Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Trigonometrie - Graad 10 [CAPS]

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

In meetkunde leer ons wat die verwantskap tussen sye van veelhoeke en die hoeke van veelhoeke is, maar ons het nie geleer hoe om 'n hoek te bereken as ons die lengtes van die sye weet nie. Trigonometrie handel oor die verwantskap tussen die hoeke en die sye van 'n reghoekige driehoek. Ons sal leer oor trigonometriese funksies (driehoeksmetingfunksies), wat die grondslag van trigonometrie vorm.

Ondersoek: Geskiedenis van Trigonometrie

Werk in pare of groepe en ondersoek die geskiedenis van die grondslag van trigonometrie te ondersoek. Beskryf die verskillende stadia van ontwikkeling en hoe die volgende kulture trigonometrie gebruik het om hulle lewens te verbeter.

Die werke van die volgende mense of kulture kan ondersoek word:

  1. Kulture
    1. Antieke Egiptenare
    2. Mesopotamiërs
    3. Antieke Indiane van die Indusvallei
  2. Mense
    1. Lagadha (ongeveer 1350-1200 VC)
    2. Hipparchus (ongeveer 150 BC)
    3. Ptolemy (ongeveer 100)
    4. Aryabhata (ongeveer 499)
    5. Omar Khayyam (1048-1131)
    6. Bhaskara (ongeveer 1150)
    7. Nasir al-Din (13de eeu)
    8. al-Kashi and Ulugh Beg (14de eeu)
    9. Bartholemaeus Pitiscus (1595)

Opmerking: Interessante Feit::

Jy behoort uit meetkunde bekend te wees met die idee om hoeke te meet, maar het jy al ooit gewonder hoekom daar 360 grade in 'n sirkel is? Die rede is suiwer histories. Daar is 360 grade in 'n sirkel omdat die antieke Babiloniëres 'n getallestelsel met grondtal (basis) 60 gehad het. 'n Grondtal is die basisgetal waarby jy nog 'n syfer byvoeg wanneer jy tel. Die getallestelsel wat ons daagliks gebruik word die desimale stelsel genoem (die grondtal is 10), maar rekenaars gebruik die binêre sisteem (die grondtal is 2). 360 = 6 x 60 dus het dit vir hulle sin gemaak om 360 grade in 'n sirkel te hê.

Gebruik van Trigonometrie

Daar is baie toepassings van trigonometrie. Die tegniek van triangulering, wat in sterrekunde gebruik word om die afstand na nabygeleë sterre te meet, is van besondere waarde in geografie om die afstand tussen landmerke te meet, asook in satelliet navigasiestelsels. GPS (globale posisionering stelsels) sou nie moontlik gewees het sonder trigonometrie nie. Ander velde wat gebruik maak van trigonometrie sluit in sterrekunde (en daarom navigasie op die oseane, in vliegtuie en in die ruimte), musiek teorie, akoestiek, optika, ontleding van finansiële markte, elektronika, waarskynlikheidsteorie, statistiek, biologie, mediese ver-beelding (CAT-skanderings en ultraklank), farmakologie, chemie, getalleteorie (en dus kriptologie), seismologie, meteorologie, oseanografie, baie fisiese wetenskappe, landmeting en geodesie, argitektuur, fonetiek, ekonomie, elektriese ingenieurswese, meganiese ingenieurswese, siviele ingenieurswese, rekenaargrafika, kartografie, kristallografie en spelontwikkeling.

Bespreking: Gebruike van Trigonometrie

Kies een van die gebruike van trigonometrie uit die gegewe lys en skryf 'n 1-bladsy verslag wat beskryf hoe trigonometrie in jou gekose veld gebruik word.

Gelykvormigheid van Driehoeke

A B C ||| D E F A B C ||| D E F

A B C ||| D E F A B C ||| D E F
(1)

Figuur 1
Figuur 1 (MG10C15_001.png)

Dan is dit moontlik om die verhoudings tussen ooreenstemmende sye van die twee driehoeke af te lei, as volg:

A B B C = D E E F A B A C = D E D F A C B C = D F E F A B D E = B C E F = A C D F A B B C = D E E F A B A C = D E D F A C B C = D F E F A B D E = B C E F = A C D F
(2)

Die belangrikste feit omtrent gelykvormige driehoeke ABCABC and DEFDEF is dat die hoek by toppunt A geyk is aan die hoek by toppunt D, en die hoek by B is gelyk aan die hoek by E, en die hoek by C is gelyk aan die hoek by F.

A = D B = E C = F A = D B = E C = F
(3)

Ondersoek: Verhouding van Gelykvormige Driehoeke

In jou oefeningboek, teken drie gelykvormiige driehoeke van verskillende groottes, maar elkeen met A^=30°;Bˆ=90° and Cˆ=60°. Meet hoeke en lengtes baie akkuraat ten einde die tabel hieronder te voltooi (rond antwoorde af tot een desimale plek).

Figuur 2
Figuur 2 (MG10C15_002.png)

Tabel 1
Verdeling van die lengtes van sye (Verhoudings)
A B B C = A B B C = A B A C = A B A C = C B A C = C B A C =
A ' B ' B ' C ' = A ' B ' B ' C ' = A ' B ' A ' C ' = A ' B ' A ' C ' = C ' B ' A ' C ' = C ' B ' A ' C ' =
A ' ' B ' ' B ' ' C ' ' = A ' ' B ' ' B ' ' C ' ' = A ' ' B ' ' A ' ' C ' ' = A ' ' B ' ' A ' ' C ' ' = C ' ' B ' ' A ' ' C ' ' = C ' ' B ' ' A ' ' C ' ' =

Watter waarnemings kan jy oor die verhoudings van die sye maak?

Hierdie gelyke verhoudings word gebruik om die trigonometriese funksies te definieer.

Let wel: In algebra gebruik ons dikwels die letter xx vir die onbekende veranderlike (alhoewel ons enige ander letter kan gebruik, soos aa, bb, kk, ens). In trigonometrie gebruik ons dikwels die Griekse simbool θθ vir 'n onbekende hoek (ons kan ook αα , ββ , γγ etc gebruik).

Definisies van die Trigonometriese Funksies

Ons is bekend met 'n funksie in die vorm f( x)f( x) waar ff die funksie is en xx die veranderlike is. Voorbeelde is:

f ( x ) = 2 x (eksponensiële funksie) g ( x ) = + 2 (lineêre funksie) h ( x ) = 2 x 2 (paraboliese funksie) f ( x ) = 2 x (eksponensiële funksie) g ( x ) = + 2 (lineêre funksie) h ( x ) = 2 x 2 (paraboliese funksie)
(4)

Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies. Daar is drie basiese trigonometriese funksies:

  1. sinus
  2. cosinus
  3. tangens

Dit word afgekort na:

  1. sin
  2. cos
  3. tan

Hierdie funksies word gedefinieer vanaf 'n reghoekige driehoek, 'n driehoek waar een interne hoek 90 is.

Beskou 'n reghoekige driehoek.

Figuur 3
Figuur 3 (MG10C15_003.png)

In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hoe hulle geplaas word in verhouding tot die hoek θθ. Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aan die oorkant van θθ word teenoorstande genoem, die sy langs θθ word aangrensend genoem. Let daarop dat die keuse van 'n nie-90-graad interne hoek arbitrêr is. Jy kan enige interne hoek kies en dan die aangrensende en teenoorgestelde sye dienooreenkomstig definieer. Maar die skuinssy bly dieselfde ongeag van die interne hoek waarna jy verwys.

Ons definieer die trigonometriese funksies, ook bekend as trigonometriese identiteite, as:

sin θ = teenoorstaande skuinssy cos θ = aangrensend skuinssy tan θ = teenoorstaande aangrensend sin θ = teenoorstaande skuinssy cos θ = aangrensend skuinssy tan θ = teenoorstaande aangrensend
(5)

Hierdie funksies bring die lengte van die sye van 'n reghoekige driehoek in verband met die interne hoeke daarvan.

Opmerking:

Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengte van die driehoek se sye en is slegs afhanklik van die hoeke. Dit is waarom ons die verhoudings as funksies van die hoeke kan beskou.

Een manier om die definisies te memoriseer is om die volgende geheuehulpmiddel te gebruik wat dit miskien makliker maak om te onthou:

Tabel 2
Silly Old Hens S in = O pposite H ypotenuse S in = O pposite H ypotenuse
Cackle And Howl C os = A djacent H ypotenuse C os = A djacent H ypotenuse
Till Old Age T an = O pposite A djacent T an = O pposite A djacent

Jy mag ook hoor mense sê Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies te onthou.

leidraad:

Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssye is slegs van toepassing wanneer jy besig is met 'n reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regte hoek voordat jy dit gebruik, anders sal jy die verkeerde antwoord kry. Ons sal in Graad 11 maniere vind om met ons kennis van reghoekige driehoeke die trigonometrie van nie-reghoekige driehoeke te hanteer.

Ondersoek: Definisies van Trigonometriese Funksies

  1. In elk van die volgende driehoeke, sê of aa, bb en cc die skuinssy, die teenoorstaande sy of die aangrensende sy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.
    Figuur 4
    Figuur 4 (MG10C15_004.png)
  2. Voltooi elk van die volgende, die eerste een is vir jou gedoen:
    Figuur 5
    Figuur 5 (MG10C15_005.png)
    a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=
    (6)
    d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=
    (7)
  3. Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar :
    Figuur 6
    Figuur 6 (MG10C15_006.png)
    sin60=cos30=tan60=sin60=cos30=tan60=
    (8)
    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C15_007.png)
    sin45=cos45=tan45=sin45=cos45=tan45=
    (9)

Vir die meeste hoeke θθ, is dit baie moeilik om die waardes van sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ te bereken. 'n Mens moet gewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Maar ons het in bogenoemde aktiwiteit gesien ons kan hierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkant die 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

Tabel 3
  0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 180 180
cos θ cos θ 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 - 1 - 1
sin θ sin θ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0
tan θ tan θ 0 1 3 1 3 1 3 3 - - 0

Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

Exercise 1: Die berekening van lengtes

Vind die lengte van x in die volgende driehoek.

Figuur 8
Figuur 8 (MG10C15_008.png)

Solution

  1. Stap 1. Stel vas watter trigonometriese identiteit jy benodig:

    In hierdie geval werk ons met 'n hoek van 5050, die teenoorstaande sy en die skuinssy.

    Dus moet jy moet sinsingebruik.

    sin 50 = x 100 sin 50 = x 100
    (10)
  2. Stap 2. Herrangskik die vergelyking om op te los vir xx :
    x = 100 × sin 50 x = 100 × sin 50
    (11)
  3. Stap 3. Gebruik jou sakrekenaar om die antwoord te kry :

    Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.

    x = 76 . 6 m x = 76 . 6 m
    (12)

Exercise 2: Die berekening van hoeke

Vind die waarde van θθ in die volgende driehoek.

Figuur 9
Figuur 9 (MG10C15_009.png)

Solution

  1. Stap 1. Stel vas watter trigonometriese identiteit jy benodig :

    In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek θθ.

    Dus moet jy tantangebruik.

    tan θ = 50 100 tan θ = 50 100
    (13)
  2. Stap 2. Bereken die breuk as 'n desimale getal :
    tan θ = 0 . 5 tan θ = 0 . 5
    (14)
  3. Stap 3. Gebruik jou sakrekenaar om die hoek te kry :

    Omdat jy die hoek wil kry,

    gebruik tan-1tan-1 op jou sakrekenaar.

    Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!

    θ = 26 . 6 θ = 26 . 6
    (15)

In die vorige voorbeeld het ons tan-1tan-1 gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en cos het ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak.

Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.

Figuur 10
Khan Akademie video oor trigonometrie - 1

Figuur 11
Khan Akademie video oor trigonometrie - 2

Die vind van lengtes

Vind die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.

Figuur 12
Figuur 12 (MG10C15_010.png)
Figuur 13
Figuur 13 (MG10C15_011.png)

Kliek hier vir die oplossing.

Tweedimensionele Probleme

Ons kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoeke bevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil vind, kan jy 'n reghoekige driehoek konstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namate jy deur die voorbeelde werk.

Exercise 3

ABCD is 'n trapesium met AB=4cmAB=4cm, CD=6cmCD=6cm, BC=5cmBC=5cm en AD=5cmAD=5cm. Punt E op die diagonaal AC verdeel die diagonaal so dat AE=3cmAE=3cm. Vind A B ^ CA B ^ C.

Solution

  1. Stap 1. Maak 'n skets: Ons maak 'n skets en konstrueer reghoekige driehoeke om ons te help om die probleem visueel voor te stel.
    Figuur 14
    Figuur 14 (q1trig.png)
  2. Stap 2. Bepaal hoe om die probleem op te los: Ons sal driehoeke ABE en BEC gebruik om die twee hoeke te bereken wat ons dan kan bymekaartel om die gevraagde hoek te kry.
  3. Stap 3. Bepaal watter trigonometriese funksies om te gebruik: Ons gebruik sin vir beide driehoeke aangesien ons die skuinssye en die teenoorstaande sye het.
  4. Stap 4. Los die probleem op: In driehoek ABE vind ons:
    sin ( A B ^ E ) = opp hyp sin ( A B ^ E ) = 34 A B ^ E = sin-1 (34) A B ^ E = 48,59 sin ( A B ^ E ) = opp hyp sin ( A B ^ E ) = 34 A B ^ E = sin-1 (34) A B ^ E = 48,59
    (16)
    Ons gebruik die Stelling van Pythagoras en vind EC=4,4cmEC=4,4cm. In driehoek BEC vind ons:
    sin ( C B ^ E ) = opp hyp sin ( C B ^ E ) = 4,45 A B ^ E = sin-1 (4,45 ) C B ^ E = 61,64 sin ( C B ^ E ) = opp hyp sin ( C B ^ E ) = 4,45 A B ^ E = sin-1 (4,45 ) C B ^ E = 61,64
    (17)
  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer: Ons tel die twee hoeke saam en kry 48,59+61,64=110,2348,59+61,64=110,23

Die Trigonometriese Funksies vir Enige Hoek

Tot dusver het ons die trigonometriese funksies gedefinieer deur gebruik te maak van reghoekige driehoeke. Ons kan nou hierdie definisies uitbrei na alle hoeke. Ons kry dit reg deur daarop te let dat die definisies nie afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie, maar slegs bepaal word deur die hoekgootte. So, as ons enige punt op die Cartesiese vlak merk en 'n lyn trek vanaf daardie punt na die oorsprong, kan ons werk met die hoek tussen daardie lyn en die x-as. In figuur 15 is punte P en Q gemerk. 'n Lyn is getrek vanaf die oorsprong na elk van die punte. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke kan konstureer vir elke punt. Nou kan ons hoeke A en B vind.

Figuur 15
Figuur 15 (trigfunc1.png)

Jy sal vind hoek A is 63,4363,43. Vir hoek B, moet jy eers vir x = 33,6933,69 bereken en dan is B = 180-33,69=146,31180-33,69=146,31. Maar, gestel ons dit wil doen sonder om hierdie hoeke uit te werk en vas te stel of ons 180 grade of 90 grade moet bytel of aftrek? Kan ons trigonometriese funksies gebruik om dit te doen? Beskou punt P in figuur 15. Om die hoek te vind, sou jy een van die trigonometriese funksies gebruik het, naamlik tanθtanθ. Let op, die sy wat aangrensend is aan die hoek, is die x-koördinaat en die sy teenoor die hoek is die y-koördinaat. Maar wat van die skuinssy? Ons kan dit vind deur die Stelling van Pythagoras te gebruik aangesien ons die twee reghoeksye van 'n reghoekige driehoek het. As ons 'n sirkel trek met die oorsprong as middelpunt, dan is die lengte vanaf die oorsprong na punt P die radius van die sirkel, wat ons aandui met r. Nou kan ons al ons trigonometriese verhoudings herskryf in terme van x, y en r. Maar hoe help dit ons om B te vind? Vanaf punt Q na die oorsprong is r en ons het die koördinate van Q. Ons gebruik nou eenvoudig ons nuut-gedefinieërde trigonometriese funksies om B te bereken! (Probeer dit self en bevestig dat jy dieselfde antwoord kry as vantevore). Wanneer ons anti-kloksgewys om die oorsprong beweeg, is die hoeke positief en wanneer ons kloksgewys draai in die Cartesiese vlak, is die hoeke negatief.

Ons kry dus die volgende definisies vir die trigonometriese funksies:

sin θ = x r cos θ = y r tan θ = y x sin θ = x r cos θ = y r tan θ = y x
(18)

Gestel die x-koördinaat of die y-koördinaat is negatief. Ignoreer ons dit of is daar 'n manier om dit in berekening te bring? Die antwoord is dat ons dit nie ignoreer nie: die teken voor die x- of y-koördinaat bepaal of sin, cos en tan positief of negatief is. Die Cartesiese vlak is verdeel in kwadrante en dan gebruik ons figuur 16 om vir ons aan te dui of die trigonometriese funksie positief of negatief is. Die diagram staan bekend as die CAST diagram.

Figuur 16
Figuur 16 (CAST.png)

Op dieselfde wyse kan ons die definisies uitbrei na die resiprook funksies:

cosec θ = r x sec θ = r y cot θ = x y cosec θ = r x sec θ = r y cot θ = x y
(19)

Exercise 4: Berekening van hoeke

Punt R(-1;-3) en punt S(3;-3) is aangedui op die diagram hieronder. Vind die hoeke αα en ββ.

Figuur 17
Figuur 17 (qtrig.png)

Solution

  1. Stap 1. Skryf neer wat is gegee en wat word gevra :

    Ons het die koördinate van punte R en S en ons moet die groottes van die twee hoeke vind. Hoek ββ is positief en hoek αα is negatief.

  2. Stap 2. Bereken ββ:

    Ons gebruik tan om ββ te vind, aangesien ons slegs x en y het. Ons sien die hoek lê in die derde kwadrant waar tan positief is.

    tan ( β ) = y x tan ( β ) = -3-1 β = tan-1 (3) β = 71,57 tan ( β ) = y x tan ( β ) = -3-1 β = tan-1 (3) β = 71,57
    (20)
  3. Stap 3. Bereken αα:

    Ons gebruik tan om αα te bereken aangesien ons x en y het. Die hoek is in die vierde kwadrant waar tan negatief is.

    tan ( α ) = y x tan ( α ) = -33 α = tan-1 (-1) α = -45 tan ( α ) = y x tan ( α ) = -33 α = tan-1 (-1) α = -45
    (21)
  4. Stap 4. Skryf die finale antwoord neer:

    Hoek αα is -45-45 en hoek ββ is 71,5771,57

Opmerking:

Let op dat in die uitgewerkte voorbeeld hierbo, hoek αα eenvoudig die hoek is wat lyn OS maak met die x-as. Dus kan ons trigonometrie gebruik om te bereken watter hoek 'n lyn maak met die x- of y-as.

Oplos van Eenvoudige Trigonometriese Vergelykings

Deur te gebruik wat ons geleer het omtrent trigonometriese funksies, kan ons nou eenvoudige trigonometriese vergelykings oplos. Ons gebruik ook die beginsels van Equations and Inequalities om ons te help om trigonometriese vergelykings op te los.

Opmerking:

Die is belangrik om daarop te let dat 2sinθsin(2θ)2sinθsin(2θ). Met ander woorde om die verhouding te verdubbel (met 2 te vermenigvuldig) het 'n ander betekenis as om die hoek te verdubbel.

Exercise 5

Los die volgende trigonometriese vergeyking op: 3cos(2x+38)+3=23cos(2x+38)+3=2

Solution

  1. Stap 1. Herrangskik die vergelyking:
    3cos(2x+38)=2-3 cos(2x+38)=-13 (2x+38)=107,46 2x=107,46-38 2x=69,46 x=34,73 3cos(2x+38)=2-3 cos(2x+38)=-13 (2x+38)=107,46 2x=107,46-38 2x=69,46 x=34,73
    (22)
  2. Stap 2. Skryf die finale antwoord neer: x=34,73x=34,73

Aside:

In grade 11 en 12, sal jy meer leer oor die oplos van trigonometriese vergelykings.

Eenvoudige Toepassings van Trigonometriese Funksies

Trigonometrie is waarskynlik in antieke beskawings uitgevind om praktiese probleme, byvoorbeeld in die bou- en konstruksiebedryf, asook navigasie met behulp van sterre, op te los. In hierdie afdeling sal ons wys hoe trigonometrie gebruik kan word om 'n paar ander praktiese probleme op te los.

Hoogte en Diepte

Figuur 18: Bepaling van die hoogte van 'n gebou deur trigonometrie te gebruik
Figuur 18 (MG10C15_012.png)

'n Eenvoudige taak is om die hoogte van 'n gebou te vind met behulp van trigonometrie. Ons sou net 'n maatband van die dak kon laat sak, maar dit is onprakties (en gevaarlik) by hoë geboue. Dit is baie meer sinvol om 'n afstand op die grond te meet en trigonometrie te gebruik om die hoogte van die gebou te vind.

figuur 18 toon 'n gebou waarvan ons nie die hoogte weet nie. Ons het 100 m weg van die gebou gestap en die hoek van die grond tot by die top van die gebou gemeet . Hierdie hoek is 38,738,7. Ons noem hierdie hoek die hoogtehoek. Soos jy kan sien van figuur 18, het ons nou 'n reghoekige driehoek. Omdat ons weet wat die lengte van een sy en 'n hoek is, kan ons die hoogte van die driehoek bereken, wat die hoogte van die gebou is wat ons probeer vind.

As ons kyk na die figuur, sien ons dat ons met die teenoorstaande en die aangrensende sy van die hoogtehoek werk en ons kan skryf:

tan 38 , 7 = teenoorstaande aangrensend = hoogte 100 m hoogte = 100 m × tan 38 , 7 = 80 m tan 38 , 7 = teenoorstaande aangrensend = hoogte 100 m hoogte = 100 m × tan 38 , 7 = 80 m
(23)

Exercise 6: Hoogte van die toring

'n Blok woonstelle is 100m weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by BB. Hulle meet die hoek van BB na die bopunt van die toring E E en dit is 62 . Dit is die hoogtehoek. Dan meet hulle die hoek van BB af na die basis van die toring CC en dit is 34. Dit is die dieptehoek. Wat is die hoogte van die selfoontoring korrek tot 1 desimale plek?

Figuur 19
Figuur 19 (MG10C15_013.png)

Solution
  1. Stap 1. Identifiseer 'n strategie :

    Om die hoogte van 'n toring te vind, hoef ons net die lengte van CDCD en DEDE te vind. Ons sien dat BDEBDE en BDCBDC beide reghoekige driehoeke is. Vir elkeen van die driehoeke het ons 'n hoek en ons het die lengte BDBD. Dus kan ons die sye van die driehoeke bereken.

  2. Stap 2. Bereken CDCD :

    Dit word vir ons gegee dat die lengte van ACAC 100m is. CABDCABD is 'n reghoek, dus BD=AC=100mBD=AC=100m.

    tan ( C B ^ D ) = C D B D C D = B D × tan ( C B ^ D ) = 100 × tan 34 tan ( C B ^ D ) = C D B D C D = B D × tan ( C B ^ D ) = 100 × tan 34
    (24)

    Gebruik jou sakrekenaar om te vind dat tan34=0,6745tan34=0,6745. Deur dit te gebruik, vind ons dat CD=67,45CD=67,45m.

  3. Stap 3. Bereken DEDE :
    tan ( D B ^ E ) = D E B D D E = B D × tan ( D B ^ E ) = 100 × tan 62 = 188 , 07 m tan ( D B ^ E ) = D E B D D E = B D × tan ( D B ^ E ) = 100 × tan 62 = 188 , 07 m
    (25)
  4. Stap 4. Kombineer die vorige antwoorde :

    Ons het die hoogte van die toring CE=CD+DE=67,45m+188,07m=255.5mCE=CD+DE=67,45m+188,07m=255.5m.

Kaarte en planne

Kaarte en planne is gewoonlik skaaltekeninge. Dit beteken hulle is 'n presiese kopie van die regte ding, maar gewoonlik kleiner. Dus word net lengtes verander, maar al die hoeke is dieselfde. Ons kan dus hierdie idee gebruik om kaarte en planne te gebruik deur inligting van die werklike wêreld by te voeg.

Exercise 7: Skaaltekeninge

'n Skip op pad na die Kaapstadhawe bereik punt A op die kaart, reg suid van Pretoria en reg oos van Kaapstad. As die afstand vanaf Kaapstad na Pretoria 1000km is, gebruik trigonometrie om uit te vind hoe ver oos die skip van Kaapstad is, en vind op hierdie manier die skaal van die kaart.

Figuur 20
Figuur 20 (MG10C15_014.png)

Solution
  1. Stap 1. Identifiseer wat gebeur in die vraag :

    Ons weet reeds die afstand tussen Kaapstad en AA in blokke van die gegewe kaart, is 5 blokke. Dus, as ons bereken hoeveel kilometers hierdie afstand is, kan ons bereken hoeveel kilometers elke blok verteenwoordig, en dan het ons die skaal van die kaart.

  2. Stap 2. Identifiseer die beskikbare inligting :

    Laat ons Kaapstad aandui met CC en Pretoria met PP. Ons kan sien dat die driehoek APCAPC reghoekig is. Verder sien ons ACAC en afstand APAP is beide 5 blokke. Dit is dus 'n gelykbenige driehoek en AC^P=AP^C=45AC^P=AP^C=45.

  3. Stap 3. Doen die berekening :
    C A = C P × cos ( A C ^ P ) = 1000 × cos ( 45 ) = 1000 2 km C A = C P × cos ( A C ^ P ) = 1000 × cos ( 45 ) = 1000 2 km
    (26)

    Om die skaal uit te werk, sien ons dat

    5 blokke = 1000 2 km 1 blok = 200 2 km 5 blokke = 1000 2 km 1 blok = 200 2 km
    (27)

Exercise 8: Bouplan

Mnr Nkosi het 'n motorhuis by sy huis, en hy besluit hy wil 'n sinkdak aan die kant van sy motorhuis aanlas. Die motorhuis is 4m hoog, en die plaat vir die dak is 5m lank. As hy die dak teen 'n hoek van 55 wil hê, hoe hoog moet hy die muur, BDBD, wat die dak ophou, bou? Gee die antwoord tot 2 desimale plekke.

Figuur 21
Figuur 21 (MG10C15_015.png)

Solution
  1. Stap 1. Bepaal die strategie :

    Ons sien dat die driehoek ABCABC 'n reghoekige driehoek is. Aangesien ons een sy en 'n hoek van die driehoek het, kan ons ACAC bereken. Die hoogte van die muur is die hoogte van die motorhuis minus ACAC.

  2. Stap 2. Voer die strategie uit :

    As BCBC=5m, en hoek AB^C=5AB^C=5, dan

    A C = B C × sin ( A B ^ C ) = 5 × sin 5 = 5 × 0 , 0871 = 0 . 4358 m A C = B C × sin ( A B ^ C ) = 5 × sin 5 = 5 × 0 , 0871 = 0 . 4358 m
    (28)

    Dus het ons dat die hoogte van die muurBD =4m-0.4358m=3.56mBD =4m-0.4358m=3.56m.

Toepassings van Trigonometriese Funksies

  1. 'n Seun vlieg 'n vlieër en staan 30 m van 'n punt direk onder die vlieër. As die tou van die vlieër 50 m lank is, bepaal die hoogtehoek van die vlieër.
    Kliek hier vir die oplossing.
  2. Wat is die hoogtehoek van die son as 'n boom van 7,15 m hoog 'n skadu van 10,1 m lank gooi?
    Kliek hier vir die oplossing.

Grafieke van Trigonometriese Funksies

Hierdie afdeling beskryf die grafieke van trigonometriese funksies.

Grafiek van sinθsinθ

Grafiek van sinθsinθ

Volgooi die volgende tabel en gebruik jou sakrekenaar om die waardes te bereken. Stip dan die waardes metsinθsinθ op die yy-as en θθ op die xx-as. Rond die antwoorde af tot 1 desimale plek.

Tabel 4
θ θ 0 30 60 90 120 150  
sin θ sin θ              
θ θ 180 210 240 270 300 330 360
sin θ sin θ              
 
Figuur 22
Figuur 22 (MG10C15_016.png)

Laat ons terugkyk na ons waardes vir sinθ .sinθ .

Tabel 5
θ θ 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 180 180
sin θ sin θ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0

Soos jy kan sien, die funksie sinθsinθ het 'n waarde van 0 by θ=0θ=0. Sy waarde neem egalig toe tot by θ=90θ=90 wanneer sy waarde 1 is. Ons weet ook dat dit later afneem na 0 as θ=180θ=180. Deur dit alles bymekaar te sit, kan ons 'n idee kry van die volle omvang van die sinuskurwe. Die sinuskurwe word gewys in figuur 23. Let op die kurwe se vorm, waar elke kurwe die lengte het van 360360. Ons sê die grafiek het 'n periode van 360360. Die hoogte van die kurwe bo (of onder) die xx-as word die kurwe se amplitude genoem. Dus is die amplitude van die sinuskurwe is 1.

Figuur 23: Die grafiek van y = sinθsinθ
Figuur 23 (MG10C15_017.png)

Funksies in die vorm y=asin(x)+qy=asin(x)+q

In die vergelyking, y=asin(x)+qy=asin(x)+q, aa en qq is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van hierdie grafiek word gewys in figuur 24 vir die funksief(θ)=2sinθ+3f(θ)=2sinθ+3.

Figuur 24: Grafiek van f(θ)=2sinθ+3f(θ)=2sinθ+3
Figuur 24 (trigrep.png)

Funksies van die vorm y=asin(θ)+qy=asin(θ)+q :

  1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
    1. a(θ)=sinθ-2a(θ)=sinθ-2
    2. b(θ)=sinθ-1b(θ)=sinθ-1
    3. c(θ)=sinθc(θ)=sinθ
    4. d(θ)=sinθ+1d(θ)=sinθ+1
    5. e(θ)=sinθ+2e(θ)=sinθ+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
  2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
    1. f(θ)=-2·sinθf(θ)=-2·sinθ
    2. g(θ)=-1·sinθg(θ)=-1·sinθ
    3. h(θ)=0·sinθh(θ)=0·sinθ
    4. j(θ)=1·sinθj(θ)=1·sinθ
    5. k(θ)=2·sinθk(θ)=2·sinθ
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Dis duidelik dat qq 'n vertikale verskuiwing teweegbring. As q=2q=2, sal die hele sinusgrafiek 2 eenhede opskuif. As q=-1q=-1, suif die hele grafiek 1 eenheid af.

Hierdie eienskappe word opgesom in tabel 6.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa die hoogte van die pieke van die grafiek beïnvloed. As die grootte van aa toeneem, word die pieke hoër. As dit afneem, word die pieke laer.

Tabel 6: Tabel wat die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies in die vorm y=asin(x)+qy=asin(x)+q opsom
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 25
Figuur 25 (MG10C15_019.png)
Figuur 26
Figuur 26 (MG10C15_020.png)
q < 0 q < 0
Figuur 27
Figuur 27 (MG10C15_021.png)
Figuur 28
Figuur 28 (MG10C15_022.png)

Gebied en Terrein

Vir f(θ)=asin(θ)+qf(θ)=asin(θ)+q, is die gebied {θ:θR}{θ:θR} omdat daar geen waarde is van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q hang daarvan af of die waarde vir aa positief of negatief is. Ons sal die twee gevalle afsonderlik oorweeg.

As a>0a>0 we have:

- 1 sin θ 1 - a a sin θ a ( Vermenigvuldiging met 'n positiewe getal handhaaf die aard van die ongelykheid ) - a + q a sin θ + q a + q - a + q f ( θ ) a + q - 1 sin θ 1 - a a sin θ a ( Vermenigvuldiging met 'n positiewe getal handhaaf die aard van die ongelykheid ) - a + q a sin θ + q a + q - a + q f ( θ ) a + q
(29)

Dit vertel ons dat vir alle waardes van θθ, f(θ)f(θ) altyd tussen -a+q-a+q en a+qa+q is. Daarom as a>0a>0, is die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q dus {f(θ):f(θ)[-a+q,a+q]}{f(θ):f(θ)[-a+q,a+q]}.

Insgelyks, daar kan getoon word dat as a<0a<0, dan is die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q is {f(θ):f(θ)[a+q,-a+q]}{f(θ):f(θ)[a+q,-a+q]}. Dit word as 'n oefening gelaat.

leidraad:
Die maklikste manier om die terrein te bepaal is om bloot vir die "bokant" en die "onderkant" van die grafiek te soek.

Snypunte

Die yy-snypunt, yintyint, van f(θ)=asin(x)+qf(θ)=asin(x)+q is eenvoudig die waarde van f(θ)f(θ) by θ=0θ=0.

y i n t = f ( 0 ) = a sin ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q y i n t = f ( 0 ) = a sin ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q
(30)

Grafiek van cosθcosθ

Grafiek van cosθcosθ :

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar om die waardes korrek tot 1 desimale plek te bereken. Stip dan die waardes met cosθcosθ op die yy-as en θθ op die xx-as.

Tabel 7
θ θ 0 30 60 90 120 150  
cos θ cos θ              
θ θ 180 210 240 270 300 330 360
cos θ cos θ              
 
Figuur 29
Figuur 29 (MG10C15_023.png)

Laat ons terugkyk na ons waardes vir cosθcosθ.

Tabel 8
θ θ 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 180 180
cos θ cos θ 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 - 1 - 1

As jy noukeurig kyk, sal jy oplet dat die cosinus van 'n hoek θθ dieselfde is as die sinus van die hoek (90-θ90-θ). Neem byvoorbeeld,

cos 60 = 1 2 = sin 30 = sin ( 90 - 60 ) cos 60 = 1 2 = sin 30 = sin ( 90 - 60 )
(31)

Dit wys ons dat ten einde 'n cosinusgrafiek te skep, al wat ons hoef te doen is om die sinusgrafiek 9090 na links te skuif. die grafiek van cosθcosθ word gewys in figuur 30. As die cosinusgrafiek eenvoudig 'n geskuifde sinusgrafiek is, sal dit dieselfde periode en amplitude as die sinuskurwe hê.

Figuur 30: Grafiek van cosθcosθ
Figuur 30 (MG10C15_024.png)

Funksies in die vorm y=acos(x)+qy=acos(x)+q

In die vergelyking, y=acos(x)+qy=acos(x)+q. aa and qq is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van die grafieke van hierdie soort funksies word getoon in figuur 31 vir die funksie f(θ)=2cosθ+3f(θ)=2cosθ+3.

Figuur 31: Grafiek van f(θ)=2cosθ+3f(θ)=2cosθ+3
Figuur 31 (trigrep1.png)

Funksies van die vorm y=acos(θ)+qy=acos(θ)+q :

  1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
    1. a(θ)=cosθ-2a(θ)=cosθ-2
    2. b(θ)=cosθ-1b(θ)=cosθ-1
    3. c(θ)=cosθc(θ)=cosθ
    4. d(θ)=cosθ+1d(θ)=cosθ+1
    5. e(θ)=cosθ+2e(θ)=cosθ+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
  2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
    1. f(θ)=-2·cosθf(θ)=-2·cosθ
    2. g(θ)=-1·cosθg(θ)=-1·cosθ
    3. h(θ)=0·cosθh(θ)=0·cosθ
    4. j(θ)=1·cosθj(θ)=1·cosθ
    5. k(θ)=2·cosθk(θ)=2·cosθ
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Ons vind dat die waarde van aa die amplitude van die cosinusgrafiek op dieselfde manier beïnvloed as wat dit vir die sinusgrafiek gedoen het.

Verandering in die waarde van qq sal die die cosinusgrafiek op dieselfde manier skuif as wat dit vir die sinusgrafiek gedoen het.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 9.

Tabel 9: Tabel wat die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies in die vorm y=acos(x)+qy=acos(x)+q opsom
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 32
Figuur 32 (MG10C15_026.png)
Figuur 33
Figuur 33 (MG10C15_027.png)
q < 0 q < 0
Figuur 34
Figuur 34 (MG10C15_028.png)
Figuur 35
Figuur 35 (MG10C15_029.png)

Gebied en Terrein

Vir f(θ)=acos(θ)+qf(θ)=acos(θ)+q, is die gebied {θ:θR}{θ:θR} want daar is geen waarde van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieërd is nie.

Dit is maklik om te sien dat die terrein van f(θ)f(θ) dieselfde sal wees as die terrein van asin(θ)+qasin(θ)+q. Dit is omdat die maksimum en minimumwaardes van acos(θ)+qacos(θ)+q dieselfde is as die maksimum en minimumwaardes van asin(θ)+qasin(θ)+q.

Snypunte

Die yy-afsnit van f(θ)=acos(x)+qf(θ)=acos(x)+q word bereken op dieselfde wyse as vir sinus.

y i n t = f ( 0 ) = a cos ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q y i n t = f ( 0 ) = a cos ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q
(32)

Vergelyking van die Grafieke van sinθsinθ en cosθcosθ

Figuur 36: Die grafiek van cosθcosθ (soliede lyn) en die grafiek van sinθsinθ (stippellyn)
Figuur 36 (MG10C15_030.png)

Let daarop dat die twee grafieke baie eenders lyk. Beide ossilleer op en af rondom die xx-as soos wat jy beweeg langs die as. Die afstande tussen die pieke van die twee grafieke is dieselfde en is konstant vir elke grafiek. Die hoogte van elke piek en die diepte van elke trog is dieselfde.

Die enigste verskil is dat die sinsingrafiek skuif 'n bietjie na regs ten opsigte van die coscos grafiek, met 90. Dit beteken dat as ons die hele coscosgrafiek 90 na regs skuif, sal dit perfek oorvleul met die sinsin grafiek. Jy kan ook die sinsin grafiek 90 na links skuif en dan sal dit perfek oorvleul met die coscos grafiek. Dit beteken dat:

sin θ = cos ( θ - 90 ) ( skuif die cos grafiek na die regterkant ) en cos θ = sin ( θ + 90 ) ( skuif die sin grafiek na die linkerkant ) sin θ = cos ( θ - 90 ) ( skuif die cos grafiek na die regterkant ) en cos θ = sin ( θ + 90 ) ( skuif die sin grafiek na die linkerkant )
(33)

Grafiek van tanθtanθ

Grafiek van tanθtanθ

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar en bereken die waardes korrek tot 1 desimale plek. Stip dan die waardes met tanθtanθ op die yy-as en θθ op die xx-as.

Tabel 10
θ θ 0 30 60 90 120 150  
tan θ tan θ              
θ θ 180 210 240 270 300 330 360
tan θ tan θ              
 
Figuur 37
Figuur 37 (MG10C15_031.png)

Kom ons kyk weer na ons waardes vir tanθtanθ.

Tabel 11
θ θ 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 180 180
tan θ tan θ 0 1 3 1 3 1 3 3 0

Nou dat ons die grafieke het vir sinθsinθ en cosθcosθ, is daar 'n maklike manier om die tan-grafiek te visualiseer. Kom ons kyk weer na ons definisies van sinθsinθ en cosθcosθ vir 'n reghoekige driehoek.

sin θ cos θ = teenoorstaande skuinssy aangrensend skuinssy = teenoorstaande aangrensend = tan θ sin θ cos θ = teenoorstaande skuinssy aangrensend skuinssy = teenoorstaande aangrensend = tan θ
(34)

Dit is die eerste van 'n stel belangrike verbande wat ons trigonometriese identiteite noem. 'n Identiteit is waar vir enige waarde van die onbekende(s) wat daarin ingestel word. In hierdie geval het ons aangetoon dat

tan θ = sin θ cos θ tan θ = sin θ cos θ
(35)

vir enige waarde van θθ.

Dus weet ons dat vir die waardes van θθ waarvoor sinθ=0sinθ=0, moet ook tanθ=0tanθ=0. Soortgelyk, as cosθ=0cosθ=0 is die waarde van tanθtanθ ongedefiniëerd omdat ons nie mag deel met 0 nie. Die grafiek word getoon in figuur 38. Die vertikale stippellyne is die waardes van θθ waarvoor tanθtanθ nie gedefiniëerd is nie.

Figuur 38: Die grafiek van tanθtanθ
Figuur 38 (trgirep2.png)

Funksies van die vorm y=atan(x)+qy=atan(x)+q

Die figuur hieronder is 'n voorbeeld van 'n funksie van die vorm y=atan(x)+qy=atan(x)+q.

Figuur 39: Die grafiek van 2tanθ+12tanθ+1
Figuur 39 (trigrep3.png)

Funksies van die vorm y=atan(θ)+qy=atan(θ)+q :

  1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
    1. a(θ)=tanθ-2a(θ)=tanθ-2
    2. b(θ)=tanθ-1b(θ)=tanθ-1
    3. c(θ)=tanθc(θ)=tanθ
    4. d(θ)=tanθ+1d(θ)=tanθ+1
    5. e(θ)=tanθ+2e(θ)=tanθ+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
  2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
    1. f(θ)=-2·tanθf(θ)=-2·tanθ
    2. g(θ)=-1·tanθg(θ)=-1·tanθ
    3. h(θ)=0·tanθh(θ)=0·tanθ
    4. j(θ)=1·tanθj(θ)=1·tanθ
    5. k(θ)=2·tanθk(θ)=2·tanθ
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Ons vind dat die waarde van aa die steilheid van die bene van die grafiek beinvloed. Hoe groter die absolute waarde van a, hoe vinniger nader die bene die waardes van hulle asimptote, die waardes waar hulle nie gedefinieërd is nie. Negatiwe aa waardes keer die rigting waarin die bene van die grafiek loop, om. Ons vind verder dat die waarde van qq beïnvloed die vertikale verskuiwing net soos by sinθsinθ and cosθcosθ. Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 12.

Tabel 12: Tabel van die algemene vorms en posisies van grafieke en funksies van die vorm y=atan(x)+qy=atan(x)+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 40
Figuur 40 (MG10C15_034.png)
Figuur 41
Figuur 41 (MG10C15_035.png)
q < 0 q < 0
Figuur 42
Figuur 42 (MG10C15_036.png)
Figuur 43
Figuur 43 (MG10C15_037.png)

Domein en Omvang

Die domein vanf(θ)=atan(θ)+qf(θ)=atan(θ)+q is al die waardes van θθ sodat cosθcosθ nie gelyk is aan 0 nie. Ons het reeds gesien dat as cosθ=0cosθ=0, tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ ongedefinieerd is, want ons het deling deur nul. Ons weet dat cosθ=0cosθ=0 vir alleθ=90+180θnθ=90+180θn, waar nn 'n heelgetal is. Dus die gebied vanf(θ)=atan(θ)+qf(θ)=atan(θ)+q is alle waardes van θθ, behalwe die waardes θ=90+180nθ=90+180n.

Die omvang van f(θ)=atanθ+qf(θ)=atanθ+q is {f(θ):f(θ)θ(-,)}{f(θ):f(θ)θ(-,)}.

Snypunte

Die yy-snypunt, yintyint, of f(θ)=atan(x)+qf(θ)=atan(x)+q is slegs die waarde van f(θ)f(θ) by θ=0θ=0.

y i n t = f ( 0 ) = a tan ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q y i n t = f ( 0 ) = a tan ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q
(36)

Asimptote

Soos θθ geleidelik naderkom aan 9090, sal tanθtanθ nader kom aan oneindig. Maar omdat θθ ongedefinieërd is by 9090, kan θθ slegs al nader kom aan 9090, maar nooit daarby uitkom nie. So, die tanθtanθ grafiek kom nader en nader aan die lyn θ=90θ=90, sonder om dit ooit te ontmoet. Dus die lyn θ=90θ=90 is 'n asimptoot van tanθtanθ. tanθtanθ het ook asimptote by θ=90+180nθ=90+180n, waar nn 'n heelgetal is.

Grafieke van Trigonometriese Funksies
  1. Deur you kennis van die invloed van aa en qq te gebruik, skets elk van die volgende grafieke, sonder om 'n tabel van waardes te gebruik, vir θ[0;360]θ[0;360]
    1. y=2sinθy=2sinθ
    2. y=-4cosθy=-4cosθ
    3. y=-2cosθ+1y=-2cosθ+1
    4. y=sinθ-3y=sinθ-3
    5. y=tanθ-2y=tanθ-2
    6. y=2cosθ-1y=2cosθ-1
    Kliek hier vir die oplossing.
  2. Gee die vergelykings van elk van die volgende grafieke:
    Figuur 44
    Figuur 44 (trigrep4.png)
    Figuur 45
    Figuur 45 (trigrep5.png)
    Figuur 46
    Figuur 46 (trigrep6.png)
    Kliek hier vir die oplossing.

Die volgende aanbieding som op wat jy tot dusver in die hoofstuk geleer het. Ignoreer die laaste skyfie.

Figuur 47

Einde van Hoofstuk Oefeninge

  1. Bereken die onbekende lengtes
    Figuur 48
    Figuur 48 (MG10C15_041.png)
    Kliek hier vir die oplossing.
  2. In die driehoek PQRPQR, PR=20PR=20 cm, QR=22QR=22 cm en PR^Q=30PR^Q=30. Die loodregte lyn van PP to QRQR sny QRQR by XX. Bereken
    1. die lengte XRXR,
    2. die lengte PXPX, en
    3. die hoek QP^XQP^X
    Kliek hier vir die oplossing.
  3. 'n Leer van 15 m lank rus teen 'n muur, die basis van die leer is 5 m van die muur. Vind die hoek tussen die muur en die leer.
    Kliek hier vir die oplossing.
  4. 'n Leer van 25 m rus teen 'n muur, die leer maak 'n hoek 3737 met die muur. Vind die afstand tussen die muur en die basis van die leer.
    Kliek hier vir die oplossing.
  5. In die volgende driehoek vind die hoek AB^CAB^C
    Figuur 49
    Figuur 49 (MG10C15_042.png)
    Kliek hier vir die oplossing.
  6. In die volgende driehoek vind die lengte van sy CDCD
    Figuur 50
    Figuur 50 (MG10C15_043.png)
    Kliek hier vir die oplossing.
  7. A(5;0)A(5;0) and B(11;4)B(11;4). Vind die hoek tussen die lyn deur A en B en die x-as.
    Kliek hier vir die oplossing.
  8. C(0;-13)C(0;-13) and D(-12;14)D(-12;14). Vind die hoek tussen die lyn deur C en D en die y-as.
    Kliek hier vir die oplossing.
  9. 'n 5m5m Leer word geplaas 2m2m van die muur. Wat is die hoek wat die leer met die muur maak?
    Kliek hier vir die oplossing.
  10. Gegewe die punte: E(5;0), F(6;2) and G(8;-2), vind 'n hoek FE^GFE^G.
    Kliek hier vir die oplossing.
  11. 'n Gelykbenige driehoek het sye 9 cm ,9 cm 9 cm ,9 cm and 2 cm 2 cm . Vind die grootste en kleinste hoeke van die driehoek.
    Kliek hier vir die oplossing.
  12. 'n Reghoekige driehoek het 'n skuissy 13 mm 13 mm . Vind die lengte van die ander twee sye as een van die hoeke van die driehoek 5050is.
    Kliek hier vir die oplossing.
  13. Een van die hoeke van 'n ruit (ruit - 'n Viersydige veelhoek, waarvan elkeen van die sye van gelyke lengte is) met 'n omtrek 20 cm 20 cm is 3030.
    1. Vind die sye van die ruit.
    2. Vind die lengte van beide diagonale.
    Kliek hier vir die oplossing.
  14. Kaptein Hook seil na 'n lighuis met 'n hoogte van 10m10m.
    1. As die bopunt van die lighuis 30m30m weg is, wat is die hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
    2. As die boot nog 7m7m nader aan die lighuis beweeg, wat is die nuwe hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
    Kliek hier vir die oplossing.
  15. (Kopkrapper) 'n Driehoek met hoeke 40,4040,40 en 100100 het 'n omtrek van 20 cm 20 cm . Vind die lengte van elke sy van die driehoek.
    Kliek hier vir die oplossing.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks