Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

Connexions

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Eksponensiële funksies en grafieke

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
Reuse / Edit
x

Collection:

Module:

Add to a lens
x

Add collection to:

Add module to:

Add to Favorites
x

Add collection to:

Add module to:

 

Inleiding

In Graad 10 het jy grafieke van baie verskillende vorms bestudeer . In hierdie hoofstuk sal jy 'n bietjie meer leer oor die grafieke van eksponensiële funksies.

Funksies van die Vorm y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q for b>0b>0

Hierdie vorm van die eksponensiële funksie is 'n bietjie meer kompleks dan die vorm wat in Graad 10 bestudeer was.

Figuur 1: Algemene vorm en posisie van die grafiek van 'n funksie van die vorm f(x)=ab(x+p)+qf(x)=ab(x+p)+q.
Figuur 1 (MG11C12_001.png)

Ondersoek : Funksies van die Vorm y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q

  1. Op dieselfde assestelsel met −5≤x≤3 5 x 3 en −35≤y≤35 35 y 35 steek die volgende grafieke af:
    1. f(x)=-2·2(x+1)+1f(x)=-2·2(x+1)+1
    2. g(x)=-1·2(x+1)+1g(x)=-1·2(x+1)+1
    3. h(x)=0·2(x+1)+1h(x)=0·2(x+1)+1
    4. j(x)=1·2(x+1)+1j(x)=1·2(x+1)+1
    5. k(x)=2·2(x+1)+1k(x)=2·2(x+1)+1
    Gebruik jou resultate om te verstaan ​​wat gebeur wanneer jy die waarde verander van aa. Jy sal vind dat die waarde van aa beïnvloed of die grafiek opwaarts buig (a>0a>0) of afwaarts buig (a<0a<0). Jy sal ook vind dat 'n groter waarde vanaa (wanneer aa positief is) sal die grafiek opwaarts uitrek. Maar wanneer aa negatief is, sal 'n laer waarde van aa (soos -2 in plaas van -1) die grafiek afwaarts uitrek. Ten slotte, let daarop dat wanneer a=0a=0 is die grafiek 'n eenvoudige horisontale lyn. Dit is waarom ons a≠0a≠0 stel in die oorspronklike definisies van hierdie funksies.
  2. Op dieselfde assestelsel met −3≤x≤3 3 x 3 en −5≤y≤20 5 y 20 , steek die volgende grafieke af:
    1. f(x)=1·2(x+1)-2f(x)=1·2(x+1)-2
    2. g(x)=1·2(x+1)-1g(x)=1·2(x+1)-1
    3. h(x)=1·2(x+1)+0h(x)=1·2(x+1)+0
    4. j(x)=1·2(x+1)+1j(x)=1·2(x+1)+1
    5. k(x)=1·2(x+1)+2k(x)=1·2(x+1)+2
    Gebruik jou resultate om te verstaan wat gebeur wanneer jy die waarde verander van qq. Jy sal vind dat wanneer qq toeneem, word die hele grafiek opwaarts verskuif. Wanneer qq afneem (moontlik ook negatief word), sal die grafiek afwaarts verskuif.
  3. Op dieselfde assestelsel met −5≤x≤3 5 x 3 en −35≤y≤35 35 y 35 , steek die volgende grafieke af:
    1. f(x)=-2·2(x+1)+1f(x)=-2·2(x+1)+1
    2. g(x)=-1·2(x+1)+1g(x)=-1·2(x+1)+1
    3. h(x)=0·2(x+1)+1h(x)=0·2(x+1)+1
    4. j(x)=1·2(x+1)+1j(x)=1·2(x+1)+1
    5. k(x)=2·2(x+1)+1k(x)=2·2(x+1)+1
    Gebruik u resultate om te verstaan wat gebeur wanneer jy die waarde verander van aa. Jy sal vind dat die waarde van aa beïnvloed of die grafiek opwaarts buig(a>0a>0)of afwaarts buig (a<0a<0). Jy sal ook vind dat 'n groter waarde van aa (wanneer aa positief is) sal die grafiek opwaarts uitrek.Maar wanneer aa negatief is, sal 'n laer waarde van aa (soos -2 in plaas van -1)die grafiek afwaarts uitrek. Ten slotte let ons op dat wanneer a=0a=0 is die grafiek eenvoudige 'n horisontale lyn. Dit is waarom ons a≠0a≠0 stel in die oorspronklike definisies van hierdie funksies.
  4. Na aanleiding van die algemene metode van die bogenoemde aktiwiteite, kies jou eie waardes vir aa en qq om 5 grafieke af te steek van y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q op dieselfde assestelsel (kies jou eie perke vir xx en yy sorgvuldig). Maak seker dat jy dieselfde waardes gebruik vir aa, bb en qq vir elke grafiek, en verskillende waardes vir pp. Gebruik jou resultate om te verstaan wat die uitwerking is van 'n veranderende waarde van pp.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in tabel 1.

Tabel 1: Tabel opsomming van algemene vorms en posisies van die funksies van die vorm y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q.
  p < 0 p < 0 p > 0 p > 0
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figuur 2
Figuur 2 (MG11C12_002.png)
Figuur 3
Figuur 3 (MG11C12_003.png)
Figuur 4
Figuur 4 (MG11C12_004.png)
Figuur 5
Figuur 5 (MG11C12_005.png)
q < 0 q < 0
Figuur 6
Figuur 6 (MG11C12_006.png)
Figuur 7
Figuur 7 (MG11C12_007.png)
Figuur 8
Figuur 8 (MG11C12_008.png)
Figuur 9
Figuur 9 (MG11C12_009.png)

Gebied en Terrein

Vir y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q,word die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van xx. Daarvoor is die gebied {x:x∈R}{x:x∈R}.

Die terrein van y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q is afhanklik van die teken van aa.

As a>0a>0 dan is:

b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) + q > q f ( x ) > q b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) + q > q f ( x ) > q
(1)

Daarom as a>0a>0, dan is die terrein {f(x):f(x)∈[q,∞)}{f(x):f(x)∈[q,∞)}. Met ander woorde f(x)f(x) ken enige reële getal groter as qq wees.

As a<0a<0 dan is:

b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) < 0 a · b ( x + p ) + q < q f ( x ) < q b ( x + p ) > 0 a · b ( x + p ) < 0 a · b ( x + p ) + q < q f ( x ) < q
(2)

Daarvoor as a<0a<0, dan is die terrein (-∞,q)(-∞,q), betekende dat f(x)f(x) kan enige reële getal wees kleiner as qq. Gelykerwys, kan 'n ​​mens skryf dat die terrein is {y∈R:y<q}{y∈R:y<q}.

Byvoorbeeld die gebied van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2 is {x:x∈R}{x:x∈R}. Vir die terrein,

2 x + 1 > 0 3 · 2 x + 1 > 0 3 · 2 x + 1 + 2 > 2 2 x + 1 > 0 3 · 2 x + 1 > 0 3 · 2 x + 1 + 2 > 2
(3)

Daarom is die terrein {g(x):g(x)∈[2,∞)}{g(x):g(x)∈[2,∞)}.

Gebied en Terrein

  1. Gee die gebied van y=3xy=3x.
  2. Wat is die gebied en terrein vanf(x)=2xf(x)=2x ?
  3. Bepaal die gebied en terrein van y=(1,5)x+3y=(1,5)x+3.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q, word die afsnitte met die xx- en yy-as bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word soos volg bereken:

y = a b ( x + p ) + q y i n t = a b ( 0 + p ) + q = a b p + q y = a b ( x + p ) + q y i n t = a b ( 0 + p ) + q = a b p + q
(4)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2 word verkry deur x=0x=0 te stel om te gee:

y = 3 · 2 x + 1 + 2 y i n t = 3 · 2 0 + 1 + 2 = 3 · 2 1 + 2 = 3 · 2 + 2 = 8 y = 3 · 2 x + 1 + 2 y i n t = 3 · 2 0 + 1 + 2 = 3 · 2 1 + 2 = 3 · 2 + 2 = 8
(5)

Die xx-afsnitte word bereken deur y=0y=0 te stel soos volg:

y = a b ( x + p ) + q 0 = a b ( x i n t + p ) + q a b ( x i n t + p ) = - q b ( x i n t + p ) = - q a y = a b ( x + p ) + q 0 = a b ( x i n t + p ) + q a b ( x i n t + p ) = - q b ( x i n t + p ) = - q a
(6)

Omdat b>0b>0 (dit is 'n vereiste in die oorspronklike definisie) en 'n positiewe getal verhef tot enige mag is altyd positief, sal die laaste vergelyking hierbo alleenlik 'n reële oplossing hê as of a<0a<0 of q<0q<0 (maar nie beide nie). Bykomend moet aa nie gelyk wees aan nul nie vir deling om geldig te wees. Indien hierdie voorwaardes nie bevredig word nie, sal die grafiek van die funksie van die vorm y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+q geen xx-afsnitte hê nie.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2 word gegee deur y=0y=0 te stel om te gee:

y = 3 · 2 x + 1 + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 1 + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t + 1 2 x i n t + 1 = - 2 2 y = 3 · 2 x + 1 + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 1 + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t + 1 2 x i n t + 1 = - 2 2
(7)

wat geen reële oplossing lewer nie. Daarom het die grafiek van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2 geen xx-afsnit nie. Jy sal opmerk dat omg(x)g(x) te bereken vir enige waarde van xx ,lewer altyd 'n positiewe getal, en dit beteken dat yynooit nul sal wees nie en dus sal die grafiek nooit die xx-as sny nie.

Intercepts

  1. Gee die y-afsnit van die grafiek van y=bx+2y=bx+2.
  2. Gee die x- en y-afsnitte van die grafiek vany=12(1,5)x+3-0,75y=12(1,5)x+3-0,75.

Asimptote

Funksies van die vorm y=ab(x+p)+qy=ab(x+p)+qhet altyd presies een horisontale asimptoot.

Wanneer ons die terrein van hierdie funksies ondersoek, sien ons dat ons altyd of y<qy<q of y>qy>q verkry vir alle inset waardes van xx. Daarom is die lyn y=qy=q 'n asimptoot.

Byvoorbeeld , ons het vroeër opgelet dat die terrein van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2 is (2,∞)(2,∞) omdat g(x)g(x) altyd groter as 2 is.Maar die waarde van g(x)g(x) kan baie naby 2 wees alhoewel dit nooit daaraan gelyk word nie. Byvoorbeeld, as jy g(-20)g(-20), bereken, is die waarde 2,000006 benaderd.Deur gebruik te maak van groter negatiewe waardes vanxx sal ditg(x)g(x) nog nader aan 2 bring: die waarde vang(-100)g(-100) is so na aan 2 dat die sakrekenaar nie presies genoeg die verskil kan aandui nie, en sal (foutiewelik) aan dui dat dit gelyk is aan 2 .

Hiervan lei ons af dat y=2y=2 'n asimptoot is.

Asimptote

  1. Gee die vergelyking van die asimptote van die grafiek van y=3x-2y=3x-2.
  2. Wat is die vergelyking van die horisontale asimptoot van die grafiek van y=3(0,8)x-1-3y=3(0,8)x-1-3 ?

Die skets van Grafieke van die Vorm f(x)=ab(x+p)+qf(x)=ab(x+p)+q

Om grafieke te skets van die funksies van die vorm f(x)=ab(x+p)+qf(x)=ab(x+p)+q, moet ons vier karaktereienskappe vasstel:

  1. Gebied en terrein
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2. Steek die afsnitte af.

Ons stel die gebied vas as {x:x∈R}{x:x∈R} en die terrein as {g(x):g(x)∈(2,∞)}{g(x):g(x)∈(2,∞)}.

Die yy-afsnit is yint=8yint=8 en daar is geenxx-afsnit nie.

Figuur 10: Grafiek van g(x)=3·2x+1+2g(x)=3·2x+1+2.
Figuur 10 (MG11C12_010.png)

Skets van Grafieke

  1. Teken die grafieke van die volgende op dieselfde assestel. Benoem die horisontale asimptote en y-afsnitte duidelik.
    1. y=bx+2y=bx+2
    2. y=bx+2y=bx+2
    3. y=2bxy=2bx
    4. y=2bx+2+2y=2bx+2+2
    1. Draw the graph of f(x)=3xf(x)=3x.
    2. Verduidelik waar 'n oplossing vir 3x=53x=5 van die grafiek afgelees kan word.

Einde van Hoofstuk Oefeninge

  1. Die volgende tabel van waardes het kolomme waarin die yy-waardes vir die grafiek y=axy=ax, y=ax+1y=ax+1 en y=ax+1y=ax+1gegee word. Paar 'n grafiek met 'n kolom.
    Tabel 2
    xxABC
    -27,256,252,5
    -13,52,51
    0210,4
    11,40,40,16
    21,160,160,064
  2. Die grafiek van f(x)=1+a.2xf(x)=1+a.2x (a is 'n konstante) gaan deur die oorsprong.
    1. Bepaal die waarde van aa.
    2. Bepaal die waarde vanf(-15)f(-15)jkorrek tot VYF desimale plekke.
    3. Bepaal die waarde vanxx, as P(x;0,5)P(x;0,5) op die grafiek van fflê.
    4. As die grafiek van ff 2 eenhede na regs verskuif word om die funksie hh,te gee ,skryf neer die vergelyking van hh.
  3. Die grafiek van f(x)=a.bx(a≠0)f(x)=a.bx(a≠0)het die punt P(2;144) op ff.
    1. As b=0,75b=0,75, bereken die waarde van aa.
    2. Skryf nou neer die vergelyking van ff.
    3. Bepaal, korrek tot 2 desimale plekke, die waarde van f(13)f(13).
    4. Beskryf die transformasie van die kurwe van ff na hh as h(x)=f(-x)h(x)=f(-x).

Collection Navigation

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Reuse / Edit:

Reuse or edit collection (?)

Check out and edit

If you have permission to edit this content, using the "Reuse / Edit" action will allow you to check the content out into your Personal Workspace or a shared Workgroup and then make your edits.

Derive a copy

If you don't have permission to edit the content, you can still use "Reuse / Edit" to adapt the content by creating a derived copy of it and then editing and publishing the copy.

| Reuse or edit module (?)

Check out and edit

If you have permission to edit this content, using the "Reuse / Edit" action will allow you to check the content out into your Personal Workspace or a shared Workgroup and then make your edits.

Derive a copy

If you don't have permission to edit the content, you can still use "Reuse / Edit" to adapt the content by creating a derived copy of it and then editing and publishing the copy.