Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Koördinaatmeetkunde

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Koördinaatmeetkunde

Die Vergelyking van 'n Lyn tussen Twee Punte

Figuur 1
Khan akademie video oor punt-helling en standaard vorm

Daar is verskeie gegewens en metodes wat dit moontlik maak om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal. Een so 'n metode word gebruik wanneer twee punte byvoorbeeld gegee word.

Aanvaar die twee punte is onderskeidelik (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2). Ons weet ook die algemene vorm vir die vergelyking van 'n reguit lyn is:

y = m x + c y = m x + c
(1)

Die vergelyking van 'n lyn wat deur hierdie twee punte gaan, kan eers verkry word as ons die waardes van mm (die gradiënt van die lyn) en cc (die yy-afsnit van die lyn) het. Gevolglik is die vergelyking:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )
(2)

waar (x1;y1)(x1;y1) die koördinate van die gegewe punte is.

Die Tweede Vergelyking van 'n Reguit Lyn

'n Stel gelyktydige vergelykings kan soos volg geskryf word:

y 1 = m x 1 + c y 2 = m x 2 + c y 1 = m x 1 + c y 2 = m x 2 + c
(3)

Ons het nou twee vergelykings en twee onbekendes, naamlik mm en cc.

y 2 - y 1 = m x 2 - m x 1 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 y 1 = m x 1 + c c = y 1 - m x 1 y 2 - y 1 = m x 2 - m x 1 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 y 1 = m x 1 + c c = y 1 - m x 1
(4)

Nou, om dinge bietjie makliker te maak, vervang vergelyking 4 in vergelyking 1:

y = m x + c = m x + ( y 1 - m x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 ) y = m x + c = m x + ( y 1 - m x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )
(5)

Wenk:

Indien jy gevra word om die vergelyking van 'n lyn te bepaal wat deur twee punte gaan, gebruik:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1
(6)

om mm te bereken. Gebruik dan:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )
(7)

om die vergelyking te bepaal.

Byvoorbeeld, die vergelyking van 'n reguit lyn deur (-1;1)(-1;1) en (2;2)(2;2) word verkry deur eers mm te bereken:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 - 1 2 - ( - 1 ) = 1 3 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 - 1 2 - ( - 1 ) = 1 3
(8)

Hierdie waarde word dan vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )
(9)

om sodoende die volgende te verkry:

y - y 1 = 1 3 ( x - x 1 ) . y - y 1 = 1 3 ( x - x 1 ) .
(10)

Vervang nou (-1;1)(-1;1) om te kry dat:

y - ( 1 ) = 1 3 ( x - ( - 1 ) ) y - 1 = 1 3 x + 1 3 y = 1 3 x + 1 3 + 1 y = 1 3 x + 4 3 y - ( 1 ) = 1 3 ( x - ( - 1 ) ) y - 1 = 1 3 x + 1 3 y = 1 3 x + 1 3 + 1 y = 1 3 x + 4 3
(11)

So, y=13x+43y=13x+43 gaan deur (-1;1)(-1;1) en (2;2)(2;2).

Figuur 2
Figuur 2 (MG11C16_039.png)

Exercise 1: Vergelyking van 'n Reguit Lyn

Bepaal die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur die punte (-3;2)(-3;2) en (5;8)(5;8) gaan.

Solution
  1. Stap 1. Benoem die Punte :
    ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 2 ) ( x 2 ; y 2 ) = ( 5 ; 8 ) ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 2 ) ( x 2 ; y 2 ) = ( 5 ; 8 )
    (12)
  2. Stap 2. Bereken die Gradiënt :
    m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 8 - 2 5 - ( - 3 ) = 6 5 + 3 = 6 8 = 3 4 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 8 - 2 5 - ( - 3 ) = 6 5 + 3 = 6 8 = 3 4
    (13)
  3. Stap 3. Bepaal die Vergelyking van die Lyn :
    y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - ( 2 ) = 3 4 ( x - ( - 3 ) ) y = 3 4 ( x + 3 ) + 2 = 3 4 x + 3 4 · 3 + 2 = 3 4 x + 9 4 + 8 4 = 3 4 x + 17 4 y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - ( 2 ) = 3 4 ( x - ( - 3 ) ) y = 3 4 ( x + 3 ) + 2 = 3 4 x + 3 4 · 3 + 2 = 3 4 x + 9 4 + 8 4 = 3 4 x + 17 4
    (14)
  4. Stap 4. Skryf die Finale Antwoord :

    Die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur (-3;2)(-3;2) en (5;8)(5;8) gaan, is y=34x+174y=34x+174.

Vergelyking van 'n Lyn parallel aan, of loodreg op, 'n Ander Lyn, gegee Een Punt

Nog 'n metode om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal, kan gebruik word, gegee 'n punt op die lyn se koördinate, (x1;y1)(x1;y1), en wanneer daar uitdruklik gesê word die lyn is loodreg op, of parallel aan, 'n ander lyn. Indien die vergelykings van die onbekende en gegewe lyne onderskeidelik y=mx+cy=mx+c en y=m0x+c0y=m0x+c0 is, weet ons die volgende:

Indien die lyne parallel sou wees, dan is m = m 0 Indien die lyne loodreg sou wees, dan is m × m 0 = - 1 Indien die lyne parallel sou wees, dan is m = m 0 Indien die lyne loodreg sou wees, dan is m × m 0 = - 1
(15)

Sodra ons 'n waarde vir mm bepaal het, kan ons hierdie waarde gebruik tesame met:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )
(16)

om die vergelyking van die lyn te bepaal.

Byvoorbeeld, bepaal die vergelyking van 'n lyn wat parallel is aan y=2x-1y=2x-1 en wat deur die punt (-1;1)(-1;1) gaan.

Eerstens kry ons vir mm, die gradiënt van die lyn. Aangesien dié lyn parallel aan y=2x-1y=2x-1 is, weet ons dat:

m = 2 m = 2
(17)

Die vergelyking van die lyn word gevind deur mm en (-1;1)(-1;1) te vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - 1 = 2 ( x - ( - 1 ) y - 1 = 2 ( x + 1 ) y - 1 = 2 x + 2 y = 2 x + 2 + 1 y = 2 x + 3 y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - 1 = 2 ( x - ( - 1 ) y - 1 = 2 ( x + 1 ) y - 1 = 2 x + 2 y = 2 x + 2 + 1 y = 2 x + 3
(18)
Figuur 3: Die vergelyking van 'n lyn wat deur (-1;1)(-1;1) gaan en parallel is aan y=2x-1y=2x-1, is y=2x+3y=2x+3. Hier kan duidelik gesien word dat die twee lyne parallel is. Jy kan toets deur om die loodregte afstand tussen die twee lyne by verskillende punte te meet met jou liniaal.
Figuur 3 (MG11C16_040.png)

Hellingshoek

Figuur 4: (a) 'n Lyn maak 'n hoek θθ met die xx-as. (b) Die hoek is afhanklik van die gradiënt. As mfmf die gradiënt van ff, en mgmg die gradiënt van gg is, dan is mf>mgmf>mg en θf>θgθf>θg.
Figuur 4 (MG11C16_041.png)

In figuur 4(a), sien ons dat die lyn 'n hoek θθ maak met die xx-as. Hierdie hoek staan bekend as die hellingshoek van die lyn en is soms van belang.

Eerstens sien ons dat, soos die gradiënt verander, verander die waarde van θθ (figuur 4(b)). Ons verwag dus dat daar 'n verwandskap bestaan tussen die hellingshoek van 'n lyn en die gradiënt. Ons weet ook dat die gradiënt 'n verhouding van verandering in die yy-rigting tot verandering in die xx-rigting is.

m = Δ y Δ x m = Δ y Δ x
(19)

In figuur 4(a) sien ons egter:

tan θ = Δ y Δ x m = tan θ tan θ = Δ y Δ x m = tan θ
(20)

Byvoorbeeld, om die hellingshoek van die lyn y=xy=x te bepaal, weet ons dat m=1m=1

tan θ = 1 θ = 45 tan θ = 1 θ = 45
(21)

Koördinaatmeetkunde

  1. Bepaal die vergelykings van die volgende lyne.
    1. deur punte (-1;3)(-1;3) en (1;4)(1;4)
    2. deur punte (7;-3)(7;-3) en (0;4)(0;4)
    3. parallel aan y=12x+3y=12x+3 en deur (-1;3)(-1;3)
    4. loodreg op y=-12x+3y=-12x+3 en deur (-1;2)(-1;2)
    5. loodreg op 2y+x=62y+x=6 en deur die oorsprong
  2. Bepaal die hellingshoek van die volgende lyne.
    1. y=2x-3y=2x-3
    2. y=13x-7y=13x-7
    3. 4y=3x+84y=3x+8
    4. y=-23x+3y=-23x+3 (Wenk: as mm negatief is, sal θθ in die tweede kwadrant wees)
    5. 3y+x-3=03y+x-3=0
  3. Wys dat die lyn y=ky=k parallel is aan die x-as vir enige konstante kk. (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 00 is.)
  4. Wys dat die lyn x=kx=k parallel is aan die y-as vir enige konstante kk. (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 9090 is.)

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks