Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Finansiële wiskunde: Saamgestelde rente (Graad 10)

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Finansiële wiskunde: Saamgestelde rente (Graad 10)

Module by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Saamgestelde Rente

Om die begrip van saamgestelde rente te verduidelik, word die volgende voorbeeld bespreek:

Exercise 1: Gebruik Enkelvoudige Rente om Saamgestelde Rente te verstaan

Ek deponeer R1 000 in 'n spesiale bankrekening wat enkelvoudige rente van 7% per jaar betaal. Gestel ek onttrek al die geld uit die rekening aan die einde van die eerste jaar; dan neem ek die aanvangsbedrag sowel as die rente van die eerste jaar en deponeer dit weer in dieselfde rekening aan die begin van die tweede jaar. Dan onttrek ek alles aan die einde van die tweede jaar, en deponeer alles weer aan die begin van die volgende jaar. Ek onttrek al die geld aan die einde van 3 jaar.

Solution

  1. Step 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :
    • Aanvangsbedrag, P=R1000P=R1000
    • Rentekoers per interval, i=7%i=7%
    • Aantal tydsintervalle, 1 jaar 1 jaar per keer, vir 3 jaar

    Ons moet bepaal wat die eindbedrag aan die einde van 3 jaar sal wees.

  2. Step 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak :

    Ons weet reeds dat:

    A = P ( 1 + i · n ) A = P ( 1 + i · n )
    (1)
  3. Step 3. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar :
    A = P ( 1 + i · n ) = R 1 000 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 070 A = P ( 1 + i · n ) = R 1 000 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 070
    (2)
  4. Step 4. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar :

    Aan die einde van die eerste jaar het ons al die geld onttrek en dit weer belê aan die begin van die tweede jaar. Die aanvangsbedrag vir die tweede jaar is dus R1070R1070, want dit was die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar.

    A = P ( 1 + i · n ) = R 1 070 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 144 , 90 A = P ( 1 + i · n ) = R 1 070 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 144 , 90
    (3)
  5. Step 5. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die derde jaar :

    Aan die einde van die tweede jaar het ons al die geld onttrek en dit weer belê aan die begin van die derde jaar. Die aanvangsbedrag vir die derde jaar is dus R1144,90R1144,90, want dit was die eindbedrag na die tweede jaar.

    A = P ( 1 + i · n ) = R 1 144 , 90 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 225 , 04 A = P ( 1 + i · n ) = R 1 144 , 90 ( 1 + 1 × 7 % ) = R 1 225 , 04
    (4)
  6. Step 6. Skryf die finale antwoord neer :

    Die eindbedrag op 'n belegging van R1 000, nadat al die geld aan die einde van 'n jaar onttrek is en weer belê is vir die volgende jaar vir 'n tydperk van 3 jaar teen 'n koers van 7% per jaar, is R1 225,04.

In die twee uitgewerkte voorbeelde waar enkelvoudige rente gebruik is ((Reference) and Exercise 1), het ons basies dieselfde probleem, want PP=R1 000, ii=7% per jaar en nn= 3 jaar vir albei probleme. Die verskil is dat ons in die tweede voorbeeld geëindig het met R1 225,04 wat R1 210 meer is as in die eerste voorbeeld. Wat het verander?

In die eerste voorbeeld het ek elke jaar R70 verdien - dieselfde bedrag in die eerste, tweede en derde jaar. In die tweede voorbeeld, toe ek die geld onttrek en weer belê het, het ek eintlik in die tweede jaar rente verdien op die rente (R70) van die eerste jaar. (En in die derde jaar het ek rente op rente op rente verdien!)

Hierdie voorbeeld gee 'n weergawe van wat elke dag in die wêreld gebeur en dit staan bekend as Saamgestelde Rente. Dit is die begrip wat onderliggend is aan omtrent alles wat ons doen - ons sal dit dus vervolgens goed bestudeer.

Definition 1: Saamgestelde Rente

Saamgestelde rente is die rente wat bereken word op die aanvangsbedrag en op die opgeloopte rente.

Saamgestelde rente is egter 'n swaard wat na twee kante toe sny: wonderlik as jy rente verdien op geld wat jy belê het, maar baie erger as jy rente moet betaal op geld wat jy geleen het!

Laat ons 'n formule ontwikkel vir saamgestelde rente op dieselfde manier as wat ons 'n formule ontwikkel het vir enkelvoudige rente.

Indien ons aanvangsbedrag PP is en ons het 'n rentekoers van ii per jaar, dan sal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar gelyk wees aan:

Eindbedrag na 1 jaar = P ( 1 + i ) Eindbedrag na 1 jaar = P ( 1 + i )
(5)

Dit is dieselfde as enkelvoudige rente, want dit strek net oor een tydsinterval ('n jaar in hierdie geval). As ons die geld dan onttrek en weer belê vir nog 'n jaar - soos wat ons in die uitgewerkte voorbeeld hierbo gedoen het - sal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar as volg wees:

Eindbedrag na 2 jaar = [ P ( 1 + i ) ] × ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) 2 Eindbedrag na 2 jaar = [ P ( 1 + i ) ] × ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) 2
(6)

As ons hierdie geld onttrek en weer vir nog 'n jaar belê, sal die eindbedrag wees:

Eindbedrag na 3 jaar = [ P ( 1 + i ) 2 ] × ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) 3 Eindbedrag na 3 jaar = [ P ( 1 + i ) 2 ] × ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) 3
(7)

Ons kan sien dat die eksponent van die term (1+i)(1+i) gelyk is aan die aantal tydsintervalle (jare in hierdie voorbeeld.) Dus,

Eindbedrag na n jaar = P ( 1 + i ) n Eindbedrag na n jaar = P ( 1 + i ) n
(8)

Die geheel bestaan uit kleiner dele

Dit is maklik om te bewys dat hierdie formule wel werk, selfs wanneer nn 'n breuk van 'n jaar is. Byvoorbeeld: gestel ons belê die geld vir 1 maand, dan vir 4 maande en dan vir 7 maande.

Eindsaldo na 1 maand = P ( 1 + i ) 1 12 Eindsaldo na 5 maande = Eindsaldo na 1 maand belê met 4 maande oor = [ P ( 1 + i ) 1 12 ] ( 1 + i ) 4 12 = P ( 1 + i ) 1 12 + 4 12 = P ( 1 + i ) 5 12 Eindsaldo na 12 maande = Eindsaldo na 5 maande belê met 7 maande oor = [ P ( 1 + i ) 5 12 ] ( 1 + i ) 7 12 = P ( 1 + i ) 5 12 + 7 12 = P ( 1 + i ) 12 12 = P ( 1 + i ) 1 Eindsaldo na 1 maand = P ( 1 + i ) 1 12 Eindsaldo na 5 maande = Eindsaldo na 1 maand belê met 4 maande oor = [ P ( 1 + i ) 1 12 ] ( 1 + i ) 4 12 = P ( 1 + i ) 1 12 + 4 12 = P ( 1 + i ) 5 12 Eindsaldo na 12 maande = Eindsaldo na 5 maande belê met 7 maande oor = [ P ( 1 + i ) 5 12 ] ( 1 + i ) 7 12 = P ( 1 + i ) 5 12 + 7 12 = P ( 1 + i ) 12 12 = P ( 1 + i ) 1
(9)

wat dieselfde is as om die geld vir 'n jaar te belê.

Kyk nou versigtig na die lang berekening hierbo. Dit is nie so ingewikkeld as wat dit lyk nie! Al wat ons doen is om die aanvanklike bedrag (PP) te neem en net 1 maand se rente by te voeg. Dan neem ons daardie nuwe saldo en voeg 'n verdere 4 maande se rente by. Dan neem ons die saldo na al 5 maande en voeg 7 maande se rente by. Kyk weer daarna en let op hoe maklik dit eintlik is!

Lyk die finale formule bekend? Reg - dit is dieselfde resultaat as wanneer die geld vir een volle jaar belê word. Dit is presies wat ons verwag, want:

1 maand + 4 maande + 7 maande = 12 maande, wat 'n jaar is.

Kan jy dit sien? Moenie aanbeweeg totdat jy hierdie gedeelte verstaan nie.

Die Krag van Saamgestelde Rente

Om te sien hoe belangrik "rente op rente" is, sal ons kyk na die verskil in die eindbedrae van geld wat teen enkelvoudige rente belê is en geld wat teen saamgestelde rente belê is. Beskou 'n bedrag van R10 000 wat jy vir 10 jaar moet belê en aanvaar dat jy rente kan verdien teen 9% per jaar. Wat sal die waarde van die belegging wees na 10 jaar?

Die eindbedrag indien die geld enkelvoudige rente verdien, is:

A = P ( 1 + i · n ) = R 10 000 ( 1 + 9 % × 10 ) = R 19 000 A = P ( 1 + i · n ) = R 10 000 ( 1 + 9 % × 10 ) = R 19 000
(10)

Die eindbedrag indien die geld saamgestelde rente verdien, is:

A = P ( 1 + i ) n = R 10 000 ( 1 + 9 % ) 10 = R 23 673 , 64 A = P ( 1 + i ) n = R 10 000 ( 1 + 9 % ) 10 = R 23 673 , 64
(11)

Die volgende keer wanneer iemand praat oor die “magic" van saamgestelde rente gaan jy nie net verstaan wat die persoon bedoel nie - jy gaan in staat wees om dit wiskundig te bewys!

Weereens, hou in gedagte dat dit goeie nuus en slegte nuus is. As jy rente verdien op geld wat jy belê het, sal saamgestelde rente daartoe lei dat die bedrag eksponensieel vermeerder. Maar, as jy geld geleen het, sal daardie bedrag ook eksponensieel groei.

Exercise 2: Uitneem van 'n lening

Mnr Lowe wil 'n lening van R350 000 uitneem. Hy wil in totaal nie meer as R625 000 terugbetaal aan die lening nie. Bereken vir watter tydperk hy die lening moet uitneem indien 'n rentekoers van 13% per jaar aangebied word.

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :
    • Aanvangsbedrag, P=R350000P=R350000
    • Eindbedrag, A=R625000A=R625000
    • Rentekoers per tydsinterval, i=13% per jaar i=13% per jaar

    Ons moet die tydsduur van die lening bepaal (nn).

  2. Step 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Ons weet vanuit Equation 8 dat:

    A = P ( 1 + i ) n A = P ( 1 + i ) n
    (12)

    Ons moet vir n n bepaal.

    Daarom verander ons die formule na:

    A P = ( 1 + i ) n A P = ( 1 + i ) n
    (13)

    en dan bepaal ons nn met probeer en tref.

  3. Step 3. Los die probleem op :
    A P = ( 1 + i ) n 625000 350000 = ( 1 + 0 , 13 ) n 1 , 785 . . . = ( 1 , 13 ) n Probeer n = 3 : ( 1 , 13 ) 3 = 1 , 44 . . . Probeer n = 4 : ( 1 , 13 ) 4 = 1 , 63 . . . Probeer n = 5 : ( 1 , 13 ) 5 = 1 , 84 . . . A P = ( 1 + i ) n 625000 350000 = ( 1 + 0 , 13 ) n 1 , 785 . . . = ( 1 , 13 ) n Probeer n = 3 : ( 1 , 13 ) 3 = 1 , 44 . . . Probeer n = 4 : ( 1 , 13 ) 4 = 1 , 63 . . . Probeer n = 5 : ( 1 , 13 ) 5 = 1 , 84 . . .
    (14)
  4. Step 4. Skryf die finale antwoord neer : Mnr Lowe moet die lening vir 4 jaar uitneem.

Ander Toepassings van Saamgestelde Groei

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor twee jaar in Suid-Afrika wees?

Exercise 3: Bevolkingsgroei

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor 2 jaar in Suid-Afrika wees?

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :
    • Aanvangstotaal , P=43000000P=43000000
    • Aantal tydsintervalle , n=2 jaar n=2 jaar
    • Groeikoers , i=2,5% per jaar i=2,5% per jaar

    Ons moet die eindtotaal bepaal (AA).

  2. Step 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Ons weet vanuit Equation 8 dat:

    A = P ( 1 + i ) n A = P ( 1 + i ) n
    (15)
  3. Step 3. Los die probleem op :
    A = P ( 1 + i ) n = 43 000 000 ( 1 + 0 , 025 ) 2 = 45 176 875 A = P ( 1 + i ) n = 43 000 000 ( 1 + 0 , 025 ) 2 = 45 176 875
    (16)
  4. Step 4. Skryf die finale antwoord neer :

    Daar sal oor 2 jaar 45176875-43000000=217687545176875-43000000=2176875 meer mense in Suid-Afrika wees.

Exercise 4: Saamgestelde Vermindering

'n Swembad word behandel vir die opbou van alge. Aanvanklik was 50m250m2 van die swembad bedek met alge. Met elke dag van behandeling, verminder die alge met 5%. Bepaal die grootte van die oppervlakte van die swembad wat met alge bedek is na 30 dae van behandeling.

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :
    • Aanvangsoppervlakte, P=50m2P=50m2
    • Aantal tydsintervalle , n=30 dae n=30 dae
    • Koers van vermindering, i=5% per dag i=5% per dag

    Ons moet die oppervlakte bepaal wat aan die einde bedek is (AA).

  2. Step 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Ons weet vanuit Equation 8 dat:

    A = P ( 1 + i ) n A = P ( 1 + i ) n
    (17)

    Maar ons werk met saamgestelde vermindering so ons kan die volgende formule gebruik:

    A = P ( 1 - i ) n A = P ( 1 - i ) n
    (18)
  3. Step 3. Los die probleem op :
    A = P ( 1 - i ) n = 50 ( 1 - 0 , 05 ) 30 = 10 , 73 m 2 A = P ( 1 - i ) n = 50 ( 1 - 0 , 05 ) 30 = 10 , 73 m 2
    (19)
  4. Step 4. Skryf die finale antwoord neer :

    Die grootte van die oppervlakte wat bedek is met alge na 30 dae is 10,73m210,73m2.

Saamgestelde Rente

  1. 'n Bedrag van R3 500 word belê in 'n spaarrekening wat saamgestelde rente verdien teen 7,5% per jaar. Bereken die bedrag wat opgebou is in die rekening na verloop van 2 jaar.
     Kliek hier vir die oplossing
  2. Die gemiddelde inflasiekoers vir die afgelope aantal jaar is 7,3% per jaar en jou water- en elektrisiteitsrekening is gemiddeld R1 425. Bereken wat jy kan verwag om te betaal oor 6 jaar.
     Kliek hier vir die oplossing
  3. Shrek wil geld belê teen 11% per jaar saamgestelde rente. Hoeveel geld (tot die naaste rand) moet hy belê indien hy oor 5 jaar 'n bedrag van R100 000 wil hê?
     Kliek hier vir die oplossing

Die volgende afdeling op wisselkoerse is ingesluit ter wille van volledigheid. Dit is belangrik dat jy sal weet van fluktuerende wisselkoerse en die invloed daarvan op invoere en uitvoere. Fluktuerende wisselkoerse lei tot faktore soos die verhoging in die koste van brandstof. Jy kan meer hieroor lees in Fluktuerende wisselkoerse.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks