Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Funksies en Grafieke - Graad 10 [CAPS]

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding tot Funksies en Grafieke

Funksies is wiskundige boustene wat toepassings het in masjienontwerp, die voorspelling van natuurrampe, die mediese veld, ekonomiese analise en vliegtuigontwerp. 'n Funksie het vir elke invoerwaarde net 'n enkele uitvoerwaarde. Dit is moontlik dat 'n funksie meer as een inset van verskillende veranderlikes kan hê, maar dan sal dit steeds net 'n enkele uitset hê. Ons gaan egter nie in hierdie hoofstuk na sulke tipe funksies kyk nie.

Een van die groot voordele van funksies is dat hulle ons toelaat om vergelykings te visualiseer deur middel van 'n grafiek. 'n Grafiek is bloot 'n tekening van ’n funksie en dit word gebruik as 'n ander voorstellingswyse in plaas van 'n tabel met getalle. In hierdie hoofstuk gaan ons leer hoe om funksies met reële getalle te skep en te verstaan; en hoe om grafieke te lees en te teken.

Funksies se toepassing strek van groot wetenskap- en ingenieurs probleme tot alledaagse probleme. So, dit is nuttig om meer te leer van funksies. 'n Funksie is altyd afhanklik van een of meer veranderlikes, soos tyd, afstand of 'n meer abstrakte entiteit.

Alledaagse Gebruike van Funksies en Grafieke

ʼn Paar tipiese voorbeelde van funksies waarmee jy moontlik bekend is:

  • Hoeveel geld jy het as 'n funksie van tyd. Hier is tyd die inset vir die funksie en die uitset is die bedrag geld. Jy sal op enige oomblik net een bedrag geld hê. As jy verstaan hoe jou bedrag geld verander oor tyd, kan jy beplan hoe om jou geld beter te spandeer. Besighede teken die grafiek van hulle geldsake oor tyd, sodat hulle kan sien wanneer hulle te veel geld spandeer. Sulke waarnemings is nie altyd duidelik deur slegs na die getalle te kyk nie.
  • Die temperatuur is 'n voorbeeld van 'n funksie met veelvuldige insette, insluitend die tyd van die dag, die seisoen, die wolkbedekking, die wind, die plek en vele ander. Die belangrike ding om in te sien, is dat daar net een waarde vir temperatuur is op 'n spesifieke plek, op 'n spesifieke tyd. As ons verstaan hoe die insette die temperatuur beïnvloed, kan ons ons dag beter beplan.
  • Jou posisie is 'n funksie van tyd omdat jy nie op twee plekke op dieselfde tyd kan wees nie. Indien jy twee mense se posisie as 'n funksie van tyd sou teken of stip ('plot'), sal die plek waar die lyne kruis, aandui waar die mense mekaar ontmoet. Hierdie idee word gebruik in logistiek – 'n veld van Wiskunde wat probeer voorspel waar mense en items is, hoofsaaklik vir besigheid.
  • Jou massa is 'n funksie van hoeveel jy eet en hoe baie oefening jy doen, maar elke persoon se liggaam hanteer die insette anders en mens kan dan verskillende liggame voorstel as verskillende funksies.

Hersiening

Die volgende behoort bekend te wees.

Veranderlikes en Konstantes

In Oorsig van vorige werk, het ons gewerk met veranderlikes en konstantes. Om vinnig te hersien: 'n veranderlike kan enige waarde aanneem in 'n stel getalle, indien die vergelyking konstant is. Gewoonlik word 'n veranderlike geskryf met 'n letter.

'n Konstante het 'n vaste waarde. Byvoorbeeld, die getal 1 is 'n konstante. Soms kan mens ook letters gebruik om konstantes voor te stel in 'n funksie, as 'n plekhouer, omdat hulle soms makliker is om mee te werk.

Ondersoek: Veranderlikes en Konstantes.

Identifiseer die veranderlikes en die konstantes in die volgende vergelykings:

  1. 2 x 2 = 1 2 x 2 = 1
  2. 3 x + 4 y = 7 3 x + 4 y = 7
  3. y = - 5 x y = - 5 x
  4. y = 7 x - 2 y = 7 x - 2

Relasies en Funksies

In die verlede het jy gesien veranderlikes kan relasies (verhoudings) hê met mekaar. Byvoorbeeld, Anton is 2 jaar ouer as Naomi. Die relasie of verband tussen die ouderdomme van Anton en Naomi kan geskryf word as A=N+2A=N+2, waar Anton se ouderdom voorgestel word met AA en Naomi se ouderdom voorgestel word met NN.

In die algemeen is 'n relasie 'n vergelyking met twee veranderlikes. Byvoorbeeld, y=5xy=5x en y2+x2=5y2+x2=5 is relasies. In albei voorbeelde is xx en yy veranderlikes en 5 is 'n konstante. Vir elke waarde van xx sal jy 'n ander, unieke waarde vir yy kry.

Mens hoef nie relasies as vergelykings te skryf nie, dit kan ook weergegee word in woorde, tabelle of grafieke. Byvoorbeeld, in plaas van y=5xy=5x te skryf, kan mens sê “yy is vyf keer so groot as xx”. Ons kan ook die volgende tabel gee:

Tabel 1
x x y = 5 x y = 5 x
2 10
6 30
8 40
13 65
15 75

Ondersoek: Relasies en Funksies

Voltooi die volgende tabel vir die gegewe funksies:

Tabel 2
x x y = x y = x y = 2 x y = 2 x y = x + 2 y = x + 2
1      
2      
3      
50      
100      

Die Cartesiese Vlak

Wanneer ons met funksies met reële getalle werk, is ons vernaamste stuk gereedskap 'n grafiek. Eerstens, indien ons twee reële veranderlikes het, xx en yy, kan ons gelyktydig vir hulle waardes toeken. Byvoorbeeld, ons kan sê "xx is 5 en yy is 3”. Net soos wat ons vir "xx is 5” verkort deur te skryf "x=5x=5”, kan ons ook “xx is 5 en yy is 3” verkort deur te sê “(x;y)=(5;3)(x;y)=(5;3)”. Gewoonlik as ons dink aan reële getalle, dink ons aan 'n oneindige lang lyn en 'n getal as 'n punt op die lyn. Indien ons twee getalle op dieselfde tyd kies, kan ons iets soortgelyks doen, maar nou gebruik ons twee dimensies. Ons gebruik nou twee lyne, een vir xx en een vir yy, met die lyn vir yy, geroteer, soos in figuur 1.Ons noem dit die Cartesiese vlak.

Figuur 1: Die Cartesiese vlak bestaan uit 'n x-x-as (horisontaal) en 'n y-y-as (vertikaal).
Figuur 1 (MG10C11_001.png)

Teken van Grafieke

Om 'n grafiek van 'n funksie te teken, moet ons 'n paar punte bereken en stip op die Cartesiese vlak. Die punte word dan in volgorde verbind om 'n gladde lyn te vorm.

Kom ons kyk na die funksie, f(x)=2xf(x)=2x. Ons kan dan al die punte (x;y)(x;y) beskou wat so is dat y=f(x)y=f(x), in hierdie geval y=2xy=2x. Byvoorbeeld (1;2),(2,5;5),(1;2),(2,5;5), en (3;6)(3;6) stel sulke punte voor en (3;5)(3;5) stel nie so 'n punt voor nie, aangesien 52×352×3. Indien ons 'n kol op al die punte sit, asook al die soortgelyke punte vir alle moontlike waardes van xx, sal ons die grafiek soos in figuur 2 kry.

Figuur 2: Grafiek van f(x)=2xf(x)=2x
Figuur 2 (MG10C11_002.png)

Die vorm van die grafiek is baie eenvoudig, dit is bloot ’n reguitlyn deur die middel van die vlak. Hierdie "stippingstegniek" is die sleutel tot die verstaan van funksies.

Ondersoek: Teken van Grafieke en die Cartesiese vlak

Stip die volgende punte en trek 'n gladde lyn deur hulle: (-6; -8), (-2; 0), (2; 8), (6; 16).

Notasie vir Funksies

Tot dus ver het ons gesien jy kan y=2xy=2x gebruik om 'n funksie voor te stel. Hierdie notasie raak verwarrend as jy met meer as een funksie werk. 'n Meer algemene manier om funksies neer te skryf, is deur die notasie f(x)f(x), te gebruik, waar ff

 
die funksienaam en xx die onafhanklike veranderlike is. Byvoorbeeld, f(x)=2xf(x)=2x en g(t)=2t+1g(t)=2t+1 is twee verskillende funksies. Met ff en gg die name en xx en tt die veranderlikes. As mens van f(x)f(x) praat, sê mens “f van x”.

Ons gaan albei notasies in hierdie boek gebruik.

Exercise 1: Funksienotasie

Indien f(n)=n2-6n+9f(n)=n2-6n+9, vind f(k-1)f(k-1) in terme van kk.

Solution
  1. Stap 1. Vervang nn met k-1k-1 :
    f ( n ) = n 2 - 6 n + 9 f ( k - 1 ) = ( k - 1 ) 2 - 6 ( k - 1 ) + 9 f ( n ) = n 2 - 6 n + 9 f ( k - 1 ) = ( k - 1 ) 2 - 6 ( k - 1 ) + 9
    (1)
  2. Stap 2. Verwyder hakies aan die regterkant en vereenvoudig :
    = k 2 - 2 k + 1 - 6 k + 6 + 9 = k 2 - 8 k + 16 = k 2 - 2 k + 1 - 6 k + 6 + 9 = k 2 - 8 k + 16
    (2)

    Ons het nou die funksie vereenvoudig interme van kk.

Exercise 2: Funksienotasie

As f(x)=x2-4f(x)=x2-4, bereken bb as f(b)=45f(b)=45.

Solution
  1. Stap 1. Vervang xx met bb :
    f ( b ) = b 2 - 4 maar f ( b ) = 45 f ( b ) = b 2 - 4 maar f ( b ) = 45
    (3)
  2. Stap 2. f(b) = f(b) :
    b 2 - 4 = 45 b 2 - 49 = 0 b = + 7 or - 7 b 2 - 4 = 45 b 2 - 49 = 0 b = + 7 or - 7
    (4)

Hersiening

  1. Raai watter funksie, in die vorm y=...y=..., word voorgestel deur die waardes in die tabel.
    Tabel 3
    xx12340506007008009001000
    yy12340506007008009001000
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Raai watter funksie, in die vorm y=...y=... , word voorgestel deur die waardes in die tabel.
    Tabel 4
    xx12340506007008009001000
    yy2468010012001400160018002000
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Raai watter funksie, in die vorm y=...y=... , word voorgestel deur die waardes in die tabel.
    Tabel 5
    xx12340506007008009001000
    yy102030400500600070008000900010000
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Stip die volgende punte (1;2), (2;4), (3;6), (4;8), (5;10) op 'n Cartesiese vlak. Verbind die punte. Kry jy 'n reguitlyn? Kliek hier vir die oplossing
  5. Indien f(x)=x+x2f(x)=x+x2, skryf neer:
    1. f(t)f(t)
    2. f(a)f(a)
    3. f(1)f(1)
    4. f(3)f(3)
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Indien g(x)=xg(x)=x and f(x)=2xf(x)=2x, skryf neer:
    1. f(t)+g(t)f(t)+g(t)
    2. f(a)-g(a)f(a)-g(a)
    3. f(1)+g(2)f(1)+g(2)
    4. f(3)+g(s)f(3)+g(s)
    Kliek hier vir die oplossing
  7. Jy staan langs 'n reguit snelweg, 'n motor ry by jou verby en beweeg 10m elke sekonde. Voltooi die tabel hieronder, deur in te vul hoe ver die motor van jou af wegbeweeg het na 5,10 en na 20 sekondes.
    Tabel 6
    Tyd (s)01251020
    Afstand (m)01020   
    Gebruik die waardes in die tabel en teken 'n grafiek met die afstand op die yy-as en tyd op die xx-as. Kliek hier vir die oplossing

Kenmerke van alle Funksies

Daar is baie verskillende kenmerke van grafieke wat die eienskappe van ’n spesifieke funksie se grafiek beskryf. Hierdie eienskappe gaan behandel word in hierdie hoofstuk en is die volgende:

  1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes
  2. Definisie- en waardeversameling
  3. Afsnitte met die asse
  4. Draaipunte
  5. Asimptote
  6. Lyne/asse van simmetrie
  7. Intervalle waar die funksie toeneem/afneem
  8. Kontinue gedrag van funksies

Sommige van die woorde mag onbekend wees vir jou, maar elke begrip sal duidelik beskryf word. Voorbeelde van sommige van die eienskappe word gewys in figuur 3.

Figuur 3: (a) Voorbeeld van grafiek wat die eienskappe van 'n funksie illustreer (b) Voorbeeld van grafiek wat die asimptote van ’n funksie illustreer. Die asimptote is die stippellyne.
Figuur 3 (MG10C11_034.png)

Afhanklike en Onafhanklike Veranderlikes

Tot dusver het al die grafieke wat ons gesien het twee veranderlikes, ’n xx-waarde en ’n yy-waarde. Die yy-waarde word gewoonlik bepaal deur een of ander verband gebaseer op ’n gegewe of gekose xx-waarde. Ons noem die xx-waarde die onafhanklike veranderlike, omdat die waarde vrylik gekies kan word. Die berekende yy-waarde is bekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waarde afhanklik is van die gekose xx-waarde.

Definisieversameling en Waardeversameling

Die definisieversameling (ook bekend as die gebied) van ’n verband is die stel xx waardes waarvoor daar te minste een yy waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die terrein) is die stel yy waardes wat bepaal kan word deur te minste een xx waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike insette en die waardeversameling is die alle moontlike uitsette.

Die definisieversameling (ook bekend as die gebied) van ’n relasie is die stel xx waardes waarvoor daar te minste een yy waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die terrein) is die stel yy waardes wat bepaal kan word deur ten minste een xx waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike insette en die waardeversameling is alle moontlike uitsette.

’n Ander voorbeeld is y=2xy=2x. Vir enige waarde van xx is daar ’n waarde vir yy; die definisieversameling is dus alle reële getalle. Maar ons weet die waarde van y=2xy=2x kan nooit kleiner of gelyk aan 0 wees nie. Gevolglik is die waardeversameling alle reële getalle groter of gelyk aan 0.

Daar is twee maniere om definisie- en waardeversameling van ’n funksie te beskryf, versamelingkeurdernotasie en intervalnotasie. Albei word gebruik in wiskunde en jy sal bekend moet wees met altwee.

Versamelkeurdernotasie

’n Versameling van sekere xx waardes het die volgende vorm:

x : voorwaardes, nog voorwaardes x : voorwaardes, nog voorwaardes
(5)

Ons lees hierdie notasie as “die stel van alle xx waarvoor die voorwaardes waar is”. Byvoorbeeld, die stel van alle positiewe reële getalle kan geskryf word as {x:xR,x>0}{x:xR,x>0} en dit word gelees as “die stel van alle xx waardes, waar xx ’n reële getal groter as nul is.”

Intervalnotasie

Hier skryf ons ’n interval in die vorm 'laer hakie, laer getal, kommapunt, hoër getal, hoër hakie'. Ons gebruik twee tipes hakies, reghoekige hakies [;][;] of ronde hakies (;)(;). ’n Reghoekige hakie beteken die getal word ingesluit by die interval en ’n ronde hakie beteken die getal word uitgesluit uit die interval. Hierdie notasie kan nie gebruik word om heelgetalle in ’n interval te beskryf nie.

Indien xx ’n reële getal is groter as 2 en kleiner of gelyk aan 8, is xx enige getal in die interval.

( 2 ; 8 ] ( 2 ; 8 ]
(6)

Dit is duidelik dat 2 die laer getal is en 8 die hoër getal is. Die ronde hakie sluit 2 uit, omdat xx groter as 2 is; die reghoekige hakie sluit 8 in, omdat xx kleiner of gelyk aan 8 is.

Afsnitte met die Asse

Die afsnitte is die punte waar die grafiek die asse sny. Die xx-afsnitte is die punte waar die grafiek die xx-as sny en die yy-afsnit is die punt waar die grafiek die yy-as sny.

In figuur 3(a), is A die yy-afsnit en B, C en F is xx-afsnitte.

Jy sal die afsnitte moet uitwerk. Die heel belangrikste ding om te onhou, is dat die xx-afsnit by y=0y=0 lê en die yy-afsnit by x=0x=0.

Byvoorbeeld, bereken die afsnitte van y=3x+5y=3x+5. Vir die yy-afsnit is x=0x=0. Dan is die yy-afsnit yint=3(0)+5=5yint=3(0)+5=5. Vir die xx-afsnit y=0y=0. Dan word die xx-afsnit bereken deur 0=3xint+50=3xint+5 op te los, met die antwoord xint=-53xint=-53.

Draaipunte

Draaipunte kom net voor in grafieke van funksies waar die hoogste mag groter as 1 is. Byvoorbeeld, grafieke van die volgende funksies sal draaipunte hê:

f ( x ) = 2 x 2 - 2 g ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x - 2 h ( x ) = 2 3 x 4 - 2 f ( x ) = 2 x 2 - 2 g ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x - 2 h ( x ) = 2 3 x 4 - 2
(7)

Daar is twee tipes draaipunte: ’n minimum en ’n maksimum. ’n Minimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou verminder en begin vermeerder. ’n Maksimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou vermeerder en begin verminder. Hierdie word geïllustreer in figuur 4.

Figuur 4: (a) Minimum (b) Maksimum
Figuur 4 (MG10C11_035.png)

In figuur 3(a) is E ’n maksimum draaipunt en D ’n minimum draaipunt.

Asimptote

’n Asimptoot is ’n reguit of krom lyn, wat die grafiek sal benader, maar nooit raak nie.

In figuur 3(b), die yy-as en die lyn hh is albei asimptote, omdat die grafiek die lyne benader, maar nooit raak nie.

Lyne van Simmetrie

’n Grafiek weerspieël homself in ’n simmetrielyn. Hierdie lyne mag die xx- en yy- asse insluit. Byvoorbeeld, in figuur 5 is die simmetrie om die yy-as. Die yy-as is ’n simmetrie-as, omdat die grafiek gereflekteer word in die yy-as. Nie elke grafiek het ’n simmetrielyn nie.

Figuur 5: Demonstrasie van ’n simmetrie as. Die yy-as is ’n simmetrie as, omdat die grafiek weerspieël is in die is yy-as.
Figuur 5 (MG10C11_036.png)

Intervalle waar Funksies vermeerder of verminder

Toe ons na draaipunte gekyk het, het ons gesien dat grafieke van ’n funksie kan begin of ophou vermeerder of verminder by ’n draaipunt. As ons na die grafiek van figuur 3(a) kyk, kan ons sien dat die grafiek vermeerder en verminder oor verskillende intervalle. Ons kan sien die grafiek se waarde neem af (die yy-waardes verminder) van punt E tot punt D en dan vermeerder dit van punt D tot ++.

Diskrete en Kontinue Gedrag van ’n Grafiek

’n Grafiek is kontinu as daar geen spronge in die grafiek is nie. Byvoorbeeld, die grafiek in figuur 3(a) word beskryf as kontinu, terwyl die grafiek in figuur 3(b) ’n breek het by die asimptoot, wat beteken dit is diskontinu (diskreet).

Waardeversameling en Definisieversameling

  1. Indien die waardeversameling van die funksie f(x)=2x+5f(x)=2x+5 (-3; 0) is. Bepaal die definisieversameling van ff. Kliek hier vir die oplossing
  2. As g(x)=-x2+5g(x)=-x2+5 en xx is tussen - 3 and 3, bepaal:
    1. die waardeversameling van g(x)g(x)
    2. die definisieversameling van g(x)g(x)
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
    1. die xx-afsnit(te)
    2. die yy-afsnit(te)
    3. die deel waar die grafiek vermeerder
    4. die deel waar die grafiek verminder
    Figuur 6
    Figuur 6 (MG10C11_003.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
    1. die xx-afsnit(te)
    2. die yy-afsnit(te)
    3. die deel waar die grafiek vermeerder
    4. die deel waar die grafiek verminder
    Figuur 7
    Figuur 7 (MG10C11_004.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Grafieke van Funksies

Funksies in die vorm y=ax+qy=ax+q

Funksies met die algemene vorm y=ax+qy=ax+q word reguitlynfunksies genoem. In die vergelyking, y=ax+qy=ax+q, is aa en qq konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene grafiek van so 'n funksie word gegee in figuur 8 vir die funksie f(x)=2x+3f(x)=2x+3.

Figuur 8: Grafiek van f(x)=2x+3f(x)=2x+3
Figuur 8 (MG10C11_005.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

  1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
    1. a(x)=x-2a(x)=x-2
    2. b(x)=x-1b(x)=x-1
    3. c(x)=xc(x)=x
    4. d(x)=x+1d(x)=x+1
    5. e(x)=x+2e(x)=x+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van qq op die resulterende grafiek af te lei.
  2. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
    1. f(x)=-2.xf(x)=-2.x
    2. g(x)=-1.xg(x)=-1.x
    3. h(x)=0.xh(x)=0.x
    4. j(x)=1.xj(x)=1.x
    5. k(x)=2.xk(x)=2.x
    Gebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van aa op die resulterende grafiek af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa die helling van die grafiek beïnvloed. Soos aa vermeerder, vermeerder die helling van die grafiek ook. Indien a>0a>0 sal die grafiek vermeerder van links na regs (opwaartse helling). Indien a<0a<0 sal die grafiek verminder van links na regs (afwaartse helling). Dit is hoekom daar na aa verwys word as die helling of die gradiënt van 'n reguitlynfunksie.

Jy behoort ook te vind dat die waarde van qq die punt bepaal waar die grafiek die yy-as sny. Om hierdie rede, staan qq bekend as die y-afsnit.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 7.

Tabel 7: Opsomming van algemene vorms en posisies van grafieke van funksies in die vorm y=ax+qy=ax+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 9
Figuur 9 (MG10C11_006.png)
Figuur 10
Figuur 10 (MG10C11_007.png)
q < 0 q < 0
Figuur 11
Figuur 11 (MG10C11_008.png)
Figuur 12
Figuur 12 (MG10C11_009.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir f(x)=ax+qf(x)=ax+q, is die definisieversameling {x:xR}{x:xR}, omdat daar geen waarde is van xRxR waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërd is nie.

Die waardeversameling van f(x)=ax+qf(x)=ax+q is ook {f(x):f(x)R}{f(x):f(x)R} omdat daar geen waarde van f(x)Rf(x)R waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërd is nie.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=x-1g(x)=x-1 is {x:xR}{x:xR} omdat daar geen waardes is van xRxR waarvoor g(x)g(x) ongedefinieërd is nie. Die waardeversameling van g(x)g(x) is {g(x):g(x)R}{g(x):g(x)R}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ax+qy=ax+q word die metode om die afsnitte met die xx- en yy-asse te bereken, uiteengesit.

Die yy-afsnitte word as volg bereken:

y = a x + q y i n t = a ( 0 ) + q = q y = a x + q y i n t = a ( 0 ) + q = q
(8)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=x-1g(x)=x-1 word bepaal deur x=0x=0 te stel en dan op te los:

g ( x ) = x - 1 y i n t = 0 - 1 = - 1 g ( x ) = x - 1 y i n t = 0 - 1 = - 1
(9)

Die xx-afsnit word as volg bereken:

y = a x + q 0 = a · x i n t + q a · x i n t = - q x i n t = - q a y = a x + q 0 = a · x i n t + q a · x i n t = - q x i n t = - q a
(10)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=x-1g(x)=x-1 word gegee deur y=0y=0 in te stel en dan op te los:

g ( x ) = x - 1 0 = x i n t - 1 x i n t = 1 g ( x ) = x - 1 0 = x i n t - 1 x i n t = 1
(11)

Draaipunte

Die grafiek van 'n reguitlynfunksie het nie draaipunte nie.

Simmetrie-asse

Die grafieke van reguitlynfunksies het gewoonlik nie simmerie-asse nie.

Skets van Grafieke van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q

Om die grafieke van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q te skets, moet ons die volgende drie eienskappe vind:

  1. die teken van aa
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Slegs twee punte word benodig om 'n reguitlyn te trek. Die maklikste punte is die xx-afsnit (waar die lyn die xx-as sny) en die yy-afsnit.

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=x-1g(x)=x-1. Merk duidelik die afsnitte.

Eerstens bereken ons dat a>0a>0. Dit beteken die grafiek gaan 'n opwaartse helling hê.

Die yy-afsnit word bepaal deur x=0x=0 te stel en is vroeër bereken as yint=-1yint=-1. Die xx-afsnit word bepaal deur y=0y=0 te stel en is vroeër bereken as xint=1xint=1.

Figuur 13: Grafiek van die funksie g(x)=x-1g(x)=x-1
Figuur 13 (MG10C11_010.png)
Exercise 3: Trek van 'n Reguitlyngrafiek

Teken die grafiek van y=2x+2y=2x+2.

Solution
  1. Stap 1. Vind die y-afsnit :

    Om die y-afsnit te vind, stel x=0x=0.

    y = 2 ( 0 ) + 2 = 2 y = 2 ( 0 ) + 2 = 2
    (12)
  2. Stap 2. Vind die x-afsnit :

    Om die x-afsnit te kry, stel y=0y=0.

    0 = 2 x + 2 2 x = - 2 x = - 1 0 = 2 x + 2 2 x = - 2 x = - 1
    (13)
  3. Stap 3. Teken die grafiek deur die twee koördinate te vind en dan te verbind. :

    Figuur 14
    Figuur 14 (MG10C11_011.png)

Afsnitte
  1. Skryf die yy-afsnitte neer vir die volgende reguitlyngrafieke:
    1. y=xy=x
    2. y=x-1y=x-1
    3. y=2x-1y=2x-1
    4. y+1=2xy+1=2x
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Gee die vergelyking van die grafiek wat hieronder geskets is:
    Figuur 15
    Figuur 15 (MG10C11_012.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Skets die volgende verbande op dieselfde assestelsel, merk die koördinate van die afsnitte duidelik: x+2y-5=0x+2y-5=0 en 3x-y-1=03x-y-1=0
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die Vorm y=ax2+qy=ax2+q

Die algemene vorm en posisie van die grafiek van die funksie in die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, wat ons 'n parabool noem, word gewys in figuur 16. Hierdie is paraboliese funksies.

Figuur 16: Grafiek van f(x)=x2-1f(x)=x2-1
Figuur 16 (MG10C11_013.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q

  1. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. a(x)=-2.x2+1a(x)=-2.x2+1
    2. b(x)=-1.x2+1b(x)=-1.x2+1
    3. c(x)=0.x2+1c(x)=0.x2+1
    4. d(x)=1.x2+1d(x)=1.x2+1
    5. e(x)=2.x2+1e(x)=2.x2+1
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.
  2. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. f(x)=x2-2f(x)=x2-2
    2. g(x)=x2-1g(x)=x2-1
    3. h(x)=x2+0h(x)=x2+0
    4. j(x)=x2+1j(x)=x2+1
    5. k(x)=x2+2k(x)=x2+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.

Voltooi die volgende tabel van funksiewaardes vir die funksies aa tot kk om jouself te help met die trek van die bogenoemde grafieke:

Tabel 8
x x - 2 - 2 - 1 - 1 0 0 1 1 2 2
a ( x ) a ( x )          
b ( x ) b ( x )          
c ( x ) c ( x )          
d ( x ) d ( x )          
e ( x ) e ( x )          
f ( x ) f ( x )          
g ( x ) g ( x )          
h ( x ) h ( x )          
j ( x ) j ( x )          
k ( x ) k ( x )          

Hierdie simulasie laat jou toe om die invloed van veranderende a- en q-waardes te visualiseer. In die simulasie is q=c. 'n Ekstra term, bx, is ook bygesit. Jy kan dit los as 0, of jy kan die kyk wat die invloed van bx op die grafiek is.

Figuur 17
Phet simulasie vir die trek van grafieke

Van jou grafieke behoort jy agter te kom dat aa bepaal of die grafiek "glimlag" of "frons". Indien a<0a<0 sal die grafiek frons en indien a>0a>0 glimlag die grafiek. Dit word geïllustreer in figuur 18.

Figuur 18: Kenmerkende vorms van parabole indien a>0a>0 of a<0a<0
Figuur 18 (MG10C11_014.png)

Jy behoort ook te vind dat die waarde van qq beïnvloed of the draaipunt bokant die yy-as (q>0q>0)of onderkant die yy-as (q<0q<0) sal wees.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in (Verwysing).

Tabel 9: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 19
Figuur 19 (MG10C11_015.png)
Figuur 20
Figuur 20 (MG10C11_016.png)
q < 0 q < 0
Figuur 21
Figuur 21 (MG10C11_017.png)
Figuur 22
Figuur 22 (MG10C11_018.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, is die definisieversameling {x:xR}{x:xR}, omdat daar nie 'n waarde is van xRxR waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërd is nie.

Die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q hang af of die waarde van aa positief of negatief is. Ons sal die twee gevalle afsonderlik hanteer.

Indien a>0a>0 dan het ons:

x 2 0 ( die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( vermenigvuldiging met a, 'n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q x 2 0 ( die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( vermenigvuldiging met a, 'n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q
(14)

Dit sê vir ons dat vir alle waardes van xx, is f(x)f(x) altyd groter as qq. Dus indien a>0a>0, is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk aan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)}.

Soortgelyk, kan ons aantoon indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}. Dit word gelos vir 'n oefening.

Byvoorbeeld, die gebied van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 is {x:xR}{x:xR} want daar is geen waarde van xRxR waarvoor g(x)g(x) ongedefinieërd is nie. Die terrein van g(x)g(x) kan as volg bereken word:

x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2 x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2
(15)

Dus die waardeversameling is gelyk aan {g(x):g(x)[2,)}{g(x):g(x)[2,)}.

Afsnitte

Vir die funksie van die vorm, y=ax2+qy=ax2+q, is die stappe vir die berekening van die afsnitte met die xx- en yy-as hieronder uiteengesit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q
(16)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word verkry deur x=0x=0 te stel, en dan:

y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a
(17)

Indien q=0q=0 het ons slegs een afsnit by x=0x=0.

g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2 g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2
(18)

Maar, vergelyking 18 is slegs geldig as -qa0-qa0 wat beteken dat óf q0q0 óf a<0a<0. Dit stem ooreen met wat ons verwag, omdat indien q>0q>0 en a>0a>0 dan is -qa-qa negatief en in hierdie geval lê die grafiek bo die xx-as en sny dus nie die xx-as nie. Indien, q>0q>0 en a<0a<0, dan is -qa-qa positief en die grafiek is in die vorm van 'n frons en sal dan twee xx-afsnitte hê. Soorgelyk, indien q<0q<0 en a>0a>0 sal -qa-qa ook positief wees, en sal die grafiek die xx-as sny.

Indien q=0q=0 het ons slegs een afsnit by x=0x=0.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word gegee deur y=0y=0 te stel en dan:

g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2 g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2
(19)

Hierdie antwoord is nie reëel nie. Daarom het die grafiek van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 geen xx-afsnitte nie.

Draaipunte

Die draaipunte van funksies van die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q word gegee deur na die waardeversameling van die funksie te kyk. Ons weet dat indien a>0a>0 die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk is aan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)} en indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk aan {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}.

Indien a>0a>0, is die laagste waarde wat f(x)f(x) kan wees qq. Ons los dan vir xx op by die punt f(x)=qf(x)=q:

q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0 q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0
(20)

x=0x=0 by f(x)=qf(x)=q. Die koördinate van die (minimum) draaipunt is dan (0,q)(0,q).

Soortgelyk, indien a<0a<0, is die hoogse waarde wat f(x)f(x) kan wees qq en die koördinate van die (maksimum) draaipunt is (0,q)(0,q).

Simmetrie-asse

Daar is een simmetrie-as vir die funksie met die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q en dit gaan deur die draaipunt. Omdat die draaipunt op die yy-as lê, is die yy-as die simmetrie-as.

Trek Grafieke van die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q

Om 'n grafiek te trek van die vorm, f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, het ons vyf eienskappe nodig:

  1. die teken van aa
  2. die definisie- en waadeversameling
  3. draaipunte
  4. yy-afsnit
  5. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, stip die grafiek van g(x)=-12x2-3g(x)=-12x2-3. Merk die afsnitte, draaipunt en die simmetrie-as.

Eerstens sien ons dat a<0a<0. Dit beteken dat die grafiek 'n maksimum draaipunt het.

Die definisieversameling van die grafiek is {x:xR}{x:xR}, omdat f(x)f(x) gedefinieërd is vir alle xRxR. Die waardeversameling van die grafiek word bepaal as volg:

x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3 x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3
(21)

Dus is die waardeversameling van die grafiek {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Indien ons die feit gebruik dat die maksimum waarde wat f(x)f(x) bereik -3 is, weet ons dat die yy-koördinaat van die draaipunt -3 is. Die xx-koördinaat word bepaal as volg:

- 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0 - 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0
(22)

Die koördinate van die draaipunt is dan: (0;-3)(0;-3).

Die yy-afsnit word bepaal deur x=0x=0 te stel:

y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3 y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3
(23)

Die xx-afsnit word bepaal deur y=0y=0 te stel:

0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 . 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2 0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 . 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2
(24)

Die oplossing van die vergelyking is nie reëel nie. Daarom is daar geen xx-afsnitte nie, wat beteken die funksie sny of raak nie die xx-as nie.

Ons weet dat die yy-as die simmetrie-as is.

Eindelik kan ons die grafiek teken. Let op dat slegs die y-afsnit gemerk is. Die grafiek het 'n maksimum draaipunt, soos vasgestel deur die teken van a. Daar is geen x-afsnitte nie en die draaipunt is gelyk aan die y-afsnit. Die definisievesameling is alle reële getalle en die waardeversameling is {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Figuur 23: Grafiek van die funksie f(x)=-12x2-3f(x)=-12x2-3
Figuur 23 (MG10C11_019.png)
Exercise 4: Trek van Parabole

Trek die grafiek van y=3x2+5y=3x2+5.

Solution
  1. Stap 1. Bepaal die teken van aa: Die teken van aa is positief. Die parabool sal dus 'n minimumdraaipunt hê.
  2. Stap 2. Vind die gebied en terrein: Die gebied is: {x:xR}{x:xR} en die terrein is: {f(x):f(x)[5,)}{f(x):f(x)[5,)}.
  3. Stap 3. Vind die draaipunt: Die draaipunt is by (0,q)(0,q). Vir hierdie funksie is q=5q=5, dus die draaipunt is by (0,5)(0,5)
  4. Stap 4. Bepaal die y-afsnit: By die y-afsnit is x=0x=0. Berekening van die y-afsnit gee:
    y = 3x2+5 yint = 3(0)2+5 yint = 5 y = 3x2+5 yint = 3(0)2+5 yint = 5
    (25)
  5. Stap 5. Bereken die x-afsnit(te): Die x-afsnitte is waar y=0y=0. Berekening van die x-afsnitte gee:
    y = 3x2+5 0 = 3x2+5 x2 = -35 y = 3x2+5 0 = 3x2+5 x2 = -35
    (26)
    wat nie reëel is nie. Dus is daar geen x-afsnitte nie.
  6. Stap 6. Trek die grafiek: Al hierdie inligting gee vir ons die volgende grafiek:
    Figuur 24
    Figuur 24 (parabola.png)

Die volgende video wys een manier om grafieke te trek. Let op dat die term "vertex" in die video gebruik word vir die draaipunt.

Figuur 25
Khan Akademie video oor paraboolgrafieke - 1

Parabole
  1. Wys dat indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, {f(x):f(x)(-;q]}{f(x):f(x)(-;q]} is. Kliek hier vir die oplossing
  2. Trek die grafiek van die funksie y=-x2+4y=-x2+4 en toon al die afsnitte met die asse. Kliek hier vir die oplossing
  3. Twee parabole is geteken: g:y=ax2+pg:y=ax2+p en h:y=bx2+qh:y=bx2+q.
    Figuur 26
    Figuur 26 (MG10C11_020.png)
    1. Vind die waardes van aa en pp.
    2. Vind die waardes van bb en qq.
    3. Vind die waardes van xx waarvoor ax2+pbx2+qax2+pbx2+q.
    4. Vir watter waardes van xx is gg toenemend?
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q staan bekend as hiperboliese funksies. Die algemene vorm van die grafiek van die funksie word geïllustreer in figuur 27.

Figuur 27: Algemene vorm en posisie van die grafiek van 'n funksie van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q
Figuur 27 (MG10C11_021.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

  1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2x+1a(x)=-2x+1
    2. b(x)=-1x+1b(x)=-1x+1
    3. c(x)=0x+1c(x)=0x+1
    4. d(x)=+1x+1d(x)=+1x+1
    5. e(x)=+2x+1e(x)=+2x+1
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.
  2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
    1. f(x)=1x-2f(x)=1x-2
    2. g(x)=1x-1g(x)=1x-1
    3. h(x)=1x+0h(x)=1x+0
    4. j(x)=1x+1j(x)=1x+1
    5. k(x)=1x+2k(x)=1x+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa bepaal of die grafiek in die eeste en derde kwardrante of in die tweede en vierde kwadrante van die Cartesiese vlak lê.

Jy behoort ook te vind dat die waarde van qq bepaal of die grafiek bo die xx-as (q>0q>0) of onder die xx-as is (q<0q<0).

Hierdie eienskappe word opgesom in tabel 10. Die simmetrie as vir elke grafiek word aangetoon as die stippellyn.

Tabel 10: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 28
Figuur 28 (MG10C11_022.png)
Figuur 29
Figuur 29 (MG10C11_023.png)
q < 0 q < 0
Figuur 30
Figuur 30 (MG10C11_024.png)
Figuur 31
Figuur 31 (MG10C11_025.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Die funksie y=ax+qy=ax+q, is ongedefiniëerd vir x=0x=0. Die definisieversameling is dus {x:xR,x0}{x:xR,x0}.

Ons kan sien dat y=ax+qy=ax+q herskryf kan word as:

y = a x + q y - q = a x As x 0 dan : ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q y = a x + q y - q = a x As x 0 dan : ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q
(27)

Dit wys dat die funksie ongedefiniëerd is by y=qy=q. Die waardeversameling van f(x)=ax+qf(x)=ax+q is {f(x):f(x)(-;q)(q;)}{f(x):f(x)(-;q)(q;)}.

Byvoorbeeld, die waardeversameling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0},omdat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by x=0x=0.

y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x As x 0 dan: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2 y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x As x 0 dan: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2
(28)

Ons sien dat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by y=2y=2. Die waardeversamling is dus {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q, word die afsnitte met die xx- en yy-as bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a x + q y afsnit = a 0 + q y = a x + q y afsnit = a 0 + q
(29)

Dit is ongedefiniëerd omdat ons deur nul deel. Daar is dus geen yy-afsnit nie.

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gegee deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2 y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2
(30)

Dit is egter ongedefiniëerd.

Die xx-afsnit word bereken deur y=0y=0 te stel:

y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q
(31)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gekry deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1 y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1
(32)

Asimptote

Daar is twee asimptote vir die funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Net 'n herinnering, 'n asimptoot is 'n lyn wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Die asimptote word gevind deur na die definisieversameling en waardeversameling te kyk.

Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by x=0x=0 en vir y=qy=q. Dus is die asimtote x=0x=0 en y=qy=q.

Byvoorbeeld, die waardeversameling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0}, omdat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by x=0x=0. Ons het ook gesien dat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by y=2y=2. Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Hiervan kan ons aflei dat die asimptote by x=0x=0 en y=2y=2 is.

Skets die Grafieke van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q

Om grafieke van funksies van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q te skets, het ons vier eienskappe nodig.

  1. Definisieversameling en waardeversamling
  2. Asimptote
  3. yy-afsnitte
  4. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, die skets van die grafiek van g(x)=2x+2g(x)=2x+2. Merk die afsnitte en asimptote.

Ons het vasgestel dat die definisieversameling {x:xR,x0}{x:xR,x0} is en die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)} is. Die asimptote kan dus gevind word by x=0x=0 en y=2y=2.

Daar is geen yy-afsnit nie en die xx-afsnit is xint=-1xint=-1.

Figuur 32: Grafiek van g(x)=2x+2g(x)=2x+2
Figuur 32 (MG10C11_026.png)
Exercise 5: Trek van 'n Hiperbool

Trek die grafiek van y=-4x+7y=-4x+7.

Solution
  1. Stap 1. Vind die gebied en die terrein: Die gebied is {x:xR,x0}{x:xR,x0} en die terrein is {f(x):f(x)(-;7)(7;)}{f(x):f(x)(-;7)(7;)}.
  2. Stap 2. Vind die asimptote: Ons kyk na die gebied en die terrein om te bepaal waar die asimptote lê. Van die gebied kan ons sien dat die funksie ongedefiniëerd is wanneer x=0x=0. Dus daar is een asimptoot by x=0x=0. Die ander asimptoot word gevind vanaf die terrein. Die funksie is ongedefiniëerd by y=qy=q. Dus die tweede asimptoot is by y=7y=7
  3. Stap 3. Bereken die y-afsnit: Daar is geen y-afsnit vir grafieke van hierdie vorm nie.
  4. Stap 4. Bereken die x-afsnit: Die x-afsnit is waar y=0y=0. Berekening van die x-afsnit gee:
    y = -4x+7 0 = -4x+7 -7 = -4x xint = 47 y = -4x+7 0 = -4x+7 -7 = -4x xint = 47
    (33)
    Daar is dus een x-afsnit by (47,0)(47,0).
  5. Stap 5. Trek die grafiek: Al hierdie inligting gee ons die volgende grafiek:
    Figuur 33
    Figuur 33 (hyperbola1.png)
Grafieke
  1. Gebruik grafiekpapier en teken die grafiek van xy=-6xy=-6.
    1. Lê die punt (-2; 3) op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.
    2. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die grafiek nie?
    3. As die xx-waarde van ‘n punt op die grafiek 0,25 is, wat is die ooreenstemmende yy-waarde?
    4. Wat gebeur met die yy-waardes as die xx-waardes baie groot word?
    5. Met die lyn y=-xy=-x as 'n lyn van simmetrie, watter punt is simmetries ten opsigte van (-2; 3)?
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Skets die grafiek van xy=8xy=8.
    1. Hoe sal die grafiek y=83x+3y=83x+3 vergelyk met die grafiek van xy=8xy=8? Verduidelik jou antwoord.
    2. Skets die grafiek van y=83x+3y=83x+3 op dieselfde assestelsel.
    Kliek hier vir die oplossing

Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q is bekend as eksponensiële funksies. Die algemene vorm van ‘n funksie van hierdie tipe word gewys in figuur 34.

Figuur 34: Algemene vorm en posisie van die grafiek van ‘n funksie met die vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q.
Figuur 34 (MG10C11_027.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

  1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2.b(x)+1a(x)=-2.b(x)+1
    2. b(x)=-1.b(x)+1b(x)=-1.b(x)+1
    3. c(x)=-0.b(x)+1c(x)=-0.b(x)+1
    4. d(x)=-1.b(x)+1d(x)=-1.b(x)+1
    5. e(x)=-2.b(x)+1e(x)=-2.b(x)+1
    Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van aa te maak.
  2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. f(x)=1.b(x)-2f(x)=1.b(x)-2
    2. g(x)=1.b(x)-1g(x)=1.b(x)-1
    3. h(x)=1.b(x)+0h(x)=1.b(x)+0
    4. j(x)=1.b(x)+1j(x)=1.b(x)+1
    5. k(x)=1.b(x)+2k(x)=1.b(x)+2
    Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van qq te maak.

Jy sou gevind het dat die waarde van aa bepaal die vorm van die grafiek, dit wil sê: “Curves Upwards” – “CU” (a>0a>0) of “Curves Downwards” – “CD” (a<0a<0).

Jy sou ook gevind het die waarde van qq bepaal die posisie van die yy-afsnit.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 11.

Tabel 11: Getabelleerde opsomming van algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 35
Figuur 35 (MG10C11_028.png)
Figuur 36
Figuur 36 (MG10C11_029.png)
q < 0 q < 0
Figuur 37
Figuur 37 (MG10C11_030.png)
Figuur 38
Figuur 38 (MG10C11_031.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir y=ab(x)+qy=ab(x)+q, is die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van xx. Dus, die definisieversameling is {x:xR}{x:xR}.

Die waardeversameling van y=ab(x)+qy=ab(x)+q word bepaal deur die teken van aa.

As a>0a>0 dan:

b ( x ) 0 a · b ( x ) 0 a · b ( x ) + q q f ( x ) q b ( x ) 0 a · b ( x ) 0 a · b ( x ) + q q f ( x ) q
(34)

Dus, as a>0a>0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)[q;)}{f(x):f(x)[q;)}.

As a<0a<0 dan:

b ( x ) 0 a · b ( x ) 0 a · b ( x ) + q q f ( x ) q b ( x ) 0 a · b ( x ) 0 a · b ( x ) + q q f ( x ) q
(35)

Dus, as a<0a<0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)(-;q]}{f(x):f(x)(-;q]}.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 is {x:xR}{x:xR}. Vir die waardeversameling,

2 x 0 3 · 2 x 0 3 · 2 x + 2 2 2 x 0 3 · 2 x 0 3 · 2 x + 2 2
(36)

Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)[2;)}{g(x):g(x)[2;)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ab(x)+qy=ab(x)+q, word die afsnitte met die xx en yy-as bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q
(37)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 word gegee deur x=0x=0 te stel, om dan te kry:

y = 3 . 2 x + 2 y i n t = 3 . 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5 y = 3 . 2 x + 2 y i n t = 3 . 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5
(38)

Die xx-afsnitte word bereken deur y=0y=0 te stel, soos volg:

y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a
(39)

Dit het net ‘n rëele oplossing as een van beide a<0a<0 of q<0q<0. Anders, het die grafiek van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q geen xx-afsnitte.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 word gegee deur y=0y=0 te stel:

y = 3 · 2 x + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3 y = 3 · 2 x + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3
(40)

en dit het geen rëele oplossing nie. Dus, die grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 het geen xx-afsnitte nie.

Asimptote

Daar is een asimptoot vir funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q. Die asimptoot kan bepaal word deur die analise van die waardeversameling.

Ons het gesien dat die terrein bepaal word deur die waarde van q. As a>0a>0, dan is die terrein {f(x):f(x)[q;)}{f(x):f(x)[q;)}.

Dit wys dat die funksiewaarde neig na die waarde van q as x x . Dus die horisontale asimptoot lê by y=qy=q.

Sketse van Grafieke van die vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q

Om grafieke te skets van funksies van die vorm, f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q, moet ons vier eienskappe bereken:

  1. Definisieversameling en Waardeversameling
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2. Merk die afsnitte.

Ons het die definisieversameling bepaal om {x:xR}{x:xR} te wees en die waardeversameling om {g(x):g(x)(2,)}{g(x):g(x)(2,)} te wees.

Die yy-afsnit is yint=5yint=5 en daar is geen xx-afsnitte.

Figuur 39: Grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2
Figuur 39 (MG10C11_032.png)
Exercise 6: Trek van 'n Eksponsiële Grafiek

Trek die grafiek van y=-2.3x+5y=-2.3x+5.

Solution
  1. Stap 1. Vind die gebied en die terrein: Die gebied is: {x:xR}{x:xR} en die terrein is: {f(x):f(x)(-;5]}{f(x):f(x)(-;5]}.
  2. Stap 2. Bereken die asimptoot: Funksies van hierdie vorm het een asimptoot. Dit lê by y=qy=q. Dus die asimptoot van die grafiek is by y=5y=5
  3. Stap 3. Bereken die y-afsnit: Ons kry die y-afsnit waar x=0x=0.
    y = -2.3x+5 y = -2.30+5 y = -2(1)+5 yint = 7 y = -2.3x+5 y = -2.30+5 y = -2(1)+5 yint = 7
    (41)
    Daar is dus een y-afsnit by (0,7)(0,7).
  4. Stap 4. Bereken die x-afsnit: Die x-afsnit lê by y=0y=0. Berekening van die x-afsnit gee:
    y = -2.3x+5 0 = -2.3x+5 -5 = -2.3x 3xint = 52 xint = 0,83 y = -2.3x+5 0 = -2.3x+5 -5 = -2.3x 3xint = 52 xint = 0,83
    (42)
    Dus daar is een x-afsnit by (0,83,0)(0,83,0).
  5. Stap 5. Trek die grafiek: As ons dit alles bymekaarsit, gee dit die volgende grafiek:
    Figuur 40
    Figuur 40 (exponent1.png)
Eksponensiele Funksies en Grafieke
  1. Skets die grafieke van y=2xy=2x en y=(12)xy=(12)x op dieselfde assestelsel.
    1. Is die xx-as die asimptoot en/of simmetrie-as in albei grafieke? Verduidelik jou antwoord.
    2. Watter grafiek word aangedui met die volgende vergelyking y=2-xy=2-x? Verduidelik jou antwoord.
    3. Los die vergelyking 2x=(12)x2x=(12)x met behulp van 'n skets op en kontroleer jou antwoord deur middel van translasie.
    4. Voorspel hoe die grafiek y=2.2xy=2.2x vergelyk met y=2xy=2xen teken vervolgens die grafiek van y=2.2xy=2.2x op dieselfde assestelsel.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Die kurwe van die eksponensiele funksie ff in die meegaande diagram sny die y-as by die punt A(0; 1). Die punt B(2; 4) is op ff.
    Figuur 41
    Figuur 41 (MG10C11_033.png)
    1. Bepaal die vergelyking van funksie ff.
    2. Bepaal die vergelyking van hh, die refleksie van die kurwe van ff in die xx-as.
    3. Bepaal die waardeversameling van hh.
    Kliek hier vir die oplossing

Opsomming

  • Jy behoort die volgende kenmerke van funksies te ken:
    • Afhanklike en onafhanklike veranderlikes: Die gegewe of gekose x-waarde is bekend as die onafhanklike veranderlike want die waarde van x kan vrylik gekies word. Die berekende y-waarde staan bekend as die afhanklike veranderlike aangesien die waarde van y afhang van die gekose waarde van x.
    • Gebied en terrein: Die gebied van 'n relasie is die versameling van al die x-waardes waarvoor daar ten minste een y-waarde bestaan volgens die funksievoorskrif. Die terrein is die versameling van al die y-waardes wat verkry kan word deur ten minste een van die x-waardes te gebruik.
    • Afsnitte met asse: Die afsnit is die punt waar die grafiek 'n as sny. Die x-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek die x-as sny en die y-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek die y-as sny.
    • Draaipunte: Slegs vir grafieke van funksies met 'n hoogste mag van groter as 1. Daar is twee tipes draaipunte: 'n minimum draaipunt en 'n maksimum draaipunt. 'n Minimum draaipunt is 'n punt op die grafiek waar die grafiek ophou afneem in waarde en begin toeneem in waarde. 'n Maksimum draaipunt is 'n punt op die grafiek waar die grafiek ophou toeneem in waarde en begin afneem in waarde.
    • Asimptote: 'n Asimptoot is 'n reguitlyn of kurwe wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit raak nie.
    • Asse van simmetrie: 'n Lyn ten opsigte waarvan die grafiek simmetries is.
    • Intervalle waar die funksie toeneem / afneem: Die interval waar die grafiek toeneem of afneem.
    • Kontinue aard van die funksie: 'n Grafiek is kontinu as daar geen onderbreking in die grafiek is nie.
  • Versamelingnotasie: 'n versameling van sekere x-waardes het die volgende notasie: {x : voorwaardes, meer voorwaardes}
  • Interval notasie: hier skryf ons 'n interval in die vorm ’laer hakie, laer getal, kommapunt, hoër getal, hoër hakie’
  • Jy moet die volgende funksies en hulle eienskappe ken:
    • Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Dit is reguitlyne.
    • Funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q. Dit staan bekend as paraboliese funksies of parabole.
    • Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Dit staan bekend as hiperboliese funksies of hiperbole.
    • Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q. Hulle staan bekend as eksponensiële funksies.

Einde van Hoofstuk Oefeninge

  1. Gegee die funksies f(x)=-2x2-18f(x)=-2x2-18 en g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6
    1. Skets ff en gg op dieselfde assestelsel.
    2. Bereken die snypunte van ff en gg.
    3. Gebruik dan jou grafieke en hulle snypunte om vir xx op te los wanneer:
      1. f(x)>0f(x)>0
      2. f(x)g(x)0f(x)g(x)0
    4. Gee die vergelyking van die refleksie van ff in die xx-as.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Nadat 'n bal neergegooi is, is die hoogte wat die bal terugbons elke keer minder. Die vergelyking y=5.(0,8)xy=5.(0,8)x toon die verwantskap tussen xx, die nommer van die bons, en yy, die hoogte van die bons vir 'n spesifieke bal. Wat is die benaderde hoogte van die vyfde bons tot die naaste tiende van 'n eenheid ?
    Kliek hier vir die oplossing
  3. Mark het 15 muntstukke in R5- en R2-stukke. Hy het 3 meer R2-stukke as R5-stukke. Hy het ‘n stelsel van vergelykings opgestel om die situasie te toon, waar xx die hoeveelheid R5-stukke voorstel en yy die hoeveelheid R2-stukke voorstel. Hy het vervolgens die probleem grafies opgelos.
    1. Skryf die sisteem van vergelykings neer.
    2. Skets die grafieke op dieselfde assestelsel.
    3. Wat is die oplossing?
    Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks