Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Die parabool

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Funksies van die Vorm y=ax2+qy=ax2+q

Die algemene vorm en posisie van die grafiek van die funksie in die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, wat ons 'n parabool noem, word gewys in Figure 1. Hierdie is paraboliese funksies.

Figure 1: Grafiek van f(x)=x2-1f(x)=x2-1
Figure 1 (MG10C11_013.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q

  1. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. a(x)=-2.x2+1a(x)=-2.x2+1
    2. b(x)=-1.x2+1b(x)=-1.x2+1
    3. c(x)=0.x2+1c(x)=0.x2+1
    4. d(x)=1.x2+1d(x)=1.x2+1
    5. e(x)=2.x2+1e(x)=2.x2+1
    Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.
  2. Trek die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
    1. f(x)=x2-2f(x)=x2-2
    2. g(x)=x2-1g(x)=x2-1
    3. h(x)=x2+0h(x)=x2+0
    4. j(x)=x2+1j(x)=x2+1
    5. k(x)=x2+2k(x)=x2+2
    Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.

Voltooi die volgende tabel van funksiewaardes vir die funksies aa tot kk om jouself te help met die trek van die bogenoemde grafieke:

Table 1
x x - 2 - 2 - 1 - 1 0 0 1 1 2 2
a ( x ) a ( x )          
b ( x ) b ( x )          
c ( x ) c ( x )          
d ( x ) d ( x )          
e ( x ) e ( x )          
f ( x ) f ( x )          
g ( x ) g ( x )          
h ( x ) h ( x )          
j ( x ) j ( x )          
k ( x ) k ( x )          

Hierdie simulasie laat jou toe om die invloed van veranderende a- en q-waardes te visualiseer. In die simulasie is q=c. 'n Ekstra term, bx, is ook bygesit. Jy kan dit los as 0, of jy kan die kyk wat die invloed van bx op die grafiek is.

Figure 2
Phet simulasie vir die trek van grafieke

Van jou grafieke behoort jy agter te kom dat aa bepaal of die grafiek "glimlag" of "frons". Indien a<0a<0 sal die grafiek frons en indien a>0a>0 glimlag die grafiek. Dit word geïllustreer in Figure 3.

Figure 3: Kenmerkende vorms van parabole indien a>0a>0 of a<0a<0
Figure 3 (MG10C11_014.png)

Jy behoort ook te vind dat die waarde van qq beïnvloed of the draaipunt bokant die yy-as (q>0q>0)of onderkant die yy-as (q<0q<0) sal wees.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in (Reference).

Table 2: Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figure 4
Figure 4 (MG10C11_015.png)
Figure 5
Figure 5 (MG10C11_016.png)
q < 0 q < 0
Figure 6
Figure 6 (MG10C11_017.png)
Figure 7
Figure 7 (MG10C11_018.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, is die definisieversameling {x:xR}{x:xR}, omdat daar nie 'n waarde is van xRxR waarvoor f(x)f(x) ongedefinieërd is nie.

Die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q hang af of die waarde van aa positief of negatief is. Ons sal die twee gevalle afsonderlik hanteer.

Indien a>0a>0 dan het ons:

x 2 0 ( die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( vermenigvuldiging met a, 'n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q x 2 0 ( die kwadraat van 'n uitdrukking is altyd positief ) a x 2 0 ( vermenigvuldiging met a, 'n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid ) a x 2 + q q f ( x ) q
(1)

Dit sê vir ons dat vir alle waardes van xx, is f(x)f(x) altyd groter as qq. Dus indien a>0a>0, is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk aan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)}.

Soortgelyk, kan ons aantoon indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}. Dit word gelos vir 'n oefening.

Byvoorbeeld, die gebied van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 is {x:xR}{x:xR} want daar is geen waarde van xRxR waarvoor g(x)g(x) ongedefinieërd is nie. Die terrein van g(x)g(x) kan as volg bereken word:

x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2 x 2 0 x 2 + 2 2 g ( x ) 2
(2)

Dus die waardeversameling is gelyk aan {g(x):g(x)[2,)}{g(x):g(x)[2,)}.

Afsnitte

Vir die funksie van die vorm, y=ax2+qy=ax2+q, is die stappe vir die berekening van die afsnitte met die xx- en yy-as hieronder uiteengesit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q y = a x 2 + q y afsnit = a ( 0 ) 2 + q = q
(3)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word verkry deur x=0x=0 te stel, en dan:

y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a y = a x 2 + q 0 = a x afsnit 2 + q a x afsnit 2 = - q x afsnit = ± - q a
(4)

Indien q=0q=0 het ons slegs een afsnit by x=0x=0.

g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2 g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2
(5)

Maar, Equation 5 is slegs geldig as -qa0-qa0 wat beteken dat óf q0q0 óf a<0a<0. Dit stem ooreen met wat ons verwag, omdat indien q>0q>0 en a>0a>0 dan is -qa-qa negatief en in hierdie geval lê die grafiek bo die xx-as en sny dus nie die xx-as nie. Indien, q>0q>0 en a<0a<0, dan is -qa-qa positief en die grafiek is in die vorm van 'n frons en sal dan twee xx-afsnitte hê. Soorgelyk, indien q<0q<0 en a>0a>0 sal -qa-qa ook positief wees, en sal die grafiek die xx-as sny.

Indien q=0q=0 het ons slegs een afsnit by x=0x=0.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 word gegee deur y=0y=0 te stel en dan:

g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2 g ( x ) = x 2 + 2 0 = x afsnit 2 + 2 - 2 = x afsnit 2
(6)

Hierdie antwoord is nie reëel nie. Daarom het die grafiek van g(x)=x2+2g(x)=x2+2 geen xx-afsnitte nie.

Draaipunte

Die draaipunte van funksies van die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q word gegee deur na die waardeversameling van die funksie te kyk. Ons weet dat indien a>0a>0 die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk is aan {f(x):f(x)[q,)}{f(x):f(x)[q,)} en indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, gelyk aan {f(x):f(x)(-,q]}{f(x):f(x)(-,q]}.

Indien a>0a>0, is die laagste waarde wat f(x)f(x) kan wees qq. Ons los dan vir xx op by die punt f(x)=qf(x)=q:

q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0 q = a x d p 2 + q 0 = a x d p 2 0 = x d p 2 x d p = 0
(7)

x=0x=0 by f(x)=qf(x)=q. Die koördinate van die (minimum) draaipunt is dan (0,q)(0,q).

Soortgelyk, indien a<0a<0, is die hoogse waarde wat f(x)f(x) kan wees qq en die koördinate van die (maksimum) draaipunt is (0,q)(0,q).

Simmetrie-asse

Daar is een simmetrie-as vir die funksie met die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q en dit gaan deur die draaipunt. Omdat die draaipunt op die yy-as lê, is die yy-as die simmetrie-as.

Trek Grafieke van die vorm f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q

Om 'n grafiek te trek van die vorm, f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, het ons vyf eienskappe nodig:

  1. die teken van aa
  2. die definisie- en waadeversameling
  3. draaipunte
  4. yy-afsnit
  5. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, stip die grafiek van g(x)=-12x2-3g(x)=-12x2-3. Merk die afsnitte, draaipunt en die simmetrie-as.

Eerstens sien ons dat a<0a<0. Dit beteken dat die grafiek 'n maksimum draaipunt het.

Die definisieversameling van die grafiek is {x:xR}{x:xR}, omdat f(x)f(x) gedefinieërd is vir alle xRxR. Die waardeversameling van die grafiek word bepaal as volg:

x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3 x 2 0 - 1 2 x 2 0 - 1 2 x 2 - 3 - 3 f ( x ) - 3
(8)

Dus is die waardeversameling van die grafiek {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Indien ons die feit gebruik dat die maksimum waarde wat f(x)f(x) bereik -3 is, weet ons dat die yy-koördinaat van die draaipunt -3 is. Die xx-koördinaat word bepaal as volg:

- 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0 - 1 2 x 2 - 3 = - 3 - 1 2 x 2 - 3 + 3 = 0 - 1 2 x 2 = 0 Deel beide kante met - 1 2 : x 2 = 0 Neem vierkantswortel beide kante : x = 0 x = 0
(9)

Die koördinate van die draaipunt is dan: (0;-3)(0;-3).

Die yy-afsnit word bepaal deur x=0x=0 te stel:

y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3 y afsnit = - 1 2 ( 0 ) 2 - 3 = - 1 2 ( 0 ) - 3 = - 3
(10)

Die xx-afsnit word bepaal deur y=0y=0 te stel:

0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 . 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2 0 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 3 = - 1 2 x afsnit 2 - 3 . 2 = x afsnit 2 - 6 = x afsnit 2
(11)

Die oplossing van die vergelyking is nie reëel nie. Daarom is daar geen xx-afsnitte nie, wat beteken die funksie sny of raak nie die xx-as nie.

Ons weet dat die yy-as die simmetrie-as is.

Eindelik kan ons die grafiek teken. Let op dat slegs die y-afsnit gemerk is. Die grafiek het 'n maksimum draaipunt, soos vasgestel deur die teken van a. Daar is geen x-afsnitte nie en die draaipunt is gelyk aan die y-afsnit. Die definisievesameling is alle reële getalle en die waardeversameling is {f(x):f(x)(-,-3]}{f(x):f(x)(-,-3]}.

Figure 8: Grafiek van die funksie f(x)=-12x2-3f(x)=-12x2-3
Figure 8 (MG10C11_019.png)

Exercise 1: Trek van Parabole

Trek die grafiek van y=3x2+5y=3x2+5.

Solution
  1. Step 1. Bepaal die teken van aa: Die teken van aa is positief. Die parabool sal dus 'n minimumdraaipunt hê.
  2. Step 2. Vind die gebied en terrein: Die gebied is: {x:xR}{x:xR} en die terrein is: {f(x):f(x)[5,)}{f(x):f(x)[5,)}.
  3. Step 3. Vind die draaipunt: Die draaipunt is by (0,q)(0,q). Vir hierdie funksie is q=5q=5, dus die draaipunt is by (0,5)(0,5)
  4. Step 4. Bepaal die y-afsnit: By die y-afsnit is x=0x=0. Berekening van die y-afsnit gee:
    y = 3x2+5 yint = 3(0)2+5 yint = 5 y = 3x2+5 yint = 3(0)2+5 yint = 5
    (12)
  5. Step 5. Bereken die x-afsnit(te): Die x-afsnitte is waar y=0y=0. Berekening van die x-afsnitte gee:
    y = 3x2+5 0 = 3x2+5 x2 = -35 y = 3x2+5 0 = 3x2+5 x2 = -35
    (13)
    wat nie reëel is nie. Dus is daar geen x-afsnitte nie.
  6. Step 6. Trek die grafiek: Al hierdie inligting gee vir ons die volgende grafiek:
    Figure 9
    Figure 9 (parabola.png)

Die volgende video wys een manier om grafieke te trek. Let op dat die term "vertex" in die video gebruik word vir die draaipunt.

Figure 10
Khan Akademie video oor paraboolgrafieke - 1

Parabole

  1. Wys dat indien a<0a<0 is die waardeversameling van f(x)=ax2+qf(x)=ax2+q, {f(x):f(x)(-;q]}{f(x):f(x)(-;q]} is. Kliek hier vir die oplossing
  2. Trek die grafiek van die funksie y=-x2+4y=-x2+4 en toon al die afsnitte met die asse. Kliek hier vir die oplossing
  3. Twee parabole is geteken: g:y=ax2+pg:y=ax2+p en h:y=bx2+qh:y=bx2+q.
    Figure 11
    Figure 11 (MG10C11_020.png)
    1. Vind die waardes van aa en pp.
    2. Vind die waardes van bb en qq.
    3. Vind die waardes van xx waarvoor ax2+pbx2+qax2+pbx2+q.
    4. Vir watter waardes van xx is gg toenemend?
    Kliek hier vir die oplossing

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks