Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Funksies en grafieke - Graad 10

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
Download
x

Download module as:

  • PDF
  • EPUB (what's this?)

    What is an EPUB file?

    EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

    Downloading to a reading device

    For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(what's this?)" link.

  • More downloads ...
Reuse / Edit
x

Module:

Add to a lens
x

Add module to:

Add to Favorites
x

Add module to:

 

Inleiding tot Funksies en Grafieke

Funksies is wiskundige boustene, wat toepassings het in masjienontwerp, die voorspelling van natuurrampe, die mediese veld, ekonomiese analise en vliegtuig ontwerp. ’n Funksie het vir elke inset waarde, net ’n enkele uitset waarde. Dit is moontlik dat ’n funksie meer as een inset kan hê; dan sal dit steeds net ’n enkele uitset hê. Ons gaan wel nie in hierdie hoofstuk na sulke tipe funksies kyk nie.

Een van die groot voordele van funksies is dat hulle ons toelaat om vergelykings te visualiseer deur middel van ’n grafiek. ’n Grafiek is bloot ’n tekening van ’n funksie en dit word gebruik in plaas van ’n tabel met net getalle. In hierdie hoofstuk gaan ons leer hoe om met reële getalle funksies te maak en te verstaan; en hoe om grafieke te lees en te teken.

Funksies se toepassing strek van die groot wetenskap- en ingenieurs probleme tot alledaagse probleme. So dit is nuttig om van te leer. A function is always dependent on one or more variables, like time, distance or a more abstract quantity.

Allerdaagse Gebruike Van Funksies en Grafieke

ʼn Paar tipiese voorbeelde van funksies wat jy moontlik mee bekend is, is:-

  • Hoeveel geld jy het as ’n funksie van tyd. Hier is die inset vir die funksie tyd en die uitset is hoeveelheid geld. Jy sal op enige oomblik net een hoeveelheid geld hê. As jy verstaan hoe jou geld verander oor tyd, kan jy beplan hoe om jou geld beter te spandeer. Besighede teken die grafiek van hul geld oor tyd sodat hulle kan sien wanneer hulle te veel geld spandeer. Sulke observasies is nie altyd duidelik deur na slegs die getalle te kyk nie.
  • Die temperatuur is ’n voorbeeld van ’n funksie met veelvuldige insette, insluitend die tyd van die dag, die seisoen, die wolk dekking, die wind, plek en vele ander. Die belangrike ding om in te sien is dat daar net een waarde vir temperatuur is in ʼn spesifieke plek, op ʼn spesifieke tyd. As ons verstaan hoe die insette die temperatuur beïnvloed, kan ons, ons dag beter beplan.
  • Jou posisie is ’n funksie van tyd, omdat jy nie op twee plekke op dieselfde tyd kan wees nie. Indien jy twee mense se posisie as ’n funksie van tyd sou plot (teken), sal dit plek waar die lyne kruise aandui waar die mense mekaar ontmoet het. Hierdie ideë word gebruik in logistiek – ’n veld in wiksunde wat probeer voorspel waar mense en items is, hoofsaaklik vir besigheid.
  • Jou gewig is ’n funksie van hoeveel jy eet en hoe baie oefening jy doen, maar elke persoon se liggaam hanteer die insette anders en mens kan dan verskillende liggame verstaan as verskillende funksies.

Hersiening

Die volgende behoort bekend te wees.

Veranderlikes en Konstantes.

In Oorsig van vorige werk,het ons gewerk met veranderlikes en konstantes. Om vinnig te hersien: a veranderlike kan enige waarde aanneem in ’n stel getalle, indien die vergelyking konstant is. Gewoonlik word ’n veranderlike geskryf ’n letter.

'n Konstante het ’n vaste waarde. Byvoorbeeld, die getal 1 is ’n konstante. Soms kan mens ook letters gebruik om konstantes voor te stel in ’n funksie, as ’n plek-houer, omdat hulle soms makliker is om mee te werk.

Ondersoek: Veranderlikes en Konstantes.

Identifiseer die veranderlikes en die konstantes in die volgende vergelykings:

  1. 2 x 2 = 1 2 x 2 = 1
  2. 3 x + 4 y = 7 3 x + 4 y = 7
  3. y = - 5 x y = - 5 x
  4. y = 7 x - 2 y = 7 x - 2

Relasies en Funksies

In die verlede het jy gesien dat veranderlikes kan relasies (verhoudings) hê met mekaar. Byvoorbeeld, Anton is twee jaar ouer as Naomi. Die relasie tussen die ouderdomme van Anton en Naomi kan geskryf word as A=N+2A=N+2, waar Anton se ouderdom voorgestel AA en Naomi se ouderdom voorgestel word deur NN.

In die algemeen is 'n relasie ’n vergelyking met twee veranderlikes. Byvoorbeeld, y=5xy=5x en y2+x2=5y2+x2=5 is relasies. n albei voorbeelde xx en yy veranderlikes en 5 is ’n konstante. Vir elke waarde van xx sal jy ’n ander, unieke waarde vir yy kry.

Mens hoef nie relasie as vergelykings te skryf nie, dit kan ook weergegee word in woorde, tabelle en grafieke. Byvoorbeeld, inplaas van y=5xy=5x, te skryf, kan mens sê “yy is vyf keer so groot soos xx”. Ons kan ook die volgende tabel gee:

Tabel 1
x x y = 5 x y = 5 x
2 10
6 30
8 40
13 65
15 75

Ondersoek: Relasies en Funksies

Voltooi die volgende tabel vir die gegewe funksies:

Tabel 2
x x y = x y = x y = 2 x y = 2 x y = x + 2 y = x + 2
1      
2      
3      
50      
100      

Die Cartesiese Vlak

Wanneer ons met funksie met reële getalle werk, is ons hoof stuk gereedskap grafieke. Eerstens, indien ons twee reële veranderlikes het, xx en yy, kan ons gelyktydig vir hulle waardes toeken. Byvoorbeeld, ons kan sê "xx is 5 en yy is 3”. Net soos wat ons vir "xx is 5” verkort deur te skryf "x=5x=5”, kan ons ook “xx is 5 en yy is 3” verkort deur te sê “(x,y)=(5,3)(x,y)=(5,3)”. Gewoonlik as ons dink aan reële getalle, dink ons aan ’n oneindige lang lyn en ’n getal as ’n punt op die lyn. Indien ons twee getalle op dieselfde tyd kies, kan ons iets soortgelyks doen, maar nou gebruik ons twee dimensies. Ons gebruik nou twee lyne, een vir xx en een vir yy, met die lyn vir yy, geroteer, soos in figuur 1.Ons noem dit die Cartesiese vlak.

Figuur 1: Die Cartesiese vlak bestaan uit ’n .x-x-as (horisontaal) en ‘n y-y-as (vertikaal).
Figuur 1 (MG10C11_001.png)

Teken van grafieke

Om ’n grafiek van ’n funksie te teken, moet ons ’n paar punte bereken en plot op die Cartesiese vlak. Die punte word dan in volgorde verbind om ’n gladde lyn te vorm.

Kom ons kyk na die funksie, f(x)=2xf(x)=2x.Ons kan dan al die punte (x;y)(x;y) kyk, sodat y=f(x)y=f(x), dit is y=2xy=2x. Byvoorbeeld (1;2),(2,5;5),(1;2),(2,5;5), en (3;6)(3;6) stel sulke punte voor en (3;5)(3;5) stel nie so ʼn punt voor nie, aangesien 52×352×3. Indien ons ’n kol op al die punte sit, asook al die soortgelyke punte vir alle moontlike waardes van xx, sal ons die grafiek soos in figuur 2 kry.

Figuur 2: Grafiek van f(x)=2xf(x)=2x
Figuur 2 (MG10C11_002.png)

Die vorm van die grafiek is baie aangenaam, dit is bloot ’n reguit lyn deur die middel van die vlak. Hierdie plot tegniek is die sleutel tot funksies verstaan.

Ondersoek: Teken van Grafieke en die Cartesiese vlak.

Plot die volgende punte en teken ’n gladde lyn deur hulle. (-6; -8),(-2; 0), (2; 8), (6; 16)

Notasie vir Funksies

Tot dus ver het ons gesien jy kan y=2xy=2x om ’n funksie voor te stel. Hierdie notasie raak verwarrend as jy met meer as een funksie werk. ’n Meer algemene manier om funksies neer te skryf is deur die notasie f(x)f(x), te gebruik, waar ff

 
die funksie naam is en xx is die onafhanklike veranderlike. Byvoorbeeld, f(x)=2xf(x)=2x en g(t)=2t+1g(t)=2t+1 is twee verskillende funksies. Met ff en gg die name en xx en tt die veranderlikes. As mens van f(x)f(x) praat, sê mens “f van x”.

Ons gaan albei notasies in hierdie boek gebruik.

Exercise 1: Funksie notasie

Indien f(n)=n2-6n+9f(n)=n2-6n+9, vind f(k-1)f(k-1) in terme van kk.

Exercise 2: Function notation

If f(x)=x2-4f(x)=x2-4, calculate bb if f(b)=45f(b)=45.

Hersiening

  1. Raai die funksie in die vorm y=...y=... wat die waardes in die tabel voorstel.
    Tabel 3
    xx12340506007008009001000
    yy12340506007008009001000
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Raai die funksie in die vorm y=...y=... wat die waardes in die tabel voorstel.
    Tabel 4
    xx12340506007008009001000
    yy2468010012001400160018002000
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Raai die funksie in die vorm y=...y=... wat die waardes in die tabel voorstel.
    Tabel 5
    xx12340506007008009001000
    yy102030400500600070008000900010000
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Op 'n Cartesiese vlak, plot die volgende punte: (1;2), (2;4), (3;6), (4;8), (5;10). Verbind die punte. Kry jy 'n reguit lyn? Kliek hier vir die oplossing
  5. Indien f(x)=x+x2f(x)=x+x2, skryfneer:
    1. f(t)f(t)
    2. f(a)f(a)
    3. f(1)f(1)
    4. f(3)f(3)
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Indien g(x)=xg(x)=x and f(x)=2xf(x)=2x, skryfneer:
    1. f(t)+g(t)f(t)+g(t)
    2. f(a)-g(a)f(a)-g(a)
    3. f(1)+g(2)f(1)+g(2)
    4. f(3)+g(s)f(3)+g(s)
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Jy staan langs 'n reguit snelweg, 'n motor ry verby jou en beweeg 10 m elke sekonde. Voltooi die tabel hier onder, deur in te vul hoe ver die motor van jou af weg beweeg het na 5,10 en 20 sekondes.
    Tabel 6
    Time (s)01251020
    Distance (m)01020   
    Gebruik die waardes in die tabel en teken 'n grafiek met die afstand op die yy-as en tyd op die xx-as. Kliek hier vir die oplossing

Karakteristieke van Funksie – alle grade

Daar is baie verskillende karakteristieke van grafieke wat die eienskappe van ’n spesifieke funksie se grafiek beskryf. Hierdie eienskappe gaan beskryf word in hierdie hoofstuk en is die volgende:

  1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes
  2. Definisie- en waardeversameling
  3. Afsnitte met die asse
  4. Draai punte
  5. Asimptote
  6. Lyne van simmetrie
  7. Intervalle wat die funksie vermeerder/verminder
  8. Kontinue gedrag van funksies

Sommige van die woorde mag onbekend wees vir jou, maar elke begrip sal duidelik beskryf word. Voorbeelde van sommige van die eienskappe word gewys in figuur 3.

Figuur 3: (a) Voorbeeld grafiek wat die eienskappe van ’n funksie illustreer. (b) Voorbeeld grafiek wat die asimptote van ’n funksie illustreer. Die asimptote is die stippel lyn.
Figuur 3 (MG10C11_034.png)

Afhanklik en Onafhanklike Veranderlike

Tot dus ver het al die grafieke wat ons gesien het twee veranderlikes, ’n xx-waarde en ’n yy-waarde. Die yy-waarde word gewoonlik bepaal deur een of ander relasies gebaseer op ’n gegee of gekose xx-waarde. Ons noem die xx-waarde die onafhanklike veranderlike, omdat die waarde vrylik gekies kan word. Die berekende yy-waarde is bekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waarde afhanklik is van die gekose xx-waarde.

Definisieversameling en Waardeversameling

Die definisieversameling (ook bekend as die definisieversameling) van ’n relasie is die stel van die xx waarde waarvoor daar te minste een yy waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die gebied) waardes wat bepaal kan word deur te minste een yy waardes wat bepaal kan word deur te minste een xx waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike insette en die waardeversameling is die alle moontlike uitsette.

Indien die relasie die lengte van mense is, is die definisieversameling alle lewendige mense en die waarde versameling is omtrent 0.1 tot 3 meter – aangesien geen persoon 0m lank kan wees nie, en alhoewel dit moontlik is om langer as 3m te wees is daar nie iemand so lank lewendig nie. ’n Belangrike punt is dat die waardeversameling nie alle getalle tussen 0.1m en 3m beval nie, maar op sewe biljoen verskillende getalle (so veel soos die aantal lewende mense).

’n Ander voorbeeld is y=2xy=2x. Dan vir enige waarde van xx is daar ’n waarde vir yy die definisieversameling is dus alle reële getalle. Maar ons weet die waarde van y=2xy=2x kan nooit kleiner of gelyk aan 0 wees nie. Gevolglik is die waardeversameling alle reële getalle groter of gelyk aan 0.

Daar is twee maniere om definisie- en waardeversameling van ’n funksie neer te skryf, versameling keurdernotasie en intervalnotasie. Albei word gebruik in wiskunde en jy sal bekend moet wees met altwee.

Versamel keurdernotasie

’n Versameling van sekere xx waardes het die volgende vorm:

x : voorwaardes, nog voorwaardes x : voorwaardes, nog voorwaardes
(5)

Ons lees hierdie notasie as “die stel van alle xx waarvoor die kondisies waar is”. Byvoorbeeld, die stel van alle positiewe reële getalle kan geskryf word as {x:xR,x>0}{x:xR,x>0} en dit word gelees as “die stel van alle xx waardes, waar xx ’n reële getal en groter as nul is.”

Interval notasie

Hier skryf ons ’n interval in die vorm 'laer hakkie, laer getal, komma, hoër getal, hoër getal'. Ons gebruik twee tipes hakkies, reghoekige hakkies [;][;] of ronde hakkies (;)(;). ’n Reghoekige hakkie beteken die getal word ingesluit by die interval en ’n ronde hakkie beteken die getal word uitgesluit by die interval. Hierdie notasie kan nie gebruik word om heelgetalle in ’n interval te beskryf nie.

Indien xx ’n reële getal is groter as 2 en kleiner of gelyk aan 8, is xx enige getal in die interval.

( 2 ; 8 ] ( 2 ; 8 ]
(6)

Dit is duidelik dat 2 die laer getal is en 8 die hoër getal is. Die ronde hakkie sluit 2 uit, omdat xx groter as 2 is; en die reghoekige hakkie beteken sluit 8 in, omdat xx kleiner of gelyk aan 8 is.

Afsnitte met die asse

Die afsnitte is die punt waar die grafiek die as sny. Die xx-afsnitte is die punte waar die grafiek die xx-as sny en die yy-afsnit is die punt waar die grafiek die yy-as sny.

In figuur 3(a), is A die yy-afsnit; en B, C en F is xx-afsnitte.

Jy sal die afsnitte moet uitwerk. Die heel belangrikste ding om te onhou is dat die xx-afsnit by, y=0y=0 lê en die yy-afsnit, by x=0x=0.

Byvoorbeeld, bereken die afsnitte van y=3x+5y=3x+5. Vir die yy-afsnit, x=0x=0. Dan is die yy-afsnit yint=3(0)+5=5yint=3(0)+5=5. Vir die xx-afsnit, y=0y=0. Dan is die xx-afsnit deur 0=3xint+50=3xint+5, op te los, met die antwoord. xint=-53xint=-53.

Draaipunte

Draaipunte kom net voor in grafieke van funksies waar die hoogste mag groter as 1 is. Byvoorbeeld, grafieke van die volgende funksies sal draaipunte hê.

f ( x ) = 2 x 2 - 2 g ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x - 2 h ( x ) = 2 3 x 4 - 2 f ( x ) = 2 x 2 - 2 g ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x - 2 h ( x ) = 2 3 x 4 - 2
(7)

Daar is twee tipe draaipunte: ’n minimum en ’n maksimum. ’n Minimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou verminder en begin vermeer. ’n Maksimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou vermeerder en begin verminder. Hierdie word geïllustreer in figuur 4.

Figuur 4: (a) Maksimum (b) Minimum
Figuur 4 (MG10C11_035.png)

In figuur 3(a), E is ’n maksimum en D is ’n minimum.

Asimptote

’n Asimptoot is ’n reguit of krom lyn, wat die grafiek sal benader, maar nooit raak nie.

In figuur 3(b), die yy-as en die lyn hh is albei asimptote, omdat die grafiek die lyne benader, maar nooit raak nie.

Lyne van Simmetrie

’n Grafieke weerspieël homself in ’n simmetrie lyn. Hierdie lyne mag die xx- en yy- as insluit. Byvoorbeeld, in figuur 5 is die simmetrie om die yy-as. Die yy-as is ’n simmetrie as, omdat die grafiek weerspieël is om die is yy-as. Nie elke grafiek het ’n simmetrie lyn nie.

Figuur 5: Demonstrasie van ’n simmetrie as. Die yy-as is ’n simmetrie as, omdat die grafiek weerspieël is om die is yy-as.
Figuur 5 (MG10C11_036.png)

Intervalle waarop funksie vermeerder of verminder.

Toe ons na draaipunte gekyk het, het ons gesien dat grafieke van ’n funksie kan begin of ophou vermeerder of verminder by ’n draaipunt. As ons na die grafiek van figuur 3(a) kyk, kan ons sien dat die grafiek vermeerder en verminder oor verskillende intervalle. Ons kan sien die grafiek vermeerder (die yy-waardes vermeerder) van -- tot punt E, dan verminder (die yy-waardes verminder) van punt R tot punt D and dan vermeerder dit van punt D tot ++.

Diskontinu en Kontinue Gedrag van ’n Grafiek

’n Grafiek is kontinu as daar geen spronge in die grafiek is nie. Byvoorbeeld, in die grafiek in figuur 3(a) word beskryf as kontinu, terwyl die grafiek in figuur 3(b) ’n sprong het by die asimptoot het wat beteken dit is diskontinu. In figuur 3(b), it is clear that the graph does have a break in it around the asymptote.

Waardeversameling en Definisieversameling

  1. Indien die waardeversameling van die funksie f(x)=2x+5f(x)=2x+5 -3; 0 is. Bepaal die definisieversameling van ff. Kliek hier vir die oplossing
  2. As g(x)=-x2+5g(x)=-x2+5 en xx is tussen - 3 and 3, bepaal:
    1. Die waardeversameling van g(x)g(x)
    2. Die definisieversameling van g(x)g(x)
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
    1. die xx-afsnit(te)
    2. die yy-afsnit(te)
    3. Die deel waar die grafiek vermeerder
    4. Die deel waar die grafiek verminder
    Figuur 6
    Figuur 6 (MG10C11_003.png)
    Kliek hier vri die oplossing
  4. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
    1. die xx-afsnit(te)
    2. die yy-afsnit(te)
    3. Die deel waar die grafiek vermeerder
    4. Die deel waar die grafiek verminder
    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C11_004.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Grafieke van Funksies

x + q

Funksies in die vorm y=ax+qy=ax+q

Funksies in die algemene vorm y=ax+qy=ax+q reguitlyn funksies genoem. In die vergelyking, y=ax+qy=ax+q, is aa en qq konstantes en het verskillende effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene grafiek van 'n so 'n funksie word gegee in figuur 8 vir die funksie f(x)=2x+3f(x)=2x+3.

Figuur 8: Grafieke van f(x)=2x+3f(x)=2x+3
Figuur 8 (MG10C11_005.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

  1. Op dieselfde assestelsel,plot die volgende grafieke:
    1. a(x)=x-2a(x)=x-2
    2. b(x)=x-1b(x)=x-1
    3. c(x)=xc(x)=x
    4. d(x)=x+1d(x)=x+1
    5. e(x)=x+2e(x)=x+2
    Gebruik jou resultate om die effek van verskillende waardes van qq op die resulterende grafiek af te lei.
  2. Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:
    1. f(x)=-2xf(x)=-2x
    2. g(x)=-1xg(x)=-1x
    3. h(x)=0xh(x)=0x
    4. j(x)=1xj(x)=1x
    5. k(x)=2xk(x)=2x
    Gebruik jou resultate om die effek van verskillende waardes van aa op die resulterende grafiek af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa affekteer die helling van die grafiek. Soos aa vermeerder, vermeerder die helling van die grafiek ook. Indien a>0a>0 sal die grafiek vermeerder van links na regs (opwaardes helling). Indien a<0a<0 sal die grafiek vermeerder van regs na links (afwaardse helling). Dis hoekom aa verwys word na as die helling of die gradiënt van 'n reguitlyn funksie.

Jy behoort ook te vind dat die waardes van qq affekteer die punt waar die grafiek deur die yy-as sny. Vir hierdie rede, staan qq bekend as die y-afsnit.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 7.

Tabel 7: Opsomming van algemene vorms en posisies van grafieke van funksies in die vorm y=ax+qy=ax+q.
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 9
Figuur 9 (MG10C11_006.png)
Figuur 10
Figuur 10 (MG10C11_007.png)
q < 0 q < 0
Figuur 11
Figuur 11 (MG10C11_008.png)
Figuur 12
Figuur 12 (MG10C11_009.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir f(x)=ax+qf(x)=ax+q, is die definisieversameling {x:xR}{x:xR}, omdat daar geen waarde is van xRxR waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërrd is nie.

Die waardeversameling van f(x)=ax+qf(x)=ax+q is ook {f(x):f(x)R}{f(x):f(x)R} omdat daar geen waarde van f(x)Rf(x)R waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërd is nie.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=x-1g(x)=x-1 is {x:xR}{x:xR} omdat daar geen waardes is van xRxR waarvoor g(x)g(x) ongedefinieërd is nie. Die waardeversameling van g(x)g(x) is {g(x):g(x)R}{g(x):g(x)R}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ax+qy=ax+q word die manier om die afsnitte met die xx- en yy-as te bereken gegee.

Die yy-afsnite word as volg bereken:

y = a x + q y i n t = a ( 0 ) + q = q y = a x + q y i n t = a ( 0 ) + q = q
(8)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=x-1g(x)=x-1 word bepaal deur x=0x=0 te stel en dan op te los:

g ( x ) = x - 1 y i n t = 0 - 1 = - 1 g ( x ) = x - 1 y i n t = 0 - 1 = - 1
(9)

Die xx-afsnit word as volg bereken:

y = a x + q 0 = a x i n t + q a x i n t = - q x i n t = - q a y = a x + q 0 = a x i n t + q a x i n t = - q x i n t = - q a
(10)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=x-1g(x)=x-1 word gegee deur y=0y=0 e stel en dan op te los:

g ( x ) = x - 1 0 = x i n t - 1 x i n t = 1 g ( x ) = x - 1 0 = x i n t - 1 x i n t = 1
(11)

Draaipunte

Die grafiek van 'n reguitlyn funksie het nie draaipunte nie.

Simmetrie Asse

Die grafieke van reguitlun funksies het nie in die algemeen simmerie asse nie.

Skets van Grafieke van die Vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q

Om die grafieke van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q te skets, moet ons die volgende drie eienskappe vind:

  1. die teken van aa
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Slegs twee punte word benodig om 'n reguitlyn te plot. Die maklikste punte is die xx-afsnit (waar die lyn die xx-as sny) en die yy-afsnit.

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=x-1g(x)=x-1. Merk duidelik die afsnitte.

Eerstens, bereken ons dat a>0a>0. Dit beteken die grafiek gaan 'n opwaardes helling hê.

Die yy-afsnit word bepaal deur x=0x=0 te stel en was vroeër bereken as yint=-1yint=-1. Die xx-afsnit word bepaal deur y=0y=0 te stel en was vroeë bereken as xint=1xint=1.

Figuur 13: Grafiek van die funksie g(x)=x-1g(x)=x-1
Figuur 13 (MG10C11_010.png)
Exercise 3: Teken 'n reguitlyn grafiek

Teken die grafiek van y=2x+2y=2x+2

Afsnitte
  1. Skryfneer die yy-afsnitte vir die volgende reguitlyn grafieke:
    1. y=xy=x
    2. y=x-1y=x-1
    3. y=2x-1y=2x-1
    4. y+1=2xy+1=2x
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Give the equation of the illustrated graph below:
    Figuur 15
    Figuur 15 (MG10C11_012.png)
    Click here for the solution
  3. Skets die volgende relasies op dieselfde assestelsel, merk duidelik die afsnitte en hul koördinate: x+2y-5=0x+2y-5=0 and 3x-y-1=03x-y-1=0
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die Vorm y=ax2+qy=ax2+q

Die algemene vorm en posisie van die grafiek van die funksie in die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, wat ons 'n parabool noem, word gewys in figuur 16. Hierdie is paraboliese funksies.

Figuur 16: Grafiek van f(x)=x2-1f(x)=x2-1.
Figuur 16 (MG10C11_013.png)

Ondersoek: Funksies van die Vorm y=ax2+qy=ax2+q

  1. Plot die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. a(x)=-2x2+1a(x)=-2x2+1
    2. b(x)=-1x2+1b(x)=-1x2+1
    3. c(x)=0x2+1c(x)=0x2+1
    4. d(x)=1x2+1d(x)=1x2+1
    5. e(x)=2x2+1e(x)=2x2+1
    Gebruik jou resultate om die effek van aa af te lei.
  2. Plot die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. f(x)=x2-2f(x)=x2-2
    2. g(x)=x2-1g(x)=x2-1
    3. h(x)=x2+0h(x)=x2+0
    4. j(x)=x2+1j(x)=x2+1
    5. k(x)=x2+2k(x)=x2+2
    Gebruik jou resultate om die effek van qq af te lei.

Voltooi die volgende tabel van funksie waardes vir die funksies aa tot kk om jouself te help met die plot van die bogenoemde grafieke:

Tabel 8
x x - 2 - 2 - 1 - 1 0 0 1 1 2 2
a ( x ) a ( x )          
b ( x ) b ( x )          
c ( x ) c ( x )          
d ( x ) d ( x )          
e ( x ) e ( x )          
f ( x ) f ( x )          
g ( x ) g ( x )          
h ( x ) h ( x )          
j ( x ) j ( x )          
k ( x ) k ( x )          

Hierdie simulasie laat jou toe om die effek van 'n veranderende a en q te visualiseer. In die simulasie is q=c. 'n Ekstra term, bx, is ook by gesit. Jy kan dit los as 0 of jy kan die kyk wat die effek van bx op die grafiek het.

Figuur 17
Phet simulasie vir grafieke teken

Van die jou grafieke behoort jy agter te kom dat aa affekteer of die grafiek glimlag of frons. Indien a<0a<0 sal die grafiek frons en indien a>0a>0 glimlag die grafiek. Dit word geïllustreer in figuur 18.

Figuur 18: Kenmerkende vorms van parabole indien a>0a>0 of a<0a<0.
Figuur 18 (MG10C11_014.png)

Jy behoort ook te gevind het dat die waarde van qq beïnvloed of the draaipunt links van die yy-as (q>0q>0) of regs van die yy-as (q<0q<0).

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in (Verwysing).

Tabel 9: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q.
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 19
Figuur 19 (MG10C11_015.png)
Figuur 20
Figuur 20 (MG10C11_016.png)
q < 0 q < 0
Figuur 21
Figuur 21 (MG10C11_017.png)
Figuur 22
Figuur 22 (MG10C11_018.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, is die definisieversameling {x:xR}{x:xR}, omdat daar nie 'n waarde is van xRxR waarvoor f(x)f(x) ongedefinieerd is nie.

Die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q hang ad of die waarde van aa positief of negaief is. Ons sal die twee gevalle afsonderlik hanteer.

Indien a>0a>0 dan het ons:

x 2 0 ( Die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( Maal met a 'n positiewe getal, behou die gedrag van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q x 2 0 ( Die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( Maal met a 'n positiewe getal, behou die gedrag van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q
(14)

Dit sê vir ons dat vir alle waardes van xx, is f(x)f(x) altyd groter as qq. Dus indien a>0a>0, is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelykaan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)}.

Soortgelyk kan ons aantoon indien a<0a<0 die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q is {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}. Dit word gelos as 'n oefening.

For example, the domain of g(x)=x2+2g(x)=x2+2 is {x:xR}{x:xR} because there is no value of xRxR for which g(x)g(x) is undefined. The range of g(x)g(x) can be calculated as follows:

x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2 x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2
(15)

Dus is die waardeversameling gelykaan {g(x):g(x)[2,)}{g(x):g(x)[2,)}.

Afsnitte

Vir die funksie van die vorm, y=ax2+qy=ax2+q, die stappe van die berekening van die afsnitte met die xx- en yy-as word gegee.

The yy-intercept is calculated as follows:

y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q
(16)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word verkry deur x=0x=0 te stel, en dan:

g ( x ) = x 2 + 2 y afsnit = 0 2 + 2 = 2 g ( x ) = x 2 + 2 y afsnit = 0 2 + 2 = 2
(17)

Die xx-afsnit word bereken as volg:

y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a
(18)

Maar, vergelyking 18 is slegs geldig as -qa0-qa0 wat beteken dat óf q0q0 óf a<0a<0. Dit stem ooreen met wat ons verwag, omdat indien q>0q>0 en a>0a>0 dan is -qa-qa negatief en in hierdie geval lê die grafiek bo die xx-as en sny dus nie die xx-as nie. Indien, q>0q>0 en a<0a<0, dan is -qa-qa positief en die grafiek is die vorm van 'n frons en sal dan twee xx-afsnitte hê. Soorgelyk, indien q<0q<0 en a>0a>0 sal -qa-qa ook positief wees, en die grafiek sal die xx-as sny.

Indien q=0q=0 het ons slegs een afsnit by x=0x=0.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word gegee deur y=0y=0 te stel en dan:

g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2 g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2
(19)

Hierdie antwoord is nie reël nie. Daarom het die grafiek van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 geen xx-afsnitte nie.

Draaipunte

Die draaipunte van funksies van die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q word gegee deur na die waardeversaneling van die funksie te kyk. Ons weet dat indien a>0a>0 die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelykaan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)} en indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelykaan {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}.

Indien a>0a>0,is die laagste waarde wat f(x)f(x) kan vat qq. Ons los dan vir xx op by die punt f(x)=qf(x)=q:

q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0 q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0
(20)

x=0x=0 by f(x)=qf(x)=q. Die koördinate van die (minimum) draaipunt is dan (0,q)(0,q).

Soortgelyk, indien a<0a<0, is die hoogse waarde wat f(x)f(x) kan vat qq en die koördinate van die (maksimum) draaipunt is (0,q)(0,q).

Simmetrie Asse

Daar is een simmetrie as vir die funksie in die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q wat deur die draaipunt gaan. Omdat die draaipunt op die yy-as lê, is die yy-as die simmetrie as.

Plot van Grafieke van die Vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q

Om 'n grafiek te plot van die vorm, f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, het ons vyf eienskappe nodig:

  1. die teken van aa
  2. die definiese- en waadeversameling
  3. draaipunte
  4. yy-afsnit
  5. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, plot die grafiek van g(x)=-12x2-3g(x)=-12x2-3. Merk die afsnitte, draaipunt en die simmetrie as.

Eerstens sien ons dat a<0a<0. Dit beteken dat die grafiek 'n maksimum draaipunt het.

Die definisieversameling van die grafiek is {x:xR}{x:xR}, omdat f(x)f(x) gedefinieërd is vir alle xRxR. Die waardeversameling van die grafiek word bepaal as volg:

x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3 x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3
(21)

Dus is die waardeversameling van die grafiek {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Indien ons die feit gebruik dat die maksimum waarde wat f(x)f(x) bereik -3 is, weet ons dat die yy-koördinaat van die draaipunt -3 is. Die xx-koördinaat word bepaal as volg:

- 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0 - 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0
(22)

Die koördinate van die draaipunt is dan: (0;-3)(0;-3).

Die yy-afsnit word bepaal deur x=0x=0 te stel:

y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3 y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3
(23)

Die xx-afsnit word bepaal deur y=0y=0 te stel:

0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2 0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2
(24)

Dit is nie reël nie. Daarom is daar geen xx-afsnitte nie, wat beteken die funksie sny of raak nie die xx-as nie.

Ons weet dat die simmetrie as die yy-as is.

Eindelik kan ons die grafiek teken. Let op dat slegs die y-afsnit gemerk is. Die grafiek het 'n maksimum draaipunt, soos vasgestel deur die teken van a. Daar is geen x-afsnitte nie en die draaipunt is gelykaan die y-afsnit. Die definisievesameling is alle reële getalle en die waardeversameling is {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Figuur 23: Grafiek van die funksie f(x)=-12x2-3f(x)=-12x2-3
Figuur 23 (MG10C11_019.png)

Die volgende video wys een manier om grafieke te plot. Let op dat die term "vertex" gebruik word in die video vir draaipunt.

Figuur 24
Khan academy video on graphing parabolas - 1

Parabole
  1. Wys dat indien a<0a<0 die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, {f(x):f(x)(-;q]}{f(x):f(x)(-;q]} is. Click here for the solution
  2. Draw the graph of the function y=-x2+4y=-x2+4 showing all intercepts with the axes. Kliek hier vir die oplossing
  3. Twee parabole is geteken: g:y=ax2+pg:y=ax2+p en h:y=bx2+qh:y=bx2+q.
    Figuur 25
    Figuur 25 (MG10C11_020.png)
    1. Vind die waardes van aa en pp.
    2. Vind die waardes van bb en qq.
    3. Vind die waardes van xx waarvoor ax2+pbx2+qax2+pbx2+q.
    4. Vir watter waardes van xx is gg vergrotend?
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die Vorm y=ax+qy=ax+q

Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q staan bekend as hiperboliese funksies. Die algemene vorm van die grafiek van die funksie word geïllustreer in figuur 26.

Figuur 26: Algemene vorm en posisie van die grafiek van 'n funksie van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q.
Figuur 26 (MG10C11_021.png)

Ondersoek: Funksies van die Vorm: y=ax+qy=ax+q

  1. Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2x+1a(x)=-2x+1
    2. b(x)=-1x+1b(x)=-1x+1
    3. c(x)=0x+1c(x)=0x+1
    4. d(x)=+1x+1d(x)=+1x+1
    5. e(x)=+2x+1e(x)=+2x+1
    Gebruik jou resultate om die effek van aa af te lei.
  2. Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:
    1. f(x)=1x-2f(x)=1x-2
    2. g(x)=1x-1g(x)=1x-1
    3. h(x)=1x+0h(x)=1x+0
    4. j(x)=1x+1j(x)=1x+1
    5. k(x)=1x+2k(x)=1x+2
    Gebruik jou resultate om die effek van qq af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa affekteer of die grafiek in die eeste- en derde kwardrante of tweede- en vierde kwadrante van die Cartesiese vlak.

Jy behoort ook te gevind het dat die waarde van qq affekteer of die grafiek bo xx-as (q>0q>0) of onder die xx-as is (q<0q<0).

Hierdie eienskappe word opgesom in tabel 10. Die simmetrie as vir elke grafiek word aangetoon as die stippel lyn.

Tabel 10: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q.
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 27
Figuur 27 (MG10C11_022.png)
Figuur 28
Figuur 28 (MG10C11_023.png)
q < 0 q < 0
Figuur 29
Figuur 29 (MG10C11_024.png)
Figuur 30
Figuur 30 (MG10C11_025.png)

Definieseversameling en Waardeversameling

Die funksie y=ax+qy=ax+q, is ongedefiniëerd vir x=0x=0. Die definisieversameling is dus {x:xR,x0}{x:xR,x0}.

Ons kan sien dat y=ax+qy=ax+q herskryf kan word as:

y = a x + q y - q = a x If x 0 then: ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q y = a x + q y - q = a x If x 0 then: ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q
(25)

Dit wys dat die funksie ongedefeniëerd is by y=qy=q. Die waardeversameling van f(x)=ax+qf(x)=ax+q is {f(x):f(x)(-;q)(q;)}{f(x):f(x)(-;q)(q;)}.

Byvoorbeeld, die waardeversamling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0},omdat g(x)g(x) ongedefenieerd is by x=0x=0.

y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x If x 0 then: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2 y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x If x 0 then: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2
(26)

Ons sien dat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by y=2y=2. Die waardeversamling is dus {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q, die afsnitte met die xx- en yy-as word bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word bereken as volg:

y = a x + q y afsnit = a 0 + q y = a x + q y afsnit = a 0 + q
(27)

Dit is ongedefiniëerd omdat ons deur nul deel. Daar is dus geen yy-afsnit.

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gegee deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2 y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2
(28)

En dit is ongedefiniëerd.

Die xx-afsnit word bereken deur y=0y=0 te stel,as volg:

y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q
(29)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gekry deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1 y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1
(30)

Asimtote

Daar is twee asimtote vir die funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. (Net 'n herhinnering, 'n asimtoot is 'n lyn wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Hulle word gevind deur na die defenisieversameling en waardeversameling te kyk.

Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by x=0x=0 en vir y=qy=q. Dus is die asimtote x=0x=0 en y=qy=q.

Byvoorbeeld, die waardeversameling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0}, omdat g(x)g(x) ongedefeniëerd is by x=0x=0. Ons het ook gesien dat g(x)g(x) is ongedefeniëerd is by y=2y=2. Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Hiervan kan ons aflei dat die asimtote by x=0x=0 en y=2y=2 is.

Skets die Grafieke van die Vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q

Om grafieke van funksies van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q te skets, het ons vier eienskappe nodig.

  1. Defenisieversameling en waardeversamling
  2. Asimtote
  3. yy-afsnitte
  4. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, die skets van die grafiek van g(x)=2x+2g(x)=2x+2. Merk die afsnitte en asimtote.

Ons het vasgestel dat die defenisieversameling {x:xR,x0}{x:xR,x0} is en die waardeversameling is {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}. Die asimtote kan dus gevind word by x=0x=0 en y=2y=2.

Daar is geen yy-afsnit en die xx-afsnit is xint=-1xint=-1.

Figuur 31: Grafiek van g(x)=2x+2g(x)=2x+2.
Figuur 31 (MG10C11_026.png)
Grafieke
  1. Met die gebruik van grafiek papier, teken die grafiek van xy=-6xy=-6.
    1. Lê die punt (-2; 3) op die grafiek? Gee ‘n rede vir jou antwoord.
    2. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die grafiek nie ?
    3. As die xx-waarde van ‘n punt op die grafiek 0,25 is,wat is die ooreenstemmendeyy-waarde ?
    4. Wat gebeer met die yy-waardes soos die xx-waardes baie groot word ?
    5. Met die lyn y=-xy=-x as ‘n lyn van simmetrie, watte punt is symmetries met (-2; 3) ?
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Skets die grafiek van xy=8xy=8.
    1. Hoe sal die grafiek y=83+3y=83+3 vergelyk met dit van xy=8xy=8? Verduidelik jou antwoord in vol.
    2. Skets die grafiek van y=83+3y=83+3op dieselfde assestelsel.
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die Vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

Funksies van die Vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+qis bekend as eksponensielefunksies. Die algemene vorm van ‘n funksie van hierdie tipe word gewys in figuur 32.

Figuur 32: Algemene vorm en posisie van die grafiek van ‘n funksie met die vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q.
Figuur 32 (MG10C11_027.png)

Ondersoek: Funksies van die Vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

  1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2b(x)+1a(x)=-2b(x)+1
    2. b(x)=-1b(x)+1b(x)=-1b(x)+1
    3. c(x)=-0b(x)+1c(x)=-0b(x)+1
    4. d(x)=-1b(x)+1d(x)=-1b(x)+1
    5. e(x)=-2b(x)+1e(x)=-2b(x)+1
    Gebruik jou antwoord om die gevolgtrekking van aa te bepaal.
  2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. f(x)=1b(x)-2f(x)=1b(x)-2
    2. g(x)=1b(x)-1g(x)=1b(x)-1
    3. h(x)=1b(x)+0h(x)=1b(x)+0
    4. j(x)=1b(x)+1j(x)=1b(x)+1
    5. k(x)=1b(x)+2k(x)=1b(x)+2
    Gebruik jou antwoord om die gevolgtrekking van qq te bepaal.

Jy moes gevind het dat die waarde van aa bepaal die vorm van die grafiek, dit wil sê: “Curves Upwards” – “CU” (a>0a>0) of “Curves Downwards” – “CD” (a<0a<0).

Jy moes ook givind het dat die waarde van qq bepaal die posisie van die yy-afsnit.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 11.

Tabel 11: Tabel opsomming van algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q.
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 33
Figuur 33 (MG10C11_028.png)
Figuur 34
Figuur 34 (MG10C11_029.png)
q < 0 q < 0
Figuur 35
Figuur 35 (MG10C11_030.png)
Figuur 36
Figuur 36 (MG10C11_031.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

For y=ab(x)+qy=ab(x)+q, die funksie is gedefineer vir alle reële getalle van xx. Dus, die definisieversameling is {x:xR}{x:xR}.

Die waardeversameling van y=ab(x)+qy=ab(x)+q is dependent on the sign of aa.

As a>0a>0 dan:

b ( x ) 0 a b ( x ) 0 a b ( x ) + q q f ( x ) q b ( x ) 0 a b ( x ) 0 a b ( x ) + q q f ( x ) q
(31)

Dus, as a>0a>0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)[q;)}{f(x):f(x)[q;)}.

Asa<0a<0 dan:

b ( x ) 0 a b ( x ) 0 a b ( x ) + q q f ( x ) q b ( x ) 0 a b ( x ) 0 a b ( x ) + q q f ( x ) q
(32)

Dus, asf a<0a<0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)(-;q]}{f(x):f(x)(-;q]}.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=32x+2g(x)=32x+2 is {x:xR}{x:xR}. Vir die waardeversameling,

2 x 0 3 2 x 0 3 2 x + 2 2 2 x 0 3 2 x 0 3 2 x + 2 2
(33)

Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)[2;)}{g(x):g(x)[2;)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ab(x)+qy=ab(x)+q,die afsnitte met die xx en yy as word bereken deur die stelling van x=0x=0 vir die yy-afsnit en deur die stelling van y=0y=0 vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q
(34)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=32x+2g(x)=32x+2 word gegee deur die stelling van x=0x=0om dan te kry:

y = 3 2 x + 2 y i n t = 3 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5 y = 3 2 x + 2 y i n t = 3 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5
(35)

Die xx-afsnitte word bereken met die stelling van y=0y=0 soos volg:

y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a
(36)

Dit het net ‘n rëele oplossing as een van beide a<0a<0 of q<0q<0. Anders, het die grafiek van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q geen xx-afsnitte.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=32x+2g(x)=32x+2 word gegee deur die stelling van y=0y=0om te kry:

y = 3 2 x + 2 0 = 3 2 x i n t + 2 - 2 = 3 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3 y = 3 2 x + 2 0 = 3 2 x i n t + 2 - 2 = 3 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3
(37)

en dit het geen rëele oplossing. Dus, die grafiek van g(x)=32x+2g(x)=32x+2 het geen xx-afsnitte.

Asimptote

Daar is een asimptoot vir funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q. Die asimptoot kan bepaal word deur die anelise van die waardeversameling.

Ons het gesien dat die funksie ongedefineer is by y=qy=q. Dus is die asimptoot y=qy=q.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=32x+2g(x)=32x+2 is {x:xR}{x:xR} omdat g(x)g(x) gedefineer is vir alle xx. Ons sien ook dat g(x)g(x) ongedefineer is by y=2y=2. Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Van dit kan ons aflei dat die asimptoot by y=2y=2 is.

Sketse van Grafieke van die Vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q

Om grafieke te skets van funksies van die vorm, f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q, moet ons vier eienskappe bereken:

  1. Definisieversameling en Waardeversameling
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=32x+2g(x)=32x+2. Merk die afsnitte.

Ons het die definisieversameling bepaal om {x:xR}{x:xR} te wees en die waardeversameling om {g(x):g(x)[2,)}{g(x):g(x)[2,)} te wees.

Die yy-afsnit is yint=5yint=5 en daar is geen xx-afsnitte.

Figuur 37: Grafiek van g(x)=32x+2g(x)=32x+2.
Figuur 37 (MG10C11_032.png)
Eksponensiele Funksies en Grafieke
  1. Skets die grafieke van y=2xy=2x en y=(12)xy=(12)x op dieselfde assestelsel.
    1. Is die xx-as en asimptoot of as van simmetrie teenwoordig in albei grafieke? Verduidelik jou antwoord.
    2. Watte grafiek word anngedui by die volgende vergelyking y=2-xy=2-x ? Verduidelik jou antwoord.
    3. Losop die vergelyking 2x=(12)x2x=(12)x met behulp van ‘n skets en kyk dat jou antwoord korrek is deur middel van verplaasing.
    4. Voorspel hoe die grafiek y=2.2xy=2.2x vergelyk met y=2xy=2x , teken dan die grafiek van y=2.2xy=2.2x op dieselfde assestelsel.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Die kurwe van die eksponensiele funksie ff in die saamgaande diagram sny die y-as by die punt A(0; 1) en B(2; 4) is op ff.
    Figuur 38
    Figuur 38 (MG10C11_033.png)
    1. Determine the equation of the function ff.
    2. Bepaal die vergelyking van hh,die funksie van wie se kurwe die refleksie is van die kurwe van ff in die xx-as.
    3. Bepaal die waardeversameling van hh.
    Klick hier vir die antwoord

Einde van Hoofstuk Oefeninge

  1. Gegee die funksies f(x)=-2x2-18f(x)=-2x2-18 en g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6
    1. Skets ff en gg op dieselfde assestelsel.
    2. Bereken die punte van interseksie van ff en gg.
    3. Gebruik dan jou grafieke en punte van interseksie om vir xx optelos waneer:
      1. f(x)>0f(x)>0
      2. f(x)g(x)0f(x)g(x)0
    4. Gee die vergelyking van die refleksie van ff in die xx-as.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Nadat ‘n bal neer gegooi is, is die terugslag hoogte minder elke keer. Die vergelyking y=5(0,8)xy=5(0,8)x toon die verwantskap tussen xx, die hoeveelheid terugslag, en yy, die hoogte van die terugslag, vir ‘n spesifieke bal. Wat is die benaderde hoogte van die vyfde terugslag tot die naaste tiende van ‘n eenheid ?
    Kliek hier vir die oplosing
  3. Mark het 15 muntstukke in R5 en R2 stukke. Hy het 3 meer R-stukke dan R5-stukke. Hy het ‘n stelsel van vergelykings opgestel, om die situasie te toon, waar xx toon die hoeveelheid R5-stukke en yy toon die hoeveelheid R2-stukke. Hy het dan die sisteem opgelos deurmiddel van grafiek sketse.
    1. Skryf neer die sisteem van vergelykings.
    2. Skets hulle grafieke op dieselfde assestelsel.
    3. Wat is die oplosing?
    Kliek hier vir die oplosing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Reuse / Edit:

Reuse or edit module (?)

Check out and edit

If you have permission to edit this content, using the "Reuse / Edit" action will allow you to check the content out into your Personal Workspace or a shared Workgroup and then make your edits.

Derive a copy

If you don't have permission to edit the content, you can still use "Reuse / Edit" to adapt the content by creating a derived copy of it and then editing and publishing the copy.