Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Meetkunde - Graad 10 [CAPS]

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

Meetkunde (Grieks: geo = aarde, metria = meet) het ontstaan as die veld van kennis van ruimtelike verbande. Dit was een van die twee velde van pre-moderne wiskunde. Die ander veld was die studie van getalle. In die moderne tyd het meetkundige begrippe baie kompleks en abstrak geraak en is dit skaars herkenbaar as 'n uitvloeisel van vroëe meetkunde.

Navorsingsprojek: Die geskiedenis van Meetkunde

Werk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys van stadiums moet dien as 'n riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf.

  1. Antieke Indiese meetkunde (c. 3000 - 500 V.C.)
    1. Harappanse meetkunde
    2. Vediese meetkunde
  2. Klassieks Griekse meetkunde (c. 600 - 300 V.C.)
    1. Thales en Pythagoras
    2. Plato
  3. Hellenistiese meetkunde (c. 300 V.C - 500 N.C )
    1. Euclides
    2. Archimedes

Vierhoeke

In hierdie afdeling sal ons kyk na die eienskappe van sekere spesiale vierhoeke. Ons sal dan hierdie eienskappe gebruik om meetkundige probleme op te los. Dit is belangrik om daarop te let dat alhoewel al die eienskappe van 'n figuur gegee word, benodig ons net sekere unieke eienskappe van die vierhoek om te bewys dat dit wel daardie spesifieke vierhoek is. Byvoorbeeld, as ons 'n vierhoek het met twee pare sye parallel, dan is daardie vierhoek 'n parallelogram. Ons kan dan die ander eienskappe van die vierhoek aflei deur ons kennis van parallelle lyne en driehoeke te gebruik.

Trapesium

'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye parallel. Dit word soms ook 'n trapesoïd genoem. 'n Spesiale tipe trapesium is die gelykbenige trapesium, waar een paar teenoorstaande sye parallel is en die ander paar sye ewe lank is. Die hoeke aan die eindpunte van elke parallelle sy is ewe groot. 'n Gelykbenige trapesium het een lyn van simmetrie en sy hoeklyne is ewe lank.

Figuur 1: Voorbeelde van trapesiums
Figuur 1 (MG10C13_040.png)

Parallelogram

'n Trapesium met beide pare teenoorstaande sye parallel, word 'n parallelogram genoem. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram is:

  • Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
  • Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
  • Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
  • Beide hoeklyne/diagonale halveer mekaar (d.w.s. hulle sny mekaar in die helfte)
Figuur 2: 'n Voorbeeld van 'n parallelogram
Figuur 2 (MG10C13_041.png)

Reghoek

'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke ewe groot en gelyk aan 9090. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n reghoek is:

  • Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
  • Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
  • Die hoeklyne halveer mekaar.
  • Die hoeklyne is ewe lank.
  • Alle hoekpunte is regte hoeke.
Figuur 3: Voorbeeld van 'n reghoek
Figuur 3 (MG10C13_042.png)

Rombus / Ruit

'n Rombus (ruit) is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n rombus is:

  • Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
  • Al vier sye is ewe lank.
  • Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
  • Die diagonale halveer mekaar met hoeke van 9090.
  • Diagonale halveer die teenoorstaande hoeke.
Figuur 4: 'n Voorbeeld van 'n ruit, 'n parallelogram met al vier sye ewe lank
Figuur 4 (MG10C13_043.png)

Vierkant

'n Vierkant is 'n rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90.

'n Opsomming van die eienskappe van 'n vierkant:

  • Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
  • Al vier sye is ewe lank.
  • Al vier die hoeke is 9090.
  • Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
  • Die hoeklyne halveer mekaar met hoeke van 9090.
  • Diagonale is ewe lank.
  • Diagonale halveer beide pare teenoorstaande hoeke (d.w.s. hulle is almal 4545).
Figuur 5: 'n Voorbeeld van 'n vierkant - 'n rombus met al die hoeke gelyk aan 90
Figuur 5 (MG10C13_044.png)

Vlieër

'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.

'n Oposmming van die eienskappe van 'n vlieër is:

  • Twee pare aangrensende sye is ewe lank.
  • Een paar teenoorstaande hoeke (die hoeke tussen die ongelyke sye) is ewe groot.
  • Een diagonaal halveer die ander een en hierdie diagonaal halveer ook een paar teenoorstaande hoeke.
  • Diagonale sny mekaar reghoekig.
Figuur 6: 'n Voorbeeld van 'n vlieër
Figuur 6 (MG10C13_045.png)

Reghoeke is 'n spesiale geval ('n deelversameling) van die parallelogramme. Reghoeke is parallelogramme met alle hoeke regte hoeke. Vierkante is 'n spesiale geval (deelversameling) van die reghoeke. Vierkante is reghoeke met al vier sye ewe lank. So, alle vierkante is parallelogramme en reghoeke. As jy gevra word om te bewys dat 'n vierhoek 'n parallelogram is, is dit genoeg om aan te toon dat beide pare teenoorstaande sye parallel is. Maar, as jy gevra word om te bewys dat 'n vierhoek 'n vierkant is, dan moet jy ook wys dat al die hoeke regte hoeke is en dat al die sye ewe lank is.

Veelhoeke

Veelhoeke is oral rondom ons. 'n Stopteken het die vorm van 'n agthoek, m.a.w 'n agthoekige veelhoek. Die heuningkoek van 'n bynes bestaan uit heksagonale selle. Die oppervlak van 'n tafel is dikwels 'n reghoek.

In hierdie afdeling sal jy leer van gelykvormige veelhoeke.

Gelykvormigheid tussen Veelhoeke

Bespreking: Gelykvormige Driehoeke

Gebruik die diagram om die tabel in te vul en antwoord die vrae wat daarna volg.

Tabel 1
AB DE AB DE =...cm...cm=......cm...cm=... A^A^=... D^D^...
BC EF BC EF =...cm...cm=......cm...cm=... B^B^=... E^E^=...
AC DF AC DF =...cm...cm=......cm...cm=... C^C^... F^F^=...

Figuur 7
Figuur 7 (MG10C14_010.png)

  1. Wat kan jy sê oor jou berekening van: AB DE AB DE , BC EF BC EF , AC DF AC DF ?
  2. Wat kan jy sê oor A^A^ en D^D^?
  3. Wat kan jy sê oor B^B^ en E^E^?
  4. Wat kan jy sê oor C^C^ en F^F^?

As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een 'n vergroting van die ander. Dit beteken dat twee veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en hulle sye sal in verhouding wees tot mekaar.

|||||| is die simbool wat gebruik word om gelykvormigheid aan te dui.

Definition 1: Gelykvormige Veelhoeke

Twee veelhoeke is gelykvormig as:

  1. hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en
  2. hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)

Exercise 1: Gelykvormigheid van Poligone

Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.

Figuur 8
Figuur 8 (MG10C14_011.png)

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat word gevra:

    Daar word gevra om te bewys dat 'n paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.

  2. Stap 2. Ooreenstemmende hoeke:

    Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.

  3. Stap 3. Bewys dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is:

    Al die hoeke is 90 groot en

    A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^ A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^
    (1)
  4. Stap 4. Bewys dat die ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is:

    Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.

    Lang sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:

    Verhouding = 2 L L = 2 Verhouding = 2 L L = 2
    (2)

    Kort sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:

    Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2 Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2
    (3)

    Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk (=2 in hierdie geval).

  5. Stap 5. Finale antwoord:

    Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk, dus is die veelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.

leidraad:

Alle vierkante is gelykvormig.

Exercise 2: Gelykvormigheid van Veelhoeke

As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes van die hoeke wat met letters gemerk is:

Figuur 9
Figuur 9 (MG10C14_012.png)

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee:

    Daar word aan ons gegee dat ABCDE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:

    AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG
    (4)

    en

    A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^ A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^
    (5)
  2. Stap 2. Bepaal wat is gevra:

    Daar word gevra om te bepaal

    1. lengtes: aa, bb, cc en dd, en
    2. hoeke: ee, ff and gg.
  3. Stap 3. Besluit hoe om die probleem te benader:

    Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons 'n paar sye DCDC en KJKJ gegee wat ooreenstemmend is. DCKJ=4,53=1,5DCKJ=4,53=1,5 so ons weet dat al die sye van KJHGLKJHGL 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van ABCDEABCDE.

  4. Stap 4. Bereken lengtes:
    a 2 = 1 , 5 a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 d = 2 a 2 = 1 , 5 a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 d = 2
    (6)
  5. Stap 5. Bereken hoeke:
    e = 92 ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ( ooreenstemmend tot E ) e = 92 ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ( ooreenstemmend tot E )
    (7)
  6. Stap 6. Skryf die finale antwoord neer:
    a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 f = 120 g = 40 a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 f = 120 g = 40
    (8)

Gelykvormigheid van Gelyksydige Driehoeke

Werk in pare en toon dat alle gelyksydige driehoeke gelykvormig is.

Veelhoeke gemeng

  1. Vind die onbekende waardes in elke geval. Gee redes.
    Figuur 10
    Figuur 10 (mg10c14_2.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Vind die hoeke en lengtes wat met letters gemerk is in die volgende figure:
    Figuur 11
    Figuur 11 (MG10C14_014.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Ondersoek: Definieer Poligone

Ondersoek verskillende maniere om poligone te definieer. Jy behoort spesiale aandag te gee aan die volgende poligone:

  • Gelykbenige driehoeke, gelyksydige driehoeke, reghoekige driehoeke
  • Vlieërs, parallelogramme, reghoeke, rombusse, vierkante, trapesiums

Neem in oorweging hoe die figure in hierdie boek gedefinieer is en watter alternatiewe definisies daar bestaan. Byvoorbeeld, 'n driehoek is 'n driesydige poligoon of 'n driehoek is 'n figuur met drie sye en drie hoeke. Driehoeke kan geklassifiseer word volgende hulle sye of volgens hulle hoeke. Kan mens ook vierhoeke op hierdie manier klassifiseer? Watter ander name is daar vir hierdie figure? Byvoorbeeld, vierhoeke kan ook genoem word tetragone.

Bewyse en Vermoedens in Meetkunde

Jy het gesien hoe om meetkunde en die eienskappe van poligone te gebruik om die onbekende lengtes van sye en die groottes van hoeke van verskeie vierhoeke en poligone te vind. Ons gaan nou hierdie werk uitbrei om sommige van die eienskappe te bewys en probleme op te los. 'n Vermoede is 'n wiskundige se manier om te se: "Ek glo dit is waar, maar ek het geen bewys nie". Die volgende uitgewerkte voorbeelde sal help om dit duideliker te maak.

Exercise 3: Bewyse - 1

Gegee vierhoek ABCD, met ABCDABCD en ADBCADBC, bewys dat B A ^ D = B C ^ A B A ^ D= B C ^ A en A B ^ C = A D ^ C A B ^ C= A D ^ C.

Solution

  1. Stap 1. Trek 'n diagram: Ons maak die volgende skets en trek die diagonale.
    Figuur 12
    Figuur 12 (geomproof1.png)
  2. Stap 2. Skryf neer wat is gegee en wat word gevra: Gegee: ABCDABCD en ADBCADBC. Ons moet bewys A=CA=C en B=DB=D. In formele wiskundetaal sê ons dat ons gevra word om te bewys (RTP='requested to prove'): B A ^ D = B C ^ A B A ^ D= B C ^ A en A B ^ C = A D ^ C A B ^ C= A D ^ C.
  3. Stap 3. Los die probleem op:
    B A ^ C = A C ^ D ( verwisselende binnehoeke ) D A ^ C = B C ^ A ( verwisselende binnehoeke ) B A ^ D = B C ^ A B A ^ C = A C ^ D ( verwisselende binnehoeke ) D A ^ C = B C ^ A ( verwisselende binnehoeke ) B A ^ D = B C ^ A
    (9)
    Net so vind ons dat:
    A B ^ C = A D ^ C A B ^ C= A D ^ C
    (10)

Proofs - 2 4

In parallelogram ABCD, is die halveerlyne van die hoeke (AW, BX, CY en DZ) gekonstrueer:

Figuur 13
Figuur 13 (geomproof2.png)
Dit word ook gegee dat AB=CDAB=CD, AD=BCAD=BC, ABCDABCD, ADBCADBC, A ^ = C ^ A ^ = C ^ , en B ^ = D ^ B ^ = D ^ . Bewys dat MNOP parallelogram is.

Solution

  1. Stap 1. Skryf neer wat gegee is en wat jy gevra word om te bewys: Gegee: AB=CDAB=CD, AD=BCAD=BC, ABCDABCD, ADBCADBC, A ^ = C ^ A ^ = C ^ , and B ^ = D ^ B ^ = D ^ . Bewys MNOP is 'n parallelogram.
  2. Stap 2. Los die probleem op:
    In ADW and CBY D A ^ W = B C ^ Y ( gegee ) A D ^ C = A B ^ C ( gegee ) AD = BC(gegee) ADW = CBY(HHS) DW=BY In ADW and CBY D A ^ W = B C ^ Y ( gegee ) A D ^ C = A B ^ C ( gegee ) AD = BC(gegee) ADW = CBY(HHS) DW=BY
    (11)
    In ABX and CDZ D C ^ Z = B A ^ X ( gegee ) Z D ^ C = X B ^ A ( gegee ) DC = AB(gegee) ABX CDZ(HHS) AX=CZ In ABX and CDZ D C ^ Z = B A ^ X ( gegee ) Z D ^ C = X B ^ A ( gegee ) DC = AB(gegee) ABX CDZ(HHS) AX=CZ
    (12)
    In XAM and ZCO X A ^ M = Z C ^ O ( gegee ) A X ^ M = C Z ^ O ( reeds bewys ) AX = CZ(reeds bewys) XAM COZ(HHS) A O ^ C = A M ^ X In XAM and ZCO X A ^ M = Z C ^ O ( gegee ) A X ^ M = C Z ^ O ( reeds bewys ) AX = CZ(reeds bewys) XAM COZ(HHS) A O ^ C = A M ^ X
    (13)
    A M ^ X = P M ^ N(regoorstaande hoeke) C O ^ Z = N O ^ P(regoorstaande hoeke) P M ^ N = N O ^ P A M ^ X = P M ^ N(regoorstaande hoeke) C O ^ Z = N O ^ P(regoorstaande hoeke) P M ^ N = N O ^ P
    (14)
    In BYN and DWP Y B ^ N = W D ^ P ( gegee ) B Y ^ N = W D ^ P ( reeds bewys ) DW = BY(reeds bewys) YBN WDP(AAS) B N ^ Y = D P ^ W In BYN and DWP Y B ^ N = W D ^ P ( gegee ) B Y ^ N = W D ^ P ( reeds bewys ) DW = BY(reeds bewys) YBN WDP(AAS) B N ^ Y = D P ^ W
    (15)
    D P ^ W = M P ^ O(regoorstaande hoeke) B N ^ Y = O N ^ M(regoorstaande hoeke) M P ^ O = O N ^ M D P ^ W = M P ^ O(regoorstaande hoeke) B N ^ Y = O N ^ M(regoorstaande hoeke) M P ^ O = O N ^ M
    (16)

    MNOP is 'n parallelogram (beide pare teenoorstaande 'e ==, daarom is beide pare teenoorstaande sye ook parallel)

waarskuwing:

Dit is baie belangrik om daarop te let dat 'n enkele teen-voorbeeld genoeg is om 'n vermoede verkeerd te bewys. Selfs 'n menigte ondersteunende voorbeelde is nog steeds geen bewys nie!

Meting

Area (Oppervlakte) van Poligone

  1. Area van driehoek: 12×12× basis ×× loodregte hoogte
    Figuur 14
    Figuur 14 (MG10C13_047.png)
  2. Area van trapesium: 12×12× (som van (parallelle) sye) ×× loodregte hoogte
    Figuur 15
    Figuur 15 (MG10C13_048.png)
  3. Area van parallelogram en rombus: basis ×× loodregte hoogte
    Figuur 16
    Figuur 16 (MG10C13_049.png)
  4. Area van reghoek: lengte ×× breedte
    Figuur 17
    Figuur 17 (MG10C13_050.png)
  5. Area van vierkant: sylengte ×× sylengte
    Figuur 18
    Figuur 18 (MG10C13_051.png)
  6. Area van sirkel: ππ x radius22
    Figuur 19
    Figuur 19 (MG10C13_052.png)

Figuur 20
Khan Akademie video oor area en omtrek

Figuur 21
Khan Akademie video oor area van 'n sirkel

Exercise 5: Berekening van area

Vind die area van die volgende figure:

Figuur 22
Figuur 22 (area1.png)

Solution
  1. Stap 1. Vind die hoogte: Ons moet eers vir BE, die loodregte hoogte van die parallelogram vind. Ons kan Pythagoras gebruik om dit te doen:
    BE2 = AB2AE2 BE2 = 5232 BE2 = 16 BE = 4BE2 = AB2AE2 BE2 = 5232 BE2 = 16 BE = 4
    (17)
  2. Stap 2. Pas die formule toe: Ons pas die formule vir die area van 'n parallelogram toe om die berekening te doen:
    Area = h × b = 4 × 7 = 28 Area = h × b = 4 × 7 = 28
    (18)

Poligone

  1. Sê of die bewering WAAR of VALS is in elk van die gevalle hieronder. Indien die bewering vals is, gee 'n teen-voorbeeld om dit te staaf:
    1. Alle vierkante is reghoeke.
    2. Alle reghoeke is vierkante.
    3. Alle pentagone is gelykvormig.
    4. Alle gelyksydige driehoeke is gelykvormig.
    5. Alle pentagone is kongruent.
    6. Alle gelyksydige driehoeke is kongruent.
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Vind die areas vir elk van die gegewe figure. Onthou area word gemeet in vierkante eenhede (cm22, m22, mm22).
    Figuur 23
    Figuur 23 (MG10C13_053.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Reghoekige Prismas en Silinders

In hierdie afdeling leer ons hoe om die oppervlakarea (buite-oppervlakte) en volume van reghoekige prismas en silinders te bereken. 'n Reghoekige prisma is 'n veelhoek wat uitgerek word in 'n kolom sodat die hoogte van die kolom reghoekig tot sy basis is. 'n Vierkantige prisma het 'n vierkantige basis en 'n driehoekige prisma het 'n driehoekige basis.

Figuur 24: Voorbeelde van 'n vierkantige prisma, 'n driehoekige prisma en 'n silinder
Figuur 24 (MG10C14_001.png)

Dit is eenvoudig om die oppervlakarea en volume van prismas te bereken.

Oppervlakarea

Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as 'n mens aan die prisma dink as 'n soliede voorwerp.

As jy die prismas in figuur 24 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma 'n eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van 'n prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. 'n Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en 'n reghoekige kolom.

Oppervlakarea van Prismas

Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.

Bespreking: Oppervlakareas

In pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma.

Figuur 25
Figuur 25 (MG10C14_002.png)

Aktiwiteit: Oppervlakarea

Soek 'n prentjie of neem 'n foto van 'n gebou wat nie 'n eenvoudig gedefinieërde vorm het nie (byvoorbeeld een wat nie net 'n reghoek is nie). Soek vir 'n kasteel met torings of 'n huis met gewels of 'n stoep. Veronderstel jy moet die buitekant van die gebou verf. Hoeveel verf sal jy benodig? Dink aan dit wat jy geleer het omtrent oppervlakarea van poligone. Kan jy reëlmatige poligone in jou prent/foto vind en hulle gebruik om die oppervlakarea te bereken?

Oppervlakareas

  1. Bereken die oppervlakarea van elk van die volgende:
    Figuur 26
    Figuur 26 (MG10C14_003.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. As 'n liter verf nodig is vir 'n area van 2m22m2, bereken hoeveel verf die verwer nodig het om die volgende areas te verf:
    1. 'n Reghoekige swembad met binnewande en bodem met die volgende afmetings: 4m×3m×2,5m4m×3m×2,5m
    2. 'n Sirkelvormige opgaardam waarvan die bodem 'n middellyn het van 4m4m en met 'n diepte van 2,5m2,5m
    Figuur 27
    Figuur 27 (MG10C14_004.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Volume

Die volume van 'n reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te vermenigvuldig. Vir 'n vierkantige prisma met 'n sylengte van aa en 'n hoogte van hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.

Volume van 'n Prisma

Bereken die volume van 'n prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma.

Exercise 6

Vind die oppervlakarea en volume van 'n vierkantige prisma met hoogte 4cm4cm and basislengte 3cm3cm.

Figuur 28
Figuur 28 (squareprism.png)

Solution
  1. Stap 1. Vind die oppervlakarea: Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van 'n prisma:
    S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2 S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2
    (19)
  2. Stap 2. Vind die volume: Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte:
    V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3 V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3
    (20)

Volume

  1. Skryf die formule vir die berekening van elk van die volgende prismas se volumes neer:
    Figuur 29
    Figuur 29 (MG10C14_005.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Bereken die volgende volumes:
    Figuur 30
    Figuur 30 (MG10C14_006.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  3. 'n Kubus is 'n spesiale prisma waarvan al die sye gelyk is. Dit beteken dat elke syvlak 'n vierkant is. 'n Dobbelsteen is 'n voorbeeld van 'n kubus. Bewys dat 'n kubus met 'n sylengte van aa, 'n oppervlakte het van 6a26a2 en 'n volume van a3a3.
    Figuur 31
    Figuur 31 (MG10C14_007.png)
    Kliek hier vir die oplossing

Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met 'n konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van 'n reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word?

Figuur 32: Reghoekige prismas
Figuur 32 (MG10C14_008.png)

Figuur 33: Reghoekige prismas 2
Figuur 33 (CG10C14_1.png)

Exercise 7: Verander die afmetings van 'n prisma

Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het sye met lengtes LL, bb en hh.

Figuur 34
Figuur 34 (MG10C14_009.png)

  1. Vergroot al die sye van die prisma met 'n konstante faktor van xx, waar x>1x>1. Bereken die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as 'n funksie van die faktor xx en die oorspronklike volume.
  2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan 'n geval waar 0<x<10<x<1. Bereken vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.
Solution
  1. Stap 1. Identifiseer:

    Die volume van die prisma word beskryf deur: V=L×b×hV=L×b×h

    Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A=2×(L×b+L×h+b×h)A=2×(L×b+L×h+b×h)

  2. Stap 2. Eweredige (proporsionele) verandering:

    As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word:

    L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h
    (21)

    Die nuwe volume word beskryf deur:

    V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V
    (22)

    Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:

    A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A
    (23)
  3. Stap 3. Interpreteer bostaande resultate:
    1. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V'=x3×VV'=x3×V. Waar x>1x>1, sal die volume van die prisma vermeerder met die faktor van x3x3. Die oppervlakarea van die veranderde prisma word beskryf deur: A'=x2×AA'=x2×A. Weereens, omdat x>1x>1, sal die oppervlakarea vergroot met 'n faktor van x2x2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
    2. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar 0<x<10<x<1 sal die volume verminder met 'n faktor van x3x3 en die oppervlakarea sal met verminder met 'n faktor van x2x2

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met 'n konstante, is dit soos om die oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in figuur 32.

Right Piramides, Regte Kegels (Keëls / Konusse), Sfere

'n Piramide is 'n soliede geometriese figuur met 'n poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in Item 6. Die regterkantste figuur het 'n toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word 'n kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.

Figuur 35: Voorbeelde van 'n vierkantige piramide, 'n driehoekige piramide en 'n kegel
Figuur 35 (MG11C16_001.png)

Oppervlakarea van 'n Piramide

Figuur 36
Khan Akademie video oor die volume van soliede geometriese figure

Die oppervlakarea van 'n piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.

Exercise 8: Oppervlakarea

As 'n kegel 'n hoogte het van hh en 'n basis met radius rr, toon dat die oppervlakarea gegee word deur πr2+πrr2+h2πr2+πrr2+h2.

Solution

  1. Stap 1. Maak 'n skets van die figuur :

    Figuur 37
    Figuur 37 (MG11C16_002.png)

  2. Stap 2. Identifiseer die vlakke wat die kegel uitmaak :

    Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is 'n sirkel met radius rr en die wand kan ontvou word tot 'n sektor van 'n sirkel.

    Figuur 38
    Figuur 38 (MG11C16_003.png)

    Die geboë vlak kan opgesny word in 'n klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan aa, die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is 12×12×basis××hoogte (van 'n klein driehoekie) = 12×2πr×a=πra12×2πr×a=πra

  3. Stap 3. Bereken aa :

    aa kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus:

    a = r 2 + h 2 a = r 2 + h 2
    (24)
  4. Stap 4. Bereken die area van die sirkelvormige basis :
    A b = π r 2 A b = π r 2
    (25)
  5. Stap 5. Bereken die area van die geboë wand :
    A w = π r a = π r r 2 + h 2 A w = π r a = π r r 2 + h 2
    (26)
  6. Stap 6. Berken die oppervlakarea A :
    A = A b + A w = π r 2 + π r r 2 + h 2 A = A b + A w = π r 2 + π r r 2 + h 2
    (27)

Volume van 'n Piramide: Die volume van 'n piramide word gevind deur:

V = 1 3 A · h V = 1 3 A · h
(28)

waar AA die area van die basis is en hh die hoogte is.

'n Kegel is soos 'n piramide, daarom word die formule vir die volume van 'n kegel gegee deur:

V = 1 3 π r 2 h V = 1 3 π r 2 h
(29)

'n Vierkantige piramide se volume:

V = 1 3 a 2 h V = 1 3 a 2 h
(30)

waar aa die sylengte van die vierkantige basis is.

Exercise 9: Volume van 'n Piramide

Wat is die volume van 'n vierkantige piramide, 3cm hoog met 'n sylengte van 2cm?

Figuur 39
Figuur 39 (MG11C16_004.png)

Solution

  1. Stap 1. Bepaal die korrekte formule :

    Die volume van 'n piramide is

    V = 1 3 A · h V = 1 3 A · h
    (31)

    waar AA die area van die basis en hh die hoogte van die piramide is. Vir 'n vierkantige basis beteken dit

    V = 1 3 a · a · h V = 1 3 a · a · h
    (32)

    waar aa die sylengte van die vierkantige basas is.

  2. Stap 2. Vervang die gegewe waardes :
    = 1 3 · 2 · 2 · 3 = 1 3 · 12 = 4 c m 3 = 1 3 · 2 · 2 · 3 = 1 3 · 12 = 4 c m 3
    (33)

Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van 'n sfeer (bal).

Oppervlakarea = 4 π r 2 Volume = 4 3 π r 3 Oppervlakarea = 4 π r 2 Volume = 4 3 π r 3
(34)

Exercise 10

'n Driehoekige piramide word bo-op 'n driehoekige prisma geplaas. Die prisma het 'n gelyksydige driehoek met 'n sylengte van 20 cm as basis en 'n hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.

  1. Vind die totale volume van die voorwerp.
  2. Vind die area van elke vlak van die piramide.
  3. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.
Figuur 40
Figuur 40 (MG11C16_006.png)

Solution

  1. Stap 1. Vind die volume van die driehoekige prisma: Ons gebruik die formule vir die volume van 'n reghoekige prisma:
    V = 12bh2 = 1220422 = 17640 V = 12bh2 = 1220422 = 17640
    (35)
  2. Stap 2. Vind die volume van 'n driehoekige piramide: Ons gebruik die formule vir die volume van 'n driehoekige piramide:
    V = 16bh2 = 1620422 = 5880 V = 16bh2 = 1620422 = 5880
    (36)
  3. Stap 3. Vind die volume: Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: 17640+5880=2352017640+5880=23520. Dit is die antwoord van a.
  4. Stap 4. Vind die area van die vlakke van die piramide: Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
    Area = 12bh = 122042 = 420 Area = 12bh = 122042 = 420
    (37)
    Dit is die antwoord van vraag b.
  5. Stap 5. Vind die oppervlakarea van die piramide: Die totale area is 4×420=16804×420=1680
  6. Stap 6. Vind die area van die prisma: Die oppervlakarea van die prisma is:
    Oppervlakarea = b×h+2×H×S+H×b = 20×20+2×12×20+12×20 = 1120 Oppervlakarea = b×h+2×H×S+H×b = 20×20+2×12×20+12×20 = 1120
    (38)
  7. Stap 7. Vind die totale oppervlakarea: Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: 1120-420+1680-420=19601120-420+1680-420=1960 Dit is die antwoord van vraag c.

Oppervlakarea en Volume

  1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)
    Figuur 41
    Figuur 41 (MG11C16_005.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?
    Kliek hier vir die oplossing

Transformasies: nie in CAPS

In hierdie afdeling gaan jy leer oor die verandering wat die koördinate van 'n punt ondergaan wanneer die punt horisontaal of vertikaal op die Cartesiese vlak skuif. Jy gaan ook leer wat met die koördinate van 'n punt gebeur wanneer dit reflekteer word in die xx-as, yy-as en die lyn y=xy=x.

Translasie van 'n Punt

Waneer 'n voorwerp langs 'n reguitlyn beweeg word, sê ons dit word getransleer. Wat gebeur met die koördinate van 'n punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?

Bespreking : Vertikale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte soos op die figuur in te vul.

Figuur 42
Figuur 42 (MG10C14_022.png)

Tabel 2
Punt xx-koördinaat yy-koördinaat
A    
B    
C    
D    
E    
F    
G    

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A indien dit verskuif word na die posisie van punt G?

Wanneer 'n punt vertikaal op- of afgeskuif word op die Cartesiese vlak, bly die xx-koördinaat van die punt dieselfde, maar die yy-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt op- of afgeskuif is.

Byvoorbeeld: in Item 19 word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe xx-koördinaat van punt A is dieselfde (xx=1), maar die nuwe yy-koördinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe yy-rigting en word yy=-2+4=2. Die nuwe koördinate van punt A is gevolglik G(1;2). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede afgeskuif word, bly die xx-koördinaat dieselfde (x=-2,5x=-2,5), maar die yy-koördinaat het 5 eenhede in die negatiewe yy-rigting geskuif. Die nuwe yy-koördinaat is dus yy=2,5 -5=-2,5.

Figuur 43: Punt A het 4 eenhede opgeskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede afgeskuif tot by H.
Figuur 43 (MG10C14_023.png)

leidraad:

Wanneer 'n punt opgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede by die ou yy-koördinaat by te tel. Wanneer 'n punt afgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede van die ou yy-koördinaat af te trek.

Bespreking: Horisontale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur al die koördinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.

Figuur 44
Figuur 44 (MG10C14_024.png)

Tabel 3
Punt xx-koördinaat yy--koördinaat
A    
B    
C    
D    
E    
F    
G    

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate?

Wat sal gebeur met die koördinate van punt A, as dit geskuif word na posisie G?

Wanneer 'n punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die yy-koördinaat van die punt dieselfde, maar die xx-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt links of regs geskuif word.

Byvoorbeeld, in Item 20 word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe yy-koördinaat van punt A is dieselfde (yy=1), maar die nuwe xx-koördinaat is 4 eenhede in die positiewe xx-rigting geskuif en word xx=-2+4=2. Die nuwe koördinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word, bly die yy-koördinaat dieselfde (y=-2,5y=-2,5), maar die xx-koördinaat word 5 eenhede in die negatiewe xx-rigting geskuif. Die nuwe xx-koördinaat is dus xx=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koördinate van punt B by H is dus (-2,5;1).

Figuur 45: Punt A skuif 4 eenhede regs na posisie G. Punt B skuif 5 eenhede links na posisie H.
Figuur 45 (MG10C14_025.png)

leidraad:

Wanneer 'n punt regs geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede by die oorspronklike xx-koördinaat by te tel. Wanneer 'n punt na links geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede van die oorspronklike xx-koördinaat af te trek.

Refleksie van 'n Punt

Wanneer jy voor 'n spieël staan, is die afstand tussen jou en die spieël gelyk aan die afstand tussen jou refleksie en die spieël.(dd)

Figuur 46
Figuur 46 (MG10C14_026.png)

Ons kan dieselfde idee toepas op 'n punt wat reflekteer word in die xx-as, die yy-as en die lyn y=xy=x.

Refleksie in die xx-as

Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees as wat die punt bo die xx-as is en vice-versa, asof dit 'n spieelbeeld is.

Figuur 47: Punte A en B word reflekteer in die xx-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur en die gereflekteerde punte word aangedui deur .
Figuur 47 (MG10C14_027.png)
leidraad:
Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, verander slegs die yy-koördinaat van die punt.
Exercise 11: Refleksie in die xx-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt P in die xx-as. Die koördinate van P is (5;10).

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gegee is en wat gevra word :

    Ons het die koördinate (5;10) van punt P en moet die koördinate van die refleksie van die punt in die xx-as kry.

  2. Stap 2. Bepaal hoe jy die probleem gaan benader :

    Die punt P is bo die xx-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees. Daarom is yy=-10.

    Vir 'n refleksie in die xx-as, bly die xx-koördinaat onveranderd. Daarom is xx=5.

  3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

    Die koördinate van die gereflekteerde punt is (5;-10).

Refleksie in die yy-as

As 'n punt reflekteer word in die yy-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die yy-as wees.

Figuur 48: Punte A en B word reflekteer in die yy-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur en die gereflekteerde punte word aangedui met .
Figuur 48 (MG10C14_028.png)
leidraad:
Wanneer 'n punt reflekteer word in die yy-as, verander net die xx-koördinaat van die punt. Die yy-koördinaat bly dieselfde.
Exercise 12: Refleksie in die yy-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die yy-as.

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is :

    Ons het punt Q (15;5) en moet die koördinate van die refleksie daarvan in die yy-as kry.

  2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Die punt Q regs van die yy-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand links van die yy-as wees as wat dit regs van die yy-as is. Daarom is xx=-15.

    Vir 'n refleksie in die yy-as, bly die yy koördinaat onveranderd. Daarom is yy=5.

  3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

    Die koördinate van die gereflekteerde punt is (-15;5).

Refleksie in die lyn y=xy=x

Die laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel, is refleksie in die lyn y=xy=x.

Gevallestudie : Refleksie van 'n punt in die lyn y=xy=x

Figuur 49
Figuur 49 (MG10C14_029.png)

Bestudeer die gegewe inligting en voltooi die volgende tabel:

Tabel 4
  Punt Refleksie
A (2;1) (1;2)
B (-112112;-2) (-2;-11212)
C (-1;1)  
D (2;-3)  

Wat kan jy aflei omtrent die koördinate van die punte wat reflekteer word in die lyn y=xy=x?

Die xx- en yy- koördinate van punte wat in die lyn y=xy=x reflekteer word, ruil net om. Dit beteken dat die xx-koördinaat van die oorspronklike punt, die yy-koördinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die yy-koördinaat van die oorspronklike punt, die xx-koördinaat van die nuwe punt word.

Figuur 50: Punte A en B word reflekteer in die lyn y=xy=x. Die oorspronklike punte word aangedui met en die reflekteerde punte word aangedui met .
Figuur 50 (MG10C14_030.png)
leidraad:
Die xx- en yy- koördinate van die gereflekteerde punte in die lyn y=xy=x word dus omgeruil.
Exercise 13: Refleksie in die lyn y=xy=x

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y=xy=x.

Solution
  1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan in die lyn y=xy=x bepaal.

  2. Stap 2. Besluit hoe jy die probleem gaan benader :

    Die xx-koördinaat van die gereflekteerde punt is die yy-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is xx=5.

    Die yy-koördinaat van die gereflekteerde punt is die xx-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is yy=-5.

  3. Stap 3. Skryf die finale antwoord neer:

    Die koördinate van die reflekteerde punt is (5;-5).

Reëls vir Translasie

'n Vinnige manier om 'n translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld (x;y)(x+a;y+b)(x;y)(x+a;y+b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.

As ons dus die punt (1;2) volgens die reël (x;y)(x+3;y-1)(x;y)(x+3;y-1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.

Translasie van 'n Gebied

Om 'n gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.

Voorbeeld

Gebied A is getransleer na gebied B deur die reël: (x;y)(x+4;y+2)(x;y)(x+4;y+2)

Figuur 51
Figuur 51 (MG10C14_031.png)

Bespreking : Transformasiereëls

Werk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.

Tabel 5
Kolom 1 Kolom 2
1. (x;y)(x;y-3)(x;y)(x;y-3)        a) refleksie in die x=y lyn
2. ( x ; y ) ( x - 3 ; y ) ( x ; y ) ( x - 3 ; y ) b) refleksie in die x-as
3. ( x ; y ) ( x ; - y ) ( x ; y ) ( x ; - y ) c) verskuiwing van 3 eenhede na links
4. ( x ; y ) ( - x ; y ) ( x ; y ) ( - x ; y ) d) verskuiwing van 3 eenhede afwaarts
5. ( x ; y ) ( y ; x ) ( x ; y ) ( y ; x ) e) refleksie in die y-as
Transformasies
  1. Beskryf die translasies in elk van die volgende deur gebruik te maak van die reël (x;y) (...;...)
    Figuur 52
    Figuur 52 (mg10c14_4.png)
    1. Van A to B
    2. Van C to J
    3. Van F to H
    4. Van I to J
    5. Van K to L
    6. Van J to E
    7. Van G to H
    Kliek hier vir die oplossing
  2. A is die punt (4;1). Stip elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koördinate van die punte wat jy neergestip het.
    1. B is die refleksie van A in die x-as.
    2. C is die refleksie van A in die y-as.
    3. D is die refleksie van B in die lyn x=0.
    4. E is die refleksie van C in die lyn y=0.
    5. F is die refleksie van A in die lyn y= x.
    Kliek hier vir die oplossing
  3. In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is om die beeld te verkry, 'n refleksie en 'n translasie van A. Skryf die letter neer van elke beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.
    Figuur 53
    Figuur 53 (mg10c14_5.png)
    Kliek hier vir die oplossing
Ondersoek : Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe
  1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop, koeldrank, ens.)
  2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
  3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:
    Figuur 54
    Figuur 54 (MG10C14_034.png)
  4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm22, afgerond tot 2 desimale):
    1. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
    2. die oppervlak van die bo- en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
    3. die totale oppervlakarea (buite-oppervlakte) van die blikkie
  5. As die metaal 0,17 sent/cm22kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
  6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm33, afgerond tot 2 desimale plekke).
  7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
  8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud (koeldrank, sop, ens.) verpak is?
  9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
  10. As jy die volume van 'n blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet die hoogte toeneem?
  11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor sal die:
    1. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
    2. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?

Opsomming

  • Die eienskappe van vlieërs, rombusse, parallelogamme, vierkante, reghoeke en trapesiums is ondersoek. Al hierdie vorme word vierhoeke genoem.
  • Jy behoort die formules te ken vir die oppervlakarea van reghoekige en driehoekige prismas sowel as silinders.
  • Die volume van 'n regte prisma is bereken deur area van die basis te vermenigvuldig met die loodregte hoogte. Dus vir 'n vierkantige prisma met sylengte aa en hoogte hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.
  • Gelykvormigheid van poligone: Twee poligone is gelykvormig as:
    • hulle ooreenkomstige hoeke gelyk is
    • die lengtes van die sye eweredig is
    Alle vierkante is gelykvormig.

Finale oefeninge

  1. Deur die reëls te gebruik wat verskaf is, identifiseer elke tipe transformasie en teken die vorms.
    1. (x;y)(x+3;y-3)
      Figuur 55
      Figuur 55 (MG10C14_037.png)
    2. (x;y)(x-4;y)
      Figuur 56
      Figuur 56 (MG10C14_038.png)
    3. (x;y)(y;x)
      Figuur 57
      Figuur 57 (MG10C14_039.png)
    4. (x;y)(-x;-y)
      Figuur 58
      Figuur 58 (MG10C14_040.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. PQRS is 'n veelhoek met hoekpunte P(0; −3) ; Q(−2;5) ; R(3;2) en S(3;–2) in die Cartesiese-vlak.
    1. Bepaal die lengte van QR.
    2. Bepaal die helling van PS.
    3. Bepaal die middelpunt van PR.
    4. Is PQRS 'n parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.
    Kliek hier vir die oplossing
  3. A(–2;3) en B(2;6) is punte in die Cartesiese-vlak. C(a;b) is die middelpunt van AB. Bereken die waardes van a en b.
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Beskou driehoek ABC met hoekpunte A (1; 3), B (4; 1) en C (6; 4):
    1. Skets driehoek ABC in die Cartesiese vlak.
    2. Wys dat ABC 'n gelykbenige driehoek is.
    3. Bepaal die koordinate van M, die middelpunt van AC.
    4. Bepaal die helling van AB.
    5. Wys dat die volgende punte saamlynig is: A, B en D(7;-1).
    Kliek hier vir die oplossing
  5. In die diagram is A die punt (-6;1) en B is die punt (0;3).
    Figuur 59
    Figuur 59 (MG10C14_5.png)
    1. Wat is die vergelyking van die lyn AB?
    2. Bereken die lengte van AB.
    3. A’ is die beeld van A en B’ is die beeld van B. Beide hierdie beelde is verkry uit die transformasie: (x;y)(x-4;y-1). Gee die koördinate van beide A’ en B’.
    4. Bepaal die vergelyking van A’B’.
    5. Bereken die lengte van A’B’.
    6. Kan jy met sekerheid bevestig dat AA'B'B 'n parallelogram is? Regverdig jou antwoord.
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Die hoekpunte van driehoek PQR het koordinate soos in die diagram.
    Figuur 60
    Figuur 60 (mg10c14_6.png)
    1. Gee die koordinate van P', Q' en R', die beelde van P, Q en R wanneer P, Q en R reflekteer word in die lyn y=x.
    2. Bepaal die area van driehoek PQR.
    Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks