Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Trigonometrie: reduksieformule (Grade 11)

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Reduksie Formule

Enige trigonometriese funksie wat se argument 90∘±θ90∘±θ, 180∘±θ180∘±θ, 270∘±θ270∘±θ is en 360∘±θ360∘±θ (dus -θ-θ) kan eenvoudig geskryf word in terme van θθ. Byvoorbeeld, jy kon opgemerk het dat die cosinus-grafiek identies is aan die sinus-grafiek behalwe vir 'n fase verskuiwing van 90∘90∘. Dit kan dus afgelei word dat sin(90∘+θ)=cosθsin(90∘+θ)=cosθ.

Funksie waardes van 180∘±θ180∘±θ

Ondersoek : Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 180∘±θ180∘±θ

  1. Funksie Waardes van (180∘-θ)(180∘-θ)
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(180∘-θ)sin(180∘-θ), cos(180∘-θ)cos(180∘-θ) en tan(180∘-θ)tan(180∘-θ).
    Figuur 1
    Figuur 1 (MG11C17_023.png)
    1. (d): Probeer om uit die resultate 'n verhouding tussen die funksie waardes van (180∘-θ)(180∘-θ) en θθ te bepaal.
  2. Funksie waardes van (180∘+θ)(180∘+θ)
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(180∘+θ)sin(180∘+θ), cos(180∘+θ)cos(180∘+θ) en tan(180∘+θ)tan(180∘+θ).
    Figuur 2
    Figuur 2 (MG11C17_024.png)

Ondersoek: Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 360∘±θ360∘±θ

  1. Funksie waardes van (360∘-θ)(360∘-θ)
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(360∘-θ)sin(360∘-θ), cos(360∘-θ)cos(360∘-θ) en tan(360∘-θ)tan(360∘-θ).
    Figuur 3
    Figuur 3 (MG11C17_025.png)

Dit is moontlik om 'n hoek groter as 360∘360∘ te hê. Die hoek voltooi een omwenteling van 360∘360∘ en dan gaan dit voort om die vereiste hoek te gee. Ons kry die volgende resultate:

sin ( 360 ∘ + θ ) = sin θ cos ( 360 ∘ + θ ) = cos θ tan ( 360 ∘ + θ ) = tan θ sin ( 360 ∘ + θ ) = sin θ cos ( 360 ∘ + θ ) = cos θ tan ( 360 ∘ + θ ) = tan θ
(1)

Neem ook kennis, dat as kk enige heelgetal is, dan is

sin ( k 360 ∘ + θ ) = sin θ cos ( k 360 ∘ + θ ) = cos θ tan ( k 360 ∘ + θ ) = tan θ sin ( k 360 ∘ + θ ) = sin θ cos ( k 360 ∘ + θ ) = cos θ tan ( k 360 ∘ + θ ) = tan θ
(2)

Exercise 1: Basiese gebruik van 'n reduksie formule

Skryf sin293∘sin293∘ as die funksie van 'n skerphoek.

Solution
  1. Stap 1. Ons let op dat 293∘=360∘-67∘293∘=360∘-67∘ dus :
    sin 293 ∘ = sin ( 360 ∘ - 67 ∘ ) = - sin 67 ∘ sin 293 ∘ = sin ( 360 ∘ - 67 ∘ ) = - sin 67 ∘
    (3)

    waar ons die feit gebruik het dat sin(360∘-θ)=-sinθsin(360∘-θ)=-sinθ. Toets, met behulp van jou sakrekenaar, dat hierdie waardes wel reg is:

    sin 293 ∘ = - 0 , 92 ⋯ - sin 67 ∘ = - 0 , 92 ⋯ sin 293 ∘ = - 0 , 92 ⋯ - sin 67 ∘ = - 0 , 92 ⋯
    (4)

Exercise 2: Meer gevorderd...

Evalueer sonder 'n sakrekenaar:

tan 2 210 ∘ - ( 1 + cos 120 ∘ ) sin 2 225 ∘ tan 2 210 ∘ - ( 1 + cos 120 ∘ ) sin 2 225 ∘
(5)
Solution
  1. Stap 1. Herskryf elke hoek as 'n skerphoek :
    tan 2 210 ∘ - ( 1 + cos 120 ∘ ) sin 2 225 ∘ = [ tan ( 180 ∘ + 30 ∘ ) ] 2 - [ 1 + cos ( 180 ∘ - 60 ∘ ) ] · [ sin ( 180 ∘ + 45 ∘ ) ] 2 = ( tan 30 ∘ ) 2 - [ 1 + ( - cos 60 ∘ ) ] · ( - sin 45 ∘ ) 2 = 1 3 2 - 1 - 1 2 · - 1 2 2 = 1 3 - 1 2 1 2 = 1 3 - 1 4 = 1 12 tan 2 210 ∘ - ( 1 + cos 120 ∘ ) sin 2 225 ∘ = [ tan ( 180 ∘ + 30 ∘ ) ] 2 - [ 1 + cos ( 180 ∘ - 60 ∘ ) ] · [ sin ( 180 ∘ + 45 ∘ ) ] 2 = ( tan 30 ∘ ) 2 - [ 1 + ( - cos 60 ∘ ) ] · ( - sin 45 ∘ ) 2 = 1 3 2 - 1 - 1 2 · - 1 2 2 = 1 3 - 1 2 1 2 = 1 3 - 1 4 = 1 12
    (6)

Reduksie Formules

  1. Skryf hierdie vergelykings as 'n funksie van slegs θθ:
    1. sin(180∘-θ)sin(180∘-θ)
    2. cos(180∘-θ)cos(180∘-θ)
    3. cos(360∘-θ)cos(360∘-θ)
    4. cos(360∘+θ)cos(360∘+θ)
    5. tan(180∘-θ)tan(180∘-θ)
    6. cos(360∘+θ)cos(360∘+θ)
  2. Skryf die volgende trig funksies as 'n funksie van' n skerphoek:
    1. sin163∘sin163∘
    2. cos327∘cos327∘
    3. tan248∘tan248∘
    4. cos213∘cos213∘
  3. Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
    1. tan150∘.sin30∘+cos330∘tan150∘.sin30∘+cos330∘
    2. tan300∘.cos120∘tan300∘.cos120∘
    3. (1-cos30∘)(1-sin210∘)(1-cos30∘)(1-sin210∘)
    4. cos780∘+sin315∘.tan420∘cos780∘+sin315∘.tan420∘
  4. Bepaal die volgende deur dit te herlei na 'n skerphoek en met behulp van spesiale hoeke. Moenie 'n sakrekenaar gebruik nie:
    1. cos300∘cos300∘
    2. sin135∘sin135∘
    3. cos150∘cos150∘
    4. tan330∘tan330∘
    5. sin120∘sin120∘
    6. tan2225∘tan2225∘
    7. cos315∘cos315∘
    8. sin2420∘sin2420∘
    9. tan405∘tan405∘
    10. cos1020∘cos1020∘
    11. tan2135∘tan2135∘
    12. 1-sin2210∘1-sin2210∘

Funksie Waardes van (-θ)(-θ)

Wanneer die argument van 'n trigonometriese funksie (-θ)(-θ) is kan 360∘360∘ by voeg sonder om die resultaat te verander. So vir sinus en kosinus het ons

sin ( - θ ) = sin ( 360 ∘ - θ ) = - sin θ sin ( - θ ) = sin ( 360 ∘ - θ ) = - sin θ
(7)
cos ( - θ ) = cos ( 360 ∘ - θ ) = cos θ cos ( - θ ) = cos ( 360 ∘ - θ ) = cos θ
(8)

Funksie Waardes van 90∘±θ90∘±θ

Ondersoek: Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 90∘±θ90∘±θ

  1. Funksie waardes van (90∘-θ)(90∘-θ)
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(90∘-θ)sin(90∘-θ), cos(90∘-θ)cos(90∘-θ) en tan(90∘-θ)tan(90∘-θ).
    Figuur 4
    Figuur 4 (MG11C17_026.png)
  2. Funksie waardes van (90∘+θ)(90∘+θ)
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(90∘+θ)sin(90∘+θ), cos(90∘+θ)cos(90∘+θ) en tan(90∘+θ)tan(90∘+θ).
    Figuur 5
    Figuur 5 (MG11C17_027.png)

Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke wat gelyk is aan 90∘90∘. Bv. 20∘20∘ en 70∘70∘ is komplimentere hoeke.

Sinus en kosinus staan ​​bekend as ko-funksies. Twee funksies word ko-funksies genoem indien f(A)=g(B)f(A)=g(B) whenever A+B=90∘A+B=90∘ (m.a.w. AA en BB is komplimentere hoeke). Die ander trig ko-funksies is secans en cosecans, en die tangens en cotangens.

Die funksie waarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksie van sy komplement (die ko-ko-reël).

Dus het ons vir sinus en kosinus as

sin ( 90 ∘ - θ ) = cos θ cos ( 90 ∘ - θ ) = sin θ sin ( 90 ∘ - θ ) = cos θ cos ( 90 ∘ - θ ) = sin θ
(9)

Exercise 3: Ko-Ko-reël

Skryf elk van die volgende in terme van 40∘40∘ deur gebruik te maak van sin(90∘-θ)=cosθsin(90∘-θ)=cosθ en cos(90∘-θ)=sinθcos(90∘-θ)=sinθ.

  1. cos 50 ∘ cos 50 ∘
  2. sin 320 ∘ sin 320 ∘
  3. cos 230 ∘ cos 230 ∘
Solution
  1. Stap 1. Ons gebruik wat ons sover geleer het: :
    1. cos 50 ∘ = cos ( 90 ∘ - 40 ∘ ) = sin 40 ∘ cos 50 ∘ = cos ( 90 ∘ - 40 ∘ ) = sin 40 ∘
    2. sin 320 ∘ = sin ( 360 ∘ - 40 ∘ ) = - sin 40 ∘ sin 320 ∘ = sin ( 360 ∘ - 40 ∘ ) = - sin 40 ∘
    3. cos 230 ∘ = cos ( 180 ∘ + 50 ∘ ) = - cos 50 ∘ = - cos ( 90 ∘ - 40 ∘ ) = - sin 40 ∘ cos 230 ∘ = cos ( 180 ∘ + 50 ∘ ) = - cos 50 ∘ = - cos ( 90 ∘ - 40 ∘ ) = - sin 40 ∘

Funksie Waardes van (θ-90∘)(θ-90∘)

sin(θ-90∘)=-cosθsin(θ-90∘)=-cosθ and cos(θ-90∘)=sinθcos(θ-90∘)=sinθ.

Hierdie resultate kan as volg bewys word:

sin ( θ - 90 ∘ ) = sin [ - ( 90 ∘ - θ ) ] = - sin ( 90 ∘ - θ ) = - cos θ sin ( θ - 90 ∘ ) = sin [ - ( 90 ∘ - θ ) ] = - sin ( 90 ∘ - θ ) = - cos θ
(10)

en so ook vir cos(θ-90∘)=sinθcos(θ-90∘)=sinθ

Opsomming

Die volgende opsomming kan gemaak word

Tabel 1
tweede kwadrant (180∘-θ)(180∘-θ) or (90∘+θ)(90∘+θ) eerste kwadrant (θ)(θ) or (90∘-θ)(90∘-θ)
sin ( 180 ∘ - θ ) = + sin θ sin ( 180 ∘ - θ ) = + sin θ alle trig funksies is positief
cos ( 180 ∘ - θ ) = - cos θ cos ( 180 ∘ - θ ) = - cos θ sin ( 360 ∘ + θ ) = sin θ sin ( 360 ∘ + θ ) = sin θ
tan ( 180 ∘ - θ ) = - tan θ tan ( 180 ∘ - θ ) = - tan θ cos ( 360 ∘ + θ ) = cos θ cos ( 360 ∘ + θ ) = cos θ
sin ( 90 ∘ + θ ) = + cos θ sin ( 90 ∘ + θ ) = + cos θ tan ( 360 ∘ + θ ) = tan θ tan ( 360 ∘ + θ ) = tan θ
cos ( 90 ∘ + θ ) = - sin θ cos ( 90 ∘ + θ ) = - sin θ sin ( 90 ∘ - θ ) = sin θ sin ( 90 ∘ - θ ) = sin θ
  cos ( 90 ∘ - θ ) = cos θ cos ( 90 ∘ - θ ) = cos θ
derde kwadrant (180∘+θ)(180∘+θ) vierde kwadrant (360∘-θ)(360∘-θ)
sin ( 180 ∘ + θ ) = - sin θ sin ( 180 ∘ + θ ) = - sin θ sin ( 360 ∘ - θ ) = - sin θ sin ( 360 ∘ - θ ) = - sin θ
cos ( 180 ∘ + θ ) = - cos θ cos ( 180 ∘ + θ ) = - cos θ cos ( 360 ∘ - θ ) = + cos θ cos ( 360 ∘ - θ ) = + cos θ
tan ( 180 ∘ + θ ) = + tan θ tan ( 180 ∘ + θ ) = + tan θ tan ( 360 ∘ - θ ) = - tan θ tan ( 360 ∘ - θ ) = - tan θ

leidraad:

  1. Hierdie reduksie formules geld vir enige hoek θθ. Vir gerief, werk ons gewoonlik met θθ asof dit 'n skerphoek is, m.a.w. 0∘<θ<90∘0∘<θ<90∘.
  2. By die bepaling van die funksie waardes van 180∘±θ180∘±θ, 360∘±θ360∘±θ and -θ-θ verander die funksies nooit.
  3. By die bepaling van die funksie waardes van 90∘±θ90∘±θ and θ-90∘θ-90∘ verander die funksies na sy ko-funksies (ko-ko-reel).

Funksie Waardes van (270∘±θ)(270∘±θ)

Hoeke in die derde en vierde kwadrante kan geskryf word as 270∘±θ270∘±θ met θθ 'n skerphoek. Soortgelyke reëls as bogenoemde is van toepassing. Ons kry

Tabel 2
derde kwadrant (270∘-θ)(270∘-θ) vierde kwadrant (270∘+θ)(270∘+θ)
sin ( 270 ∘ - θ ) = - cos θ sin ( 270 ∘ - θ ) = - cos θ sin ( 270 ∘ + θ ) = - cos θ sin ( 270 ∘ + θ ) = - cos θ
cos ( 270 ∘ - θ ) = - sin θ cos ( 270 ∘ - θ ) = - sin θ cos ( 270 ∘ + θ ) = + sin θ cos ( 270 ∘ + θ ) = + sin θ

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks