Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Die vind van die vergelyking

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Hoe om 'n Vergelyking te kry as sy Wortels bekend is

Ons het reeds genoem dat die wortels van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing of antwoorde is wat jy kry deur die kwadratiese vergelyking op te los. Deur terug te werk vanaf die antwoorde, sal jy 'n vergelyking kry.

Exercise 1: Kry 'n vergelyking wanneer wortels gegee is

Kry 'n vergelyking met wortels 13 en -5.

Solution

  1. Stap 1. Skryf neer as die produk van twee hakies:

    Die stap voor die oplossings gegee word sou wees:

    ( x - 13 ) ( x + 5 ) = 0 ( x - 13 ) ( x + 5 ) = 0
    (1)

    Let op dat die tekens in die hakies die teenoorgestelde is as die van die gegewe wortels.

  2. Stap 2. Verwyder hakies deur uit te vermenigvuldig:
    x 2 - 8 x - 65 = 0 x 2 - 8 x - 65 = 0
    (2)

    Daar is natuurlik ander moontlike vergelykings ook wat gekry word as elke term aan elke kant van die gelyk aan teken met 'n konstante vermenigvuldig word.

Exercise 2: Breukwortels

Kry 'n vergelyking met wortels -32-32 en 4

Solution

  1. Stap 1. Produk van twee hakies :

    Let op dat as x=-32x=-32 dan 2x+3=02x+3=0

    Daarom sal die twee hakies wees:

    ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 0 ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 0
    (3)
  2. Stap 2. Verwyder hakies :

    Die vergelyking is:

    2 x 2 - 5 x - 12 = 0 2 x 2 - 5 x - 12 = 0
    (4)

Teorie van Kwadratiese Vergelykings - Gevorderd

Hierdie afdeling is nie in die leerplan nie, maar dit gee mens 'n goeie begrip van party van die oplossings van die kwadratiese vergelykings.

Wat is die Diskriminant van 'n Kwadratiese Vergelyking?

Beskou 'n algemene kwadratiese funksie in die form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. Die diskriminant word gedefinieer as:

Δ = b 2 - 4 a c . Δ = b 2 - 4 a c .
(5)

Hierdie is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die formule vir die wortels van die funksie. Ons het reeds gesien dat of die wortels bestaan ​​of nie daarvan afhang of die faktor ΔΔ negatief of positief is nie.

Die Aard van die Wortels

Real Roots (Δ0Δ0)

Beskou Δ0Δ0 vir 'n kwadratiese funksie in die vorm f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. In hierdie geval is daar oplossing vir die vergelyking f(x)=0f(x)=0 gegee deur die formule

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - b ± Δ 2 a x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - b ± Δ 2 a
(6)

As die uitdrukking onder die vierkantswortel nie-negatief is, dan bestaan die vierkantswortel. Hierdie is die wortels van die funksie f(x)f(x).

Die verskillende moontlikhede word opgesom in die figuur hieronder.

Figuur 1
Figuur 1 (MG11C7_001.png)

Gelyke Wortels (Δ=0Δ=0)

As Δ=0Δ=0, dan is die wortels gelyk, en vanaf die formule word dit gegee deur

x = - b 2 a x = - b 2 a
(7)
Ongelyke Wortels (Δ>0Δ>0)

Daar sal 2 ongelyke wortels wees as Δ>0Δ>0. Die wortels van f(x)f(x) is rationaal as ΔΔ 'n volmaakte vierkant ('n getal wat die vierkant van 'n rasionale getal is) is. Die rede is dat in hierdie geval ΔΔ rasionaal is. Anders, as ΔΔ nie 'n volmaakte vierkant is nie, dan is the wortels irrasionaal.

Imaginêre Wortels (Δ<0Δ<0)

As Δ<0Δ<0, dan bevat die oplossing van f(x)=ax2+bx+c=0f(x)=ax2+bx+c=0 die vierkantswortels van 'n negatiewe getal en daarom is daar geen reële oplossings nie. Ons sê daarom dat die wortels van f(x)f(x) imaginêr is (die grafiek van die funksie f(x)f(x) sny nie die xx-as nie).

Figuur 2
Khan academy video on quadratics - 4

Teorie van Kwadrate - gevorderde oefeninge
Vanaf ou vraestelle
  1. [IEB, Nov. 2001, HG] Gegee: x2+bx-2+k(x2+3x+2)=0(k-1)x2+bx-2+k(x2+3x+2)=0(k-1)
    1. Wys dat die diskriminant gegee word deur
      Δ=k2+6bk+b2+8Δ=k2+6bk+b2+8
      (8)
    2. As b=0b=0, bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.
    3. As b=2b=2, kry die waarde(s) van kk waarvoor die wortels gelyk is.
  2. [IEB, Nov. 2002, HG] Wys dat k2x2+2=kx-x2k2x2+2=kx-x2 nie-reële wortels het vir alle reele waardes van kk.
  3. [IEB, Nov. 2003, HG] Die vergelyking x2+12x=3kx2+2x2+12x=3kx2+2 het reële wortels.
    1. Kry die grootste heeltallige waarde van kk.
    2. Kry een rasionale waarde van kk waarvoor die bostaande vergelyking rasionale wortels het.
  4. [IEB, Nov. 2003, HG] In die kwadratiese vergelyking px2+qx+r=0px2+qx+r=0 is pp, qq en rr positiewe reële getalle en vorm 'n meetkundige ry. Bespreek die aard van die wortels.
  5. [IEB, Nov. 2004, HG] Beskou die vergelyking
    k=x2-42x-5 met x52k=x2-42x-5 met x52
    (9)
    1. Kry 'n waarde van kk waarvoor die wortels gelyk is.
    2. Kry 'n heelgetal kk waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk is.
  6. [IEB, Nov. 2005, HG]
    1. Bewys dat die wortels van die vergelyking x2-(a+b)x+ab-p2=0x2-(a+b)x+ab-p2=0 reëel is vir alle reële waardes van aa, bb en pp.
    2. Wanneer sal die wortels van die vergelyking gelyk wees?
  7. [IEB, Nov. 2005, HG] As bb en cc slegs die waardes 1, 2 of 3 kan aanneem, bepaal alle pare (b;cb;c) sodat x2+bx+c=0x2+bx+c=0 reële wortels het.

Hoofstukoefeninge

  1. Los op: x2-x-1=0x2-x-1=0 (Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)
  2. Los op: 16(x+1)=x2(x+1)16(x+1)=x2(x+1)
  3. Los op: y2+3+12y2+3=7y2+3+12y2+3=7 (Wenk: Stel y2+3=ky2+3=k. Los eerste vir kk op and gebruik die antwoord om yy op te los.)
  4. Los op vir xx: 2x4-5x2-12=02x4-5x2-12=0
  5. Los op vir xx:
    1. x(x-9)+14=0x(x-9)+14=0
    2. x2-x=3x2-x=3 (Wys jou antwoord korrek tot EEN desimale plek.)
    3. x+2=6xx+2=6x (korrek tot twee desimale plekke)
    4. 1x+1+2xx-1=11x+1+2xx-1=1
  6. Los op vir xx deur kwadraatsvoltooiing: x2-px-4=0x2-px-4=0
  7. Die vergelyking ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 het wortelsx=23x=23 en x=-4x=-4. Kry een stel moontlike waardes vir aa, bb en cc.
  8. Die twee wortels van die vergelyking 4x2+px-9=04x2+px-9=0 verskil met 5. Bereken die waarde van pp.
  9. 'n Vergelyking van die vorm x2+bx+c=0x2+bx+c=0 word geskryf op die bord. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout in die konstante term en kry die oplossings -4 en 2. Sven het 'n fout in die koëffisiënt van xx en kry die oplossings 1 en -15. Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord was.
  10. Bjorn kom in 'n oorsese handboek af op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 op te los.
    x=2c-b±b2-4acx=2c-b±b2-4ac
    (10)
    1. Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los:
      2x2+x-3=02x2+x-3=0
      (11)
    2. Los die vergelyking weer op, die keer deur faktorisering, om te sien of die formule werk vir hierdie vergelyking.
    3. Bjorn probeer om hierdie formule af te lei om te bewys dat dit altyd werk, maar sit na 'n paar stappe vas. Hieronder is sy poging:
      ax2+bx+c = 0 a+bx+cx2 = 0 Deel deurx2 waar x?0 cx2+bx+a = 0 Herrangskik 1x2+bcx+ac = 0 Deel deur c waar c?0 1x2+bcx = -ac Trek ac af van beide kante ?1x2+bcx+ ... Sit vasax2+bx+c = 0 a+bx+cx2 = 0 Deel deurx2 waar x?0 cx2+bx+a = 0 Herrangskik 1x2+bcx+ac = 0 Deel deur c waar c?0 1x2+bcx = -ac Trek ac af van beide kante ?1x2+bcx+ ... Sit vas
      (12)
      Voltooi sy afleiding.

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks