 ( 2 ( 4 ) - 9 ) - 4 ( 4 ) = 4 - 6 ( 4 ) 4 ( 8 - 9 ) - 16 = 4 - 24 4 ( - 1 ) - 16 = - 20 - 4 - 16 = - 20 - 20 = - 20
    (12)

    Aangesien die LK en RK gelyk is aan -20-20, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :

    Die oplossing van 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x is x=4x=4.

Exercise 3: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 2-x3x+1=22-x3x+1=2

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gevra word en wat gegee is :

    Ons is gegee 2-x3x+1=22-x3x+1=2 en moet oplos vir xx.

  2. Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak :

    Aangesien daar 'n noemer (deler) is van (3x+13x+1), kan ons begin deur beide kante te vermenigvuldig met (3x+13x+1). Aangesien deel deur 0 nie toegelaat word nie, is daar 'n beperking op die waarde van x. (x≠-13x≠-13)

  3. Stap 3. Los die probleem algebraies op :
    2 - x 3 x + 1 = 2 ( 2 - x ) = 2 ( 3 x + 1 ) 2 - x = 6 x + 2 ( brei hakies uit ) - x - 6 x = 2 - 2 (neem al die terme wat x bevat na die LK en al die konstante terme na die RK) - 7 x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) x = 0 ÷ ( - 7 ) x = 0 (nul gedeel deur enige getal is nul) 2 - x 3 x + 1 = 2 ( 2 - x ) = 2 ( 3 x + 1 ) 2 - x = 6 x + 2 ( brei hakies uit ) - x - 6 x = 2 - 2 (neem al die terme wat x bevat na die LK en al die konstante terme na die RK) - 7 x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) x = 0 ÷ ( - 7 ) x = 0 (nul gedeel deur enige getal is nul)
    (13)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord:

    Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking:

    2 - ( 0 ) 3 ( 0 ) + 1 = 2 2 1 = 2 2 - ( 0 ) 3 ( 0 ) + 1 = 2 2 1 = 2
    (14)

    Aangesien beide kante gelyk is aan 2, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :

    Die oplossing van 2-x3x+1=22-x3x+1=2 is x=0x=0.

Exercise 4: Solving Linear Equations

Oplos van Liniêre Vergelykingsxx: 43x-6=7x+243x-6=7x+2

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gevra word en wat gegee is :

    Ons word gegee 43x-6=7x+243x-6=7x+2 en moet oplos vir xx.

  2. Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak :

    Ons begin deur elke term te vermenigvuldig met 3, groepeer soortgelyke terme en dan te vereenvoudig.

  3. Stap 3. Los die probleem algebraies op :
    4 3 x - 6 = 7 x + 2 4 x - 18 = 21 x + 6 ( Elke term word vermenigvuldig met 3 ) 4 x - 21 x = 6 + 18 (neem die terme met x na die LK en die konstante terme na die RK) - 17 x = 24 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - 17 - 17 x = 24 - 17 ( deel beide kante met -17 ) x = - 24 17 4 3 x - 6 = 7 x + 2 4 x - 18 = 21 x + 6 ( Elke term word vermenigvuldig met 3 ) 4 x - 21 x = 6 + 18 (neem die terme met x na die LK en die konstante terme na die RK) - 17 x = 24 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - 17 - 17 x = 24 - 17 ( deel beide kante met -17 ) x = - 24 17
    (15)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord :

    Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking:

    4 3 × - 24 17 - 6 = 7 × - 24 17 + 2 4 × ( - 8 ) ( 17 ) - 6 = 7 × ( - 24 ) 17 + 2 ( - 32 ) 17 - 6 = - 168 17 + 2 - 32 - 102 17 = ( - 168 ) + 34 17 - 134 17 = - 134 17 4 3 × - 24 17 - 6 = 7 × - 24 17 + 2 4 × ( - 8 ) ( 17 ) - 6 = 7 × ( - 24 ) 17 + 2 ( - 32 ) 17 - 6 = - 168 17 + 2 - 32 - 102 17 = ( - 168 ) + 34 17 - 134 17 = - 134 17
    (16)

    Aangesien beide kante gelyk is aan -13417-13417, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer. :

    Die oplossing van 43x-6=7x+243x-6=7x+2 is,   x=-2417x=-2417.

Oplos van Liniêre Vergelykings

  1. Los op vir yy: 2y-3=72y-3=7
    Klik hier vir die oplossing
  2. Los op vir ww: -3w=0-3w=0
    Klik hier vir die oplossing
  3. Los op vir zz: 4z=164z=16
    Klik hier vir die oplossing
  4. Los op vir tt: 12t+0=14412t+0=144
    Klik hier vir die oplossing
  5. Los op vir xx: 7+5x=627+5x=62
    Klik hier vir die oplossing
  6. Los op vir yy: 55=5y+3455=5y+34
    Klik hier vir die oplossing
  7. Los op vir zz: 5z=3z+455z=3z+45
    Klik hier vir die oplossing
  8. Los op vir aa: 23a-12=6+2a23a-12=6+2a
    Klik hier vir die oplossing
  9. Los op vir bb: 12-6b+34b=2b-24-6412-6b+34b=2b-24-64
    Klik hier vir die oplossing
  10. Los op vir cc: 6c+3c=4-5(2c-3)6c+3c=4-5(2c-3)
    Klik hier vir die oplossing
  11. Los op vir pp: 18-2p=p+918-2p=p+9
    Klik hier vir die oplossing
  12. Los op vir qq: 4q=16244q=1624
    Klik hier vir die oplossing
  13. Los op vir qq: 41=q241=q2
    Klik hier vir die oplossing
  14. Los op vir rr: -(-16-r)=13r-1-(-16-r)=13r-1
    Klik hier vir die oplossing
  15. Los op vir dd: 6d-2+2d=-2+4d+86d-2+2d=-2+4d+8
    Klik hier vir die oplossing
  16. Los op vir ff: 3f-10=103f-10=10
    Klik hier vir die oplossing
  17. Los op vir vv: 3v+16=4v-103v+16=4v-10
    Klik hier vir die oplossing
  18. Los op vir kk: 10k+5+0=-2k+-3k+8010k+5+0=-2k+-3k+80
    Klik hier vir die oplossing
  19. Los op vir jj: 8(j-4)=5(j-4)8(j-4)=5(j-4)
    Klik hier vir die oplossing
  20. Los op vir mm: 6=6(m+7)+5m6=6(m+7)+5m
    Klik hier vir die oplossing

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

‘n Kwadratiese vergelyking is ‘n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 (twee) is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.

2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2 2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2
(17)

Kwadratiese vergelykings verskil van liniêre vergelykings in dat ‘n liniêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl ‘n kwadratiese vergelyking hoogstens twee oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar ‘n kwadratiese vergelyking slegs een oplossing het.

Om ‘n kwadratiese vergelyking op te los herskryf ons dit as ‘n produk van twee liniêre uitdrukkings, in hakies. Ons weet byvoorbeeld dat:

( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3 . ( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3 .
(18)

Om die volgende op te los,

2 x 2 - x - 3 = 0 2 x 2 - x - 3 = 0
(19)

moet ons 2x2-x-32x2-x-3 herskryf as (x+1)(2x-3)(x+1)(2x-3), en ons weet hoe om dit te los.

Ondersoek: Faktorisering van 'n Kwadratiese Vergelyking

Faktoriseer die volgende quadratic expressions:

  1. x + x 2 x + x 2
  2. x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 + 2 x
  3. x 2 - 4 x + 5 x 2 - 4 x + 5
  4. 16 x 2 - 9 16 x 2 - 9
  5. 4 x 2 + 4 x + 1 4 x 2 + 4 x + 1

Indien jy 'n kwadratiese vergelyking kan faktoriseer, is jy een stap weg van 'n oplossing. Byvoorbeeld, x2-3x-2=0x2-3x-2=0 kan geskryf word as (x-1)(x-2)=0(x-1)(x-2)=0. Dit beteken dat x-1=0x-1=0 enx-2=0x-2=0, wat x=1x=1 en x=2x=2 lewer as die twee oplossings vir die kwadratiese vergelyking x2-3x-2=0x2-3x-2=0.

Metode: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

  1. Deel die vergelyking deur gemene faktore van al die koeffisiënte, om die vergelyking te kry in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, waar aa, bb en cc geen gemene faktore het nie. Byvoorbeeld 2x2+4x+2=02x2+4x+2=0
    kan geskryf word as x2+2x+1=0x2+2x+1=0
    deur regdeur met 2 te deel.
  2. Skryf ax2+bx+cax2+bx+c in terme van liniêre faktore (rx+s)(ux+v)(rx+s)(ux+v). Dit beteken dat (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0.
  3. UIt die vorm (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0 volg dat die oplossings x=-srx=-sr en x=-uvx=-uv is.
  4. Vervang elke oplossing in die oorspronklike vergelyking om te bevestig dat die oplossing is geldig.

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Daar is twee oplossings van 'n kwadratiese vergelyking, aangesien enige een van die wortels die vergelykings kan oplos.

Figuur 2
Khan academy video on equations - 3

Exercise 5: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0

Solution
  1. Stap 1. Vind die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 :

    Soos ons gesien het, is die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 , (x+1)(x+1) en (3x-1)(3x-1).

  2. Stap 2. Skryf die vergelyking virdie faktore :
    ( x + 1 ) ( 3 x - 1 ) = 0 ( x + 1 ) ( 3 x - 1 ) = 0
    (20)
  3. Stap 3. Bepaal die twee oplossings :

    Ons het

    x + 1 = 0 x + 1 = 0
    (21)

    of

    3 x - 1 = 0 3 x - 1 = 0
    (22)

    Dit volg dus dat x=-1x=-1 of x=13x=13.

  4. Stap 4. Bevestig die oplossings: Vul die oplossings (wortels) in die oorspronklike vergelyking en bevestig dat LK = RK.
  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :

    3x2+2x-1=03x2+2x-1=0
    vir x=-1x=-1 of x=13x=13.

Dit mag gebeur dat die vergelyking met eerste oogopslag nie soos 'n kwadratiese vergelyking lyk nie, maar deur 'n paar bewerkinge in een verander kan word. Onthou dat dieselfde bewerkinge aan elke kant gedoen moet word om die vergelyking geldig (waar) te hou.

Dit is moontlik dat een (of 'n kombinasie van) van die volgende nodig is:

  • Vermenigvuldig aan beide kante: Byvoorbeeld,
    ax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=cax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=c
    (23)
  • Neem die inverse van beide kante: Verhef die hele LK en die hele RK tot die mag -1-1. Byvoorbeeld,
    1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c
    (24)
  • Neem die kwadraat van beide kante: Verhef die hele LK en die hele RK tot die mag 2. Byvoorbeeld,
    ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2
    (25)

Jy kan hierdie metodes op verskeie maniere kombineer en gebruik. Doen soveel moontlik oefenprobleme om ‘n gevoel te ontwikkel vir watter metodes om te gebruik. 'n Kombinasie van bewerkinge is byvoorbeeld:

1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( neem die inverse van beide kante ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer beide kante ) a x 2 + b x = 1 c 2 1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( neem die inverse van beide kante ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer beide kante ) a x 2 + b x = 1 c 2
(26)

Exercise 6: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: x+2=xx+2=x

Solution
  1. Stap 1. Kwadreer beide kante van die vergelyking :

    Beide kante van die vergelyking moet kwadreer word om ontslae te raak van die wortel operator.

    x + 2 = x 2 x + 2 = x 2
    (27)
  2. Stap 2. Skryf die vergelykings in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
    x + 2 = x 2 ( trek x 2 van beide kante af ) x + 2 - x 2 = 0 ( vermenigvuldig beide kante met -1 ) - x - 2 + x 2 = 0 x 2 - x + 2 = 0 x + 2 = x 2 ( trek x 2 van beide kante af ) x + 2 - x 2 = 0 ( vermenigvuldig beide kante met -1 ) - x - 2 + x 2 = 0 x 2 - x + 2 = 0
    (28)
  3. Stap 3. Faktoriseer die kwadratiese vergelyking :
    x 2 - x + 2 x 2 - x + 2
    (29)

    Die faktore van x2-x+2x2-x+2 is (x-2) en (x+1)(x-2) en (x+1).

  4. Stap 4. Skryf die vergelyking met die faktore :
    ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0
    (30)
  5. Stap 5. Bepaal die twee oplossings :

    Ons het

    x + 1 = 0 x + 1 = 0
    (31)

    of

    x - 2 = 0 x - 2 = 0
    (32)

    Daarom, x=-1x=-1 or x=2x=2.

  6. Stap 6. Kyk of die oplossings geldig is :

    Vervang x=-1x=-1
    in die oorspronklike vergelyking x+2=xx+2=x:

    L K = ( - 1 ) + 2 = 1 = 1 maar R K = ( - 1 ) L K = ( - 1 ) + 2 = 1 = 1 maar R K = ( - 1 )
    (33)

    Daarom is LK ≠≠RK. Die tweekante van ‘n vergelyking moet altyd uitbalanseer, ‘n Potensiele oplossing wat nie die vergelying bevredig nie (nie die vergelyking laat balanseer nie) is nie geldig nie. In hierdie geval balanseer die vergelyking nie.

    Daarom is x≠-1x≠-1.

    Vervang nou x=2x=2 in die oorspronklike vergelyking x+2=xx+2=x:

    L K = 2 + 2 = 4 = 2 en R K = 2 L K = 2 + 2 = 4 = 2 en R K = 2
    (34)

    Dus is LHS = RHS

    Ons kan dus sê x=2x=2 is die enigste geldige oplossing van die vergelyking

  7. Stap 7. Skryf die finale vergelyking :

    x+2=xx+2=x vir slegs x=2x=2.

Exercise 7: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los die vergelyking op: x2+3x-4=0x2+3x-4=0.

Solution
  1. Stap 1. Kyk of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 is :

    Die vergelyking is in die regte vorm, met a=1a=1.

  2. Stap 2. Faktoriseer die kwadratiese vergelyking :

    Jy benodig faktore van 1 en 4 sodat die middelterm +3+3is. Die faktroe is dus::

    ( x - 1 ) en ( x + 4 ) ( x - 1 ) en ( x + 4 )

  3. Stap 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
    x 2 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x + 4 ) = 0 x 2 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x + 4 ) = 0
    (35)

    Daarom is x=1x=1 of x=-4x=-4.

  4. Stap 4. Skryf die finale oplossing :

    Die oplossings is x=1x=1 of x=-4x=-4.

Exercise 8: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2.

Solution
  1. Stap 1. Bepaal of die vergelyking in die volgende form is: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, en maak seker dat die koeffisiënte nie gemeenskaplike faktore het nie. :

    Daar is ‘n gemeenskaplike faktor, naamlik -2. Ons deel daarom aan beide kante met -2.

    - 2 x 2 + 4 x - 2 = 0 x 2 - 2 x + 1 = 0 - 2 x 2 + 4 x - 2 = 0 x 2 - 2 x + 1 = 0
    (36)
  2. Stap 2. Faktoriseer x2-2x+1x2-2x+1 :

    Die middelterm is negatief. Daarom is die faktore (x-1) en (x-1)(x-1) en (x-1)

    As ons uitvermenigvuldig (x-1)(x-1)(x-1)(x-1), kry ons x2-2x+1x2-2x+1.

  3. Stap 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
    x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 ) = 0 x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 ) = 0
    (37)

    In hierdie geval is die kwadratiese vergelyking vierkantig, so daar is net 1 oplossing. for xx: x=1x=1.

  4. Stap 4. Skryf die finale oplossing neer :

    Die wortel van 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2 is x=1x=1.

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

  1. Los op vir xx: (3x+2)(3x-4)=0(3x+2)(3x-4)=0
    Klik hier vir die oplossing
  2. Los op vir aa: (5a-9)(a+6)=0(5a-9)(a+6)=0
    Klik hier vir die oplossing
  3. Los op vir xx: (2x+3)(2x-3)=0(2x+3)(2x-3)=0
    Klik hier vir die oplossing
  4. Los op vir xx: (2x+1)(2x-9)=0(2x+1)(2x-9)=0
    Klik hier vir die oplossing
  5. Los op vir xx: (2x-3)(2x-3)=0(2x-3)(2x-3)=0
    Klik hier vir die oplossing
  6. Los op vir xx: 20x+25x2=020x+25x2=0
    Klik hier vir die oplossing
  7. Los op vir aa: 4a2-17a-77=04a2-17a-77=0
    Klik hier vir die oplossing
  8. Los op vir xx: 2x2-5x-12=02x2-5x-12=0
    Klik hier vir die oplossing
  9. Los op vir bb: -75b2+290b-240=0-75b2+290b-240=0
    Klik hier vir die oplossing
  10. Los op vir yy: 2y=13y2-3y+14232y=13y2-3y+1423
    Klik hier vir die oplossing
  11. Los op vir θθ: θ2-4θ=-4θ2-4θ=-4
    Klik hier vir die oplossing
  12. Los op vir qq: -q2+4q-6=4q2-5q+3-q2+4q-6=4q2-5q+3
    Klik hier vir die oplossing
  13. Los op vir tt: t2=3tt2=3t
    Klik hier vir die oplossing
  14. Los op vir ww: 3w2+10w-25=03w2+10w-25=0
    Klik hier vir die oplossing
  15. Los op vir vv: v2-v+3v2-v+3
    Klik hier vir die oplossing
  16. Los op vir xx: x2-4x+4=0x2-4x+4=0
    Klik hier vir die oplossing
  17. Los op vir tt: t2-6t=7t2-6t=7
    Klik hier vir die oplossing
  18. Los op vir xx: 14x2+5x=614x2+5x=6
    Klik hier vir die oplossing
  19. Los op vir tt: 2t2-2t=122t2-2t=12
    Klik hier vir die oplossing
  20. Los op vir yy: 3y2+2y-6=y2-y+23y2+2y-6=y2-y+2
    Klik hier vir die oplossing

Eksponensiële Vergelykings van die Vorm ka(x+p)=mka(x+p)=m

Eksponensiële vergelykings het in die algemeen die veranderlike as die mag. Die volgende is voorbeelde van eksponensiële vergelykings:

2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2
(38)

Jy behoort reeds vertroud te wees met eksponensiële notasie. Oplos van eksponensiële vergelykings is eenvoudig, solank ons onthou hoe om die eksponentwette toe te pas.

Ondersoek: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los die volgende vergelykings op deur die tabel te voltooi:

Tabel 1
2 x = 2 2 x = 2 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
2 x 2 x              
Tabel 2
3 x = 9 3 x = 9 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
3 x 3 x              
Tabel 3
2 x + 1 = 8 2 x + 1 = 8 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
2 x + 1 2 x + 1              

Algebraiese Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Definition 1: Gelykheid van Eksponensiële Funksies

Indien aa ‘n positiewe getal is sodat a>0a>0, (behalwe as a=1a=1
) dan is:

a x = a y a x = a y
(39)

as en slegs as:

x = y x = y
(40)
(As a=1a=1, dan kan xx en yy verskillend wees en die vergelyking steeds waar wees selfs indien x nie gelyk is aan y nie)

Dit beteken indien ons al die terme in terme met dieselfde grondtal kan skryf, kan ons die eksponensiële vergelykings oplos deur die eksponente gelyk te stel. Neem byvoorbeeld die vergelyking 3x+1=93x+1=9. Dit kan geskryf word as

3 x + 1 = 3 2 . 3 x + 1 = 3 2 .
(41)

Aangesien die grondtalle gelyk is (aan 3) en ook is LK = RK, weet ons dat die eksponente ook gelyk moet wees. Daarom kan ons skryf:

x + 1 = 2 . x + 1 = 2 .
(42)

Dit lewer:

x = 1 . x = 1 .
(43)

Metode: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

  1. Probeer om al die terme met dieselfde grondtal te skryf.
  2. Stel die eksponente van die grondtalle van die LK en RK gelyk.
  3. Los die vergelyking wat in die vorige stap verkry is op.
  4. Bevestig die antwoorde
Ondersoek : Eksponensiële Getalle

Skryf die volgende met dieselfde grondtal. Die grondtal is eerste in die lys. Byvoorbeeld in die lys 2, 4, 8, is die grondtal twee(2) en ons kan 4 skryf as 2222.

  1. 2,4,8,16,32,64,128,512,1024
  2. 3,9,27,81,243
  3. 5,25,125,625
  4. 13,169
  5. 2x2x, 4x24x2, 8x38x3, 49x849x8
Exercise 9: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op vir xx: 2x=22x=2

Solution
  1. Stap 1. Probeer al die terme skryf met dieselfde grondtal. :

    Al die terme word met dieselfde grondtal geskryf.

    2 x = 2 1 2 x = 2 1
    (44)
  2. Stap 2. Stel die eksponente gelyk :
    x = 1 x = 1
    (45)
  3. Stap 3. Bevestig die antwoord :
    LK = 2 x = 2 1 = 2 RK = 2 1 = 2 = LK LK = 2 x = 2 1 = 2 RK = 2 1 = 2 = LK
    (46)

    Aangesien die kante van die vergelyking gelyk is, is die antwoord korrek.

  4. Stap 4. Skryf die finale antwoord :
    x = 1 x = 1
    (47)

    is die oplossing van 2x=22x=2.

Exercise 10: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op:

2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 4 2 x
(48)
Solution
  1. Stap 1. Probeer al die terme met dieselfde grondtal te skryf. :
    2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 2 2 ( 2 x ) 2 x + 4 = 2 4 x 2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 2 2 ( 2 x ) 2 x + 4 = 2 4 x
    (49)
  2. Stap 2. Stel die eksponente gelyk :
    x + 4 = 4 x x + 4 = 4 x
    (50)
  3. Stap 3. Los op vir xx :
    x + 4 = 4 x x - 4 x = - 4 - 3 x = - 4 x = - 4 - 3 x = 4 3 x + 4 = 4 x x - 4 x = - 4 - 3 x = - 4 x = - 4 - 3 x = 4 3
    (51)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord :
    LK = 2 x + 4 = 2 ( 4 3 + 4 ) = 2 16 3 = ( 2 16 ) 1 3 RK = 4 2 x = 4 2 ( 4 3 ) = 4 8 3 = ( 4 8 ) 1 3 = ( ( 2 2 ) 8 ) 1 3 = ( 2 16 ) 1 3 = LK LK = 2 x + 4 = 2 ( 4 3 + 4 ) = 2 16 3 = ( 2 16 ) 1 3 RK = 4 2 x = 4 2 ( 4 3 ) = 4 8 3 = ( 4 8 ) 1 3 = ( ( 2 2 ) 8 ) 1 3 = ( 2 16 ) 1 3 = LK
    (52)

    Aangesien die kante van die vergelyking gelyk is, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :
    x = 4 3 x = 4 3
    (53)

    is die oplossing van 2x+4=42x2x+4=42x.

Oplos van Eksponensiële Vergelykings
  1. Los die volgende eksponensiële vergelykings op.
    Tabel 4
    a. 2x+5=252x+5=25b. 32x+1=3332x+1=33c. 52x+2=5352x+2=53
    d. 65-x=61265-x=612e. 64x+1=162x+564x+1=162x+5f. 125x=5125x=5
    Klik hier vir die oplossing
  2. Los op: 39x-2=2739x-2=27
    Klik hier vir die oplossing
  3. Los op vir kk: 81k+2=27k+481k+2=27k+4
    Klik hier vir die oplossing
  4. Die groei van alg in ‘n poel kan gemodelleer word met die funksie f(t)=2tf(t)=2t. Vind die waarde van tt sodat f(t)=128f(t)=128
    Klik hier vir die oplossing
  5. Los op vir xx: 25(1-2x)=5425(1-2x)=54
    Klik hier vir die oplossing
  6. Los op vir xx: 27x×9x-2=127x×9x-2=1
    Klik hier vir die oplossing

Liniêre Ongelykhede

Ondersoek : Ongelykhede op ‘n getallelyn

Stel die volgende voor op getallelyne:

  1. x = 4 x = 4
  2. x < 4 x < 4
  3. x ≤ 4 x ≤ 4
  4. x ≥ 4 x ≥ 4
  5. x > 4 x > 4

’n Liniêre ongelykheid is soortgelyk aan ‘n liniêre vergelyking aangesien die hoogste eksponent van die veranderlike is 1. Die volgende is voorbeelde van liniêre ongelykheid.

2 x + 2 ≤ 1 2 - x 3 x + 1 ≥ 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2 2 x + 2 ≤ 1 2 - x 3 x + 1 ≥ 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2
(54)

Die metodes wat gebruik word om liniêre ongelykhede op te los is identies aan dié wat gebruik word om liniêre vergelykings op te los. Die enigste verskil kom voor wanneer daar ‘n vermenigvuldiging met of deling deur ‘n negatiwe getal is. Ons weet byvoorbeeld dat 8>68>6. As ons aan beide kante van die ongelykheid deel deur -2-2: -4-4 is nie groter as -3-3 nie. Die ongelykheid moet omkeer, wat beteken -4<-3-4<-3.

leidraad:

Wanneer beide kante van ‘n ongelykhied met ‘n negatiewe getal vermenigvuldig word, of met ‘n negatiewe getal gedeel word, verander die rigting van die ongelykheid. Vir hierdie rede kan ons nie met ‘n veranderlike vermenigvuldig nie – ons weet nie wat ‘n onbekende (veranderlike) se teken is nie.

Byvoorbeeld, indien x<1x<1, dan is -x>-1-x>-1.

Om ‘n ongelykheid met ‘n gewone vergelyking te vergelyk, sal ons eers die gewone vergelyking oplos. Los op: 2x+2=12x+2=1.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2
(55)

As ons hierdie op ‘n getallelyn voorstel kry ons

Figuur 3
Figuur 3 (MG10C10_001.png)

Kom ons los nou die volgende ongelykheid op 2x+2≤12x+2≤1.

2 x + 2 ≤ 1 2 x ≤ 1 - 2 2 x ≤ - 1 x ≤ - 1 2 2 x + 2 ≤ 1 2 x ≤ 1 - 2 2 x ≤ - 1 x ≤ - 1 2
(56)

As ons die antwoord op ‘n getallelyn voorstel, kry ons

Figuur 4
Figuur 4 (MG10C10_002.png)

Soos jy kan sien, vir die vergelyking, is daar slegs ‘n enkele waarde xx waarvoor die vergelyking waar is. Vir die ongelykheid is daar egter ‘n hele versameling waardes waarvoor die ongelykheid waar is. Dit is die groot verskil tussen gewone vergelykings (gelykhede) en ongelykhede.

Figuur 5
Khan academy video on inequalities - 1

Figuur 6
Khan academy video on inequalities - 2

Exercise 11: Liniêre Ongelykhede

Los op vir rr: 6-r>26-r>2

Solution

  1. Stap 1. Beweeg al die konstantes na die RK :
    - r > 2 - 6 - r > - 4 - r > 2 - 6 - r > - 4
    (57)
  2. Stap 2. Vermenigvuldig beide kante met -1 :

    Wanneer jy vermenigvuldig met ‘n minus (met ‘n negatiewe getal), verander die rigting van die ongelykheidsteken

    r < 4 r < 4
    (58)
  3. Stap 3. Stel die antwoord grafies voor :

    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C10_003.png)

Exercise 12: Liniere Ongelykhede

Solve for qq: 4q+3<2(q+3)4q+3<2(q+3) en verteenwoordig die oplossing op ‘n getallelyn.

Solution

  1. Stap 1. Brei die hakies uit :
    4 q + 3 < 2 ( q + 3 ) 4 q + 3 < 2 q + 6 4 q + 3 < 2 ( q + 3 ) 4 q + 3 < 2 q + 6
    (59)
  2. Stap 2. Neem al die konstantes na die RK en al die onbekendes na die LK. :
    4 q + 3 < 2 q + 6 4 q - 2 q < 6 - 3 2 q < 3 4 q + 3 < 2 q + 6 4 q - 2 q < 6 - 3 2 q < 3
    (60)
  3. Stap 3. Los die volgende ongelykheid op :
    2 q < 3 Deel beide kante deur 2 q < 3 2 2 q < 3 Deel beide kante deur 2 q < 3 2
    (61)
  4. Stap 4. Stel die antwoord grafies voor :

    Figuur 8
    Figuur 8 (MG10C10_004.png)

Exercise 13: Saamgestelde Liniêre Ongelykhede

Los op vir xx: 5≤x+3<85≤x+3<8 en stel die antwoord op ‘n getallelyn voor.

Solution

  1. Stap 1. Trek 3 af van die linker, middel en regter dele van die saamgestelde ongelykheid. :
    5 - 3 ≤ x + 3 - 3 < 8 - 3 2 ≤ x < 5 5 - 3 ≤ x + 3 - 3 < 8 - 3 2 ≤ x < 5
    (62)
  2. Stap 2. Stel die antwoord grafies voor :

    Figuur 9
    Figuur 9 (MG10C10_005.png)

Liniere Ongelykheid

  1. Los op vir xx en stel die antwoord grafies voor:
    1. 3x+4>5x+83x+4>5x+8
    2. 3(x-1)-2≤6x+43(x-1)-2≤6x+4
    3. x-73>2x-32x-73>2x-32
    4. -4(x-1)<x+2-4(x-1)<x+2
    5. 12x+13(x-1)≥56x-1312x+13(x-1)≥56x-13
    Klik hier vir die oplossing.
  2. Los die volgende ongelykhede op. Stel jou antwoord op ‘n getallelyn voor indien xx ‘n reële getal is.
    1. -2≤x-1<3-2≤x-1<3
      Klik hier vir die oplossing
    2. -5<2x-3≤7-5<2x-3≤7
      Klik hier vir die oplossing
  3. Los op vir xx: 7(3x+2)-5(2x-3)>77(3x+2)-5(2x-3)>7
    stel die antwoord voor op ‘n getallelyn.
    Klik hier vir die oplossing

Liniêre Gelyktydige Vergelykings

Sover het alle funksies slegs een veranderlike gehad waarvoor ons moes oplos. Wanneer twee onbekende veranderlikes bepaal moet word, het ons twee vergelygings nodig. Hierdie vergelykings word gelyktydige vergelykings genoem. The oplossings vir die stelsel van gelyktydige vergelykings is die waardes van die onbekende veranderlikes wat die stelsel van vergelykings gelyktydig sal bevredig. In die algemeen betken dit indien daar nn onbekende veranderlikes is, benodig ons nn vergelykings om ‘n oplossing vir elk van die nn veranderlikes te vind.

’n Voorbeeld van gelyktydige vergelykings is:

2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2 2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2
(63)

Oplos van Gelyktydige Vergelykings

Om ‘n numeriese waarde vir onbekende veranderlikes te vind, moet ons In ten minste soveel onafhanklike funksies as veranderlikes hê. Ons kan gelyktydige vergelykings of algebraies of grafies oplos..

Figuur 10
Khan academy video on simultaneous equations - 1

Grafiese Oplossing

Gelyktydige vergelykings kan grafies opgelos word. Die oplossing van die gelyktydige vergelykings word gegee deur die koördinaat waar die grafiek vir elk van die vergelykings mekaar sny.

x = 2 y y = 2 x - 3 x = 2 y y = 2 x - 3
(64)

Teken die grafieke vir elk van die vergelykings in vergelyking 64.

Figuur 11
Figuur 11 (MG10C10_006.png)

Die snypunt van die twee lyne is (2,1)(2,1). So die oplossing van die stelel van gelyktydige vergelykings in vergelyking 64 is y=1y=1 en x=2x=2.

Dit kan algebraies as volg aangedui word:

x = 2 y ∴ y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Vervang in die eerste vergelyking : x = 2 ( 1 ) = 2 x = 2 y ∴ y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Vervang in die eerste vergelyking : x = 2 ( 1 ) = 2
(65)

Exercise 14: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stel van gelyktydige vergelykings grafies op.

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(66)
Solution
  1. Stap 1. Teken die lyn vir elk van die vergelykings. :

    Vir die eerste vergelyking:

    4 y + 3 x = 100 4 y = 100 - 3 x y = 25 - 3 4 x 4 y + 3 x = 100 4 y = 100 - 3 x y = 25 - 3 4 x
    (67)

    en vir die tweede vergelyking:

    4 y - 19 x = 12 4 y = 19 x + 12 y = 19 4 x + 3 4 y - 19 x = 12 4 y = 19 x + 12 y = 19 4 x + 3
    (68)

    Figuur 12
    Figuur 12 (MG10C10_007.png)

  2. Stap 2. Vind die snypunt vir die lyne. :

    Die lyne sny by (4,22)(4,22).

  3. Stap 3. Skryf die oplossing, m.a.w. die koordinaat van die snypunt, neer.. :
    x = 4 y = 22 x = 4 y = 22
    (69)

Oplossing deur Middel an Vervanging (Algebraies)

’n Algemene algebraiese metode is vervanging: probeer een van die vergelykings op te los vir een van die veranderlikes en vervang die resultaat in die ander vergelykings. Deur dit te doen verminder die hoeveelheid vergelykings en ook die hoeveelheid onbekende veranderlikes.met 1. Hierdie proses word herhaal tot ‘n enkele vergelyking met een veranderlike gevind word, wat (hopelik) opgelos kan word. Terugvervanging kan dan gebruik word om die waardes van die ander veranderlikes te bevestig.

In hierdie voorbeeld vergelyking 63,los ons eers die eerste vergelyking op vir xx:

x = 1 2 - y x = 1 2 - y
(70)

en vervang hierdie resultaat in die tweede vergelyking:

2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10 2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10
(71)
∴ x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5 ∴ x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5
(72)

Die oplossing van die stelsel gelyktydige vergelykings vergelyking 63 is:

x = 3 5 y = - 1 10 x = 3 5 y = - 1 10
(73)

Exercise 15: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings op:

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(74)
Solution
  1. Stap 1. Indien die vraag nie eksplisiet vereis dat die antwoord grafies bepaal moet word nie, moet dit algebraies gedoen word. . :
  2. Stap 2. Maak xx die onderwerp van die eerste vergelyking :
    4 y + 3 x = 100 3 x = 100 - 4 y x = 100 - 4 y 3 4 y + 3 x = 100 3 x = 100 - 4 y x = 100 - 4 y 3
    (75)
  3. Stap 3. Vervang die waarde van xx in die tweede vergelyking, :
    4 y - 19 ( 100 - 4 y 3 ) = 12 12 y - 19 ( 100 - 4 y ) = 36 12 y - 1900 + 76 y = 36 88 y = 1936 y = 22 4 y - 19 ( 100 - 4 y 3 ) = 12 12 y - 19 ( 100 - 4 y ) = 36 12 y - 1900 + 76 y = 36 88 y = 1936 y = 22
    (76)
  4. Stap 4. Vervang in die vergelyking vir xx. :
    x = 100 - 4 ( 22 ) 3 = 100 - 88 3 = 12 3 = 4 x = 100 - 4 ( 22 ) 3 = 100 - 88 3 = 12 3 = 4
    (77)
  5. Stap 5. Vervang die waardes vir xx en yy in beide vergelykings om die antwoord te bevestig. :
    4 ( 22 ) + 3 ( 4 ) = 88 + 12 = 100 4 ( 22 ) - 19 ( 4 ) = 88 - 76 = 12 4 ( 22 ) + 3 ( 4 ) = 88 + 12 = 100 4 ( 22 ) - 19 ( 4 ) = 88 - 76 = 12
    (78)

Exercise 16: Tweewiel fietse en Driewiele

’n Winkel verkoop tweewielfietse en driewiele. In totaal is daar 7 fietse (fietse sluit tweewielfietse en driewiele in) en 19 wiele. Bepaal hoeveel van elke soort fiets daar is?

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat benodig word :

    Die aantal tweewielfietse en driewiele word benodig..

  2. Stap 2. Stel die nodige vergelykings op :

    As bb die aantal tweewielfietse is en tt die aantal driewiele, dan is:

    b + t = 7 2 b + 3 t = 19 b + t = 7 2 b + 3 t = 19
    (79)
  3. Stap 3. Los die stel gelyktydige vergelykings op deur vervanging. :
    b = 7 - t Into second equation : 2 ( 7 - t ) + 3 t = 19 14 - 2 t + 3 t = 19 t = 5 Into first equation : b = 7 - 5 = 2 b = 7 - t Into second equation : 2 ( 7 - t ) + 3 t = 19 14 - 2 t + 3 t = 19 t = 5 Into first equation : b = 7 - 5 = 2
    (80)
  4. Stap 4. Bevestig die antwoord deur dit in die oorspronklike vergelykings in te stel. :
    2 + 5 = 7 2 ( 2 ) + 3 ( 5 ) = 4 + 15 = 19 2 + 5 = 7 2 ( 2 ) + 3 ( 5 ) = 4 + 15 = 19
    (81)

Gelyktydige Vergelykings

  1. Los grafies op en bevestig algebraies.: 3a-2b7=03a-2b7=0 , a-4b+1=0a-4b+1=0
    Klik hier vir die oplossing
  2. Los algebraies op: 15c+11d-132=015c+11d-132=0, 2c+3d-59=02c+3d-59=0
    Klik hier vir die oplossing
  3. Los algebraies op: -18e-18+3f=0-18e-18+3f=0, e-4f+47=0e-4f+47=0
    Klik hier vir die oplossing
  4. Los grafies op: x+2y=7x+2y=7, x+y=0x+y=0
    Klik hier vir die oplossing

Wiskundige Modelle

Inleiding

Thinus and Ronelle is vriende. Thinus gaan haal Ronelle se Fisika antwoordstel, maar wil nie vir Ronelle haar punt sê nie. Hy weet sy haat Wiskunde, so hy besluit om haar siel uit te trek. Thinus sê: “Ek het 2 punte meer as jy behaal en die som van ons altwee se punte is gelyk aan 14. Hoeveel het ons elkeen gekry?”

Kom ons help Ronelle om haar punt te bereken. Ons het twee onbekendes, Thinus se punt, wat ons tt sal noem, en Ronelle s’n, wat ons jj) sal noem. Thinus het 2 meer punte as Ronelle. Daarom is,

t = j + 2 t = j + 2
(82)

Ons weet ook dat die twee punte saam optel na 14. Gevolglik is,

t + j = 14 t + j = 14
(83)

Die twee vergelykings maak saam ‘n stel van liniêre (want die hoogste mag is een) gelyktydige vergelykings, en ons weet hoe om dit op te los! Vervang vir tt in die tweede vergelyking om te kry:

t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6 t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6
(84)

Dan,

t = j + 2 = 6 + 2 = 8 t = j + 2 = 6 + 2 = 8
(85)

Ons sien dus dat Thinus 8, en Ronelle 6 gekry het vir die toets.

Hierdie probleem is ‘n voorbeeld van ‘n eenvoudige wiskundige model . Ons het ‘n probleem geneem en was in staat daartoe om dit wiskundig te formuleer (neer te skryf). Die oplossings van die vergelyking gee dan die oplossings van die probleem.

Probleemoplossing-Strategie

Die doelwit van hierdie afdeling is om jou te leer hoe om ‘n probleem te neem en dit wiskundig te formuleer sodat dit opgelos kan word. Die algemene stappe is:

  1. Lees ALLES !
  2. Bepaal wat gevra word.
  3. Gebruik ‘n veranderlike om ‘n onbekende hoeveelheid voors te stel, byvoorbeeld, xx.
  4. Herskryf die gegewe inligting in terme van die veranderlikes. M.a.w. vertaal die probleem na algebraiese uitdrukkings.
  5. Stel ‘n vergelyking of stel van gelyktydige vergelykings op om die veranderlikes op te los
  6. Los die vegelyking(s) op om die oplossing vir die probleem te vind.

Toepassing van Wiskundige Modellering

Exercise 17: Wiskundige Modellering: Twee Veranderlikes

Drie liniale en twee penne kos saam R 21,00. Een liniaal en een pen kos saam R 8,00. Hoeveel kos ‘n pen op sy eie en hoeveel kos ‘n liniaal op sy eie?

Solution
  1. Stap 1. Vertaal die probleem deur gebruik te maak van veranderlikes :

    Laat die koste van een linaal xx rand wees en die koste van een pen yy rand.

  2. Stap 2. Herskryf die gegewe inliging in terme van die veranderlikes :
    3 x + 2 y = 21 x + y = 8 3 x + 2 y = 21 x + y = 8
    (86)
  3. Stap 3. Los die vergelykings gelyktydig op :

    Los eers die tweede vergelyking op vir yy:

    y = 8 - x y = 8 - x
    (87)

    en vervang die resultaat in die eerste vergelyking:

    3 x + 2 ( 8 - x ) = 21 3 x + 16 - 2 x = 21 x = 5 3 x + 2 ( 8 - x ) = 21 3 x + 16 - 2 x = 21 x = 5
    (88)

    therefore

    y = 8 - 5 y = 3 y = 8 - 5 y = 3
    (89)
  4. Stap 4. Skryf die finale antwoord neer. :

    Een liniaal kos R 5,00 en een pen kos R 3,00.

Exercise 18: Wiskundige Modellering

’n Vrugteskommel kos R2,00 meer as ‘n sjokolade melkskommel. As drie vrugteskommels en vyf sjokolade melkskommels saam R78,00 kos, bepaal die individuele pryse.

Solution
  1. Stap 1. Som die inligting op in ‘n tabel :

    Laat die prys van ‘n sjokolade melkskommel xx wees en die prys van ‘n vrugteskommel yy.

    Tabel 5
      Prys nommer Totaal
    Vrugte y y 3 3 y 3 y
    Sjokolade x x 5 5 x 5 x
  2. Stap 2. Stel twee vergelykings op :
    3 y + 5 x = 78 3 y + 5 x = 78
    (90)

    y=x+2y=x+2

  3. Stap 3. Los die vergelyking op :
    3 ( x + 2 ) + 5 x = 78 3 x + 6 + 5 x = 78 8 x = 72 x = 9 y = x+2 = 9 + 2 = 11 3 ( x + 2 ) + 5 x = 78 3 x + 6 + 5 x = 78 8 x = 72 x = 9 y = x+2 = 9 + 2 = 11
    (91)
  4. Stap 4. Skryf die finale antwoord neer :

    Een sjokolade melkskommel kos R 9,00 en een vrugteskommel kos R 11,00

Wiskundige modelle

  1. Vian het 1 l van ‘n mengsel wat 69% sout bevat. Hoeveel water moet Vian bygooi om die mengsel 50% sout te maak? Skryf jou antwoord as ‘n breukdeel van ‘n liter.
    Klik hier vir die oplossing
  2. Die diagonaal van ‘n reghoekis 25 cm meer as die wydte. Die lengte van die reghoek is 17 cm meer as dit wydte. Wat is die dimensies van die reghoek?
    Klik hier vir die oplossing
  3. Die som van 27 en 12 is 73 meer as ‘n onbekende getal. Vind die onbekende getal.
    Klik hier vir die oplossing
  4. Die twee kleiner hoeke van ‘n reghoekige-driehoek is in die verhouding 1:2. Wat is die grootte van die twee hoeke?
    Klik hier vir die oplossing
  5. Werner besig ‘n bakery wat spesialiseer in troukoeke. Vir elke troukoek, kos dit Werner R150 vir bestandele, R50 vir ekstras en R5 vir advertering. Werner se troukoeke kos R400 elk. Hoeveel wins maak Werner per koek? Druk jou antwoord uit as ‘n persentasie van koste.
    Klik hier vir die oplossing
  6. As 4 keer ‘n getal met 7 vermeerder word, is die resultaat 15 minder as die vierkant (kwadraat) van die getal. Vind die getal wat hierdie steling bevredig deur ‘n vergelyking te skryf en dan op te los. .
    Klik hier vir die oplossing
  7. Die lengte van ‘n reghoek is 2 cm meer as die wydte van die reghoek. Die omtrek van die reghoek is 20 cm. Vind die lengte en breedte van die reghoek.
    Klik hier vir die oplossing

Einde van die Hoofstuk Probleme

  1. Wat is die wortels van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0
    ?
    Klik hier vir die oplossing
  2. Wat is die oplossing van die vergelyking x2+x=6x2+x=6
    ?
    Klik hier vir die oplossing
  3. In die vergelyking y=2x2-5x-18y=2x2-5x-18, wat is die waarde vanxx as y=0y=0
    ?
    Klik hier vir die oplossing
  4. Marlé het 5 meer CDs as Natalie. Rulof het twee keer soveel as Marlé.. Saam het hulle 63 CDs. Hoeveel CDs het elke persoon afsonderlik?
    Klik hier vir die oplossing
  5. Sewe agtstes van ‘n getal is 5 meer as ‘n derde van die getal. Vind die getal.
    Klik hier vir die oplossing
  6. ’n Man hardloop na ‘n telefoon en terug in 15 minute. Sy sped na die telefoon is 5 m/s en sy spoed terug is 4 m/s. Wat is die afstand na die foon?
    Klik hier vir die oplossing
  7. Los die ongelykheid op en antwoord dan die vrae: x3-14>14-x4x3-14>14-x4
    1. If x∈Rx∈R, Skryf die oplossing in interval notasie.
    2. if x∈Zx∈Z and x<51x<51, skryf die oplossing as ‘n versameling heelgetalle.
    Klik hier vir die oplossing
  8. Los op vir aa: 1-a2-2-a3>11-a2-2-a3>1
    Klik hier vir die oplossing
  9. Los op vir xx: x-1=42xx-1=42x
    Klik hier vir die oplossing
  10. Los op vir xx en yy: 7x+3y=137x+3y=13 en 2x-3y=-42x-3y=-4
    Klik hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks