# Connexions

You are here: Home » Content » Vergelykings en Ongelykhede - Graad 10

### Lenses

What is a lens?

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

#### Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• FETWisk

This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
By: Siyavula

Review Status: Approved

Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

### Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

### Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

# Vergelykings en Ongelykhede - Graad 10

## Strategie vir Oplos van Vergelykings

Hierdie hoofstuk handel oor die oplos van verskillende soorte vergelykings met twee veranderlikes. In die algemeen wil ons die onbekende veranderlike alleen aan die linkerkant van die gelykaan teken kry, met al die konstantes aan die regterkant van die gelykaan teken. Byvoorbeeld , in the vergelyking x-1=0x-1=0


, wil ons die vergelyking skryf as x=1x=1.

Soos ons gesien het in hersiening van vorige werk (afdeling wat handel oor herrangskikking van vergelykings), is 'n vergelyking soos 'n weegskaal wat altyd gebalanseerd moet bly. Wanneer ons vergelykings oplos, moet ons in gedagte hou dat wat aan die een kant gedoen word, ook aan die ander kant gedoen moet word.

### Metode: Herrangskik Vergelykings

Jy kan 'n getal optel, 'n getal aftrek, met 'n getal vermenigvuldig of met 'n getal deel, solank jy dieselfde bewerking aan beide kante doen.

Byvoorbeeld, in die vergelyking x+5-1=-6x+5-1=-6


, wil ons xx alleen aan die linkerkant van die vergelyking kry. Dit beteken ons moet 5 aftrek en 1 optel aan die linkerkant. Omdat ons die skaal gebalanseerd moet hou, moet ons ook 5 aftrek en 1 optel aan die regterkant.

x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10 x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10
(1)

‘n Ander voorbeeld hiervan is 23x=823x=8. Om xx die onderwerp te maak, moet ons moet aan die linkerkant deel met 2 en vermenigvuldig met 3. Om die vergelyking gebalanseerd te hou moet ons ook aan die regterkant deel met twee en vermenigvuldig met 3.

2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12 2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12
(2)

Hierdie is die basiese reëls wat gevolg moet word wanneer ‘n vergelyking vereenvoudig word. In die meeste gevalle moet die reëls herhaaldelik toegepas word voor ons die gewenste veranderlike as onderwerp het.

Hou ook die volgende in gedagte:
1. Deel deur 0 is ongedefinieer.
2. Indien xy=0xy=0, dan is x=0x=0 en y0y0, omdat deling deur 0 ongedefinieer is.

Nou is ons gereed om vergelykings op te los!

#### Ondersoek: Strategie vir Oplos van Vergelykings

Identifiseer wat fout is met die volgende.

4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3 4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3
(3)

## Oplos van Liniêre Vergelykings

Die eenvoudigste vergelyking om op te los is ‘n liniêre vergelyking. ‘n Vergelyking word liniêr genoem indien die mag van die veranderlike (bv. xx) 1 (een) is.

2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2 2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2
(4)

In hierdie afdeling sal ons leer om te bepaal wat die waarde van ‘n veranderlike moet wees om ‘n vergelyking waar te maak. Byvoorbeeld, watter waarde van xx maak die eenvoudige vergelyking x+1=1x+1=1 waar?

Aangesien die definisie van 'n liniêre vergelyking is dat die mag van die veranderlike hoogstens 1 (een) is, is daar hoogstens een oplossing van die vergelyking. Die oplossing van ‘n vergelyking word ook ‘n wortel van die vergelyking genoem.

Hierdie afdeling gebruik die metodes wat tot dusver bespreek is: vermenigvuldiging van uitdrukkings, groepering van terme en faktorisering. Maak seker dat jy gemaklik is met hierdie metodes voordat jy die res van die werk in hierdie hoofstuk aanpak.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( soortgelyke terme gegroepeer ) 2 x = - 1 ( vereenvoudig sover as moontlik ) 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( soortgelyke terme gegroepeer ) 2 x = - 1 ( vereenvoudig sover as moontlik )
(5)

Ons kan sien dat 2x=-12x=-1. Dit beteken as ons deur 2 deel, sal ons die volgende kry:

x = - 1 2 x = - 1 2
(6)

Indien ons in die oorspronklike vergelyking x=-12x=-12 vervang, kry ons:

L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1 L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1
(7)

Dit is die basiese beginsels waarvolgens liniêre vergelykings opgelos word.

Oplos van Vergelykings

Wanneer jy die oplossing van ‘n vergelyking gevind het, vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking, om jou antwoord te bevestig.

### Metode: Oplos van Vergelykings

Die algemene stappe om vergelykings op te los is:

1. Brei die hakies uit. (Raak ontslae van die hakies).
2. Neem die terme wat die veranderlike bevat, na die linkerkant van die vergelyking, en al die konstante terme (getalle sonder die veranderlike) na die regterkant van die vergelyking. Hou in gedagte dat die teken van die terme verander van (++) na (--), en omgekeerd, wanneer die terme na die ander kant van die gelykaanteken geneem word.
3. Groepeer alle soortgelyke terme en vereenvoudig soveel as moontlik.
4. Faktoriseer indien nodig.
5. Vind die oplossing.
6. Vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking om die antwoord te bevestig.

Figuur 1
Khan academy video on equations - 1

#### Exercise 1: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 4-x=44-x=4

#### Exercise 2: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x

#### Exercise 3: Oplos van Liniêre Vergelykings

Los op vir xx: 2-x3x+1=22-x3x+1=2

#### Exercise 4: Solving Linear Equations

Oplos van Liniêre Vergelykingsxx: 43x-6=7x+243x-6=7x+2

#### Oplos van Liniêre Vergelykings

1. Los op vir yy: 2y-3=72y-3=7

Klik hier vir die oplossing
2. Los op vir ww: -3w=0-3w=0

Klik hier vir die oplossing
3. Los op vir zz: 4z=164z=16

Klik hier vir die oplossing
4. Los op vir tt: 12t+0=14412t+0=144

Klik hier vir die oplossing
5. Los op vir xx: 7+5x=627+5x=62

Klik hier vir die oplossing
6. Los op vir yy: 55=5y+3455=5y+34

Klik hier vir die oplossing
7. Los op vir zz: 5z=3z+455z=3z+45

Klik hier vir die oplossing
8. Los op vir aa: 23a-12=6+2a23a-12=6+2a

Klik hier vir die oplossing
9. Los op vir bb: 12-6b+34b=2b-24-6412-6b+34b=2b-24-64

Klik hier vir die oplossing
10. Los op vir cc: 6c+3c=4-5(2c-3)6c+3c=4-5(2c-3)

Klik hier vir die oplossing
11. Los op vir pp: 18-2p=p+918-2p=p+9

Klik hier vir die oplossing
12. Los op vir qq: 4q=16244q=1624

Klik hier vir die oplossing
13. Los op vir qq: 41=q241=q2

Klik hier vir die oplossing
14. Los op vir rr: -(-16-r)=13r-1-(-16-r)=13r-1

Klik hier vir die oplossing
15. Los op vir dd: 6d-2+2d=-2+4d+86d-2+2d=-2+4d+8

Klik hier vir die oplossing
16. Los op vir ff: 3f-10=103f-10=10

Klik hier vir die oplossing
17. Los op vir vv: 3v+16=4v-103v+16=4v-10

Klik hier vir die oplossing
18. Los op vir kk: 10k+5+0=-2k+-3k+8010k+5+0=-2k+-3k+80

Klik hier vir die oplossing
19. Los op vir jj: 8(j-4)=5(j-4)8(j-4)=5(j-4)

Klik hier vir die oplossing
20. Los op vir mm: 6=6(m+7)+5m6=6(m+7)+5m

Klik hier vir die oplossing

‘n Kwadratiese vergelyking is ‘n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 (twee) is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.

2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2 2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2
(17)

Kwadratiese vergelykings verskil van liniêre vergelykings in dat ‘n liniêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl ‘n kwadratiese vergelyking hoogstens twee oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar ‘n kwadratiese vergelyking slegs een oplossing het.

Om ‘n kwadratiese vergelyking op te los herskryf ons dit as ‘n produk van twee liniêre uitdrukkings, in hakies. Ons weet byvoorbeeld dat:

( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3 . ( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3 .
(18)

Om die volgende op te los,

2 x 2 - x - 3 = 0 2 x 2 - x - 3 = 0
(19)

moet ons 2x2-x-32x2-x-3 herskryf as (x+1)(2x-3)(x+1)(2x-3), en ons weet hoe om dit te los.

### Ondersoek: Faktorisering van 'n Kwadratiese Vergelyking

1. x + x 2 x + x 2
2. x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 + 2 x
3. x 2 - 4 x + 5 x 2 - 4 x + 5
4. 16 x 2 - 9 16 x 2 - 9
5. 4 x 2 + 4 x + 1 4 x 2 + 4 x + 1

Indien jy 'n kwadratiese vergelyking kan faktoriseer, is jy een stap weg van 'n oplossing. Byvoorbeeld, x2-3x-2=0x2-3x-2=0 kan geskryf word as (x-1)(x-2)=0(x-1)(x-2)=0. Dit beteken dat x-1=0x-1=0 enx-2=0x-2=0, wat x=1x=1 en x=2x=2 lewer as die twee oplossings vir die kwadratiese vergelyking x2-3x-2=0x2-3x-2=0.

### Metode: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

1. Deel die vergelyking deur gemene faktore van al die koeffisiënte, om die vergelyking te kry in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, waar aa, bb en cc geen gemene faktore het nie. Byvoorbeeld 2x2+4x+2=02x2+4x+2=0

kan geskryf word as x2+2x+1=0x2+2x+1=0

deur regdeur met 2 te deel.
2. Skryf ax2+bx+cax2+bx+c in terme van liniêre faktore (rx+s)(ux+v)(rx+s)(ux+v). Dit beteken dat (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0.
3. UIt die vorm (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0 volg dat die oplossings x=-srx=-sr en x=-uvx=-uv is.
4. Vervang elke oplossing in die oorspronklike vergelyking om te bevestig dat die oplossing is geldig.

Daar is twee oplossings van 'n kwadratiese vergelyking, aangesien enige een van die wortels die vergelykings kan oplos.

Figuur 2
Khan academy video on equations - 3

#### Exercise 5: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0

Dit mag gebeur dat die vergelyking met eerste oogopslag nie soos 'n kwadratiese vergelyking lyk nie, maar deur 'n paar bewerkinge in een verander kan word. Onthou dat dieselfde bewerkinge aan elke kant gedoen moet word om die vergelyking geldig (waar) te hou.

Dit is moontlik dat een (of 'n kombinasie van) van die volgende nodig is:

• Vermenigvuldig aan beide kante: Byvoorbeeld,
ax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=cax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=c
(23)
• Neem die inverse van beide kante: Verhef die hele LK en die hele RK tot die mag -1-1. Byvoorbeeld,
1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c
(24)
• Neem die kwadraat van beide kante: Verhef die hele LK en die hele RK tot die mag 2. Byvoorbeeld,
ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2
(25)

Jy kan hierdie metodes op verskeie maniere kombineer en gebruik. Doen soveel moontlik oefenprobleme om ‘n gevoel te ontwikkel vir watter metodes om te gebruik. 'n Kombinasie van bewerkinge is byvoorbeeld:

1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( neem die inverse van beide kante ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer beide kante ) a x 2 + b x = 1 c 2 1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( neem die inverse van beide kante ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer beide kante ) a x 2 + b x = 1 c 2
(26)

#### Exercise 6: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: x+2=xx+2=x

#### Exercise 7: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los die vergelyking op: x2+3x-4=0x2+3x-4=0.

#### Exercise 8: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2.

1. Los op vir xx: (3x+2)(3x-4)=0(3x+2)(3x-4)=0

Klik hier vir die oplossing
2. Los op vir aa: (5a-9)(a+6)=0(5a-9)(a+6)=0

Klik hier vir die oplossing
3. Los op vir xx: (2x+3)(2x-3)=0(2x+3)(2x-3)=0

Klik hier vir die oplossing
4. Los op vir xx: (2x+1)(2x-9)=0(2x+1)(2x-9)=0

Klik hier vir die oplossing
5. Los op vir xx: (2x-3)(2x-3)=0(2x-3)(2x-3)=0

Klik hier vir die oplossing
6. Los op vir xx: 20x+25x2=020x+25x2=0

Klik hier vir die oplossing
7. Los op vir aa: 4a2-17a-77=04a2-17a-77=0

Klik hier vir die oplossing
8. Los op vir xx: 2x2-5x-12=02x2-5x-12=0

Klik hier vir die oplossing
9. Los op vir bb: -75b2+290b-240=0-75b2+290b-240=0

Klik hier vir die oplossing
10. Los op vir yy: 2y=13y2-3y+14232y=13y2-3y+1423

Klik hier vir die oplossing
11. Los op vir θθ: θ2-4θ=-4θ2-4θ=-4

Klik hier vir die oplossing
12. Los op vir qq: -q2+4q-6=4q2-5q+3-q2+4q-6=4q2-5q+3

Klik hier vir die oplossing
13. Los op vir tt: t2=3tt2=3t

Klik hier vir die oplossing
14. Los op vir ww: 3w2+10w-25=03w2+10w-25=0

Klik hier vir die oplossing
15. Los op vir vv: v2-v+3v2-v+3


Klik hier vir die oplossing
16. Los op vir xx: x2-4x+4=0x2-4x+4=0

Klik hier vir die oplossing
17. Los op vir tt: t2-6t=7t2-6t=7

Klik hier vir die oplossing
18. Los op vir xx: 14x2+5x=614x2+5x=6

Klik hier vir die oplossing
19. Los op vir tt: 2t2-2t=122t2-2t=12

Klik hier vir die oplossing
20. Los op vir yy: 3y2+2y-6=y2-y+23y2+2y-6=y2-y+2

Klik hier vir die oplossing

## Eksponensiële Vergelykings van die Vorm ka(x+p)=mka(x+p)=m

Eksponensiële vergelykings het in die algemeen die veranderlike as die mag. Die volgende is voorbeelde van eksponensiële vergelykings:

2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2
(38)

Jy behoort reeds vertroud te wees met eksponensiële notasie. Oplos van eksponensiële vergelykings is eenvoudig, solank ons onthou hoe om die eksponentwette toe te pas.

### Ondersoek: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los die volgende vergelykings op deur die tabel te voltooi:

 2 x = 2 2 x = 2 x x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 x 2 x
 3 x = 9 3 x = 9 x x -3 -2 -1 0 1 2 3 3 x 3 x
 2 x + 1 = 8 2 x + 1 = 8 x x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 x + 1 2 x + 1

### Algebraiese Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Definition 1: Gelykheid van Eksponensiële Funksies

Indien aa ‘n positiewe getal is sodat a>0a>0, (behalwe as a=1a=1


) dan is:

a x = a y a x = a y
(39)

as en slegs as:

x = y x = y
(40)
(As a=1a=1, dan kan xx en yy verskillend wees en die vergelyking steeds waar wees selfs indien x nie gelyk is aan y nie)

Dit beteken indien ons al die terme in terme met dieselfde grondtal kan skryf, kan ons die eksponensiële vergelykings oplos deur die eksponente gelyk te stel. Neem byvoorbeeld die vergelyking 3x+1=93x+1=9. Dit kan geskryf word as

3 x + 1 = 3 2 . 3 x + 1 = 3 2 .
(41)

Aangesien die grondtalle gelyk is (aan 3) en ook is LK = RK, weet ons dat die eksponente ook gelyk moet wees. Daarom kan ons skryf:

x + 1 = 2 . x + 1 = 2 .
(42)

Dit lewer:

x = 1 . x = 1 .
(43)

#### Metode: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

1. Probeer om al die terme met dieselfde grondtal te skryf.
2. Stel die eksponente van die grondtalle van die LK en RK gelyk.
3. Los die vergelyking wat in die vorige stap verkry is op.
4. Bevestig die antwoorde
##### Ondersoek : Eksponensiële Getalle

Skryf die volgende met dieselfde grondtal. Die grondtal is eerste in die lys. Byvoorbeeld in die lys 2, 4, 8, is die grondtal twee(2) en ons kan 4 skryf as 2222.

1. 2,4,8,16,32,64,128,512,1024
2. 3,9,27,81,243
3. 5,25,125,625
4. 13,169
5. 2x2x, 4x24x2, 8x38x3, 49x849x8
##### Exercise 9: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op vir xx: 2x=22x=2

##### Exercise 10: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op:

2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 4 2 x
(48)
##### Oplos van Eksponensiële Vergelykings
1. Los die volgende eksponensiële vergelykings op.
 a. 2x+5=252x+5=25 b. 32x+1=3332x+1=33 c. 52x+2=5352x+2=53 d. 65-x=61265-x=612 e. 64x+1=162x+564x+1=162x+5 f. 125x=5125x=5

Klik hier vir die oplossing
2. Los op: 39x-2=2739x-2=27

Klik hier vir die oplossing
3. Los op vir kk: 81k+2=27k+481k+2=27k+4

Klik hier vir die oplossing
4. Die groei van alg in ‘n poel kan gemodelleer word met die funksie f(t)=2tf(t)=2t. Vind die waarde van tt sodat f(t)=128f(t)=128

Klik hier vir die oplossing
5. Los op vir xx: 25(1-2x)=5425(1-2x)=54

Klik hier vir die oplossing
6. Los op vir xx: 27x×9x-2=127x×9x-2=1

Klik hier vir die oplossing

## Liniêre Ongelykhede

### Ondersoek : Ongelykhede op ‘n getallelyn

Stel die volgende voor op getallelyne:

1. x = 4 x = 4
2. x < 4 x < 4
3. x 4 x 4
4. x 4 x 4
5. x > 4 x > 4

’n Liniêre ongelykheid is soortgelyk aan ‘n liniêre vergelyking aangesien die hoogste eksponent van die veranderlike is 1. Die volgende is voorbeelde van liniêre ongelykheid.

2 x + 2 1 2 - x 3 x + 1 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2 2 x + 2 1 2 - x 3 x + 1 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2
(54)

Die metodes wat gebruik word om liniêre ongelykhede op te los is identies aan dié wat gebruik word om liniêre vergelykings op te los. Die enigste verskil kom voor wanneer daar ‘n vermenigvuldiging met of deling deur ‘n negatiwe getal is. Ons weet byvoorbeeld dat 8>68>6. As ons aan beide kante van die ongelykheid deel deur -2-2: -4-4 is nie groter as -3-3 nie. Die ongelykheid moet omkeer, wat beteken -4<-3-4<-3.

Wanneer beide kante van ‘n ongelykhied met ‘n negatiewe getal vermenigvuldig word, of met ‘n negatiewe getal gedeel word, verander die rigting van die ongelykheid. Vir hierdie rede kan ons nie met ‘n veranderlike vermenigvuldig nie – ons weet nie wat ‘n onbekende (veranderlike) se teken is nie.

Byvoorbeeld, indien x<1x<1, dan is -x>-1-x>-1.

Om ‘n ongelykheid met ‘n gewone vergelyking te vergelyk, sal ons eers die gewone vergelyking oplos. Los op: 2x+2=12x+2=1.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2
(55)

As ons hierdie op ‘n getallelyn voorstel kry ons

Kom ons los nou die volgende ongelykheid op 2x+212x+21.

2 x + 2 1 2 x 1 - 2 2 x - 1 x - 1 2 2 x + 2 1 2 x 1 - 2 2 x - 1 x - 1 2
(56)

As ons die antwoord op ‘n getallelyn voorstel, kry ons

Soos jy kan sien, vir die vergelyking, is daar slegs ‘n enkele waarde xx waarvoor die vergelyking waar is. Vir die ongelykheid is daar egter ‘n hele versameling waardes waarvoor die ongelykheid waar is. Dit is die groot verskil tussen gewone vergelykings (gelykhede) en ongelykhede.

Figuur 5
Khan academy video on inequalities - 1

Figuur 6
Khan academy video on inequalities - 2

### Exercise 11: Liniêre Ongelykhede

Los op vir rr: 6-r>26-r>2

### Exercise 12: Liniere Ongelykhede

Solve for qq: 4q+3<2(q+3)4q+3<2(q+3) en verteenwoordig die oplossing op ‘n getallelyn.

### Exercise 13: Saamgestelde Liniêre Ongelykhede

Los op vir xx: 5x+3<85x+3<8 en stel die antwoord op ‘n getallelyn voor.

### Liniere Ongelykheid

1. Los op vir xx en stel die antwoord grafies voor:
1. 3x+4>5x+83x+4>5x+8
2. 3(x-1)-26x+43(x-1)-26x+4
3. x-73>2x-32x-73>2x-32
4. -4(x-1)<x+2-4(x-1)<x+2
5. 12x+13(x-1)56x-1312x+13(x-1)56x-13

Klik hier vir die oplossing.
2. Los die volgende ongelykhede op. Stel jou antwoord op ‘n getallelyn voor indien xx ‘n reële getal is.
1. -2x-1<3-2x-1<3

Klik hier vir die oplossing
2. -5<2x-37-5<2x-37

Klik hier vir die oplossing
3. Los op vir xx: 7(3x+2)-5(2x-3)>77(3x+2)-5(2x-3)>7

stel die antwoord voor op ‘n getallelyn.

Klik hier vir die oplossing

## Liniêre Gelyktydige Vergelykings

Sover het alle funksies slegs een veranderlike gehad waarvoor ons moes oplos. Wanneer twee onbekende veranderlikes bepaal moet word, het ons twee vergelygings nodig. Hierdie vergelykings word gelyktydige vergelykings genoem. The oplossings vir die stelsel van gelyktydige vergelykings is die waardes van die onbekende veranderlikes wat die stelsel van vergelykings gelyktydig sal bevredig. In die algemeen betken dit indien daar nn onbekende veranderlikes is, benodig ons nn vergelykings om ‘n oplossing vir elk van die nn veranderlikes te vind.

’n Voorbeeld van gelyktydige vergelykings is:

2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2 2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2
(63)

### Oplos van Gelyktydige Vergelykings

Om ‘n numeriese waarde vir onbekende veranderlikes te vind, moet ons In ten minste soveel onafhanklike funksies as veranderlikes hê. Ons kan gelyktydige vergelykings of algebraies of grafies oplos..

Figuur 10
Khan academy video on simultaneous equations - 1

### Grafiese Oplossing

Gelyktydige vergelykings kan grafies opgelos word. Die oplossing van die gelyktydige vergelykings word gegee deur die koördinaat waar die grafiek vir elk van die vergelykings mekaar sny.

x = 2 y y = 2 x - 3 x = 2 y y = 2 x - 3
(64)

Teken die grafieke vir elk van die vergelykings in vergelyking 64.

Die snypunt van die twee lyne is (2,1)(2,1). So die oplossing van die stelel van gelyktydige vergelykings in vergelyking 64 is y=1y=1 en x=2x=2.

Dit kan algebraies as volg aangedui word:

x = 2 y y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Vervang in die eerste vergelyking : x = 2 ( 1 ) = 2 x = 2 y y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Vervang in die eerste vergelyking : x = 2 ( 1 ) = 2
(65)

#### Exercise 14: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stel van gelyktydige vergelykings grafies op.

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(66)

### Oplossing deur Middel an Vervanging (Algebraies)

’n Algemene algebraiese metode is vervanging: probeer een van die vergelykings op te los vir een van die veranderlikes en vervang die resultaat in die ander vergelykings. Deur dit te doen verminder die hoeveelheid vergelykings en ook die hoeveelheid onbekende veranderlikes.met 1. Hierdie proses word herhaal tot ‘n enkele vergelyking met een veranderlike gevind word, wat (hopelik) opgelos kan word. Terugvervanging kan dan gebruik word om die waardes van die ander veranderlikes te bevestig.

In hierdie voorbeeld vergelyking 63,los ons eers die eerste vergelyking op vir xx:

x = 1 2 - y x = 1 2 - y
(70)

en vervang hierdie resultaat in die tweede vergelyking:

2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10 2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10
(71)
x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5 x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5
(72)

Die oplossing van die stelsel gelyktydige vergelykings vergelyking 63 is:

x = 3 5 y = - 1 10 x = 3 5 y = - 1 10
(73)

#### Exercise 15: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings op:

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(74)

#### Exercise 16: Tweewiel fietse en Driewiele

’n Winkel verkoop tweewielfietse en driewiele. In totaal is daar 7 fietse (fietse sluit tweewielfietse en driewiele in) en 19 wiele. Bepaal hoeveel van elke soort fiets daar is?

#### Gelyktydige Vergelykings

1. Los grafies op en bevestig algebraies.: 3a-2b7=03a-2b7=0 , a-4b+1=0a-4b+1=0

Klik hier vir die oplossing
2. Los algebraies op: 15c+11d-132=015c+11d-132=0, 2c+3d-59=02c+3d-59=0

Klik hier vir die oplossing
3. Los algebraies op: -18e-18+3f=0-18e-18+3f=0, e-4f+47=0e-4f+47=0

Klik hier vir die oplossing
4. Los grafies op: x+2y=7x+2y=7, x+y=0x+y=0

Klik hier vir die oplossing

## Wiskundige Modelle

### Inleiding

Thinus and Ronelle is vriende. Thinus gaan haal Ronelle se Fisika antwoordstel, maar wil nie vir Ronelle haar punt sê nie. Hy weet sy haat Wiskunde, so hy besluit om haar siel uit te trek. Thinus sê: “Ek het 2 punte meer as jy behaal en die som van ons altwee se punte is gelyk aan 14. Hoeveel het ons elkeen gekry?”

Kom ons help Ronelle om haar punt te bereken. Ons het twee onbekendes, Thinus se punt, wat ons tt sal noem, en Ronelle s’n, wat ons jj) sal noem. Thinus het 2 meer punte as Ronelle. Daarom is,

t = j + 2 t = j + 2
(82)

Ons weet ook dat die twee punte saam optel na 14. Gevolglik is,

t + j = 14 t + j = 14
(83)

Die twee vergelykings maak saam ‘n stel van liniêre (want die hoogste mag is een) gelyktydige vergelykings, en ons weet hoe om dit op te los! Vervang vir tt in die tweede vergelyking om te kry:

t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6 t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6
(84)

Dan,

t = j + 2 = 6 + 2 = 8 t = j + 2 = 6 + 2 = 8
(85)

Ons sien dus dat Thinus 8, en Ronelle 6 gekry het vir die toets.

Hierdie probleem is ‘n voorbeeld van ‘n eenvoudige wiskundige model . Ons het ‘n probleem geneem en was in staat daartoe om dit wiskundig te formuleer (neer te skryf). Die oplossings van die vergelyking gee dan die oplossings van die probleem.

### Probleemoplossing-Strategie

Die doelwit van hierdie afdeling is om jou te leer hoe om ‘n probleem te neem en dit wiskundig te formuleer sodat dit opgelos kan word. Die algemene stappe is:

1. Lees ALLES !
2. Bepaal wat gevra word.
3. Gebruik ‘n veranderlike om ‘n onbekende hoeveelheid voors te stel, byvoorbeeld, xx.
4. Herskryf die gegewe inligting in terme van die veranderlikes. M.a.w. vertaal die probleem na algebraiese uitdrukkings.
5. Stel ‘n vergelyking of stel van gelyktydige vergelykings op om die veranderlikes op te los
6. Los die vegelyking(s) op om die oplossing vir die probleem te vind.

### Toepassing van Wiskundige Modellering

#### Exercise 17: Wiskundige Modellering: Twee Veranderlikes

Drie liniale en twee penne kos saam R 21,00. Een liniaal en een pen kos saam R 8,00. Hoeveel kos ‘n pen op sy eie en hoeveel kos ‘n liniaal op sy eie?

#### Exercise 18: Wiskundige Modellering

’n Vrugteskommel kos R2,00 meer as ‘n sjokolade melkskommel. As drie vrugteskommels en vyf sjokolade melkskommels saam R78,00 kos, bepaal die individuele pryse.

#### Wiskundige modelle

1. Vian het 1 l van ‘n mengsel wat 69% sout bevat. Hoeveel water moet Vian bygooi om die mengsel 50% sout te maak? Skryf jou antwoord as ‘n breukdeel van ‘n liter.

Klik hier vir die oplossing
2. Die diagonaal van ‘n reghoekis 25 cm meer as die wydte. Die lengte van die reghoek is 17 cm meer as dit wydte. Wat is die dimensies van die reghoek?

Klik hier vir die oplossing
3. Die som van 27 en 12 is 73 meer as ‘n onbekende getal. Vind die onbekende getal.

Klik hier vir die oplossing
4. Die twee kleiner hoeke van ‘n reghoekige-driehoek is in die verhouding 1:2. Wat is die grootte van die twee hoeke?

Klik hier vir die oplossing
5. Werner besig ‘n bakery wat spesialiseer in troukoeke. Vir elke troukoek, kos dit Werner R150 vir bestandele, R50 vir ekstras en R5 vir advertering. Werner se troukoeke kos R400 elk. Hoeveel wins maak Werner per koek? Druk jou antwoord uit as ‘n persentasie van koste.

Klik hier vir die oplossing
6. As 4 keer ‘n getal met 7 vermeerder word, is die resultaat 15 minder as die vierkant (kwadraat) van die getal. Vind die getal wat hierdie steling bevredig deur ‘n vergelyking te skryf en dan op te los. .

Klik hier vir die oplossing
7. Die lengte van ‘n reghoek is 2 cm meer as die wydte van die reghoek. Die omtrek van die reghoek is 20 cm. Vind die lengte en breedte van die reghoek.

Klik hier vir die oplossing

### Einde van die Hoofstuk Probleme

1. Wat is die wortels van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0

?

Klik hier vir die oplossing
2. Wat is die oplossing van die vergelyking x2+x=6x2+x=6

?

Klik hier vir die oplossing
3. In die vergelyking y=2x2-5x-18y=2x2-5x-18, wat is die waarde vanxx as y=0y=0

?

Klik hier vir die oplossing
4. Marlé het 5 meer CDs as Natalie. Rulof het twee keer soveel as Marlé.. Saam het hulle 63 CDs. Hoeveel CDs het elke persoon afsonderlik?

Klik hier vir die oplossing
5. Sewe agtstes van ‘n getal is 5 meer as ‘n derde van die getal. Vind die getal.

Klik hier vir die oplossing
6. ’n Man hardloop na ‘n telefoon en terug in 15 minute. Sy sped na die telefoon is 5 m/s en sy spoed terug is 4 m/s. Wat is die afstand na die foon?

Klik hier vir die oplossing
7. Los die ongelykheid op en antwoord dan die vrae: x3-14>14-x4x3-14>14-x4
1. If xRxR, Skryf die oplossing in interval notasie.
2. if xZxZ and x<51x<51, skryf die oplossing as ‘n versameling heelgetalle.

Klik hier vir die oplossing
8. Los op vir aa: 1-a2-2-a3>11-a2-2-a3>1

Klik hier vir die oplossing
9. Los op vir xx: x-1=42xx-1=42x

Klik hier vir die oplossing
10. Los op vir xx en yy: 7x+3y=137x+3y=13 en 2x-3y=-42x-3y=-4

Klik hier vir die oplossing

## Content actions

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

### Reuse / Edit:

Reuse or edit module (?)

#### Check out and edit

If you have permission to edit this content, using the "Reuse / Edit" action will allow you to check the content out into your Personal Workspace or a shared Workgroup and then make your edits.

#### Derive a copy

If you don't have permission to edit the content, you can still use "Reuse / Edit" to adapt the content by creating a derived copy of it and then editing and publishing the copy.