# Connexions

You are here: Home » Content » Trigonometrie: Trig identiteite (Graad 11)

### Lenses

What is a lens?

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

#### Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• FETWisk

This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
By: Siyavula

Review Status: Approved

Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

### Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

### Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

# Trigonometrie: Trig identiteite (Graad 11)

## Trigonometriese Identiteite

### Afleiding van Waardes vir Trigonometriese Funksies vir : 30∘30∘, 45∘45∘ and 60∘60∘

Hou in gedagte dat die trigonometriese funksies slegs van toepassing is op reghoekige driehoeke. Dus kan ons waardes aflei vir trigonometriese funksies vir 3030, 4545 en 6060. Ons sal begin met 4545 omdat dit die maklikste is

Neem enige reghoekige driehoek met een hoek 4545. Dus omdat een hoek gelyk is aan 9090, moet die derde hoek ook gelyk wees aan 4545. Ons het dus 'n gelyksydige reghoekige driehoek soos aan gedui in figuur 1.

As die twee sye gelyk is in lengte aan aa, dan kan die skuinssy hh, soos volg bereken word:

h 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 h = 2 a h 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 h = 2 a
(1)

Dus het ons:

sin ( 45 ) = teenoorstaande ( 45 ) skuinssy = a 2 a = 1 2 sin ( 45 ) = teenoorstaande ( 45 ) skuinssy = a 2 a = 1 2
(2)
cos ( 45 ) = aanliggende ( 45 ) skuinssy = a 2 a = 1 2 cos ( 45 ) = aanliggende ( 45 ) skuinssy = a 2 a = 1 2
(3)
tan ( 45 ) = teenoorstaande ( 45 ) aanliggende ( 45 ) = a a = 1 tan ( 45 ) = teenoorstaande ( 45 ) aanliggende ( 45 ) = a a = 1
(4)

Ons kan iets soortgelyks probeer vir 3030 en 6060. Ons begin met 'n gelyksydige driehoek en halveer een hoek soos aangedui in figuur 2. Dit gee ons die verlangde reghoekige driehoek met een hoek gelyk aan 3030 en een hoek gelyk aan 6060.

As die gelyke sye se lengte gelyk is aan aa, dan is die basis gelyk aan 12a12a en die lengte van die vertikale sy vv kan dan soos volg bereken word:

v 2 = a 2 - ( 1 2 a ) 2 = a 2 - 1 4 a 2 = 3 4 a 2 v = 3 2 a v 2 = a 2 - ( 1 2 a ) 2 = a 2 - 1 4 a 2 = 3 4 a 2 v = 3 2 a
(5)

Dus het ons:

sin ( 30 ) = teenoorstaande ( 30 ) skuinssy = a 2 a = 1 2 sin ( 30 ) = teenoorstaande ( 30 ) skuinssy = a 2 a = 1 2
(6)
cos ( 30 ) = aanliggende ( 30 ) skuinssy = 3 2 a a = 3 2 cos ( 30 ) = aanliggende ( 30 ) skuinssy = 3 2 a a = 3 2
(7)
tan ( 30 ) = teenoorstaande ( 30 ) aanliggende ( 30 ) = a 2 3 2 a = 1 3 tan ( 30 ) = teenoorstaande ( 30 ) aanliggende ( 30 ) = a 2 3 2 a = 1 3
(8)
sin ( 60 ) = teenoorstaande ( 60 ) skuinssy = 3 2 a a = 3 2 sin ( 60 ) = teenoorstaande ( 60 ) skuinssy = 3 2 a a = 3 2
(9)
cos ( 60 ) = aanliggende ( 60 ) skuinssy = a 2 a = 1 2 cos ( 60 ) = aanliggende ( 60 ) skuinssy = a 2 a = 1 2
(10)
tan ( 60 ) = teenoorstaande ( 60 ) aanliggende ( 60 ) = 3 2 a a 2 = 3 tan ( 60 ) = teenoorstaande ( 60 ) aanliggende ( 60 ) = 3 2 a a 2 = 3
(11)

Jy hoef nie hierdie identiteite te memoriseer nie as jy weet hoe om hulle af te lei.

### Alternatiewe definisie vir tanθtanθ

Ons weet dat tanθtanθ soos volg gedefinieer word: tanθ= teenoorstaande aanliggende tanθ= teenoorstaande aanliggende Dit kan soos volg geskryf word:

tan θ = teenoorstaande aanliggende × skuinssy skuinssy = teenoorstaande skuinssy × skuinssy aanliggende tan θ = teenoorstaande aanliggende × skuinssy skuinssy = teenoorstaande skuinssy × skuinssy aanliggende
(12)

Maar ons weet ook dat sinθsinθ soos volg gedefinieer word: sinθ= teenoorstaande skuinssy sinθ= teenoorstaande skuinssy en dat cosθcosθ soos volg gedefinieer word: cosθ= aanliggende skuinssy cosθ= aanliggende skuinssy

Daarom kan ons dit soos volg skryf:

tan θ = teenoorstaande skuinssy × skuinssy aanliggende = sin θ × 1 cos θ = sin θ cos θ tan θ = teenoorstaande skuinssy × skuinssy aanliggende = sin θ × 1 cos θ = sin θ cos θ
(13)

tanθtanθ kan ook soos volg gedefinieer word: tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ

### 'n Trignometriese Identiteit

Een van die mees bruikbare resultate van die trigonometriese funksies is dat hulle verwant aan mekaar is. Ons het gesien dat tanθtanθ geskryf kan word in terme van sinθsinθ en cosθcosθ. Net so sal ons wys dat: sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1

Ons begin deur te kyk na ABCABC,

Ons sien dat: sinθ=ACBCsinθ=ACBC en cosθ=ABBC.cosθ=ABBC.

Volgens die stelling van Pythagoras weet ons dat: AB2+AC2=BC2.AB2+AC2=BC2.

Daarom kan ons die volgende neerskryf:

sin 2 θ + cos 2 θ = A C B C 2 + A B B C 2 = A C 2 B C 2 + A B 2 B C 2 = A C 2 + A B 2 B C 2 = B C 2 B C 2 ( volgens Pythagoras ) = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = A C B C 2 + A B B C 2 = A C 2 B C 2 + A B 2 B C 2 = A C 2 + A B 2 B C 2 = B C 2 B C 2 ( volgens Pythagoras ) = 1
(14)

#### Exercise 1: Trigonometriese Identiteite A

Vereenvoudig deur identiteite te gebruik:

1. tan 2 θ · cos 2 θ tan 2 θ · cos 2 θ
2. 1 cos 2 θ - tan 2 θ 1 cos 2 θ - tan 2 θ
##### Solution
1. Stap 1. Gebruik bekende identiteite en vervang tanθtanθ :
= tan 2 θ · cos 2 θ = sin 2 θ cos 2 θ · cos 2 θ = sin 2 θ = tan 2 θ · cos 2 θ = sin 2 θ cos 2 θ · cos 2 θ = sin 2 θ
(15)
2. Stap 2. Gebruik bekende identiteite en vervang tanθtanθ :
= 1 cos 2 θ - tan 2 θ = 1 cos 2 θ - sin 2 θ cos 2 θ = 1 - sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ cos 2 θ = 1 = 1 cos 2 θ - tan 2 θ = 1 cos 2 θ - sin 2 θ cos 2 θ = 1 - sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ cos 2 θ = 1
(16)

#### Exercise 2: Trigonometriese Identiteite B

Bewys: 1-sinxcosx=cosx1+sinx1-sinxcosx=cosx1+sinx

##### Solution
1. Stap 1. Gebruik trig identiteite :
LHS = 1 - sin x cos x = 1 - sin x cos x × 1 + sin x 1 + sin x = 1 - sin 2 x cos x ( 1 + sin x ) = cos 2 x cos x ( 1 + sin x ) = cos x 1 + sin x = RHS LHS = 1 - sin x cos x = 1 - sin x cos x × 1 + sin x 1 + sin x = 1 - sin 2 x cos x ( 1 + sin x ) = cos 2 x cos x ( 1 + sin x ) = cos x 1 + sin x = RHS
(17)

#### Trigonometriese identiteite

1. Vereenvoudig die volgende met behulp van die basiese trigonometriese identiteite:
1. cosθtanθcosθtanθ
2. cos2θ.tan2θ+tan2θ.sin2θcos2θ.tan2θ+tan2θ.sin2θ
3. 1-tan2θ.sin2θ1-tan2θ.sin2θ
4. 1-sinθ.cosθ.tanθ1-sinθ.cosθ.tanθ
5. 1-sin2θ1-sin2θ
6. 1-cos2θcos2θ-cos2θ1-cos2θcos2θ-cos2θ
2. Bewys die volgende:
1. 1+sinθcosθ=cosθ1-sinθ1+sinθcosθ=cosθ1-sinθ
2. sin2θ+(cosθ-tanθ)(cosθ+tanθ)=1-tan2θsin2θ+(cosθ-tanθ)(cosθ+tanθ)=1-tan2θ
3. (2cos2θ-1)1+1(1+tan2θ)=1-tan2θ1+tan2θ(2cos2θ-1)1+1(1+tan2θ)=1-tan2θ1+tan2θ
4. 1cosθ-cosθtan2θ1=11cosθ-cosθtan2θ1=1
5. 2sinθcosθsinθ+cosθ=sinθ+cosθ-1sinθ+cosθ2sinθcosθsinθ+cosθ=sinθ+cosθ-1sinθ+cosθ
6. cosθsinθ+tanθ·cosθ=1sinθcosθsinθ+tanθ·cosθ=1sinθ

## Content actions

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks