Ons het gesien dat die vergelyking in die vorm:
a
2
x
2
-
b
2
a
2
x
2
-
b
2
(1)bekend is as die verskil in vierkante en kan as volg gefaktoriseer word:
(
a
x
-
b
)
(
a
x
+
b
)
.
(
a
x
-
b
)
(
a
x
+
b
)
.
(2)Hierdie eenvoudige faktorisering lei na 'n ander tegniek om kwadratiese vergelykings op te los wat bekend staan as kwadraatsvoltooiing.
Ons wys met 'n eenvoudige voorbeeld, deur te probeer om vir xx op te los in:
x
2
-
2
x
-
1
=
0
.
x
2
-
2
x
-
1
=
0
.
(3)Ons kan nie maklik faktore van hierdie term vind nie, maar die eerste twee terme lyk soortgelyk aan die eerste twee terme van die volmaakte vierkant:
(
x
-
1
)
2
=
x
2
-
2
x
+
1
.
(
x
-
1
)
2
=
x
2
-
2
x
+
1
.
(4)Ons kan egter kul en 'n volmaakte vierkant skep deur 2 aan beide kante van die vergelyking te voeg.
x
2
-
2
x
-
1
=
0
x
2
-
2
x
-
1
+
2
=
0
+
2
x
2
-
2
x
+
1
=
2
(
x
-
1
)
2
=
2
(
x
-
1
)
2
-
2
=
0
x
2
-
2
x
-
1
=
0
x
2
-
2
x
-
1
+
2
=
0
+
2
x
2
-
2
x
+
1
=
2
(
x
-
1
)
2
=
2
(
x
-
1
)
2
-
2
=
0
(5)Ons weet dat:
2
=
(
2
)
2
2
=
(
2
)
2
(6)wat beteken dat:
(
x
-
1
)
2
-
2
(
x
-
1
)
2
-
2
(7)is 'n verskil van vierkante.
Ons kan dus skryf:
(
x
-
1
)
2
-
2
=
[
(
x
-
1
)
-
2
]
[
(
x
-
1
)
+
2
]
=
0
.
(
x
-
1
)
2
-
2
=
[
(
x
-
1
)
-
2
]
[
(
x
-
1
)
+
2
]
=
0
.
(8)Die oplossing vir x2-2x-1=0x2-2x-1=0 is dus:
(
x
-
1
)
-
2
=
0
(
x
-
1
)
-
2
=
0
(9)of
(
x
-
1
)
+
2
=
0
.
(
x
-
1
)
+
2
=
0
.
(10)Dit beteken x=1+2x=1+2 of x=1-2x=1-2.
Hierdie voorbeeld toon die gebruik van kwadraatsvoltooiing om 'n kwadratiese vergelyking op te los.
- Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0. bv. x2+2x-3=0x2+2x-3=0
- Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking. Bv. x2+2x=3x2+2x=3
- Indien nodig stel die koëffisiënt van x2x2 = 1, deur te deel deur die bestaande koëffisiënt.
- Neem die helfte van die koëffisiënt van die xx-term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking. Bv. in x2+2x=3x2+2x=3, die helfte van die koëffisiënt van die xx-term is 1 en 12=112=1. Daarom voeg ons 1 aan albei kante by om x2+2x+1=3+1x2+2x+1=3+1 te kry.
- Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant: (x+1)2-4=0(x+1)2-4=0
- Jy moet dan in staat wees om die vergelyking in terme van die verskil in vierkante te faktoriseer en dan vir xx op te los: (x+1-2)(x+1+2)=0(x+1-2)(x+1+2)=0
Los op:
x
2
-
10
x
-
11
=
0
x
2
-
10
x
-
11
=
0
(11)deur kwadraatsvoltooiing.
- Stap 1. Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
x
2
-
10
x
-
11
=
0
x
2
-
10
x
-
11
=
0
(12) - Stap 2. Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking:
x
2
-
10
x
=
11
x
2
-
10
x
=
11
(13) - Stap 3. Kyk dat die koëffisiënt van die term x2x2 1 is:
Die koëffisiënt van die term x2x2 is 1.
- Stap 4. Neem die helfte van die koëffisiënt van die xx-term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking:
Die koëffisiënt van die term xx is -10. Helfte van die koëffisiënt van die term xx sal wees (-10)2=-5(-10)2=-5 en die kwadraat sal wees
(-5)2=25(-5)2=25. Dus:
x
2
-
10
x
+
25
=
11
+
25
x
2
-
10
x
+
25
=
11
+
25
(14) - Stap 5. Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant:
(
x
-
5
)
2
-
36
=
0
(
x
-
5
)
2
-
36
=
0
(15) - Stap 6. Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante:
(
x
-
5
)
2
-
36
=
0
(
x
-
5
)
2
-
36
=
0
(16)
[
(
x
-
5
)
+
6
]
[
(
x
-
5
)
-
6
]
=
0
[
(
x
-
5
)
+
6
]
[
(
x
-
5
)
-
6
]
=
0
(17) - Stap 7. Los die onbekende waarde op:
[
x
+
1
]
[
x
-
11
]
=
0
∴
x
=
-
1
of
x
=
11
[
x
+
1
]
[
x
-
11
]
=
0
∴
x
=
-
1
of
x
=
11
(18)
Los op:
2
x
2
-
8
x
-
16
=
0
2
x
2
-
8
x
-
16
=
0
(19)deur kwadraatsvoltooiing.
- Stap 1. Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
2
x
2
-
8
x
-
16
=
0
2
x
2
-
8
x
-
16
=
0
(20) - Stap 2. Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking:
2
x
2
-
8
x
=
16
2
x
2
-
8
x
=
16
(21) - Stap 3. Kyk dat die koëffisiënt van die term x2x2 1 is. :
Die koëffisiënt van die term x2x2 is 2. Deel dus beide kante deur 2:
x
2
-
4
x
=
8
x
2
-
4
x
=
8
(22) - Stap 4. Neem die helfte van die koëffisiënt van die xx-term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking :
Die koëffisiënt van die term xx is -4; (-4)2=-2(-4)2=-2 en
(-2)2=4(-2)2=4. Dus:
x
2
-
4
x
+
4
=
8
+
4
x
2
-
4
x
+
4
=
8
+
4
(23) - Stap 5. Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant:
(
x
-
2
)
2
-
12
=
0
(
x
-
2
)
2
-
12
=
0
(24) - Stap 6. Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante:
[
(
x
-
2
)
+
12
]
[
(
x
-
2
)
-
12
]
=
0
[
(
x
-
2
)
+
12
]
[
(
x
-
2
)
-
12
]
=
0
(25) - Stap 7. Los die onbekende waarde op:
[
x
-
2
+
12
]
[
x
-
2
-
12
]
=
0
∴
x
=
2
-
12
or
x
=
2
+
12
[
x
-
2
+
12
]
[
x
-
2
-
12
]
=
0
∴
x
=
2
-
12
or
x
=
2
+
12
(26) - Stap 8. Die laaste drie stappe kan ook op 'n ander manier gedoen word:
Laat die linkerkant as 'n volkome vierkant geskryf
(
x
-
2
)
2
=
12
(
x
-
2
)
2
=
12
(27) - Stap 9. Kry die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking:
x
-
2
=
±
12
x
-
2
=
±
12
(28) - Stap 10. Los op vir xx :
Dus x=2-12x=2-12 of x=2+12x=2+12
Vergelyk met antwoord in stap 7.
Los die volgende vergelykings op deur kwadraatsvoltooiing:
-
x
2
+
10
x
-
2
=
0
x
2
+
10
x
-
2
=
0
-
x
2
+
4
x
+
3
=
0
x
2
+
4
x
+
3
=
0
-
x
2
+
8
x
-
5
=
0
x
2
+
8
x
-
5
=
0
-
2
x
2
+
12
x
+
4
=
0
2
x
2
+
12
x
+
4
=
0
-
x
2
+
5
x
+
9
=
0
x
2
+
5
x
+
9
=
0
-
x
2
+
16
x
+
10
=
0
x
2
+
16
x
+
10
=
0
-
3
x
2
+
6
x
-
2
=
0
3
x
2
+
6
x
-
2
=
0
-
z
2
+
8
z
-
6
=
0
z
2
+
8
z
-
6
=
0
-
2
z
2
-
11
z
=
0
2
z
2
-
11
z
=
0
-
5
+
4
z
-
z
2
=
0
5
+
4
z
-
z
2
=
0
