Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Grafieke van trigonometriese funksies

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Die Geskiedenis van Trigonometrie

Werk twee-twee of in groepe en ondersoek die geskiedenis van trigonometrie. Beskryf die verskillende stappe van die ontwikkeling en hoe verskillende kulture trigonometire gebruik om hulle lewens te verbeter.

Die werk van die volgende mense of kulture kan ondersoek word:

  1. Kulture
    1. Antieke Egiptenare
    2. Mesopotamië
    3. Antieke Indiërs van die Indusvallei
  2. Mense
    1. Lagadha (ongeveer 1350-1200 vC)
    2. Hipparchus (ongeveer 150 vC)
    3. Ptolemy (ongeveer 100)
    4. Aryabhata (ongeveer 499)
    5. Omar Khayyam (1048-1131)
    6. Bhaskara (ongeveer 1150)
    7. Nasir al-Din (13de eeu)
    8. al-Kashi en Ulugh Beg (14de eeu)
    9. Bartholemaeus Pitiscus (1595)

Grafieke van Trigonometriese Funksies

Funksies van die vorm y=sin(kθ)y=sin(kθ)

In die vergelyking, y=sin(kθ)y=sin(kθ), is kk 'n konstante en het verskillende effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van so 'n grafiek word gegee in figuur 1 vir die funksie f(θ)=sin(2θ)f(θ)=sin(2θ).

Figuur 1: Grafiek van f(θ)=sin(2θ)f(θ)=sin(2θ) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=sin(θ)g(θ)=sin(θ) (stippellyn).
Figuur 1 (MG11C17_001.png)

Funksies van die vorm y=sin(kθ)y=sin(kθ)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = sin 0 , 5 θ a ( θ ) = sin 0 , 5 θ
  2. b ( θ ) = sin 1 θ b ( θ ) = sin 1 θ
  3. c ( θ ) = sin 1 , 5 θ c ( θ ) = sin 1 , 5 θ
  4. d ( θ ) = sin 2 θ d ( θ ) = sin 2 θ
  5. e ( θ ) = sin 2 , 5 θ e ( θ ) = sin 2 , 5 θ

Gebruik jou resultate om die effek van kk af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van kk die periode of frekwensie affekteer. Let op dat in die geval van die sinus grafiek, die periode (lengte van een golf) gegee word deur 360k360k.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 1.

Tabel 1: Tabel wat die algemene vorm en posisie van grafieke van funksies in die vorm y=sin(kx)y=sin(kx) opsom. Die kurwe van y=sin(x)y=sin(x) word voorgestel deur die stippel lyn.
k > 0 k > 0 k < 0 k < 0
Figuur 2
Figuur 2 (MG11C17_002.png)
Figuur 3
Figuur 3 (MG11C17_003.png)

Definisie versameling en Waarde versameling

Vir f(θ)=sin(kθ)f(θ)=sin(kθ) is die definisieversameling {θ:θR}{θ:θR}, omdat daar geen waarde van θRθR is waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die waardeversameling van f(θ)=sin(kθ)f(θ)=sin(kθ) is {f(θ):f(θ)[-1,1]}{f(θ):f(θ)[-1,1]}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=sin(kθ)y=sin(kθ), word die nodige inligting om die afsnit met betrekking tot die yy as gegee.

Daar is baie xx-afsnitte.

Die yy-afsnit word bereken deur θ=0θ=0 te stel:

y = sin ( k θ ) y afsnit = sin ( 0 ) = 0 y = sin ( k θ ) y afsnit = sin ( 0 ) = 0
(1)

Funksies van die vorm y=cos(kθ)y=cos(kθ)

In die vergelyking y=cos(kθ)y=cos(kθ), is kk 'n konstante en het verskeie effekte op die grafiek van die funksies. Die algemene vorm van die grafiek van hierdie soort funksies word gegee in figuur 4 vir die funksie f(θ)=cos(2θ)f(θ)=cos(2θ).

Figuur 4: Grafiek van f(θ)=cos(2θ)f(θ)=cos(2θ) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=cos(θ)g(θ)=cos(θ) (stippellyn).
Figuur 4 (MG11C17_004.png)

Funksies van die vorm y=cos(kθ)y=cos(kθ)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = cos 0 , 5 θ a ( θ ) = cos 0 , 5 θ
  2. b ( θ ) = cos 1 θ b ( θ ) = cos 1 θ
  3. c ( θ ) = cos 1 , 5 θ c ( θ ) = cos 1 , 5 θ
  4. d ( θ ) = cos 2 θ d ( θ ) = cos 2 θ
  5. e ( θ ) = cos 2 , 5 θ e ( θ ) = cos 2 , 5 θ

Gebruik jou resultate om die effek van kk af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van kk affekteer die periode of frekwensie van die grafiek. Die periode van die cosinus grafiek word gegee deur 360k360k.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 2.

Tabel 2: Tabel wat die algemene vorms en posisies van grafieke van funksie in die vorm y=cos(kx)y=cos(kx) opsom. Die kurwe van y=cos(x)y=cos(x) is geplot met die stippel lyn.
k > 0 k > 0 k < 0 k < 0
Figuur 5
Figuur 5 (MG11C17_005.png)
Figuur 6
Figuur 6 (MG11C17_006.png)

Definisie versameling en Waarde versameling

Vir f(θ)=cos(kθ)f(θ)=cos(kθ), is die definisie versameling {θ:θR}{θ:θR}, omdat daar geen waarde is van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die waarde versameling van f(θ)=cos(kθ)f(θ)=cos(kθ) is {f(θ):f(θ)[-1,1]}{f(θ):f(θ)[-1,1]}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=cos(kθ)y=cos(kθ), word die metode om die afsnitte met die yy-as te bereken gegee.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = cos ( k θ ) y afsnit = cos ( 0 ) = 1 y = cos ( k θ ) y afsnit = cos ( 0 ) = 1
(2)

Funksies van die vorm y=tan(kθ)y=tan(kθ)

In die vergelyking y=tan(kθ)y=tan(kθ), is kk 'n konstante en het verskeie effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van die grafiek van die soort funksie word gewys in figuur 7 for the function f(θ)=tan(2θ)f(θ)=tan(2θ).

Figuur 7: Die grafiek van tan(2θ)tan(2θ) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=tan(θ)g(θ)=tan(θ) (stippellyn). Die asimtote word aangetoon deur die strepies lyn.
Figuur 7 (MG11C17_007.png)

Funksies van die vorm y=tan(kθ)y=tan(kθ)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = tan 0 , 5 θ a ( θ ) = tan 0 , 5 θ
  2. b ( θ ) = tan 1 θ b ( θ ) = tan 1 θ
  3. c ( θ ) = tan 1 , 5 θ c ( θ ) = tan 1 , 5 θ
  4. d ( θ ) = tan 2 θ d ( θ ) = tan 2 θ
  5. e ( θ ) = tan 2 , 5 θ e ( θ ) = tan 2 , 5 θ

Gebruik jou resultate om die effek van kk af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van kk, weereens, die periode of frekwensie van die grafiek affekteer. Soos kk vermeerder, word die grafiek meer kompak en soos kk verminder, word die grafiek meer versprei. The periode van die tan grafiek word gegee deur 180k180k.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 3.

Tabel 3: Tabel wat die algemene vorm en posisie van die grafieke van funksie in die vorm y=tan(kθ)y=tan(kθ) opsom.
k > 0 k > 0 k < 0 k < 0
Figuur 8
Figuur 8 (MG11C17_008.png)
Figuur 9
Figuur 9 (MG11C17_009.png)

Definisie versameling en Waarde versameling

Vir f(θ)=tan(kθ)f(θ)=tan(kθ) is die definisie versameling van een tak {θ:θ(-90k,90k)}{θ:θ(-90k,90k)}, omdat die funksie ongedefinieerd is vir θ=-90kθ=-90k en θ=90kθ=90k.

Die waarde versameling van f(θ)=tan(kθ)f(θ)=tan(kθ) is {f(θ):f(θ)(-,)}{f(θ):f(θ)(-,)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=tan(kθ)y=tan(kθ), word die metode om die afsnitte met die xx en yy asse te bereken gegee.

Daar is baie xx-afsnitte; elkeen is halfpad tussen die asimtote.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = tan ( k θ ) y afsnit = tan ( 0 ) = 0 y = tan ( k θ ) y afsnit = tan ( 0 ) = 0
(3)

Asimtote

Die grafiek van tankθtankθ het asimtote omdat soos kθkθ 9090 benader, benader tan(kθ)tan(kθ) oneindig. Met ander woorde, daar is geen gedefinieerde waarde van die funksie by die asimtoot waardes nie.

Funksies van die vorm y=sin(θ+p)y=sin(θ+p)

In die vergelyking, y=sin(θ+p)y=sin(θ+p) is pp 'n konstante en het verskillende effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van die grafiek van die funksies in hierdie vorm word aangetoon in figuur 10 met die funksie f(θ)=sin(θ+30)f(θ)=sin(θ+30).

Figuur 10: Grafiek van f(θ)=sin(θ+30)f(θ)=sin(θ+30) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=sin(θ)g(θ)=sin(θ) (stippellyn).
Figuur 10 (MG11C17_010.png)

Funksies van die vorm y=sin(θ+p)y=sin(θ+p)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = sin ( θ - 90 ) a ( θ ) = sin ( θ - 90 )
  2. b ( θ ) = sin ( θ - 60 ) b ( θ ) = sin ( θ - 60 )
  3. c ( θ ) = sin θ c ( θ ) = sin θ
  4. d ( θ ) = sin ( θ + 90 ) d ( θ ) = sin ( θ + 90 )
  5. e ( θ ) = sin ( θ + 180 ) e ( θ ) = sin ( θ + 180 )

Gebruik jou resultate om die effek van pp af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van pp die posisie van die grafiek op die yy-as affekteer (die yy-afsnit) en die posisie van die grafiek op die xx-as (die faseverskuiwing). Die pp waarde skuif die grafiek horisontaal. Indien pp positief is, skuif die grafiek links en indien pp negatief is, skuif die grafiek regs.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 4.

Tabel 4: Tabel wat die algemene vorm en posisie van grafieke van funkies in die vorm y=sin(θ+p)y=sin(θ+p) opsom. Die kurwe y=sin(θ)y=sin(θ) is geplot met 'n stippellyn.
p > 0 p > 0 p < 0 p < 0
Figuur 11
Figuur 11 (MG11C17_011.png)
Figuur 12
Figuur 12 (MG11C17_012.png)

Definisie versameling en Waarde versameling

Vir f(θ)=sin(θ+p)f(θ)=sin(θ+p) is die definisie versameling {θ:θR}{θ:θR}, omdat daar geen waardes van θRθR is waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die waarde versameling van f(θ)=sin(θ+p)f(θ)=sin(θ+p) is {f(θ):f(θ)[-1,1]}{f(θ):f(θ)[-1,1]}.

Afsnitte

Vir funksie van die vorm y=sin(θ+p)y=sin(θ+p), word die metode om die afsnitte met die yy as te bereken gegee.

Die yy-afsnit word bereken as volg: stel θ=0θ=0

y = sin ( θ + p ) y afsnit = sin ( 0 + p ) = sin ( p ) y = sin ( θ + p ) y afsnit = sin ( 0 + p ) = sin ( p )
(4)

Funksies van die vorm y=cos(θ+p)y=cos(θ+p)

In die vergelyking y=cos(θ+p)y=cos(θ+p), is pp 'n konstante en het verskillende effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van die grafiek van hierdie soort funksies word gegee in figuur 13 for the function f(θ)=cos(θ+30)f(θ)=cos(θ+30).

Figuur 13: Grafiek van f(θ)=cos(θ+30)f(θ)=cos(θ+30) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=cos(θ)g(θ)=cos(θ) (stippellyn).
Figuur 13 (MG11C17_013.png)

Funksies van die vorm y=cos(θ+p)y=cos(θ+p)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = cos ( θ - 90 ) a ( θ ) = cos ( θ - 90 )
  2. b ( θ ) = cos ( θ - 60 ) b ( θ ) = cos ( θ - 60 )
  3. c ( θ ) = cos θ c ( θ ) = cos θ
  4. d ( θ ) = cos ( θ + 90 ) d ( θ ) = cos ( θ + 90 )
  5. e ( θ ) = cos ( θ + 180 ) e ( θ ) = cos ( θ + 180 )

Gebruik jou resultate om die effek van pp af te lei.

Jy sal vind dat die waarde van pp affekteer die yy-afsnit en die fase skuif van die grafiek. Soos in die geval van die sinus grafiek, positiewe waardes van pp skuif die cosinus grafiek links, terwyl negatiewe pp waardes skuif die grafiek regs.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 5.

Tabel 5: Tabel wat die algemene vorm en posisie van grafieke van funksies in die vorm y=cos(θ+p)y=cos(θ+p) opsom. Die kurwe y=cosθy=cosθ is geplot met die 'n stippellyn.
p > 0 p > 0 p < 0 p < 0
Figuur 14
Figuur 14 (MG11C17_014.png)
Figuur 15
Figuur 15 (MG11C17_015.png)

Definisie versameling en Waarde versameling

Vir f(θ)=cos(θ+p)f(θ)=cos(θ+p) is die definisie versameling {θ:θR}{θ:θR}, omdat daar geen waarde is van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die waarde versameling van f(θ)=cos(θ+p)f(θ)=cos(θ+p) is {f(θ):f(θ)[-1,1]}{f(θ):f(θ)[-1,1]}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=cos(θ+p)y=cos(θ+p), word die metode om die afsnit met die yy as te kry gegee.

Die yy-afsnite word bereken as volg: stel θ=0θ=0

y = cos ( θ + p ) y afsnit = cos ( 0 + p ) = cos ( p ) y = cos ( θ + p ) y afsnit = cos ( 0 + p ) = cos ( p )
(5)

Funksies van die vorm y=tan(θ+p)y=tan(θ+p)

In die vergelyking y=tan(θ+p)y=tan(θ+p), is pp 'n konstante en het verskeie effekte op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van grafieke van funksies in die vorm word gegee in figuur 16 for the function f(θ)=tan(θ+30)f(θ)=tan(θ+30).

Figuur 16: Die grafiek van tan(θ+30)tan(θ+30) (vastelyn) en die grafiek van g(θ)=tan(θ)g(θ)=tan(θ) (stippellyn).
Figuur 16 (MG11C17_016.png)

Funksies van die vorm y=tan(θ+p)y=tan(θ+p)

Op dieselfde assestelsel, plot die volgende grafieke:

  1. a ( θ ) = tan ( θ - 90 ) a ( θ ) = tan ( θ - 90 )
  2. b ( θ ) = tan ( θ - 60 ) b ( θ ) = tan ( θ - 60 )
  3. c ( θ ) = tan θ c ( θ ) = tan θ
  4. d ( θ ) = tan ( θ + 60 ) d ( θ ) = tan ( θ + 60 )
  5. e ( θ ) = tan ( θ + 180 ) e ( θ ) = tan ( θ + 180 )

Gebruik jou resultate om die effek van pp af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van pp affekteer weereens die yy-afsnit en die fase skuif van die grafiek. Daar is 'n horisontale skuif na links indien pp positief is en na regs indien pp negatief is.

Die verskillende eienskappe word opgesom in tabel 6.

Tabel 6: Tabel wat die algemene vorm en posisie van grafieke van funksies in die vorm y=tan(θ+p)y=tan(θ+p) opsom. Die kurwe y=tan(θ)y=tan(θ) word geplot met 'n stippellyn.
k > 0 k > 0 k < 0 k < 0
Figuur 17
Figuur 17 (MG11C17_017.png)
Figuur 18
Figuur 18 (MG11C17_018.png)

Definisie versameling en Waade versameling

Vir f(θ)=tan(θ+p)f(θ)=tan(θ+p) is die definisie versameling van een tak {θ:θ(-90-p,90-p}{θ:θ(-90-p,90-p}, omdat die funksie ongedefinieerd is vir θ=-90-pθ=-90-p en θ=90-pθ=90-p.

Die waarde versameling van f(θ)=tan(θ+p)f(θ)=tan(θ+p) is {f(θ):f(θ)(-,)}{f(θ):f(θ)(-,)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=tan(θ+p)y=tan(θ+p) word die metode om die afsnitte met die yy as te bereken gegee.

Die yy-afsnit word as volg bereken: stel θ=0θ=0

y = tan ( θ + p ) y afsnit = tan ( p ) y = tan ( θ + p ) y afsnit = tan ( p )
(6)

Asimtote

Die grafiek van tan(θ+p)tan(θ+p) het asimtote, omdat soos θ+pθ+p 9090 benader, benader tan(θ+p)tan(θ+p) oneindig. Daar is dus geen gedefinieerde waarde vir die funksie by die asimtoot waardes nie.

Funksies van verskillende vorms

Gebruik jou kennis van die effekte van pp en kk teken 'n rowwe skets van die volgende funksies, sonder om 'n tabel van waardes te gebruik.

  1. y = sin 3 x y = sin 3 x
  2. y = - cos 2 x y = - cos 2 x
  3. y = tan 1 2 x y = tan 1 2 x
  4. y = sin ( x - 45 ) y = sin ( x - 45 )
  5. y = cos ( x + 45 ) y = cos ( x + 45 )
  6. y = tan ( x - 45 ) y = tan ( x - 45 )
  7. y = 2 sin 2 x y = 2 sin 2 x
  8. y = sin ( x + 30 ) + 1 y = sin ( x + 30 ) + 1

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks