Werk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys van stadiums moet dien as 'n riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf.

Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as 'n mens aan die prisma dink as 'n soliede voorwerp.

As jy die prismas in figuur 1 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma 'n eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van 'n prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. 'n Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en 'n reghoekige kolom.

Oppervlakarea van Prismas

Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.

Bespreking: oppervlakareas

Vorm pare en bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma.

Figuur 2

Die volume van 'n reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te vermenigvuldig. Vir 'n vierkantige prisma met 'n sylengte van aa en 'n hoogte height van hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.

Volume van 'n Prisma

Bereken die volume van 'n prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma.

Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met 'n konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van 'n reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word?

Figuur 8: Reghoekige prismas

Figuur 9: Reghoekige prismas 2

Exercise 1: Proporsionele verandering van die afmetings van 'n prisma

Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het sye met lengtes LL, bb en hh.

Figuur 10

1. Vergroot al die sye van die prisma met 'n konstante faktor van xx, waar x>1x>1. Bereken die volume en die oppervlakte van die vergrootte prisma as 'n funksie van die faktor xx en die oorspronklike volume.
2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan 'n geval waar 0<x<10<x<1. Bereken nou die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.

Solution

1. Stap 1. Identifiseer:

   Die volume van die prisma word beskryf deur: V=L×b×hV=L×b×h

   Die oppervlak van die prisma word beskryf deur: A=2×(L×b+L×h+b×h)A=2×(L×b+L×h+b×h)

2. Stap 2. Proporsionele verandering:

   As al die sye van die prisma proporsioneel verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word:

   L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h

   (1)

   Die nuwe volume word beskryf deur:

   V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V

   (2)

   Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:

   A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A

   (3)
3. Stap 3. Interpreteer die bostaande resultate:
   1. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V'=x3×VV'=x3×V. Waar x>1x>1, sal die volume van die prisma vermeerder met die faktor van x3x3. Die oppervlakarea van die veranderde prisma word beskryf deur: A'=x2×AA'=x2×A. Weereens, omdat x>1x>1, sal die oppervlakarea vergroot met 'n faktor van x2x2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
   2. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar 0<x<10<x<1 sal die volume verminder met 'n faktor van x3x3 en die oppervlakarea sal met verminder met 'n faktor van x2x2

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met 'n konstante is dit soos om die oorspronklike volume met dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in figuur 8.

Bespreking: Gelykvormige Driehoeke

Gebruik die diagram om die tabel in te vul en antwoord die vra wat daarna volg.

Tabel 1

AB DE AB DE =...cm...cm=......cm...cm=...	A^A^=...∘∘	D^D^...∘∘
BC EF BC EF =...cm...cm=......cm...cm=...	B^B^=...∘∘	E^E^=...∘∘
AC DF AC DF =...cm...cm=......cm...cm=...	C^C^...∘∘	F^F^=...∘∘

Figuur 11

1. Wat kan jy sê oor jou berekening van: AB DE AB DE , BC EF BC EF , AC DF AC DF ?
2. Wat kan jy sê oor A^A^ en D^D^?
3. Wat kan jy sê oor B^B^ en E^E^?
4. Wat kan jy sê oor C^C^ en F^F^?

As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een 'n vergroting van die ander. Dit beteken dat twee veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en hulle sye sal in verhouding wees tot mekaar.

≡≡ is die simbool wat gebruik word om gelykvormigheid aan te dui.

Definition 1: Gelykvormige Veelhoeke

Twee veelhoeke is gelykvormig as:

1. hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en
2. die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is.

Exercise 2: Gelykvormigheid van Veelhoeke

Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.

Figuur 12

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat word gevra:

   Daar word gevra om te bewys dat 'n paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.

2. Stap 2. Ooreenstemmende hoeke:

   Die hoeke en hul groottes word aan ons gegee so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.

3. Stap 3. Bewys dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is:

   Al die hoeke is 90∘∘ groot en

   A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^ A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^

   (4)
4. Stap 4. Bewys dat die ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is:

   Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.

   Lang sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waards:

   Verhouding = 2 L L = 2 Verhouding = 2 L L = 2

   (5)

   Kort sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:

   Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2 Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2

   (6)

   Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk en is gelyk aan 2 in hierdie geval.

5. Stap 5. Finale antwoord:

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk, dus is die veelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Exercise 3: Gelykvormigheid van Veelhoeke

As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengte van die sye en die groote van die hoeke wat met letters gemerk is:

Figuur 13

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat is gegee:

   Daar word aan ons gegee dat ABCDE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:

   AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG

   (7)

   en

   A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^ A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^

   (8)
2. Stap 2. Bepaal wat is gevra:

   Daar word gevra om te bepaal

   1. lengtes: aa, bb, cc en dd, en
   2. hoeke: ee, ff and gg.
3. Stap 3. Besluit hoe om die volgende probleem te benader:

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons 'n paar sye DCDC gegee KJKJ wat ooreenstemmend is. DCKJ=4,53=1,5DCKJ=4,53=1,5 so ons weet dat al die sye KJHGLKJHGL 1,5 keer kleiner is as ABCDEABCDE.

4. Stap 4. Bereken lengtes:
   a 2 = 1 , 5 ∴ a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 ∴ b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 ∴ c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 ∴ d = 2 a 2 = 1 , 5 ∴ a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 ∴ b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 ∴ c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 ∴ d = 2

   (9)
5. Stap 5. Bereken hoeke:
   e = 92 ∘ ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ∘ ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ∘ ( ooreenstemmend tot E ) e = 92 ∘ ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ∘ ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ∘ ( ooreenstemmend tot E )

   (10)
6. Stap 6. Skryf die finale antwoord neer:
   a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 ∘ f = 120 ∘ g = 40 ∘ a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 ∘ f = 120 ∘ g = 40 ∘

   (11)

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Analitiese meetkunde, ook bekend as koördinaat meetkunde en vroëer bekend as Cartesiese meetkunde, is die studie van meetkunde op grond van die beginsels van algebra en die Cartesiese koördinaatstelsel. Dit is bemoeid met die definisie van meetkundige figure op 'n numeriese wyse en ontrek numeriese informasie van die voorstelling. Sommige beskou die instelling van analitiese meetkunde as die begin van moderne wiskunde.

Een van die eenvoudigste dinge wat met analitiese meetkunde bereken kan word is die afstand tussen twee punte.Afstand is a getal wat beskryf hoe ver twee punte van mekaar is. Byvoorbeel, punt PP het (2,1)(2,1) as koördinate en punt QQ het (-2,-2)(-2,-2) as koördinate. Hoe ver is die punte PP en QQ van mekaar? In die figuur beteken dit, hoe lank is die stippellyn

Figuur 16

In die figuur kan gesien word dat die lyn PRPR 3 eenhede lank is en dat die lyn QRQR 4 eenhede lank is. Alhoewel, die ▵PQR▵PQR, het 'n regte hoek RR. Dus kan die lengte van die sy PQPQ bereken word deur Stelling van Pythagoras te gebruik:

Die lengte van PQPQ is gelyk aan die afstand tussen die punte PP en QQ.

As 'n veralgemening van die idee, neem aan dat AA enige punt is met (x1;y1)(x1;y1) as koördinate en BB is enige ander punt met (x2;y2)(x2;y2) as koördinate.

Figuur 17

Die formule vir die berekening van die afstand tussen twee punte word soos volg afgelei. Die afstand tussen twee punte AA en BB is die lengte van die lyn ABAB. Volgens die Stelling van Pythagoras, word die lengte van ABAB gegee deur:

Alhoewel,

Dus,

Dus, vir enige twee punte,(x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2), is die formula:

Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2(x1-x2)2+(y1-y2)2

Deur die formula te gebruik word die afstand tussen twee punte PP en QQ met (2;1) en (-2;-2) as koördinate as volg bereken. Gestel die koördinate van punt PP is (x1;y1)(x1;y1) en die koördinate van punt QQ is (x2;y2)(x2;y2). Dan is die afstand:

Die volgende video bied 'n opsomming van die afstand formule.

Die gradiënt van 'n lyn beskryf hoe style die lyn is. In die figuur hieronde is lyn PTPT die stylste. Lyn PSPS is minder styl as PTPT maar is styler as PRPR, en die lyn PRPR is styler as PQPQ.

Figuur 19

Die gradiënt van die lyn word gedefinieer as die verhouding van die vertikale sy tot die horisontale sy. Dit kan verstaan word deur te kyk na die lyn as die skuinssy van die reghoekige driehoek. Die gradiënt is die verhouding van die lengte van die vertikale sy van die driehoek tot die horisontale sy van die driehoek. Dink aan 'n lyn tussen punt AA met (x1;y1)(x1;y1) as koördinate en punt BB met (x2;y2)(x2;y2) as koördinate.

Figuur 20

Gradiënt=y2-y1x2-x1=y2-y1x2-x1

Ons kan die gradiënt van 'n lyn gebruik om te bepaal of twee lyne parallel of loodreg is tot mekaar. Die lyne is parallel tot mekaar (figuur 21a) as hulle dieselfde gradiënt het, naamlik m_AB == m_CD. As die lyne loodreg is tot mekaar (figuur 21b) dan het ons: -1mAB=mCD-1mAB=mCD

Figuur 21

Byvoorbeeld, die gradiënt van die lyn tussen punt PP en QQ, met koördinate (2;1) en (-2;-2) (figuur 16) is:

Die volgende video bied 'n opsomming van die gradiënt van 'n lyn.

Soms is dit nuttig om die koördinate van 'n lyn se middel of middelpunt te hê. Byvoorbeeld: wat is die middelpunt van die lyn tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2).

Die koördinate van enige lyn tussen enige twee punte AA en BB met koördinate (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2), word gewoonlik as volg bereken. Laat die middelpunt van ABAB by 'n punt SS met koördinate (X;Y)(X;Y) wees. Die doel is om XX en YY te bereken in terme van (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2).

Figuur 23

Dan is die koördinate van die middelpunt (SS) van die lyn tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2) :

Dit kan bewys word dat die afstande vanaf die eindpunte na die middelpunt gelyk is. Die koördinate van die middelpunt SS is (0;-0,5)(0;-0,5).

en

Daar kan gesien word dat PS=QSPS=QS soos verwag is.

Figuur 24

Die volgende video verskaf 'n opsomming van die middelpunt van 'n lyn.

Waneer 'n voorwerp langs 'n reguitlyn beweeg word, sê ons dit word getransleer. Wat gebeur met die koördinate van 'n punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?

Bespreking : Vertikale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte soos op die figuur in te vul.

Figuur 27

Tabel 2

Punt	xx co-ordinate	yy co-ordinate
A
B
C
D
E
F
G

Wat let jy op omtrent die xx koördinate? Wat let jy op omtrent die yy koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A, indien dit verskuif word na die posisie van punt G?

Wanneer 'n punt vertikaal op of af op die Cartesiese vlak verskuif word, bly xx koördinaat van die punt dieselfde, maar die yy koördinaat verander met die aantal wat die punt op of af geskuif is.

Byvoorbeeld: in figuur 28 word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe xx koördinaat van punt A is dieselfde (xx=1), maar die nuwe yy koördinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe yy rigting en word yy=-2+4=2. Die nuwe koördinate van punt A is gevolglik G(1;2). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede af geskuif word, bly die xx koördinaat dieselfde (x=-2,5x=-2,5), maar die yy koördinaat het 5 eenhede in die negatiewe yy-rigting geskuif. Die nuwe yy koördinaat is dus yy=2,5 -5=-2,5.

Figuur 28: Punt A het 4 eenhede op geskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede af geskuif tot by H.

Bespreking : Horisontale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur al die koördinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.

Figuur 29

Tabel 3

Punt	xx koördinaat	yy koördinaat
A
B
C
D
E
F
G

Wat let jy op omtrent die xx koördinate? Wat let jy op omtrent die yy koördinate?

Wat sal gebeur met die koördinate van punt A, as dit geskuif word na posisie G?

Wanneer 'n punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die yy koördinaat van die punt dieselfde, maar die xx koördinaat verander deur die aantal eenhede wat die punt links of regs geskuif word.

Byvoorbeeld, in figuur 30 word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe yy koördinaat van punt A is dieselfde (yy=1), maar die nuwe xx koördinaat is 4 eenhede in die positiewe xx rigting geskuif en word xx=-2+4=2. Die nuwe koördinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word, bly die yy koördinaat dieselfde (y=-2,5y=-2,5), maar die xx koördinaat word 5 eenhede in die negatiewe xx-rigting geskuif. Die nuwe xx koördinaat is dus xx=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koördinate van punt B by H is dus (-2,5;1).

Figuur 30: Point A is moved 4 units to the right to the position marked by G. Point B is moved 5 units to the left to the position marked by H.

Wanneer jy voor 'n spieel staan, is die afstand tussen jou en die spieel gelyk aan die afstand tussen jou refelksie en die spieel.(dd)

Figuur 31

Ons kan dieselfde idee toepas op 'n punt wat reflekteer word in die xx-as, die yy-as en die lyn y=xy=x.

Refleksie in die xx-as

Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees as wat die punt bo die xx-as is en vice-versa, asof dit 'n spieelbeeld is.

Figuur 32: Punte A en B word reflekteer in die xx-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui deur ∘∘.

Opmerking:

Wanneer 'n punt reflekteer word om die xx-as, verander slegs die yy koördinaat van die punt.

Exercise 4: Refleksie in die xx-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt P in die xx-as. Die koördinate van P is (5;10).

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat gegee is en wat gevra word :

   Ons het die koördinate (5;10) van punt P en moet die koördinate van die refleksie van die punt in die xx-as kry.

2. Stap 2. Bepaal hoe jy die probleem gaan benader :

   Die punt P is bo die xx-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees. Daarom is yy=-10.

   Vir 'n refleksie in die xx-as, bly die xx koördinaat onveranderd. Daarom is xx=5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

   Die koördinate van die gereflekteerde punt is (5;-10).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Refleksie in die yy-as

As 'n punt reflekteer word in die yy-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die yy-as wees.

Figuur 33: Punte A en B word reflekteer in die yy-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui met ∘∘.

leidraad:

Wanneer 'n punt reflekteer word in die yy-as, verander net die xx koördinaat van die punt. Die yy koördinaat bly dieselfde.

Exercise 5: Refleksie in die yy-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die yy-as.

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is :

   Ons het punt Q (15;5) en moet die koördinate van die refleksie daarvan in die yy-as kry.

2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

   Die punt Q regs van die yy-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand links van die yy-as wees as wat dit regs van die yy-as is. Daarom is xx=-15.

   Vir 'n refleksie in die yy-as, bly die yy koördinaat onveranderd. Daarom is yy=5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

   Die koördinate van die gereflekteerde punt is (-15;5).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Refleksie om die lyn y=xy=x

Die laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel is refleksie om die lyn y=xy=x.

Gevallestudie : Refleksie van 'n punt om die lyn y=xy=x

Figuur 34

Bestudeer die gegewe inligting en voltooi die volgende tabel:

Tabel 4

	Punt	Refleksie
A	(2;1)	(1;2)
B	(-112112;-2)	(-2;-11212)
C	(-1;1)
D	(2;-3)

Wat kan jy aflei omtrent die koördinate van die punte wat reflekteer word om die lyn y=xy=x?

Die xx en yy koördinate van punte wat om die lyn y=xy=x reflekteer word, ruil net om. Dit beteken dat die xx koördinaat van die oorspronklike punt, die yy koördinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die yy koördinaat van die oorspronklike punt, die xx koördinaat van die nuwe punt word.

Figuur 35: Punte A en B word reflekteer om die lyn y=xy=x. Die oorspronklike punte word aangedui met •• en die reflekteerde punte word aangedui met ∘∘.

leidraad:

Die xx en yy koördinate van die gereflekteerde punte om die lyn y=xy=x word dus omgeruil.

Exercise 6: Refleksie om die lyn y=xy=x

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y=xy=x.

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is :

   Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan om die lyn y=xy=x bepaal.

2. Stap 2. Besluit hoe jy die probleem gaan benader :

   Die xx koördinaat van die gereflekteerde punt is die yy koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is xx=5.

   Die yy koördinaat van die gereflekteerde punt is die xx koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is yy=-5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

   Die koördinate van die reflekteerde punt is (5;-5).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Reëls vir Translasie

'n Vinnige manier om 'n translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld (x;y)→(x+a;y+b)(x;y)→(x+a;y+b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.

As ons dus die punt (1;2) deur die reël (x;y)→(x+3;y-1)(x;y)→(x+3;y-1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.

Translasie van 'n Gebied

Om 'n gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.

Voorbeeld

Gebied A is getransleer na gebied B deur die reël: (x;y)→(x+4;y+2)(x;y)→(x+4;y+2)

Figuur 36

Bespreking : Transformasiereëls

Werk in pare en besluitwatter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.

Tabel 5

Kolom 1	Kolom 2
.(x;y)→(x;y-3).(x;y)→(x;y-3)	'n refleksie om die x-y lyn
. ( x ; y ) → ( x - 3 ; y ) . ( x ; y ) → ( x - 3 ; y )	'n refleksie om die x-as
. ( x ; y ) → ( x ; - y ) . ( x ; y ) → ( x ; - y )	'n verskuiwing van 3 eenhede na links
. ( x ; y ) → ( - x ; y ) . ( x ; y ) → ( - x ; y )	'n Verskuiwing van 3 eenhede afwaarts
. ( x ; y ) → ( y ; x ) . ( x ; y ) → ( y ; x )	'n Refleksie om die y-as

Transformasies

1. Beskryf elk van die volgende translasies deuur die reël (x;y)→→ (...;...)

   Figuur 37

   1. Van A na B
   2. Van C na J
   3. Van F na H
   4. Van I na J
   5. Van K na L
   6. Van J na E
   7. Van G na H
   Klik hier vir die oplossing
2. A is the point (4;1). Plot elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koordinate van die punte wat jy geplot het.
   1. B is die refleksie van A in die x-as.
   2. C is die refleksie van A in die y-as.
   3. D is die refleksie van B in die lyn x=0.
   4. E is die refleksie van C in die lyn y=0.
   5. F is die refleksie van A in die lyn y= x
   Klik hier vir die oplossing
3. In die diagram is B, C en D beelde van veelhoek A. In elke geval bestaan die transformasie uit 'n refleksie en 'n translasie van punt A. Skryf die letter van elke prent en beskryf die transformasie wat daartoe gelei het.

   Figuur 38

   Klik hier vir die oplossing

Ondersoek : Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe

1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop, koeldrank, ens.)
2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:

   Figuur 39

4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm22, afgerond tot 2 desimale):
   1. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
   2. die oppervlak van die bo-en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
   3. Die totale buite-oppervlak va die blikkie
5. As die metaal 0,17 sent/cm22kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm33, afgerond tot 2 desimale plekke).
7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud (koeldrank, sop, ens.) verpak is?
9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
10. As jy die volume van 'n blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet die hoogte toeneem?
11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor sal die:
    1. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
    2. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?