Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Statistiek: Standaardafwyking en variansie

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

Hierdie hoofstuk gee jou die geleentheid om te bou op wat jy in die vorige grade geleer het oor data hantering en waarskynlikheid. Die werk sal meestal prakties van aard wees. Deur probleemoplossing en aktiwiteite, sal jy die tegnieke van saamstel, organiseer, vertoon en analisering van data bemeester. Jy sal ook leer hoe om data te interpreteer en om die data krities te kan beoordeel en nie op sigwaarde te beoordeel nie. Dit is belangrik, aangesien data somtyds wangebruik en misbruik word om verkeerdelik standpunte te bewys of ondersteun. Mates van sentrale geneigdheid (gemiddeld, mediaan en modus) en dispersie (strekking, persentiel, kwartiel, inter-kwartiel, semi-inter-kwartiel strekking, variansie en standaard afwyking) sal ondersoek word. Natuurlik sal die meeste van julle bekend wees met die waarskynlikheidsaktiwiteite – julle het byvoorbeeld al dobbelsteenspeletjies en kaartspeletjies gespeel. Jou basiese verstaan van waarskynlikheid en kans sal verdiep word om ook te verstaan hoe dit gebruik kan word.

Standaard Afwyking en Variansie

Die mate van sentrale geneigdheid (gemiddeld, mediaan en modus) en mate van dispersie (kwartiele, persentiele, strekking) verskaf inligting van die data waardes by die middel van die datastel en verskaf inligting oor die verspreiding van die data. Die inligting van die verspreiding is egter gebaseer op data waardes by spesifieke punte in die datastel. Byvoorbeeld die eindpunte is die strekking en die datapunte wat die stel in vier ewe groot groepe opdeel gee die kwartiele. Die gedrag van die hele datastel word dus nie hiervoor beoordeel nie.

Een metode wat ‘n aanduiding te gee van die verspreiding in ‘n datastel is is om te bereken wat die verskil is tussen die datapunte en die gemiddeld. Die twee belangrike maatstawwe wat gebruik word, is die variansie en die standaard afwyking van die data stel.

Variansie

Die variansie van ‘n datastel is die gemiddeld van die kwadraat van die verskil tussen elke datapunt en die gemiddeld. ‘n voorbeeld van wat hierdie beteken word gewys in figuur 1. Die grafiek verteenwoordig die resultaat van 100 keer se skiet van ‘n muntstuk, wat op 45 kop en 55 stert uitslae uitgeloop het. Die gemiddeld van die resultaat is 50 (helfte van 100). Die kwadraat van die verskil tussen die kop waardes en die gemiddeld is (45-50)2=25(45-50)2=25 en die kwadraat van die verskil tussen die stert waardes en die gemiddeld is (55-50)2=25(55-50)2=25. Die gemiddeld van hierdie twee kwadratiese verskille gee die variansie 12(25+25)=2512(25+25)=25.

Figuur 1
Figuur 1 (MG11C18_001.png)

Populasie Variansie

Laat die populasie bestaan uit nn elemente {x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}, met gemiddeld x¯x¯ (lees as "x streep"). Die variansie van die populasie, aangedui met σ2σ2, is die gemiddeld van die kwadraat van die verskil tussen elke datapunt en die gemiddeld.

σ 2 = ( ∑ ( x - x ¯ ) ) 2 n . σ 2 = ( ∑ ( x - x ¯ ) ) 2 n .
(1)

Aangesien die populasie variansie kwadreer word, is dit nie direk vergelykbaar met die gemiddeld nie, en ook nie met die datapunte nie.

Steekproef Variansie

Laat die steekproef bestaan uit die nn elemente{x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}, geneem van ‘n populasie, met gemiddeld x¯x¯. Die variansie van die steekproef, aangedui met s2s2, is die gemiddeld van die kwadraat van die afwykings van die steekproef gemiddeld:

s 2 = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n - 1 . s 2 = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n - 1 .
(2)

Aangesien die steekproef kwadreer word, is dit ook nie direk vergelykbaar met die gemiddeld en die datapunte self nie.

’n Algemene vraag op hierdie stadium is “Hoekom word die teller gekwadreer? Een aantwoord is: om ontslae te raak van die negatiewe tekens. Sommige punte gaan bo die gemiddeld wees en ander odner die gemiddeld. Dit sal teenproduktief wees om as hierdie positiewe en negateiewe verskille mekaar uitkanselleer.

Verskil tussen Populasie Variansie en Steekproef Variansie

Dit is duidelik dat daar onderskeid getref word tussen variansie σ2σ2, van ‘n hele populasie en die variansie s2s2 van ‘n steekproef van die populasie.

Wanneer daar met die hele populasie gewerk word is variansie ‘n konstante, ‘n parameter wat help om die hele populasie te beskryf. Wanneer daar met die steekproef van die populasie gewerk word varieer die variansie van steekproef tot steekproef. die steekproef variansie is slegs van belang as ‘n benadering of skatting van die populasie variansie.

Eienskappe van Variansie

Die variansie is nooit negatief nie aangesien die kwadratiese terme of nul of positief is. Die eenheid van variansie is die kwadraat van die eenheid van observasie. Byvoorbeeld, die variansie van ‘n datastel van hoogtes gemeet in sentimeters sal vierkante sentimeter wees. Dit is ‘n ongerieflike eienskap en statistici kies om eerder die vierkantswortel van die variansie gebruik, wat algemeen bekend staan as die Standaard Afwyking en gebruik word as maatstaf van verspreiding.

Standaard Afwyking

Aangesien die variansie ‘n kwadratiese hoeveelheid is kan dit nie direk vergelyk word met die data waardes en die gemiddeld nie. Dit is daarom meer sinvol om ‘n hoeveelheid te gebruik wat die vierkantswortel is die variansie. Hierdie hoeveelheid staan bekend as die standaard afwyking.

In statistiek is die standaard afwyking die mees algemene maatstaf van statistiese verspreiding. Standaard afwyking meet hoe uitgesprei die waardes in ‘n datastel is. Dit is ‘n maatstaf van die gemiddelde verskil tussen die waardes in ‘n datastel en die gemiddeld van die datastel. Indien die waarders soortgelyk (naby aan mekaar) is sal die standaard afwyking laag wees (nader aan nul wees). Indien die waardes beduidend verskillend (verder van mekaar) is sal die standaard afwyking hoog wees (verder van nul).

Die standaard afwyking is altyd positief en word in die selfde eenheid gemeet as die oorspronklike data. Byvoorbeeld, indien die data in meters gemeet is, sal die standaard afwyking ook in meters gemeet wees.

Populasie Standaard Afwyking

Laat die populasie bestaan uit nn elemente {x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}, met gemiddeld x¯x¯. Due standaard afwyking van die populasie, aangedui met σσ, is die vierkantswortel van die gemiddeld van die kwadraat van die verskil tussen elke data punt en die gemiddeld.

σ = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n σ = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n
(3)

Steekproef Standaard Afwyking

Laat die steekproef bestaan uit nn elemente {x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}, geneem van ‘n populasie met gemiddeld x¯x¯. Die standaard afwyking van die steekproef, aangedui met ss, is die vierkantswortel van die gemiddeld van die kwadraat van die afwykings van die steekproef gemiddeld:

s = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n - 1 s = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n - 1
(4)

Dit is gewoonlik nuttig om die data in ‘n tabel te plaas om sodoende die formules maklik te gebruil. Om byvoorbeeld die standaard afwyking te bereken van {57;53;58;65;48;50;66;51}{57;53;58;65;48;50;66;51}, kan jy dit op die volgende manier voorstel:

x ¯ = som van die elemente hoeveelheid elemente = ∑ x n = 448 8 = 56 x ¯ = som van die elemente hoeveelheid elemente = ∑ x n = 448 8 = 56
(5)

Note: Om die afwykings te kry, trek elke getal ad van die gemiddeld.

Tabel 1
X ¯ X ¯ Afwyking (X-X¯)(X-X¯) Afwyking kwadraat (X-X¯)2(X-X¯)2
57 1 1
53 -3 9
58 2 4
65 9 81
48 -8 64
50 -6 36
66 10 100
51 -5 25
∑ X = 448 ∑ X = 448 ∑ x = 0 ∑ x = 0 ∑ ( X - X ¯ ) 2 = 320 ∑ ( X - X ¯ ) 2 = 320

Note: Die som van die afwykings van om die gemiddeld is nul. Dit sal altyd die geval wees dat (X-X¯)=0(X-X¯)=0, vir enige datastel. Verstaan jy hoekom?

Bereken die variansie (tel die kwadratiese resultate bymekaar en deel dit deur die hoeveelheid elemente).

Variance = ∑ ( X - X ¯ ) 2 n = 320 8 = 40 Variance = ∑ ( X - X ¯ ) 2 n = 320 8 = 40
(6)
Standaard Afwyking = variance = ∑ ( X - X ¯ ) 2 n = 320 8 = 40 = 6 . 32 Standaard Afwyking = variance = ∑ ( X - X ¯ ) 2 n = 320 8 = 40 = 6 . 32
(7)

Die verskil tussen Populasie Variansie en Steekproef Variansie

Soos met variansie, tref ons onderskeid tussen standaard afwyking σσ, van ‘n hele populasie en standaard afwyking, ss, van ‘n steekproef onttrek vanuit die hele populasie.

Wanneer ons met die hele populasie werk is die (populasie) standaard afwyking ‘n konstante wat help om die populasie te beskryf. Wanneer ons met ‘n steekproef van die populasie werk verskil die (steekproef) standaard afwyking van steekproef tot steekproef.

Met ander woorde: Die standaard afwyking kan as volg bereken word:

  1. Bereken die gemiddelde waarde x¯x¯.
  2. Vir elke data waarde xixi bereken die verskil xi-x¯xi-x¯ tussen xixi en die gemiddelde waarde x¯x¯.
  3. Bereken die kwadraat van hierdie verskille.
  4. Vind die gemiddeld van die kwadratiese verskille. Hierdie hoeveelheid is die variansie, σ2σ2.
  5. Neem die vierkantswortel van die variansie om die standaard afwyking te verkry., σσ.

Figuur 2
Khan academy video on standard deviation

Exercise 1: Variansie and Standaard Afwyking

Wat is die variansie en standaard afwyking van die populasie van die moontlikehede wat met ‘n regverdige dobbelsteen assosieer word?

Solution
  1. Stap 1. Bepaal hoeveel uitkomste die populasie opmaak. :

    Wanneer die regverdige dobbelsteen gerol word, bestaan die daar 6 moontlike uitkomstes. Die datastel is daarom x={1,2,3,4,5,6}x={1,2,3,4,5,6}. en n=6.

  2. Stap 2. Bereken die populasie gemiddeld :

    Die populasie gemiddeld word bereken deur:

    x ¯ = 1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3 , 5 x ¯ = 1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3 , 5
    (8)
  3. Stap 3. Bereken die populasie variansie :

    Die populasie variansie word bereken deur:

    σ 2 = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n = 1 6 ( 6 , 25 + 2 , 25 + 0 , 25 + 0 , 25 + 2 , 25 + 6 , 25 ) = 2 , 917 σ 2 = ∑ ( x - x ¯ ) 2 n = 1 6 ( 6 , 25 + 2 , 25 + 0 , 25 + 0 , 25 + 2 , 25 + 6 , 25 ) = 2 , 917
    (9)
  4. Stap 4. Alternatiewelik kan die populasie variansie berken word deur: :
    Tabel 2
    X ¯ X ¯ ( X - X ¯ ) ( X - X ¯ ) ( X - X ¯ ) 2 ( X - X ¯ ) 2
    1 -2.5 6.25
    2 -1.5 2.25
    3 -0.5 0.25
    4 0.5 0.25
    5 1.5 2.25
    6 2.5 6.25
    ∑ X = 21 ∑ X = 21 ∑ x = 0 ∑ x = 0 ∑ ( X - X ¯ ) 2 = 17 . 5 ∑ ( X - X ¯ ) 2 = 17 . 5
  5. Stap 5. Bereken die standaard afwyking :

    Die (populasie) standaard afwyking word bereken deur:

    σ = 2 , 917 = 1 , 708 . σ = 2 , 917 = 1 , 708 .
    (10)

    Let op hoe hierdie standaard afwyking êrens tussen die moontlike afwykings lê.

Interpretasie en Toepassings

’n Groot standaard afwykingdui aan dat die waardes in die datastel ver is van die gemiddeld en ‘n klein standaard afwyking dui aan hulle gegroepeer is naby aan die gemiddeld.

Byvoorbeeld,elk van die drie steekproewe (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14), en (6, 6, 8, 8) het afsonderlik ‘n gemiddeld van 7. Die standaard afwykings is afsonderlik 8.08, 5.77 en 1.15. Die derde stel het ‘n veel kleiner standaard afwyking as die ander twee omdat die elemente nader aan 7 is. Die waarde van die standaard afwyking kan slegs evalueer word as groot of klein relatief tot die steekproef wat geneem word. In hierdie geval, is ‘n standaard afwyking van 7 taamlik groot. Gegewe ‘n ander steekproef, relatief klein gewees het.

Standaard afwyking kan gesien word as die mate van onsekerheid. In die Wetenskap byvoorbeeld, sal dia standaard afwyking van die resultate van ‘n herhaalde eksperiment aandui hoe presies die metings was. Wanneer daar besluit word of metings ooreenstem met ‘n teoretiese voorspelling, is die standaard afwyking van uiterste belang: Indien die gemiddeld van die meetings te ver weg is van die voorspelling (met “afstand” gemeet in standaard afwykings), is die metings teenstrydig met die voorspelling. Dit maak sin omdat hulle buite die strekking van waardes val wat redelik verwag kan word indien die voorspelling korrek was, en die standaard afwyking ooreenstemmend bereken is. (Kyk ook na voorspellingsinterval.)

Verhouding tussen Standaard Afwyking en die Gemiddeld

Die gemiddeld en die standaard afwyking van ‘n datastel word gewoonlik saam gegee. In ‘n sekere sin, is die standaard afwyking ‘n “natuurlike” maatstaf van statistiese dispersie indien die middel van die data stel om die gemiddeld gemeet word.

Gemiddeld en standaard afwykings

  1. Bridget het ‘n opname gemaak van die prys van petrol by vulstasies in Kaapstad en Durban. Die rou data, in rand per liter word hier onder gegee:
    Tabel 3
    Kaapstad 8,968,769,008,918,698,72
    Durban8,978,818,529,088,888,68
    1. Vind die data gemiddelde prys in elke stad en bepaal dan watter een het die laagste gemiddeld.
    2. Neem aan dat die data die hele populasie is. Vind die standaard afwyking vir die pryse in elke stad.
    3. Neem aan die data is ‘n steekproef en vind die standaard afwyking vir die pryse in elke stad.
    4. Watter stad het meer konsekwente pryse vir petrol?
  2. Die volgende data verteenwoordig die sakgeld vir ‘n steekproef van tieners. 150; 300; 250; 270; 130; 80; 700; 500; 200; 220; 110; 320; 420; 140. Wat is die standaard afwyking?
  3. Gestel ‘n datastel gee die gewig van 50 katte by ‘n skou.
    1. Wanneer word die data gesien as ‘n populasie?
    2. Wanneer word die data gesien as ‘n steekproef?
  4. Gestel ‘n datastel gee die resultate van 20 studente in ‘n klas.
    1. Wanneer word die data gesien as ‘n populasie?
    2. Wanneer word die data gesien as ‘n steekproef?

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks