Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

Connexions

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Hiperboliese funksies en grafieke

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This collection is included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Inleiding

In graag 10 het jy verskillende grafieke se vorms bestudeer. In hierdie hoofstuk sal jy leer van grafieke van funksies.

Funksies in die Vorm y=ax+p+qy=ax+p+q

Hierdie vorm van die hiperboliese funksie is effens meer kompleks as die vorms wat in graad 10 teëgekom is.

Figuur 1: Algemene vorm en posisie van die grafiek van ‘n funksie in die vorm f(x)=ax+p+qf(x)=ax+p+q. Die asimptote word aangedui as stippellyne.
Figuur 1 (MG11C12_001.png)

Ondersoek: Funksies van die Vorm y=ax+p+qy=ax+p+q

  1. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2x+1+1a(x)=-2x+1+1
    2. b(x)=-1x+1+1b(x)=-1x+1+1
    3. c(x)=0x+1+1c(x)=0x+1+1
    4. d(x)=1x+1+1d(x)=1x+1+1
    5. e(x)=2x+1+1e(x)=2x+1+1
    Gebruik die resultate om die effek af te lei van Use your results to deduce the effect of aa.
  2. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
    1. f(x)=1x-2+1f(x)=1x-2+1
    2. g(x)=1x-1+1g(x)=1x-1+1
    3. h(x)=1x+0+1h(x)=1x+0+1
    4. j(x)=1x+1+1j(x)=1x+1+1
    5. k(x)=1x+2+1k(x)=1x+2+1
    Gebruik jou resultate om die effekte af te lei van pp.
  3. Deur die algemene metode van die bogenoemde aktiwiteite, kies jou eie waardes van aa en pp om 5 verskillende grafieke te teken van y=ax+p+qy=ax+p+q om die effekte van qq af te lei.

Jy behoort te gevind het dat die teken van aa beïnvloed of die grafiek in die eerste en derde of in die tweede en vierde kwadrant van die Cartesiese vlak is.

Jy sou ook gevind het dat die waarde vand pp beïnvloed of die xx-afsnit negatief (p>0p>0) of positief(p<0p<0) is.

Jy behoort ook te gevind het dat die waarde van qq beïnvloed of die grafiek bo diexx-as (q>0q>0) of onder die xx-as (q<0q<0) lê.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 1. Die asse van simmetrie vir elke grafiek word vertoon as ‘n stippellyn.

Tabel 1: Tabel wat die algemene vorms en posisies opsom van funksies in die vorm y=ax+p+qy=ax+p+q. Die asse van simmetrie word vertoon as stippellyne.
  p < 0 p < 0 p > 0 p > 0
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 2
Figuur 2 (MG11C12_002.png)
Figuur 3
Figuur 3 (MG11C12_003.png)
Figuur 4
Figuur 4 (MG11C12_004.png)
Figuur 5
Figuur 5 (MG11C12_005.png)
q < 0 q < 0
Figuur 6
Figuur 6 (MG11C12_006.png)
Figuur 7
Figuur 7 (MG11C12_007.png)
Figuur 8
Figuur 8 (MG11C12_008.png)
Figuur 9
Figuur 9 (MG11C12_009.png)

Gebied en Terrein

Vir y=ax+p+qy=ax+p+q, is die funksie ongedefinieerd vir x=-px=-p. Die gebied is daarom {x:x∈R,x≠-p}{x:x∈R,x≠-p}.

Ons sien dat y=ax+p+qy=ax+p+q kan herskryf word as:

y = a x + p + q y - q = a x + p As x ≠ - p dan is : ( y - q ) ( x + p ) = a x + p = a y - q y = a x + p + q y - q = a x + p As x ≠ - p dan is : ( y - q ) ( x + p ) = a x + p = a y - q
(1)

Dit wys dat die funksie ongedefinieerd is by y=qy=q. Die terrein van f(x)=ax+p+qf(x)=ax+p+q is daarom {f(x):f(x)∈R,f(x)≠q{f(x):f(x)∈R,f(x)≠q.

Byvoorbeeld, die gebied van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2 is {x:x∈R,x≠-1}{x:x∈R,x≠-1} want g(x)g(x) is ongedefinieerd by x=-1x=-1.

y = 2 x + 1 + 2 ( y - 2 ) = 2 x + 1 ( y - 2 ) ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 ) = 2 y - 2 y = 2 x + 1 + 2 ( y - 2 ) = 2 x + 1 ( y - 2 ) ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 ) = 2 y - 2
(2)

Ons kan sien dat g(x)g(x) is ongedefinieerd by y=2y=2. Daarom is die gebied {g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}{g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}.

Gebied en Terrein

  1. Bepaal die terrein van y=1x+1y=1x+1.
  2. Gegewe:f(x)=8x-8+4f(x)=8x-8+4. Write down the domain of ff.
  3. Bepaal die gebied van y=-8x+1+3y=-8x+1+3

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ax+p+qy=ax+p+q, word die afsnitte met die xx en yy assebereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

The yy-intercept is calculated as follows:

y = a x + p + q y i n t = a 0 + p + q = a p + q y = a x + p + q y i n t = a 0 + p + q = a p + q
(3)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2 word verkry deur x=0x=0 te stel, wat lewer:

y = 2 x + 1 + 2 y i n t = 2 0 + 1 + 2 = 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4 y = 2 x + 1 + 2 y i n t = 2 0 + 1 + 2 = 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4
(4)

Die xx-afsnitte word bereken deur y=0y=0 te stel as volg:

y = a x + p + q 0 = a x i n t + p + q a x i n t + p = - q a = - q ( x i n t + p ) x i n t + p = a - q x i n t = a - q - p y = a x + p + q 0 = a x i n t + p + q a x i n t + p = - q a = - q ( x i n t + p ) x i n t + p = a - q x i n t = a - q - p
(5)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2 word gegee deur x=0x=0 te stel om die volgende te kry:

y = 2 x + 1 + 2 0 = 2 x i n t + 1 + 2 - 2 = 2 x i n t + 1 - 2 ( x i n t + 1 ) = 2 x i n t + 1 = 2 - 2 x i n t = - 1 - 1 x i n t = - 2 y = 2 x + 1 + 2 0 = 2 x i n t + 1 + 2 - 2 = 2 x i n t + 1 - 2 ( x i n t + 1 ) = 2 x i n t + 1 = 2 - 2 x i n t = - 1 - 1 x i n t = - 2
(6)

Afsnitte

  1. Gegewe:h(x)=1x+4-2h(x)=1x+4-2. Bepaal die koördinate van die afsnitte van hh met die x- en y-asse.
  2. Bepaal die x-afsnit van die grafiek van y=5x+2y=5x+2. Hoekom is daar geen y-afsnit vir hierdie funksie nie?

Asimptote

Daar is twee asimptote vir funksies van die vorm y=ax+p+qy=ax+p+q. Hulle word bepaal deur die gebied en terrein te ondersoek.

Ons het gesien dat die funksie ongedefinieerd was by x=-px=-p en vir y=qy=q. Daarom is die asimptote x=-px=-p en y=qy=q.

Byvoorbeeld, die gebied van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2 is {x:x∈R,x≠-1}{x:x∈R,x≠-1} because g(x)g(x) is ongedefinieerd by x=-1x=-1. Ons sien ook dat g(x)g(x) is ongedefinieerd by y=2y=2. Daarom is die terrein {g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}{g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}.

Hieruit kan ons aflei dat die asimptote lê by x=-1x=-1 en y=2y=2.

Asimptote

  1. Gegewe:h(x)=1x+4-2h(x)=1x+4-2. Bepaal die vergelykings van die asimptote van hh.
  2. Skryf die vergelyking neer van die vertikale asimptoot van die funksie y=1x-1y=1x-1.

Teken Grafieke van die Vormf(x)=ax+p+qf(x)=ax+p+q

Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, f(x)=ax+p+qf(x)=ax+p+q, moet ons vier eienskappebepaal met berekeninge:

  1. gebied en terrein
  2. asimptote
  3. yy-afsnit
  4. xx-afsnit

Byvoorbeeld, teken die grafiek van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2. Dui die afsnitte en asimptote aan.

Ons het bepaal dat die gebied is {x:x∈R,x≠-1}{x:x∈R,x≠-1} en die terrein is {g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}{g(x):g(x)∈(-∞,2)∪(2,∞)}. Daarom is die asimptote by x=-1x=-1 en y=2y=2.

Die yy-intercept is yint=4yint=4 en die xx-afsnit is xint=-2xint=-2.

Figuur 10: Grafiek van g(x)=2x+1+2g(x)=2x+1+2.
Figuur 10 (MG11C12_010.png)

Grafieke

  1. Teken die grafiek van y=1x+2y=1x+2. Dui die horisontale asimptoot aan.
  2. Gegewe:h(x)=1x+4-2h(x)=1x+4-2. Teken die grafiek van hh en dui duidelik die asimptote en ALLE afsnitte met die asse.
  3. Teken die grafiek van y=1xy=1x en y=-8x+1+3y=-8x+1+3 op die selfdeassestelsel.
  4. Teken die grafiek van y=5x-2,5+2y=5x-2,5+2. Verduidelik jou metode.
  5. Teken die grafiek van die funksie gedefinieer deur y=8x-8+4y=8x-8+4. Dui die asimptote en die afsnitte met die asse aan.

Einde van die Hoofstuk Oefeninge

  1. Teken die grafeik van die hiperbool gedefinieer deur y=2xy=2x vir -4≤x≤4-4≤x≤4. Veronderstel die hiperbool word geskuif met 3 eenhede na regs en 1 eenheid af. Wat is die nuwe vergelyking nou?
  2. Gebaseer op die grafiek van y=1xy=1x, bepaal die vergelyking van grafiek met asimptote y=2y=2 en x=1x=1 wat deur die punt (2; 3) gaan.

Collection Navigation

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks