Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Analitiese Meetkunde - Graad 10 [CAPS]

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

Analitiese meetkunde, ook bekend as koördinaatmeetkunde en vroëer bekend as Cartesiese meetkunde, is die studie van meetkunde op grond van die beginsels van algebra en die Cartesiese koördinaatstelsel. Dit is gemoeid met die definisie van meetkundige figure op 'n numeriese wyse en onttrek numeriese inlligting uit die voorstelling. Sommige beskou die ontwikkeling van analitiese meetkunde as die begin van moderne wiskunde.

Afstand tussen Twee Punte

As ons die koördinate van die hoekpunte van 'n figuur het, dan kan ons die figuur op die Cartesiese vlak teken. Byvoorbeeld, neem die vierhoek ABCD met koördinate A(1,1), B(1,3), C(3,3) en D(1,3) en stel dit voor op die Cartesiese vlak. Dit word getoon in figuur 1.

Figuur 1: Vierhoek ABCD voorgestel op die Cartesiese vlak
Figuur 1 (square.png)

Om enige figuur voor te stel op die Cartesiese vlak, plaas ons 'n punt by elke gegewe koördinaat en verbind dan hierdie punte met reguitlyne. Een belangrike saak om op te let, is in die benoeming van die figuur. In bostaande voorbeeld, het ons die vierhoek ABCD genoem. Dit dui vir ons aan dat ons beweeg van punt A, na punt B, na punt C, na punt D en dan weer terug na punt A. Dus, wanneer jy gevra word om 'n figuur op die Cartesiese vlak te teken, moet jy hierdie benamingswyse gebruik. Soms word net sekere punte gegee en dan moet ons die ander punte vind deur gebruik te maak van die metodes wat ons verder in die hierdie hoofstuk gaan bespreek.

Afstand tussen Twee Punte

Een van die eenvoudigste dinge wat met analitiese meetkunde bereken kan word, is die afstand tussen twee punte. Afstand is a getal wat beskryf hoe ver twee punte van mekaar is. Byvoorbeeld, punt PP het (2,1)(2,1) as koördinate en punt QQ het (-2,-2)(-2,-2) as koördinate. Hoe ver is die punte PP en QQ van mekaar? In die figuur beteken dit, hoe lank is die stippellyn?

Figuur 2
Figuur 2 (MG10C14_015.png)

In die figuur kan gesien word dat lyn PRPR 3 eenhede lank is en lyn QRQR 4 eenhede. ▵PQR▵PQR het 'n regte hoek RR. Dus kan die lengte van sy PQPQ bereken word deur Stelling van Pythagoras te gebruik:

P Q 2 = P R 2 + Q R 2 ∴ P Q 2 = 3 2 + 4 2 ∴ P Q = 3 2 + 4 2 = 5 P Q 2 = P R 2 + Q R 2 ∴ P Q 2 = 3 2 + 4 2 ∴ P Q = 3 2 + 4 2 = 5
(1)

Die lengte van PQPQ is gelyk aan die afstand tussen punte PP en QQ.

As 'n veralgemening van die idee, neem aan dat AA enige punt is met (x1;y1)(x1;y1) as koördinate en BB is enige ander punt met (x2;y2)(x2;y2) as koördinate.

Figuur 3
Figuur 3 (MG10C14_016.png)

Die formule vir die berekening van die afstand tussen twee punte word as volg afgelei. Die afstand tussen twee punte AA en BB is die lengte van die lyn ABAB. Volgens die Stelling van Pythagoras, word die lengte van ABAB gegee deur:

A B = A C 2 + B C 2 A B = A C 2 + B C 2
(2)

Ons sien

B C = y 2 - y 1 A C = x 2 - x 1 B C = y 2 - y 1 A C = x 2 - x 1
(3)

Dan is

A B = A C 2 + B C 2 = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 A B = A C 2 + B C 2 = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2
(4)

Gevolglik, vir enige twee punte,(x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2), is die formule:

Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2(x1-x2)2+(y1-y2)2

Deur die formule te gebruik, word die afstand tussen twee punte PP en QQ met koördinate (2;1) en (-2;-2) as volg bereken. Gestel die koördinate van punt PP is (x1;y1)(x1;y1) en die koördinate van punt QQ is (x2;y2)(x2;y2). Dan is die afstand:

Afstand = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 2 - ( - 2 ) ) 2 + ( 1 - ( - 2 ) ) 2 = ( 2 + 2 ) 2 + ( 1 + 2 ) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 Afstand = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 2 - ( - 2 ) ) 2 + ( 1 - ( - 2 ) ) 2 = ( 2 + 2 ) 2 + ( 1 + 2 ) 2 = 16 + 9 = 25 = 5
(5)

Khan Akademie video oor die afstandformule

Figuur 4
Khan Akademie video oor die afstandformule

Berekening van die Gradiënt van 'n Lyn

Die gradiënt van 'n lyn beskryf hoe steil die lyn is, hoe groot die helling van die lyn is. In die figuur hieronder is lyn PTPT se helling die grootste. Lyn PSPS is minder steil as PTPT maar is steiler as PRPR, en die lyn PRPR is steiler as PQPQ.

Figuur 5
Figuur 5 (MG10C14_017.png)

Die gradiënt van die lyn word gedefinieer as die verhouding tussen die vertikale verandering in posisie en die horisontale verandering in posisie. Dit kan verstaan word deur te kyk na die lyn as die skuinssy van die reghoekige driehoek. Die gradiënt is die verhouding van die lengte van die vertikale sy van die driehoek tot die horisontale sy van die driehoek. Dink aan 'n lyn tussen punt AA met koördinate (x1;y1)(x1;y1) en punt BB met koördinate (x2;y2)(x2;y2).

Figuur 6
Figuur 6 (MG10C14_018.png)

Gradiënt=y2-y1x2-x1=y2-y1x2-x1

Ons kan gradiënt gebruik om te bepaal of twee lyne parallel is aan mekaar of loodreg is op mekaar. As die lyne parallel is (figuur 7a) sal hulle dieselfde gradiënt hê, byvoorbeeld mAB=mCDmAB=mCD. As hulle loodreg is op mekaar, (figuur 7b) dan sal: -1mAB=mCD-1mAB=mCD

Figuur 7
Figuur 7 (geom.png)

Byvoorbeeld, die gradiënt van die lyn tussen punt PP en QQ, met koördinate (2;1) en (-2;-2) (figuur 2) is:

Gradiënt = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = - 2 - 1 - 2 - 2 = - 3 - 4 = 3 4 Gradiënt = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = - 2 - 1 - 2 - 2 = - 3 - 4 = 3 4
(6)

Die volgende video bied 'n opsomming van die gradiënt van 'n lyn.

Figuur 8
Gradiënt van 'n lyn

Middelpunt van 'n Lynstuk

Soms is dit nuttig om die koördinate van 'n lyn se middel of middelpunt te hê. Byvoorbeeld: wat is die middelpunt van die lynstuk tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2)?

Die koördinate van die middelpunt van 'n lyn tussen enige twee punte AA en BB met koördinate (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2), word as volg bereken. Gestel die middelpunt van ABAB is die punt SS met koördinate (X;Y)(X;Y). Die doel is om te bereken XX en YY in terme van (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2).

Figuur 9
Figuur 9 (MG10C14_019.png)
X = x 1 + x 2 2 Y = y 1 + y 2 2 ∴ S x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 X = x 1 + x 2 2 Y = y 1 + y 2 2 ∴ S x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2
(7)

Dus die koördinate van (SS), die middelpunt van die lyn tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2), is:

X = x 1 + x 2 2 = - 2 + 2 2 = 0 Y = y 1 + y 2 2 = - 2 + 1 2 = - 1 2 ∴ S is by ( 0 ; - 1 2 ) X = x 1 + x 2 2 = - 2 + 2 2 = 0 Y = y 1 + y 2 2 = - 2 + 1 2 = - 1 2 ∴ S is by ( 0 ; - 1 2 )
(8)

Dit kan bewys word dat die afstande vanaf die eindpunte na die middelpunt gelyk is. Die koördinate van die middelpunt SS is (0;-0,5)(0;-0,5).

P S = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 0 - 2 ) 2 + ( - 0 . 5 - 1 ) 2 = ( - 2 ) 2 + ( - 1 . 5 ) 2 = 4 + 2 . 25 = 6 . 25 P S = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 0 - 2 ) 2 + ( - 0 . 5 - 1 ) 2 = ( - 2 ) 2 + ( - 1 . 5 ) 2 = 4 + 2 . 25 = 6 . 25
(9)

en

Q S = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 0 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 0 . 5 - ( - 2 ) ) 2 = ( 0 + 2 ) ) 2 + ( - 0 . 5 + 2 ) ) 2 = ( 2 ) ) 2 + ( + 1 . 5 ) ) 2 = 4 + 2 . 25 = 6 . 25 Q S = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = ( 0 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 0 . 5 - ( - 2 ) ) 2 = ( 0 + 2 ) ) 2 + ( - 0 . 5 + 2 ) ) 2 = ( 2 ) ) 2 + ( + 1 . 5 ) ) 2 = 4 + 2 . 25 = 6 . 25
(10)

Daar kan gesien word dat PS=QSPS=QS soos verwag is.

Figuur 10
Figuur 10 (MG10C14_020.png)

Die volgende video verskaf 'n opsomming oor die berekening van die middelpunt van 'n lyn.

Figuur 11
Khan Akademie video oor die middelpunt van 'n lyn

Opsomming

  • Figure kan voorgestel word op die Cartesiese vlak
  • Die formule om die afstand tussen twee punte te vind:
    Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2
    (11)
  • Die formule om die gradiënt van 'n lyn te vind:
    Gradiënt=y2-y1x2-x1Gradiënt=y2-y1x2-x1
    (12)
  • Die formule om die middelpunt van die lyn tussen twee punte te vind:
    S x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 S x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2
    (13)
  • As twee lyne parallel is, sal hulle dieselfde gradiënt hê: mAB=mCDmAB=mCD. As twee lyne loodreg is op mekaar, dan het ons: -1mAB=mCD-1mAB=mCD

Koördinaatmeetkunde

  1. In die gegewe diagram is die hoekpunte van 'n veelhoek F(2;0), G(1;5), H(3;7) en I(7;2).
    Figuur 12
    Figuur 12 (MG10C14_021.png)
    1. Wat is die lengtes van die sye van FGHI?
    2. Is die teenoorstaande sye van FGHI parallel?
    3. Halveer die hoeklyne van FGHI mekaar?
    4. Watter tipe veelhoek is FGHI? Gee redes vir jou antwoord.
    Kliek hier vir die oplossing
  2. 'n Veelhoek ABCD met hoekpunte A(3;2), B(1;7), C(4;5) en D(1;3) word gegee.
    1. Teken die veelhoek.
    2. Bepaal die sylengtes van die veelhoek.
    Kliek hier vir die oplossing
  3. ABCD is 'n veelhoek met hoekpunte A(0;3), B(4;3), C(5;-1) en D(-1;-1).
    1. Wys dat:
      1. AD = BC
      2. AB ∥∥ DC
    2. Benoem ABCD.
    3. Wys dat die hoeklyne AC en BD mekaar nie halveer nie.
    Kliek hier vir die oplossing
  4. P, Q, R en S is die punte (-2;0), (2;3), (5;3) en (-3;-3) onderskeidelik.
    1. Wys dat:
      1. SR = 2PQ
      2. SR ∥∥ PQ
    2. Bereken:
      1. PS
      2. QR
    3. Watter tipe veelhoek is PQRS? Gee redes vir jou antwoord.
  5. EFGH is 'n parallelogram met hoekpunte E(-1;2), F(-2;-1) en G(2;0). Vind die koördinate van H deur gebruik te maak van die feit dat die hoeklyne van 'n parallelogram mekaar halveer.
    Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks