Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Vergelykings en Ongelykhede - Graad 10 [CAPS]

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Strategie vir die Oplos van Vergelykings

Hierdie hoofstuk handel oor die oplos van verskillende soorte vergelykings met twee veranderlikes. Die algemene strategie is om die onbekende veranderlike alleen aan die linkerkant van die gelykaanteken te kry, met al die konstantes aan die regterkant van die gelykaanteken. Byvoorbeeld, in die vergelyking x-1=0x-1=0

 
, wil ons die vergelyking skryf as x=1x=1.

Soos ons gesien het in hersiening van vorige werk, in die afdeling wat handel oor herrangskikking van vergelykings, is 'n vergelyking soos 'n weegskaal wat altyd gebalanseerd moet bly. Wanneer ons vergelykings oplos, moet ons in gedagte hou dat wat aan die een kant gedoen word, ook aan die ander kant gedoen moet word.

Metode: Herrangskikking van Vergelykings

Jy kan 'n getal optel, 'n getal aftrek, met 'n getal vermenigvuldig of met 'n getal deel, solank jy dieselfde bewerking aan beide kante doen.

Byvoorbeeld, in die vergelyking x+5-1=-6x+5-1=-6

 
, wil ons xx alleen aan die linkerkant van die vergelyking kry. Dit beteken ons moet 5 aftrek en 1 optel aan die linkerkant. Omdat ons die skaal gebalanseerd moet hou, moet ons ook 5 aftrek en 1 optel aan die regterkant.

x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10 x + 5 - 1 = - 6 x + 5 - 5 - 1 + 1 = - 6 - 5 + 1 x + 0 + 0 = - 11 + 1 x = - 10
(1)

In 'n ander voorbeeld, 23x=823x=8, moet ons deel met 2 en vermenigvuldig met 3 aan die linkerkant om xx alleen te kry. Om die vergelyking gebalanseerd te hou moet ons ook aan die regterkant deel met 2 en vermenigvuldig met 3.

2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12 2 3 x = 8 2 3 x ÷ 2 × 3 = 8 ÷ 2 × 3 2 2 × 3 3 × x = 8 × 3 2 1 × 1 × x = 12 x = 12
(2)

Hierdie is die basiese reëls wat gevolg moet word wanneer 'n vergelyking vereenvoudig word. In die meeste gevalle moet die reëls herhaaldelik toegepas word voor ons die gewenste veranderlike as onderwerp het.

leidraad:

Die volgende moet ook in gedagte gehou word:
  1. Deling deur 0 is ontoelaatbaar.
  2. As xy=0xy=0, dan x=0x=0 en y0y0, want deling deur 0 gee 'n ongedefinieerde uitdrukking.

Ons is nou gereed om 'n paar vergelykings op te los!

Ondersoek: Strategie vir die Oplos van Vergelykings

Identifiseer wat is verkeerd in die volgende bewerking:

4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3 4 x - 8 = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) ( x - 2 ) = 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 4 = 3
(3)

Oplos van Lineêre Vergelykings

Die eenvoudigste vergelyking om op te los is 'n lineêre vergelyking. ‘n Vergelyking word lineêr genoem indien die hoogste mag van die veranderlike (letter, byvoorbeeld xx) 1 (een) is. Die volgende is voorbeelde van lineêre vergelykings:

2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2 2 x + 2 = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 x - 6 = 7 x + 2
(4)

In hierdie afdeling sal ons leer om te bepaal wat die waarde van 'n veranderlike moet wees om 'n vergelyking waar te maak. Byvoorbeeld, watter waarde van xx maak beide kante van die baie eenvoudige vergelyking, x+1=1x+1=1 waar.

Aangesien die definisie van 'n lineêre vergelyking is dat die hoogste mag van die veranderlike een (1) moet wees, is daar hoogstens een oplossing of wortel vir die vergelyking.

Hierdie afdeling berus op al die metodes wat ons reeds bespreek het: uitvermenigvuldiging van uitdrukkings met hakies, groepering van terme en faktorisering. Maak seker dat jy goed vertroud is met hierdie metodes voordat jy die werk in die res van hierdie hoofstuk aanpak.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( groepeer soortgelyke terme saam ) 2 x = - 1 ( so ver as moontlik vereenvoudig ) 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 ( groepeer soortgelyke terme saam ) 2 x = - 1 ( so ver as moontlik vereenvoudig )
(5)

Nou sien ons dat 2x=-12x=-1. Dit beteken dat as ons weerskante deel met 2, dan kry ons:

x = - 1 2 x = - 1 2
(6)

Vervang x=-12x=-12, in die oorspronklike vergelyking. Dan kry ons:

L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1 L K = 2 x + 2 = 2 ( - 1 2 ) + 2 = - 1 + 2 = 1 e n R K = 1
(7)

Dit is die basiese beginsels vir die oplossing van lineêre vergelykings.

leidraad: Oplos van Vergelykings:

Wanneer jy die oplossing van 'n vergelyking gevind het, vervang die oplossing in die oorspronklike vergelyking om jou antwoord te bevestig.

Metode: Oplos van Lineêre Vergelykings

Die algemene stappe in die oplos van lineêre vergelykings is:

  1. Brei hakies uit: Verwyder alle hakies in die vergelyking.
  2. Herrangskik: "Dra" al die terme wat die veranderlike bevat "oor" na die linkerkant van die vergelyking, en alle konstante terme (die getalle) na die regterkant van die gelykaanteken. Hou in gedagte dat die teken van die terme sal verander van (++) na (--) of omgekeerd, soos hulle 'oor' die gelykaanteken 'beweeg'.
  3. Groepeer soortgelyke terme: Groepeer alle soortgelyke terme saam en vereenvoudig so ver as moontlik.
  4. Faktoriseer: Faktoriseer, indien nodig.
  5. Gee oplossing: Vind die oplossing en skryf die antwoord(e) neer.
  6. Kontroleer: Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om die antwoord te bevestig.

Figuur 1
Khan Akademie video oor vergelykings - 1

Exercise 1: Oplos van Lineêre Vergelykings

Los op vir xx: 4-x=44-x=4

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons word gegee 4-x=44-x=4 en word gevra om vir xx op te los.

  2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Aangesien daar geen hakies is nie, kan ons begin met die herrangskikking en dan die groepering van soorgelyke terme.

  3. Stap 3. Los die probleem op:
    4 - x = 4 - x = 4 - 4 ( herrangskik ) - x = 0 ( groepeer soortgelyke terme ) x = 0 4 - x = 4 - x = 4 - 4 ( herrangskik ) - x = 0 ( groepeer soortgelyke terme ) x = 0
    (8)
  4. Stap 4. Kontroleer die antwoord :

    Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:

    4 - 0 = 4 4 = 4 4 - 0 = 4 4 = 4
    (9)

    Aangesien beide kante gelyk is, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord :

    Die oplossing van 4-x=44-x=4 is x=0x=0.

Exercise 2: Oplos van Lineêre Vergelykings

Los op vir xx: 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons word gegee 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x en word gevra om op te los vir xx.

  2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Ons begin met die uitbreiding van hakies, dan herrangskikking, daarna groepering van soortgelyke terme en uiteindelik vereenvoudiging.

  3. Stap 3. Los die probleem op :
    4 ( 2 x - 9 ) - 4 x = 4 - 6 x 8 x - 36 - 4 x = 4 - 6 x ( brei die hakies uit ) 8 x - 4 x + 6 x = 4 + 36 ( herrangskik ) ( 8 x - 4 x + 6 x ) = ( 4 + 36 ) ( groepeer soortgelyke terme saam ) 10 x = 40 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) 10 10 x = 40 10 ( deel weerskante deur 10 ) x = 4 4 ( 2 x - 9 ) - 4 x = 4 - 6 x 8 x - 36 - 4 x = 4 - 6 x ( brei die hakies uit ) 8 x - 4 x + 6 x = 4 + 36 ( herrangskik ) ( 8 x - 4 x + 6 x ) = ( 4 + 36 ) ( groepeer soortgelyke terme saam ) 10 x = 40 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) 10 10 x = 40 10 ( deel weerskante deur 10 ) x = 4
    (10)
  4. Stap 4. Kontroleer die antwoord :

    Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:

    4 ( 2 ( 4 ) - 9 ) - 4 ( 4 ) = 4 - 6 ( 4 ) 4 ( 8 - 9 ) - 16 = 4 - 24 4 ( - 1 ) - 16 = - 20 - 4 - 16 = - 20 - 20 = - 20 4 ( 2 ( 4 ) - 9 ) - 4 ( 4 ) = 4 - 6 ( 4 ) 4 ( 8 - 9 ) - 16 = 4 - 24 4 ( - 1 ) - 16 = - 20 - 4 - 16 = - 20 - 20 = - 20
    (11)

    Aangesien beide kante gelyk is aan -20-20, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Gee die finale antwoord :

    Die oplossing van 4(2x-9)-4x=4-6x4(2x-9)-4x=4-6x is x=4x=4.

Exercise 3: Oplos van Lineêre Vergelykings

Los op vir xx: 2-x3x+1=22-x3x+1=2

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons word gegee 2-x3x+1=22-x3x+1=2 en word gevra om op te los vir xx.

  2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Aangesien daar 'n noemer van (3x+13x+1) is, kan ons begin deur weerskante van die vergelyking te vermenigvuldig met (3x+13x+1). Omdat deling met 0 ontoelaatbaar is, is daar 'n beperking op die waarde van x (x-13x-13).

  3. Stap 3. Los die probleem op :
    2 - x 3 x + 1 = 2 ( 2 - x ) = 2 ( 3 x + 1 ) 2 - x = 6 x + 2 ( brei hakies uit ) - x - 6 x = 2 - 2 ( herrangskik) - 7 x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) x = 0 ÷ ( - 7 ) x = 0 ( zero gedeel deur enige ander getal is 0) 2 - x 3 x + 1 = 2 ( 2 - x ) = 2 ( 3 x + 1 ) 2 - x = 6 x + 2 ( brei hakies uit ) - x - 6 x = 2 - 2 ( herrangskik) - 7 x = 0 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) x = 0 ÷ ( - 7 ) x = 0 ( zero gedeel deur enige ander getal is 0)
    (12)
  4. Stap 4. Kontroleer die antwoord :

    Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:

    2 - ( 0 ) 3 ( 0 ) + 1 = 2 2 1 = 2 2 - ( 0 ) 3 ( 0 ) + 1 = 2 2 1 = 2
    (13)

    Aangesien weerskante gelyk is aan 2, is die antwoord korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :

    Die oplossing van 2-x3x+1=22-x3x+1=2 is x=0x=0.

Exercise 4: Oplos van Lineêre Vergelykings

Los op vir xx: 43x-6=7x+243x-6=7x+2

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons word gegee 43x-6=7x+243x-6=7x+2 en word gevra om op te los vir xx.

  2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Ons begin deur elk van die terme in die vergelyking te vermenigvuldig met 3, daarna soortelyke terme saam te groepeer en vervolgens te vereenvoudig.

  3. Stap 3. Los die probleem op :
    4 3 x - 6 = 7 x + 2 4 x - 18 = 21 x + 6 ( elke term word vermenigvuldig met 3 ) 4 x - 21 x = 6 + 18 ( herrangskik) - 17 x = 24 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - 17 - 17 x = 24 - 17 ( deel weerskante deur - 17 ) x = - 24 17 4 3 x - 6 = 7 x + 2 4 x - 18 = 21 x + 6 ( elke term word vermenigvuldig met 3 ) 4 x - 21 x = 6 + 18 ( herrangskik) - 17 x = 24 ( vereenvoudig gegroepeerde terme ) - 17 - 17 x = 24 - 17 ( deel weerskante deur - 17 ) x = - 24 17
    (14)
  4. Stap 4. Kontroleer die antwoord :

    Stel die oplossing in die oorspronklike vergelyking in:

    4 3 × - 24 17 - 6 = 7 × - 24 17 + 2 4 × ( - 8 ) ( 17 ) - 6 = 7 × ( - 24 ) 17 + 2 ( - 32 ) 17 - 6 = - 168 17 + 2 - 32 - 102 17 = ( - 168 ) + 34 17 - 134 17 = - 134 17 4 3 × - 24 17 - 6 = 7 × - 24 17 + 2 4 × ( - 8 ) ( 17 ) - 6 = 7 × ( - 24 ) 17 + 2 ( - 32 ) 17 - 6 = - 168 17 + 2 - 32 - 102 17 = ( - 168 ) + 34 17 - 134 17 = - 134 17
    (15)

    Beide kante is gelyk aan -13417-13417, dus die oplossing is reg.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord neer :

    Die oplossing van 43x-6=7x+243x-6=7x+2 is,   x=-2417x=-2417.

Oplos van Lineêre Vergelykings

  1. Los op vir yy: 2y-3=72y-3=7
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los op vir yy: -3y=0-3y=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los op vir yy: 4y=164y=16
     
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Los op vir yy: 12y+0=14412y+0=144
     
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Los op vir yy: 7+5y=627+5y=62
     
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Los op vir xx: 55=5x+3455=5x+34
     
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Los op vir xx: 5x=3x+455x=3x+45
     
    Kliek hier vir die oplossing
  8. Los op vir xx: 23x-12=6+2x23x-12=6+2x
     
    Kliek hier vir die oplossing
  9. Los op vi xx: 12-6x+34x=2x-24-6412-6x+34x=2x-24-64
     
    Kliek hier vir die oplossing
  10. Los op vir xx: 6x+3x=4-5(2x-3)6x+3x=4-5(2x-3)
     
    Kliek hier vir die oplossing
  11. Los op vir pp: 18-2p=p+918-2p=p+9
     
    Kliek hier vir die oplossing
  12. Los op vir pp: 4p=16244p=1624
     
    Kliek hier vir die oplossing
  13. Los op vir pp: 41=p241=p2
     
    Kliek hier vir die oplossing
  14. Los op vir pp: -(-16-p)=13p-1-(-16-p)=13p-1
     
    Kliek hier vir die oplossing
  15. Los op vir pp: 6p-2+2p=-2+4p+86p-2+2p=-2+4p+8
     
    Kliek hier vir die oplossing
  16. Los op vir ff: 3f-10=103f-10=10
     
    Kliek hier vir die oplossing
  17. Los op vir ff: 3f+16=4f-103f+16=4f-10
     
    Kliek hier vir die oplossing
  18. Los op vir ff: 10f+5+0=-2f+-3f+8010f+5+0=-2f+-3f+80
     
    Kliek hier vir die oplossing
  19. Los op vir ff: 8(f-4)=5(f-4)8(f-4)=5(f-4)
     
    Kliek hier vir die oplossing
  20. Los op vir ff: 6=6(f+7)+5f6=6(f+7)+5f
     
    Kliek hier vir die oplossing

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

'n Kwadratiese vergelyking, is 'n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.

2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2 2 x 2 + 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 x 4 3 x - 6 = 7 x 2 + 2
(16)

Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings daarin dat 'n lineêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl ‘n kwadratiese vergelyking hoogstens 2 oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar 'n kwadratiese vergelyking slegs een oplossing het.

Om 'n kwadratiese vergelyking op te los, herskryf ons dit met 'n 0 aan die een kant van die gelykaanteken en die produk van twee lineêre uitdrukkings, in hakies, aan die anderkant. Ons weet byvoorbeeld dat:

( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3 ( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - x - 3
(17)

Om op te los:

2 x 2 - x - 3 = 0 2 x 2 - x - 3 = 0
(18)

moet ons in staat wees om 2x2-x-32x2-x-3 te herskryf as (x+1)(2x-3)(x+1)(2x-3), en ons weet reeds hoe om dit te doen.

Ondersoek: Faktorisering van 'n Kwadratiese Uitdrukking

Faktoriseer die volgende kwadratiese uitdrukkings:

  1. x + x 2 x + x 2
  2. x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 + 2 x
  3. x 2 - 4 x + 5 x 2 - 4 x + 5
  4. 16 x 2 - 9 16 x 2 - 9
  5. 4 x 2 + 4 x + 1 4 x 2 + 4 x + 1

As jy 'n kwadratiese uitdrukking kan faktoriseer, is jy een stap weg daarvan om 'n kwadratiese vergelyking op te los. Byvoorbeeld, x2-3x+2=0x2-3x+2=0 kan geskryf word as (x-1)(x-2)=0(x-1)(x-2)=0. Dit beteken dat x-1=0x-1=0 of x-2=0x-2=0, wat x=1x=1 en x=2x=2 gee as die 2 oplossings van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0.

Metode: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

  1. Deel heel eerste die hele vergelyking deur enige gemene faktore van die koëffisiënte, ten einde 'n vergelyking te kry van die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 waar aa, bb en cc geen gemeenskaplike faktore het nie. Byvoorbeeld, 2x2+4x+2=02x2+4x+2=0
     
    kan geskryf word as x2+2x+1=0x2+2x+1=0
     
    deur te deel met 2.
  2. Skryf ax2+bx+cax2+bx+c in terme van sy faktore (rx+s)(ux+v)(rx+s)(ux+v). Dit beteken (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0.
  3. Wanneer ons die vergelyking geskryf het in die vorm (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0, volg dit dat die oplossing sal wees x=-srx=-sr of x=-vux=-vu.
  4. Vervang elke moontlike waarde van die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om te toets of dit 'n geldige oplossing is.

Oplossing (wortels) van Kwadratiese Vergelykings

'n Kwadratiese vergelyking het 2 wortels omdat enige een van die 2 waardes die vergelyking kan bevredig.

Figuur 2
Khan Akademie video oor vergelykings - 3

Exercise 5: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0.

Solution
  1. Stap 1. Kry die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 :

    Ons het gesien die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 is (x+1)(x+1) and (3x-1)(3x-1).

  2. Stap 2. Skryf die vergelyking in gefaktoriseerde vorm :
    ( x + 1 ) ( 3 x - 1 ) = 0 ( x + 1 ) ( 3 x - 1 ) = 0
    (19)
  3. Stap 3. Bepaal die 2 wortels :

    Ons het

    x + 1 = 0 x + 1 = 0
    (20)

    of

    3 x - 1 = 0 3 x - 1 = 0
    (21)

    Dus, x=-1x=-1 of x=13x=13.

  4. Stap 4. Toets die antwoorde: As ons die antwoorde instel in die oorspronklike vergelyking in, vind ons die vergelyking is waar vir beide antwoorde.
  5. Stap 5. Skryf die finale oplossing :

    3x2+2x-1=03x2+2x-1=0

     
    vir x=-1x=-1 of x=13x=13.

Dit mag gebeur dat die vergelyking met die eerste oogopslag nie soos 'n kwadratiese vergelyking lyk nie, maar deur 'n paar bewerkings in een verander kan word. Onthou dat dieselfde bewerking aan elke kant gedoen moet word om die vergelyking geldig (waar) te hou.

Dit mag nodig wees om een of meer van die volgende te doen:

  • Vermenigvuldig weerskante: Byvoorbeeld,
    ax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=cax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=c
    (22)
  • Kry weerskante die resiproke: Dit beteken om beide kante te verhef tot die mag -1-1. Byvoorbeeld,
    1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c
    (23)
  • Kwadreer weerskante: Dit beteken om weerskante te verhef tot die mag 2. Byvoorbeeld,
    ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2
    (24)

Hierdie strategieë kan op verskillende wyses gekombineer word en die sekerste manier om jou intuïsie te ontwikkel oor wat die beste ding is om te doen, is om te oefen. 'n Gekombineerde stel bewerkings kan byvoorbeeld wees:

1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( kry weerskante die resiprook ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer weerskante ) a x 2 + b x = 1 c 2 1 a x 2 + b x = c ( 1 a x 2 + b x ) - 1 = ( c ) - 1 ( kry weerskante die resiprook ) a x 2 + b x 1 = 1 c a x 2 + b x = 1 c ( a x 2 + b x ) 2 = ( 1 c ) 2 ( kwadreer weerskante ) a x 2 + b x = 1 c 2
(25)

Exercise 6: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los op vir xx: x+2=xx+2=x.

Solution
  1. Stap 1. Kwadreer beide kante van die vergelyking :

    Beide kante van die vergelyking behoort gekwadreer te word om die vierkantswortelteken te verwyder.

    x + 2 = x 2 x + 2 = x 2
    (26)
  2. Stap 2. Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
    x + 2 = x 2 ( trek x 2 af van beide kante ) x + 2 - x 2 = 0 ( deel weerskante deur - 1 ) - x - 2 + x 2 = 0 x 2 - x - 2 = 0 x + 2 = x 2 ( trek x 2 af van beide kante ) x + 2 - x 2 = 0 ( deel weerskante deur - 1 ) - x - 2 + x 2 = 0 x 2 - x - 2 = 0
    (27)
  3. Stap 3. Faktoriseer die kwadratiese drieterm :
    x 2 - x - 2 x 2 - x - 2
    (28)

    Die faktore van x2-x-2x2-x-2 is (x-2)(x+1)(x-2)(x+1).

  4. Stap 4. Skryf die vergelyking met die faktore :
    ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0
    (29)
  5. Stap 5. Bepaal die 2 oplossings :

    Ons het

    x + 1 = 0 x + 1 = 0
    (30)

    of

    x - 2 = 0 x - 2 = 0
    (31)

    Dus, x=-1x=-1 of x=2x=2.

  6. Stap 6. Kontroleer of die oplossings geldig is :

    Vervang x=-1x=-1

     
    in die oorspronklike vergelyking x+2=xx+2=x:

    LK = ( - 1 ) + 2 = 1 = 1 maar RK = ( - 1 ) LK = ( - 1 ) + 2 = 1 = 1 maar RK = ( - 1 )
    (32)

    Daarom LK RK. Die twee kante van 'n vergelyking moet altyd balanseer; 'n moontlike oplossing wat NIE die vergelyking bevredig nie, is nie geldig nie. In hierdie geval balanseer die twee kante van die vergelyking nie.

    Dus x-1x-1.

    Stel nou x=2x=2 in die oorspronklike vergelyking in x+2=xx+2=x:

    LK = 2 + 2 = 4 = 2 en RK = 2 LK = 2 + 2 = 4 = 2 en RK = 2
    (33)

    Dus, LK = RK

    Dus x=2x=2 is die enigste geldige oplossing.

  7. Stap 7. Skryf die finale antwoord neer :

    x+2=xx+2=x vir x=2x=2 alleenlik.

Exercise 7: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Los die vergelyking op: x2+3x-4=0x2+3x-4=0.

Solution
  1. Stap 1. Kontroleer of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :

    Die vergelyking is in die verlangde vorm, met a=1a=1.

  2. Stap 2. Faktoriseer die kwadratiese drieterm :

    Jy benodig die faktore van 1 en 4 sodat die middelterm +3+3 is. So, die faktore is:

    ( x - 1 ) ( x + 4 ) ( x - 1 ) ( x + 4 )

  3. Stap 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
    x 2 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x + 4 ) = 0 x 2 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x + 4 ) = 0
    (34)

    Dus x=1x=1 of x=-4x=-4.

  4. Stap 4. Toets die oplossings:
    12+3(1)-4=012+3(1)-4=0
    (35)
    (-4)2+3(-4)-4=0(-4)2+3(-4)-4=0
    (36)

    Beide oplossings is geldig.

  5. Stap 5. Gee die finale oplossing :

    Dus, die oplossing is x=1x=1 of x=-4x=-4.

Exercise 8: Oplos van Kwadratiese Vergelykings

Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2.

Solution
  1. Stap 1. Bepaal of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 is met geen gemeenskaplike faktore :

    Daar is 'n gemeenskaplike faktor: -2. Dus, deel weerskante van die vergelyking deur -2.

    - 2 x 2 + 4 x - 2 = 0 x 2 - 2 x + 1 = 0 - 2 x 2 + 4 x - 2 = 0 x 2 - 2 x + 1 = 0
    (37)
  2. Stap 2. Faktoriseer x2-2x+1x2-2x+1 :

    Die middelterm is negatief. Dus, die faktore is (x-1)(x-1)(x-1)(x-1).

    As ons uitvermenigvuldig (x-1)(x-1)(x-1)(x-1), kry ons x2-2x+1x2-2x+1.

  3. Stap 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
    x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 ) = 0 x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 ) = 0
    (38)

    In hierdie geval is die kwadratiese uitdrukking 'n volkome vierkant, so daar is net een oplossing vir xx: x=1x=1.

  4. Stap 4. Toets die oplossing:

    -2(1)2+4(1)-2=0-2(1)2+4(1)-2=0

  5. Stap 5. Skryf die finale oplossing neer :

    Die wortel van 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2 is x=1x=1.

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

  1. Los op vir xx: (3x+2)(3x-4)=0(3x+2)(3x-4)=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los op vir xx: (5x-9)(x+6)=0(5x-9)(x+6)=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los op vir xx: (2x+3)(2x-3)=0(2x+3)(2x-3)=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Los op vir xx: (2x+1)(2x-9)=0(2x+1)(2x-9)=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Los op vir xx: (2x-3)(2x-3)=0(2x-3)(2x-3)=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Los op vir xx: 20x+25x2=020x+25x2=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Los op vir xx: 4x2-17x-77=04x2-17x-77=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  8. Los op vir xx: 2x2-5x-12=02x2-5x-12=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  9. Los op vir xx: -75x2+290x-240=0-75x2+290x-240=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  10. Los op vir xx: 2x=13x2-3x+14232x=13x2-3x+1423
     
    Kliek hier vir die oplossing
  11. Los op vir xx: x2-4x=-4x2-4x=-4
     
    Kliek hier vir die oplossing
  12. Los op vir xx: -x2+4x-6=4x2-5x+3-x2+4x-6=4x2-5x+3
     
    Kliek hier vir die oplossing
  13. Los op vir xx: x2=3xx2=3x
     
    Kliek hier vir die oplossing
  14. Los op vir xx: 3x2+10x-25=03x2+10x-25=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  15. Los op vir xx: x2-x+3x2-x+3
     
     
    Kliek hier vir die oplossing
  16. Los op vir xx: x2-4x+4=0x2-4x+4=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  17. Los op vir xx: x2-6x=7x2-6x=7
     
    Kliek hier vir die oplossing
  18. Los op vir xx: 14x2+5x=614x2+5x=6
     
    Kliek hier vir die oplossing
  19. Los op vir xx: 2x2-2x=122x2-2x=12
     
    Kliek hier vir die oplossing
  20. Los op vir xx: 3x2+2y-6=x2-x+23x2+2y-6=x2-x+2
     
    Kliek hier vir die oplossing

Ekponensiële Vergelykings van die vorm ka(x+p)=mka(x+p)=m

Eksponensiële vergelykings het in die algemeen die veranderlike in die mag. Die volgende is voorbeelde van eksponensiële vergelykings:

2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2 2 x = 1 2 - x 3 x + 1 = 2 4 3 - 6 = 7 x + 2
(39)

Jy behoort reeds vertroud te wees met eksponensiële notasie. Oplos van eksponensiële vergelykings is eenvoudig, solank ons onthou hoe om die eksponentwette toe te pas.

Ondersoek: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los die volgende vergelykings op deur die tabel te voltooi:

Tabel 1
2 x = 2 2 x = 2 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
2 x 2 x              
Tabel 2
3 x = 9 3 x = 9 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
3 x 3 x              
Tabel 3
2 x + 1 = 8 2 x + 1 = 8 x x
  -3 -2 -1 0 1 2 3
2 x + 1 2 x + 1              

Algebraïese Oplossing

Definition 1: Gelykheid van Eksponensiële Funksies

As aa 'n positiewe getal is so dat a>0a>0, (behalwe wanneer a=1a=1

 
) dan:

a x = a y a x = a y
(40)

as en slegs as:

x = y x = y
(41)
(As a=1a=1, dan kan xx en yy verskil.)

Dit beteken dat indien ons al die terme met dieselfde grondtal kan skryf, kan ons die eksponensiële vergelykings oplos deur die eksponente gelyk te stel. Neem byvoorbeeld die vergelyking 3x+1=93x+1=9. Dit kan geskryf word as:

3 x + 1 = 3 2 3 x + 1 = 3 2
(42)

Aangesien die grondtalle gelyk is (aan 3), weet ons dat die eksponente gelyk moet wees. Daarom kan ons skryf:

x + 1 = 2 x + 1 = 2
(43)

Dit gee:

x = 1 x = 1
(44)

Metode: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

  1. Probeer om al die terme met dieselfde grondtal te skryf.
  2. Stel die eksponente van die grondtalle van die LK en RK gelyk.
  3. Los die vergelyking wat in die vorige stap verkry is, op.
  4. Bevestig die antwoorde.
Ondersoek : Eksponensiële Getalle

Skryf die volgende met dieselfde grondtal. Die grondtal is eerste in die lys. Byvoorbeeld in die lys 2, 4, 8, is die grondtal twee(2) en ons kan 4 skryf as 2222.

  1. 2,4,8,16,32,64,128,512,1024
  2. 3,9,27,81,243
  3. 5,25,125,625
  4. 13,169
  5. 2x2x, 4x24x2, 8x38x3, 49x849x8
Exercise 9: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op vir xx: 2x=22x=2

Solution
  1. Stap 1. Probeer al die terme skryf met dieselfde grondtal :

    Al die terme word geskryf met dieselfde grondtal:

    2 x = 2 1 2 x = 2 1
    (45)
  2. Stap 2. Stel die eksponente gelyk :
    x = 1 x = 1
    (46)
  3. Stap 3. Toets jou antwoord :
    LK = 2 x = 2 1 = 2 RK = 2 1 = 2 = LK LK = 2 x = 2 1 = 2 RK = 2 1 = 2 = LK
    (47)

    Aangesien beide kante van die vergelyking dieselfde is, is die antwoord korrek.

  4. Stap 4. Skryf die finale antwoord :
    x = 1 x = 1
    (48)

    is die oplossing van 2x=22x=2.

Exercise 10: Oplos van Eksponensiële Vergelykings

Los op:

2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 4 2 x
(49)
Solution
  1. Stap 1. Probeer om al die terme met dieselfde grondtal te skryf :
    2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 2 2 ( 2 x ) 2 x + 4 = 2 4 x 2 x + 4 = 4 2 x 2 x + 4 = 2 2 ( 2 x ) 2 x + 4 = 2 4 x
    (50)
  2. Stap 2. Stel die eksponenete gelyk :
    x + 4 = 4 x x + 4 = 4 x
    (51)
  3. Stap 3. Los op vir xx :
    x + 4 = 4 x x - 4 x = - 4 - 3 x = - 4 x = - 4 - 3 x = 4 3 x + 4 = 4 x x - 4 x = - 4 - 3 x = - 4 x = - 4 - 3 x = 4 3
    (52)
  4. Stap 4. Toets jou antwoord :
    LK = 2 x + 4 = 2 ( 4 3 + 4 ) = 2 16 3 = ( 2 16 ) 1 3 RK = 4 2 x = 4 2 ( 4 3 ) = 4 8 3 = ( 4 8 ) 1 3 = ( ( 2 2 ) 8 ) 1 3 = ( 2 16 ) 1 3 = LK LK = 2 x + 4 = 2 ( 4 3 + 4 ) = 2 16 3 = ( 2 16 ) 1 3 RK = 4 2 x = 4 2 ( 4 3 ) = 4 8 3 = ( 4 8 ) 1 3 = ( ( 2 2 ) 8 ) 1 3 = ( 2 16 ) 1 3 = LK
    (53)

    Aangesien beide kante dieselfde is, is die oplossing korrek.

  5. Stap 5. Skryf die finale antwoord :
    x = 4 3 x = 4 3
    (54)

    is die oplossing van 2x+4=42x2x+4=42x.

Oplos van Eksponensiële Vergelykings
  1. Los die volgende eksponensiële vergelykings op:
    1. 2x+5=252x+5=25
    2. 32x+1=3332x+1=33
    3. 52x+2=5352x+2=53
    4. 65-x=61265-x=612
    5. 64x+1=162x+564x+1=162x+5
    6. 125x=5125x=5
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los op 39x-2=2739x-2=27
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los op vir kk: 81k+2=27k+481k+2=27k+4
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Die groei van alge in 'n poel kan gemodelleer word met die funksie f(t)=2tf(t)=2t. Vind die waarde van tt sodat f(t)=128f(t)=128
     
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Los op vir xx: 25(1-2x)=5425(1-2x)=54
     
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Los op vir xx: 27x×9x-2=127x×9x-2=1
     
    Kliek hier vir die oplossing

Lineêre Ongelykhede

Ondersoek : Ongelykhede op 'n Getallelyn

Stel die volgende voor op getallelyne:

  1. x = 4 x = 4
  2. x < 4 x < 4
  3. x 4 x 4
  4. x 4 x 4
  5. x > 4 x > 4

'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking aangesien die hoogste eksponent van die veranderlike 1 is. Die volgende is voorbeelde van lineêre ongelykhede:

2 x + 2 1 2 - x 3 x + 1 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2 2 x + 2 1 2 - x 3 x + 1 2 4 3 x - 6 < 7 x + 2
(55)

Die metodes wat gebruik word om lineêre ongelykhede op te los, is identies aan dié wat gebruik word om lineêre vergelykings op te los. Die enigste verskil kom voor wanneer daar 'n vermenigvuldiging met of deling deur 'n negatiewe getal is. Ons weet byvoorbeeld dat 8>68>6. As beide kante van die ongelykheid gedeel word (byvoorbeeld deur -2-2), sien ons -4-4 is nie groter as -3-3 nie. Dus moet die ongelykheid omkeer, wat beteken -4<-3-4<-3.

leidraad:

Wanneer beide kante van 'n ongelykheid met 'n negatiewe getal vermenigvuldig word, of met 'n negatiewe getal gedeel word, verander die rigting van die ongelykheid. Om hierdie rede mag ons nie met 'n veranderlike vermenigvuldig as ons nie weet nie wat die onbekende (veranderlike) se teken is nie.

Byvoorbeeld, as x<1x<1, dan -x>-1-x>-1.

Om 'n ongelykheid met 'n gewone vergelyking te vergelyk, sal ons eers die gewone vergelyking oplos. Los op 2x+2=12x+2=1.

2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2 2 x + 2 = 1 2 x = 1 - 2 2 x = - 1 x = - 1 2
(56)

As ons hierdie antwoord op 'n getallelyn voorstel, kry ons:

Figuur 3
Figuur 3 (MG10C10_001.png)

Kom ons los nou die ongelykheid 2x+212x+21 op:

2 x + 2 1 2 x 1 - 2 2 x - 1 x - 1 2 2 x + 2 1 2 x 1 - 2 2 x - 1 x - 1 2
(57)

As ons hierdie antwoord op 'n getallelyn voorstel, kry ons:

Figuur 4
Figuur 4 (MG10C10_002.png)

Soos jy kan sien, vir die vergelyking is daar slegs 'n enkele waarde van xx waarvoor die vergelyking waar is. Vir die ongelykheid is daar egter 'n hele versameling waardes waarvoor die ongelykheid waar is. Dit is die groot verskil tussen gewone vergelykings (gelykhede) en ongelykhede.

Figuur 5
Khan Akademie video oor ongelykhede - 1

Figuur 6
Khan Akademie video oor ongelykhede - 2

Exercise 11: Lineêre Ongelykhede

Los op vir rr: 6-r>26-r>2

Solution

  1. Stap 1. Kry al die konstantes aan die RK :
    - r > 2 - 6 - r > - 4 - r > 2 - 6 - r > - 4
    (58)
  2. Stap 2. Vermenigvuldig weerskante met -1 :

    Wanneer jy met 'n negatiewe getal vermenigvuldig, draai die rigting van die ongelykheid om.

    r < 4 r < 4
    (59)
  3. Stap 3. Stel die antwoorde grafies voor :

    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C10_003.png)

Exercise 12: Lineêre Ongelykhede

Los op vir qq: 4q+3<2(q+3)4q+3<2(q+3) en stel die oplossing voor op 'n getallelyn.

Solution

  1. Stap 1. Brei alle hakies uit :
    4 q + 3 < 2 ( q + 3 ) 4 q + 3 < 2 q + 6 4 q + 3 < 2 ( q + 3 ) 4 q + 3 < 2 q + 6
    (60)
  2. Stap 2. Kra al die konstantes aan die RK en al die onbekendes aan die LK :
    4 q + 3 < 2 q + 6 4 q - 2 q < 6 - 3 2 q < 3 4 q + 3 < 2 q + 6 4 q - 2 q < 6 - 3 2 q < 3
    (61)
  3. Stap 3. Los die ongelykheid op :
    2 q < 3 deel beide kante deur 2 q < 3 2 2 q < 3 deel beide kante deur 2 q < 3 2
    (62)
  4. Stap 4. Stel die oplossing grafies voor :

    Figuur 8
    Figuur 8 (MG10C10_004.png)

Exercise 13: Saamgestelde Lineêre Ongelykhede

Los op vir xx: 5x+3<85x+3<8 en stel die antwoord op 'n getallelyn voor.

Solution

  1. Stap 1. Trek 3 af van die linkerkant, middel en regterkant van die ongelykhede :
    5 - 3 x + 3 - 3 < 8 - 3 2 x < 5 5 - 3 x + 3 - 3 < 8 - 3 2 x < 5
    (63)
  2. Stap 2. Stel die antwoord grafies voor :

    Figuur 9
    Figuur 9 (MG10C10_005.png)

Lineêre Ongelykhede

  1. Los op vir xx en stel die oplossing grafies voor:
    1. 3x+4>5x+83x+4>5x+8
    2. 3(x-1)-26x+43(x-1)-26x+4
    3. x-73>2x-32x-73>2x-32
    4. -4(x-1)<x+2-4(x-1)<x+2
    5. 12x+13(x-1)56x-1312x+13(x-1)56x-13
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los die volgende ongelykhede op. Illustreer jou antwoord op 'n getallelyn as xx 'n reële getal is.
    1. -2x-1<3-2x-1<3
    2. -5<2x-37-5<2x-37
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los op vir xx: 7(3x+2)-5(2x-3)>77(3x+2)-5(2x-3)>7
     
    Illustreer die antwoord op 'n getallelyn.
     
    Kliek hier vir die oplossing

Gelyktydige Lineêre Vergelykings

Tot dusver het alle vergelykings slegs een onbekende veranderlike gehad wat ons moes vind. Wanneer 2 onbekendes bepaal moet word, het ons 2 vergelykings nodig. Hierdie vergelykings word gelyktydige vergelykings genoem. Die oplossing vir die stelsel van gelyktydige vergelykings is die waardes van die veranderlikes wat die stelsel van vergelykings gelyktydig sal bevredig. In die algemeen beteken dit indien daar nn onbekende veranderlikes is, benodig ons nn vergelykings om 'n oplossing vir elk van die nn veranderlikes te vind.

’n Voorbeeld van stel gelyktydige vergelykings is:

2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2 2 x + 2 y = 1 2 - x 3 y + 1 = 2
(64)

Oplos van Gelyktydige Vergelykings

Om 'n numeriese waarde vir onbekende veranderlikes te vind, moet ons ten minste soveel onafhanklike vergelykings as veranderlikes hê. Ons kan gelyktydige vergelykings algebraïes of grafies oplos.

Figuur 10
Khan Akademie video oor gelyktydige vergelykings - 1

Grafiese Oplossing

Gelyktydige vergelykings kan grafies opgelos word. Die oplossing van die gelyktydige vergelykings word gegee deur die koördinate van die punt waar die twee grafieke mekaar sny.

x = 2 y y = 2 x - 3 x = 2 y y = 2 x - 3
(65)

Trek die grafieke van die 2 vergelykings in vergelyking 65.

Figuur 11
Figuur 11 (MG10C10_006.png)

Die snypunt van die 2 grafieke is (2,1)(2,1). Dus, die oplossing van die stel gelyktydige vergelykings in vergelyking 65 is y=1y=1 and x=2x=2.

Dit kan algebraïes getoon word as:

x = 2 y y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Stel in die eerste vergelyking in: x = 2 ( 1 ) = 2 x = 2 y y = 2 ( 2 y ) - 3 y - 4 y = - 3 - 3 y = - 3 y = 1 Stel in die eerste vergelyking in: x = 2 ( 1 ) = 2
(66)

Exercise 14: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stel gelyktydige vergelykings grafies op.

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(67)
Solution
  1. Stap 1. Teken die grafiek wat ooreenstem met elke vergelyking. :

    Vir die eerste vergelyking:

    4 y + 3 x = 100 4 y = 100 - 3 x y = 25 - 3 4 x 4 y + 3 x = 100 4 y = 100 - 3 x y = 25 - 3 4 x
    (68)

    en vir die tweede vergelyking:

    4 y - 19 x = 12 4 y = 19 x + 12 y = 19 4 x + 3 4 y - 19 x = 12 4 y = 19 x + 12 y = 19 4 x + 3
    (69)

    Figuur 12
    Figuur 12 (MG10C10_007.png)

  2. Stap 2. Vind die snypunt van die grafieke. :

    Die grafieke sny by (4,22)(4,22).

  3. Stap 3. Skryf die oplossing neer van die stel gelyktydige vergelykings soos gegee deur die koördinate van die snypunt van die grafieke. :
    x = 4 y = 22 x = 4 y = 22
    (70)

Oplossing deur Vervanging

’n Algemene algebraïese metode is vervanging: probeer een van die vergelykings op te los vir een van die veranderlikes en vervang die resultaat in die ander vergelykings. Deur dit te doen verminder die hoeveelheid vergelykings en ook die hoeveelheid onbekende veranderlikes met 1. Hierdie proses word herhaal tot ‘n enkele vergelyking met 1 veranderlike oorbly, wat (hopelik) opgelos kan word. Terugvervanging kan dan gebruik word om die waardes van die ander veranderlikes te bevestig.

In die voobeeld vergelyking 64, los ons die eerste vergelyking op vir xx:

x = 1 2 - y x = 1 2 - y
(71)

en stel hierdie resultaat in die tweede vergelyking in:

2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10 2 - x 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) 3 y + 1 = 2 2 - ( 1 2 - y ) = 2 ( 3 y + 1 ) 2 - 1 2 + y = 6 y + 2 y - 6 y = - 2 + 1 2 + 2 - 5 y = 1 2 y = - 1 10
(72)
x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5 x = 1 2 - y = 1 2 - ( - 1 10 ) = 6 10 = 3 5
(73)

Die oplossing vir die stelsel gelyktydige vergelykings vergelyking 64 is:

x = 3 5 y = - 1 10 x = 3 5 y = - 1 10
(74)

Exercise 15: Gelyktydige Vergelykings

Los die volgende stelsel gelyktydige vergelykings op:

4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12 4 y + 3 x = 100 4 y - 19 x = 12
(75)
Solution
  1. Stap 1. Indien die vraag nie eksplisiet vra vir 'n grafiese oplossing nie, behoort die gelyktydige vergelykings algebraïes opgelos te word. :
  2. Stap 2. Maak xx die onderwerp van die eerste vergelyking. :
    4 y + 3 x = 100 3 x = 100 - 4 y x = 100 - 4 y 3 4 y + 3 x = 100 3 x = 100 - 4 y x = 100 - 4 y 3
    (76)
  3. Stap 3. Stel die waarde wat bereken is vir xx in die tweede vergelyking in. :
    4 y - 19 ( 100 - 4 y 3 ) = 12 12 y - 19 ( 100 - 4 y ) = 36 12 y - 1900 + 76 y = 36 88 y = 1936 y = 22 4 y - 19 ( 100 - 4 y 3 ) = 12 12 y - 19 ( 100 - 4 y ) = 36 12 y - 1900 + 76 y = 36 88 y = 1936 y = 22
    (77)
  4. Stap 4. Vervang xx in die vergelyking. :
    x = 100 - 4 ( 22 ) 3 = 100 - 88 3 = 12 3 = 4 x = 100 - 4 ( 22 ) 3 = 100 - 88 3 = 12 3 = 4
    (78)
  5. Stap 5. Stel die waardes van xx and yy in beide vergelykings in om die oplossing te toets. :
    4 ( 22 ) + 3 ( 4 ) = 88 + 12 = 100 4 ( 22 ) - 19 ( 4 ) = 88 - 76 = 12 4 ( 22 ) + 3 ( 4 ) = 88 + 12 = 100 4 ( 22 ) - 19 ( 4 ) = 88 - 76 = 12
    (79)

Exercise 16: Tweewielfietse en Driewiele

’n Winkel verkoop tweewielfietse en driewiele. In totaal is daar 7 fietse (fietse sluit tweewielfietse en driewiele in) en 19 wiele. Bepaal hoeveel van elke soort fiets is daar.

Solution
  1. Stap 1. Identifiseer wat is gegee en wat word gevra :

    Die aantal fietse en die aantal driewiele word verlang.

  2. Stap 2. Stel die nodige vergelykings op :

    As bb die aantal tweewielfietse en tt die aantal driewiele is, dan:

    b + t = 7 2 b + 3 t = 19 b + t = 7 2 b + 3 t = 19
    (80)
  3. Stap 3. Los die stelsel gelyktydige vergelykings op deur vervanging :
    b = 7 - t In die tweede vergelyking: 2 ( 7 - t ) + 3 t = 19 14 - 2 t + 3 t = 19 t = 5 In die eerste vergelyking: : b = 7 - 5 = 2 b = 7 - t In die tweede vergelyking: 2 ( 7 - t ) + 3 t = 19 14 - 2 t + 3 t = 19 t = 5 In die eerste vergelyking: : b = 7 - 5 = 2
    (81)
  4. Stap 4. Toets die oplossing deur vervanging in die oorspronklike stel vergelykings. :
    2 + 5 = 7 2 ( 2 ) + 3 ( 5 ) = 4 + 15 = 19 2 + 5 = 7 2 ( 2 ) + 3 ( 5 ) = 4 + 15 = 19
    (82)

Gelyktydige vergelykings

  1. Los grafies op en bevestig jou antwoord algebraïes: 3a-2b7=03a-2b7=0 , a-4b+1=0a-4b+1=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los algebraïes op: 15c+11d-132=015c+11d-132=0, 2c+3d-59=02c+3d-59=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los algebraïes op: -18e-18+3f=0-18e-18+3f=0, e-4f+47=0e-4f+47=0
     
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Los grafies op: x+2y=7x+2y=7, x+y=0x+y=0
     
    Kliek hier vir die oplossing

Vergelykings met Letterkoëffisiënte (Lettervergelykings)

'n Vergelyking met letterkoëffisiënte is een wat verskeie letters of veranderlikes bevat. Voorbeelde sluit die area van 'n sirkel (A=πr2A=πr2) in en die formule vir die berekening van spoed (s=dts=dt). In hierdie afdeling sal jy leer hoe om vergelykings met letterkoëffisiënte op te los in terme van een van die veranderlikes. Om dit te doen, sal jy die beginsels oor die oplos van vergelykings wat jy geleer het, gebruik en toepas om die woordvergelykings te herrangskik. Die oplos van vergelykings met letterkoëffisiënte staan ook bekend as verandering van die onderwerp van 'n formule.

Wanneer jy lettervergelykings oplos, behoort jy die volgende in gedagte tehou:

  • Ons isoleer die onbekende deur te vra wat daaraan verbind is en hoe dit daaraan verbind is en dan doen ons die teenoorgestelde bewerking (aan beide kante as 'n geheel).
  • As die onbekende veranderlike in twee of meer terme voorkom, haal ons dit uit as 'n gemeenskaplike faktor.
  • As ons weerskante die vierkantswortel moet neem, onthou dat daar 'n positiewe sowel as 'n negatiewe antwoord mag wees.
  • As die onbekende veranderlike in die noemer is, dan vind ons die kleinste gemene noemer (KGN), vermenigvuldig weerskante met die KGN en gaan dan voort om die probleem op te los.

Exercise 17: Oplos van lettervergelykings - 1

Die area van 'n driehoek is A=12b×hA=12b×h. Wat is die hoogte van die driehoek in terme van die basis en area?

Solution

  1. Stap 1. Herskryf die vergelyking: Ons herrangskik die vergelyking sodat die hoogte aan die een kant van die gelykaanteken is en die res van die veranderlikes aan die ander kant van die gelykaanteken.
    A = 12 b×h 2A = b×h ( vermenigvuldig weerskante met 2 ) 2Ab = h ( deel weerskante met b ) A = 12 b×h 2A = b×h ( vermenigvuldig weerskante met 2 ) 2Ab = h ( deel weerskante met b )
    (83)
  2. Stap 2. Skryf die finale antwoord neer:

    Die hoogte van 'n driehoek word gegee deur: h=2Abh=2Ab

Oplos van Lettervergelykings

  1. Los op vir t: v=u+at v=u+at
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Los op vir x: ax-bx=c ax-bx=c
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Los op vir x: 1b+2bx=21b+2bx=2
    Kliek hier vir die oplossing

Wiskundige Modelle (Nie in CAPS - ingesluit vir volledigheid)

Inleiding

Thinus and Ronelle is vriende. Thinus gaan haal Ronelle se Fisika antwoordstel, maar wil nie haar punt vir haar sê nie. Hy weet sy hou nie van Wiskunde nie, so hy besluit om haar siel uit te trek. Thinus sê: “Ek het 2 punte meer as jy behaal en die som van ons altwee se punte is gelyk aan 14. Hoeveel het ons elkeen gekry?” Kom ons help Ronelle om haar punt te bereken.

Ons het twee onbekendes, Thinus se punt, wat ons tt sal noem, en Ronelle s’n, wat ons jj sal noem. Thinus het 2 meer punte as Ronelle. Daarom is,

t = j + 2 t = j + 2
(84)

Ons weet ook beide punte is saam 14. Dus,

t + j = 14 t + j = 14
(85)

Die 2 vergelykings maak 'n stel lineêre (want die hoogste mag is een) gelyktydige vergelykings - en ons weet hoe om dit op te los! Vervang tt in die tweede vergelyking om te kry:

t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6 t + j = 14 j + 2 + j = 14 2 j + 2 = 14 2 ( j + 1 ) = 14 j + 1 = 7 j = 7 - 1 = 6
(86)

Dus,

t = j + 2 = 6 + 2 = 8 t = j + 2 = 6 + 2 = 8
(87)

So, ons sien Thinus het 8 en Ronelle het 6 gekry vir die toets.

Hierdie probleem is 'n voorbeeld van 'n eenvoudige wiskundige model. Ons het 'n probleem geneem en was in staat daartoe om dit wiskundig te formuleer (neer te skryf). Die oplossing van die vergelykings gee dan die oplossing van die probleem.

Probleemoplossing Strategie

Die doel van hierdie afdeling is om vir jou die vaardighede te leer om 'n probleem te neem en dit wiskundig te formuleer sodat dit opgelos kan word. Die algemene stappe is:

  1. Lees die HELE vraag!
  2. Bepaal wat gevra word.
  3. Gebruik ('n) veranderlike(s) om die onbekende getalle/hoeveelhede wat gevra word voor te stel, byvoorbeeld xx.
  4. Herskryf die inligting wat gegee is in terme van die veranderlike(s). Dus, vertaal die woorde in algebraïese taal.
  5. Stel 'n vergelyking of 'n stel gelyktydige vergelykings ('n Wiskundige model) op om die onbekende te kry.
  6. Los die vergelyking algebraïes op om die oplossing te vind.

Toepassing van Wiskundige Modellering

Exercise 18: Wiskundige Modellering: twee veranderlikes

Drie liniale en twee penne kos saam R 21,00. Een liniaal en een pen kos saam R 8,00. Hoeveel kos 'n pen op sy eie en hoeveel kos 'n liniaal op sy eie?

Solution
  1. Stap 1. Vertaal die probleem deur veranderlikes te gebruik :

    Laat die koste van een liniaal xx rand wees en die koste van een pen yy rand.

  2. Stap 2. Herskryf die inligting in terme van die veranderlikes :
    3 x + 2 y = 21 x + y = 8 3 x + 2 y = 21 x + y = 8
    (88)
  3. Stap 3. Los die gelyktydige vergelykings op :

    Los eers die tweede vergelyking op vir yy:

    y = 8 - x y = 8 - x
    (89)

    en stel die antwoord in die eerste vergelyking in:

    3 x + 2 ( 8 - x ) = 21 3 x + 16 - 2 x = 21 x = 5 3 x + 2 ( 8 - x ) = 21 3 x + 16 - 2 x = 21 x = 5
    (90)

    dus

    y = 8 - 5 y = 3 y = 8 - 5 y = 3
    (91)
  4. Stap 4. Gee die finale antwoorde :

                'n Liniaal kos R 5,00 en 'n pen kos R 3,00.

Exercise 19: Wiskundige Modellering: een veranderlike

'n Vrugteskommel kos R2,00 meer as 'n sjokolade melkskommel. As 3 vrugteskommels en 5 sjokolade melkskommels saam R78,00 kos, bepaal die individuele pryse.

Solution
  1. Stap 1. Stel die inligting voor in 'n tabel :

    Gestel die prys van 'n sjokelade melkskommel is xx rand en die prys van 'n vrugteskommel is yy rand.

    Tabel 4
      Prys Aantal Totaal
    Vrugte y y 3 3 y 3 y
    Sjokelade x x 5 5 x 5 x
  2. Stap 2. Formuleer 'n stel algebraïese vergelykings :
    3 y + 5 x = 78 3 y + 5 x = 78
    (92)

    y=x+2y=x+2

  3. Stap 3. Los die vergelykings op :
    3 ( x + 2 ) + 5 x = 78 3 x + 6 + 5 x = 78 8 x = 72 x = 9 y = x+2 = 9 + 2 = 11 3 ( x + 2 ) + 5 x = 78 3 x + 6 + 5 x = 78 8 x = 72 x = 9 y = x+2 = 9 + 2 = 11
    (93)
  4. Stap 4. Gee die finale antwoord :

    Een sjokelade melkskommel kos R 9,00 en een vrugteskommel kos R 11,00

Wiskundige Modelle

  1. Vian het 1 liter van 'n mengsel wat 69% sout bevat. Hoeveel water moet Vian bygooi om die mengsel 50% sout te maak? Skryf jou antwoord as 'n breukdeel van 'n liter.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Die diagonaal van 'n reghoek is 25 cm meer as die wydte. Die lengte van die reghoek is 17 cm meer as die wydte. Wat is die afmetings van die reghoek?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Die som van 27 en 12 is 73 meer as 'n onbekende getal. Vind die onbekende getal.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Die twee kleiner hoeke van 'n reghoekige driehoek is in die verhouding 1:2. Wat is die groottes van die twee hoeke?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Werner besit 'n bakkery wat spesialiseer in troukoeke. Vir elke troukoek kos dit Werner R150 vir bestandele, R50 vir ekstras en R5 vir advertering. Werner se troukoeke kos R400 elk. Hoeveel wins maak Werner op 'n troukoek? Druk jou antwoord uit as 'n persentasie van die koste.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  6. As 4 keer 'n getal met 7 vermeerder word, is die resultaat 15 minder as die vierkant (kwadraat) van die getal. Vind die getal wat hierdie stelling bevredig deur 'n vergelyking op te stel en dan op te los.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Die lengte van 'n reghoek is 2 cm meer as die wydte van die reghoek. Die omtrek van die reghoek is 20 cm. Vind die lengte en breedte van die reghoek.
     
    Kliek hier vir die oplossing

Opsomming

  • 'n Lineêre vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike (letter, byvoorbeeld xx) 1(een) is. 'n Lineêre vergelyking het op die meeste een oplossing.
  • 'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike 2 is. 'n Kwadratiese vergelyking het op die meeste 2 oplossings.
  • 'n Eksponensiële vergelyking het in die algemeen die onbekende veranderlike in die mag. Die algemene vorm van 'n eksponensiële vergelyking is: ka(x+p)=mka(x+p)=m
  • 'n Lineêre ongelykheid is soorgelyk aan 'n lineêre vergelyking en met die hoogste mag van die veranderlike gelyk aan 1. Wanneer jy weerskante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met 'n negatiewe getal, draai die rigting van die ongelykheid om. Jy kan lineêre ongelykhede oplos met dieselfde metodes as lineêre vergelykings
  • Wanneer 2 onbekende veranderlikes opgelos moet word, moet jy 2 vergelyking gebruik en hierdie vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings. Daar is twee maniere waarop jy gelyktydige lineêre vergelykings kan oplos: grafies en algebraïes. Om die vergelykings grafies op te los, trek jy 'n grafiek van elke vergelyking en die oplossing sal die koördinate van die snypunt van die grafieke wees. Om die oplossing algebraïes te vind, los jy een vergelyking op vir een veranderlike en stel dan daardie oplossing in die ander vergelyking in om die ander veranderlike se waarde te vind.
  • Lettervergelykings is vergelykings waar jy verskeie letters (veranderlikes) het en jy herrangskik die vergelyking om die oplossing te vind in terme van een van die letters (veranderlikes)
  • Wiskundige modellering is waar ons 'n vergelyking of 'n stel vergelykings opstel om 'n probleem wiskundig voor te stel. Die oplossing van die vergelykings gee dan die oplossing van die probleem.

Einde van Hoofstuk Probleme

  1. Wat is die wortels van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0
     
    ?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Wat is die oplossing van die vergelyking x2+x=6x2+x=6
     
    ?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  3. In die vergelyking y=2x2-5x-18y=2x2-5x-18, wat is die waarde van xx when y=0y=0
     
    ?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Marlé het 5 meer CD's as Natalie. Rulof het twee keer soveel as Marlé. Saam het hulle 63 CD's. Hoeveel het elke persoon afsonderlik?
     
    Kliek hier vir die oplossing
  5. Sewe agtstes van 'n getal is 5 meer as 'n derde van die getal. Vind die getal.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  6. 'n Man hardloop na 'n telefoon en terug in 15 minute. Sy spoed na die telefoon is 5 m/s en sy spoed terug is 4 m/s. Wat is die afstand na die foon?.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Los die ongelykheid op en antwoord dan die vrae: x3-14>14-x4x3-14>14-x4
    1. As xRxR, skryf die oplossing in intervalnotasie.
    2. as xZxZ en x<51x<51, skryf die oplossing as 'n stel heelgetalle.
     
    Kliek hier vir die oplossing
  8. Los op vir aa: 1-a2-2-a3>11-a2-2-a3>1
     
    Kliek hier vir die oplossing
  9. Los op vir xx: x-1=42xx-1=42x
     
    Kliek hier vir die oplossing
  10. Los op vir xx and yy: 7x+3y=137x+3y=13 en 2x-3y=-42x-3y=-4
     
    Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks