Werk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys van stadiums moet dien as 'n riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf.

'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye parallel. Dit word soms ook 'n trapesoïd genoem. 'n Spesiale tipe trapesium is die gelykbenige trapesium, waar een paar teenoorstaande sye parallel is en die ander paar sye ewe lank is. Die hoeke aan die eindpunte van elke parallelle sy is ewe groot. 'n Gelykbenige trapesium het een lyn van simmetrie en sy hoeklyne is ewe lank.

Figuur 1: Voorbeelde van trapesiums

'n Trapesium met beide pare teenoorstaande sye parallel, word 'n parallelogram genoem. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram is:

Figuur 2: 'n Voorbeeld van 'n parallelogram

'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke ewe groot en gelyk aan 90∘90∘. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n reghoek is:

Figuur 3: Voorbeeld van 'n reghoek

'n Rombus (ruit) is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n rombus is:

Figuur 4: 'n Voorbeeld van 'n ruit, 'n parallelogram met al vier sye ewe lank

'n Vierkant is 'n rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90∘∘.

'n Opsomming van die eienskappe van 'n vierkant:

Figuur 5: 'n Voorbeeld van 'n vierkant - 'n rombus met al die hoeke gelyk aan 90∘∘

'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.

'n Oposmming van die eienskappe van 'n vlieër is:

Figuur 6: 'n Voorbeeld van 'n vlieër

Bespreking: Gelykvormige Driehoeke

Gebruik die diagram om die tabel in te vul en antwoord die vrae wat daarna volg.

Tabel 1

AB DE AB DE =...cm...cm=......cm...cm=...	A^A^=...∘∘	D^D^...∘∘
BC EF BC EF =...cm...cm=......cm...cm=...	B^B^=...∘∘	E^E^=...∘∘
AC DF AC DF =...cm...cm=......cm...cm=...	C^C^...∘∘	F^F^=...∘∘

Figuur 7

1. Wat kan jy sê oor jou berekening van: AB DE AB DE , BC EF BC EF , AC DF AC DF ?
2. Wat kan jy sê oor A^A^ en D^D^?
3. Wat kan jy sê oor B^B^ en E^E^?
4. Wat kan jy sê oor C^C^ en F^F^?

As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een 'n vergroting van die ander. Dit beteken dat twee veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en hulle sye sal in verhouding wees tot mekaar.

|||||| is die simbool wat gebruik word om gelykvormigheid aan te dui.

Definition 1: Gelykvormige Veelhoeke

Twee veelhoeke is gelykvormig as:

1. hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en
2. hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)

Exercise 1: Gelykvormigheid van Poligone

Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.

Figuur 8

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat word gevra:

   Daar word gevra om te bewys dat 'n paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.

2. Stap 2. Ooreenstemmende hoeke:

   Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.

3. Stap 3. Bewys dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is:

   Al die hoeke is 90∘∘ groot en

   A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^ A ^ = E ^ B ^ = F ^ C ^ = G ^ D ^ = H ^

   (1)
4. Stap 4. Bewys dat die ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is:

   Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.

   Lang sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:

   Verhouding = 2 L L = 2 Verhouding = 2 L L = 2

   (2)

   Kort sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:

   Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2 Verhouding = L 1 2 L = 1 1 2 = 2

   (3)

   Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk (=2 in hierdie geval).

5. Stap 5. Finale antwoord:

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk, dus is die veelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Exercise 2: Gelykvormigheid van Veelhoeke

As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes van die hoeke wat met letters gemerk is:

Figuur 9

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat is gegee:

   Daar word aan ons gegee dat ABCDE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:

   AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG AB GH = BC HJ = CD JK = DE KL = EA LG

   (4)

   en

   A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^ A ^ = G ^ B ^ = H ^ C ^ = J ^ D ^ = K ^ E ^ = L ^

   (5)
2. Stap 2. Bepaal wat is gevra:

   Daar word gevra om te bepaal

   1. lengtes: aa, bb, cc en dd, en
   2. hoeke: ee, ff and gg.
3. Stap 3. Besluit hoe om die probleem te benader:

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons 'n paar sye DCDC en KJKJ gegee wat ooreenstemmend is. DCKJ=4,53=1,5DCKJ=4,53=1,5 so ons weet dat al die sye van KJHGLKJHGL 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van ABCDEABCDE.

4. Stap 4. Bereken lengtes:
   a 2 = 1 , 5 ∴ a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 ∴ b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 ∴ c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 ∴ d = 2 a 2 = 1 , 5 ∴ a = 2 × 1 , 5 = 3 b 1 , 5 = 1 , 5 ∴ b = 1 , 5 × 1 , 5 = 2 , 25 6 c = 1 , 5 ∴ c = 6 ÷ 1 , 5 = 4 d = 3 1 , 5 ∴ d = 2

   (6)
5. Stap 5. Bereken hoeke:
   e = 92 ∘ ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ∘ ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ∘ ( ooreenstemmend tot E ) e = 92 ∘ ( ooreenstemmend tot H ) f = 120 ∘ ( ooreenstemmend tot D ) g = 40 ∘ ( ooreenstemmend tot E )

   (7)
6. Stap 6. Skryf die finale antwoord neer:
   a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 ∘ f = 120 ∘ g = 40 ∘ a = 3 b = 2 , 25 c = 4 d = 2 e = 92 ∘ f = 120 ∘ g = 40 ∘

   (8)

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as 'n mens aan die prisma dink as 'n soliede voorwerp.

As jy die prismas in figuur 24 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma 'n eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van 'n prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. 'n Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en 'n reghoekige kolom.

Oppervlakarea van Prismas

Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.

Bespreking: Oppervlakareas

In pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma.

Figuur 25

Die volume van 'n reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te vermenigvuldig. Vir 'n vierkantige prisma met 'n sylengte van aa en 'n hoogte van hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.

Volume van 'n Prisma

Bereken die volume van 'n prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma.

Exercise 6

Vind die oppervlakarea en volume van 'n vierkantige prisma met hoogte 4cm4cm and basislengte 3cm3cm.

Figuur 28

Solution

1. Stap 1. Vind die oppervlakarea: Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van 'n prisma:
   S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2 S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2

   (19)
2. Stap 2. Vind die volume: Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte:
   V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3 V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3

   (20)

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met 'n konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van 'n reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word?

Figuur 32: Reghoekige prismas

Figuur 33: Reghoekige prismas 2

Exercise 7: Verander die afmetings van 'n prisma

Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het sye met lengtes LL, bb en hh.

Figuur 34

1. Vergroot al die sye van die prisma met 'n konstante faktor van xx, waar x>1x>1. Bereken die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as 'n funksie van die faktor xx en die oorspronklike volume.
2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan 'n geval waar 0<x<10<x<1. Bereken vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.

Solution

1. Stap 1. Identifiseer:

   Die volume van die prisma word beskryf deur: V=L×b×hV=L×b×h

   Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A=2×(L×b+L×h+b×h)A=2×(L×b+L×h+b×h)

2. Stap 2. Eweredige (proporsionele) verandering:

   As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word:

   L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h

   (21)

   Die nuwe volume word beskryf deur:

   V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V

   (22)

   Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:

   A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A

   (23)
3. Stap 3. Interpreteer bostaande resultate:
   1. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V'=x3×VV'=x3×V. Waar x>1x>1, sal die volume van die prisma vermeerder met die faktor van x3x3. Die oppervlakarea van die veranderde prisma word beskryf deur: A'=x2×AA'=x2×A. Weereens, omdat x>1x>1, sal die oppervlakarea vergroot met 'n faktor van x2x2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
   2. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar 0<x<10<x<1 sal die volume verminder met 'n faktor van x3x3 en die oppervlakarea sal met verminder met 'n faktor van x2x2

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met 'n konstante, is dit soos om die oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in figuur 32.

Waneer 'n voorwerp langs 'n reguitlyn beweeg word, sê ons dit word getransleer. Wat gebeur met die koördinate van 'n punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?

Bespreking : Vertikale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte soos op die figuur in te vul.

Figuur 42

Tabel 2

Punt	xx-koördinaat	yy-koördinaat
A
B
C
D
E
F
G

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A indien dit verskuif word na die posisie van punt G?

Wanneer 'n punt vertikaal op- of afgeskuif word op die Cartesiese vlak, bly die xx-koördinaat van die punt dieselfde, maar die yy-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt op- of afgeskuif is.

Byvoorbeeld: in Item 19 word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe xx-koördinaat van punt A is dieselfde (xx=1), maar die nuwe yy-koördinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe yy-rigting en word yy=-2+4=2. Die nuwe koördinate van punt A is gevolglik G(1;2). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede afgeskuif word, bly die xx-koördinaat dieselfde (x=-2,5x=-2,5), maar die yy-koördinaat het 5 eenhede in die negatiewe yy-rigting geskuif. Die nuwe yy-koördinaat is dus yy=2,5 -5=-2,5.

Figuur 43: Punt A het 4 eenhede opgeskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede afgeskuif tot by H.

Bespreking: Horisontale Translasie van 'n Punt

Voltooi die tabel deur al die koördinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.

Figuur 44

Tabel 3

Punt	xx-koördinaat	yy--koördinaat
A
B
C
D
E
F
G

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate?

Wat sal gebeur met die koördinate van punt A, as dit geskuif word na posisie G?

Wanneer 'n punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die yy-koördinaat van die punt dieselfde, maar die xx-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt links of regs geskuif word.

Byvoorbeeld, in Item 20 word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe yy-koördinaat van punt A is dieselfde (yy=1), maar die nuwe xx-koördinaat is 4 eenhede in die positiewe xx-rigting geskuif en word xx=-2+4=2. Die nuwe koördinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word, bly die yy-koördinaat dieselfde (y=-2,5y=-2,5), maar die xx-koördinaat word 5 eenhede in die negatiewe xx-rigting geskuif. Die nuwe xx-koördinaat is dus xx=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koördinate van punt B by H is dus (-2,5;1).

Figuur 45: Punt A skuif 4 eenhede regs na posisie G. Punt B skuif 5 eenhede links na posisie H.

Wanneer jy voor 'n spieël staan, is die afstand tussen jou en die spieël gelyk aan die afstand tussen jou refleksie en die spieël.(dd)

Figuur 46

Ons kan dieselfde idee toepas op 'n punt wat reflekteer word in die xx-as, die yy-as en die lyn y=xy=x.

Refleksie in die xx-as

Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees as wat die punt bo die xx-as is en vice-versa, asof dit 'n spieelbeeld is.

Figuur 47: Punte A en B word reflekteer in die xx-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui deur ∘∘.

leidraad:

Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, verander slegs die yy-koördinaat van die punt.

Exercise 11: Refleksie in die xx-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt P in die xx-as. Die koördinate van P is (5;10).

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat gegee is en wat gevra word :

   Ons het die koördinate (5;10) van punt P en moet die koördinate van die refleksie van die punt in die xx-as kry.

2. Stap 2. Bepaal hoe jy die probleem gaan benader :

   Die punt P is bo die xx-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees. Daarom is yy=-10.

   Vir 'n refleksie in die xx-as, bly die xx-koördinaat onveranderd. Daarom is xx=5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

   Die koördinate van die gereflekteerde punt is (5;-10).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Refleksie in die yy-as

As 'n punt reflekteer word in die yy-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die yy-as wees.

Figuur 48: Punte A en B word reflekteer in die yy-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui met ∘∘.

leidraad:

Wanneer 'n punt reflekteer word in die yy-as, verander net die xx-koördinaat van die punt. Die yy-koördinaat bly dieselfde.

Exercise 12: Refleksie in die yy-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die yy-as.

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is :

   Ons het punt Q (15;5) en moet die koördinate van die refleksie daarvan in die yy-as kry.

2. Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

   Die punt Q regs van die yy-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand links van die yy-as wees as wat dit regs van die yy-as is. Daarom is xx=-15.

   Vir 'n refleksie in die yy-as, bly die yy koördinaat onveranderd. Daarom is yy=5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord :

   Die koördinate van die gereflekteerde punt is (-15;5).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Refleksie in die lyn y=xy=x

Die laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel, is refleksie in die lyn y=xy=x.

Gevallestudie : Refleksie van 'n punt in die lyn y=xy=x

Figuur 49

Bestudeer die gegewe inligting en voltooi die volgende tabel:

Tabel 4

	Punt	Refleksie
A	(2;1)	(1;2)
B	(-112112;-2)	(-2;-11212)
C	(-1;1)
D	(2;-3)

Wat kan jy aflei omtrent die koördinate van die punte wat reflekteer word in die lyn y=xy=x?

Die xx- en yy- koördinate van punte wat in die lyn y=xy=x reflekteer word, ruil net om. Dit beteken dat die xx-koördinaat van die oorspronklike punt, die yy-koördinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die yy-koördinaat van die oorspronklike punt, die xx-koördinaat van die nuwe punt word.

Figuur 50: Punte A en B word reflekteer in die lyn y=xy=x. Die oorspronklike punte word aangedui met •• en die reflekteerde punte word aangedui met ∘∘.

leidraad:

Die xx- en yy- koördinate van die gereflekteerde punte in die lyn y=xy=x word dus omgeruil.

Exercise 13: Refleksie in die lyn y=xy=x

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y=xy=x.

Solution

1. Stap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

   Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan in die lyn y=xy=x bepaal.

2. Stap 2. Besluit hoe jy die probleem gaan benader :

   Die xx-koördinaat van die gereflekteerde punt is die yy-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is xx=5.

   Die yy-koördinaat van die gereflekteerde punt is die xx-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is yy=-5.

3. Stap 3. Skryf die finale antwoord neer:

   Die koördinate van die reflekteerde punt is (5;-5).

[ Show Solution ] [ Hide Solution ]

Reëls vir Translasie

'n Vinnige manier om 'n translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld (x;y)→(x+a;y+b)(x;y)→(x+a;y+b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.

As ons dus die punt (1;2) volgens die reël (x;y)→(x+3;y-1)(x;y)→(x+3;y-1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.

Translasie van 'n Gebied

Om 'n gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.

Voorbeeld

Gebied A is getransleer na gebied B deur die reël: (x;y)→(x+4;y+2)(x;y)→(x+4;y+2)

Figuur 51

Bespreking : Transformasiereëls

Werk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.

Tabel 5

Kolom 1	Kolom 2
1. (x;y)→(x;y-3)(x;y)→(x;y-3)	a) refleksie in die x=y lyn
2. ( x ; y ) → ( x - 3 ; y ) ( x ; y ) → ( x - 3 ; y )	b) refleksie in die x-as
3. ( x ; y ) → ( x ; - y ) ( x ; y ) → ( x ; - y )	c) verskuiwing van 3 eenhede na links
4. ( x ; y ) → ( - x ; y ) ( x ; y ) → ( - x ; y )	d) verskuiwing van 3 eenhede afwaarts
5. ( x ; y ) → ( y ; x ) ( x ; y ) → ( y ; x )	e) refleksie in die y-as

Transformasies

1. Beskryf die translasies in elk van die volgende deur gebruik te maak van die reël (x;y)→→ (...;...)

   Figuur 52

   1. Van A to B
   2. Van C to J
   3. Van F to H
   4. Van I to J
   5. Van K to L
   6. Van J to E
   7. Van G to H
   Kliek hier vir die oplossing
2. A is die punt (4;1). Stip elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koördinate van die punte wat jy neergestip het.
   1. B is die refleksie van A in die x-as.
   2. C is die refleksie van A in die y-as.
   3. D is die refleksie van B in die lyn x=0.
   4. E is die refleksie van C in die lyn y=0.
   5. F is die refleksie van A in die lyn y= x.
   Kliek hier vir die oplossing
3. In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is om die beeld te verkry, 'n refleksie en 'n translasie van A. Skryf die letter neer van elke beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.

   Figuur 53

   Kliek hier vir die oplossing

Ondersoek : Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe

1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop, koeldrank, ens.)
2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:

   Figuur 54

4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm22, afgerond tot 2 desimale):
   1. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
   2. die oppervlak van die bo- en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
   3. die totale oppervlakarea (buite-oppervlakte) van die blikkie
5. As die metaal 0,17 sent/cm22kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm33, afgerond tot 2 desimale plekke).
7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud (koeldrank, sop, ens.) verpak is?
9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
10. As jy die volume van 'n blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet die hoogte toeneem?
11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor sal die:
    1. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
    2. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?