Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

Connexions

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Eksponensiële funksies

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Eksponensiële funksies

Module by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q is bekend as eksponensiële funksies. Die algemene vorm van ‘n funksie van hierdie tipe word gewys in Figure 1.

Figure 1: Algemene vorm en posisie van die grafiek van ‘n funksie met die vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q.
Figure 1 (MG10C11_027.png)

Ondersoek: Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q

  1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. a(x)=-2.b(x)+1a(x)=-2.b(x)+1
    2. b(x)=-1.b(x)+1b(x)=-1.b(x)+1
    3. c(x)=-0.b(x)+1c(x)=-0.b(x)+1
    4. d(x)=-1.b(x)+1d(x)=-1.b(x)+1
    5. e(x)=-2.b(x)+1e(x)=-2.b(x)+1
    Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van aa te maak.
  2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
    1. f(x)=1.b(x)-2f(x)=1.b(x)-2
    2. g(x)=1.b(x)-1g(x)=1.b(x)-1
    3. h(x)=1.b(x)+0h(x)=1.b(x)+0
    4. j(x)=1.b(x)+1j(x)=1.b(x)+1
    5. k(x)=1.b(x)+2k(x)=1.b(x)+2
    Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van qq te maak.

Jy sou gevind het dat die waarde van aa bepaal die vorm van die grafiek, dit wil sê: “Curves Upwards” – “CU” (a>0a>0) of “Curves Downwards” – “CD” (a<0a<0).

Jy sou ook gevind het die waarde van qq bepaal die posisie van die yy-afsnit.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in Table 1.

Table 1: Getabelleerde opsomming van algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q
  a > 0 a > 0 a < 0 a < 0
q > 0 q > 0
Figure 2
Figure 2 (MG10C11_028.png)
Figure 3
Figure 3 (MG10C11_029.png)
q < 0 q < 0
Figure 4
Figure 4 (MG10C11_030.png)
Figure 5
Figure 5 (MG10C11_031.png)

Definisieversameling en Waardeversameling

Vir y=ab(x)+qy=ab(x)+q, is die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van xx. Dus, die definisieversameling is {x:x∈R}{x:x∈R}.

Die waardeversameling van y=ab(x)+qy=ab(x)+q word bepaal deur die teken van aa.

As a>0a>0 dan:

b ( x ) ≥ 0 a · b ( x ) ≥ 0 a · b ( x ) + q ≥ q f ( x ) ≥ q b ( x ) ≥ 0 a · b ( x ) ≥ 0 a · b ( x ) + q ≥ q f ( x ) ≥ q
(1)

Dus, as a>0a>0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)∈[q;∞)}{f(x):f(x)∈[q;∞)}.

As a<0a<0 dan:

b ( x ) ≤ 0 a · b ( x ) ≤ 0 a · b ( x ) + q ≤ q f ( x ) ≤ q b ( x ) ≤ 0 a · b ( x ) ≤ 0 a · b ( x ) + q ≤ q f ( x ) ≤ q
(2)

Dus, as a<0a<0, dan is die waardeversameling {f(x):f(x)∈(-∞;q]}{f(x):f(x)∈(-∞;q]}.

Byvoorbeeld, die definisieversameling van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 is {x:x∈R}{x:x∈R}. Vir die waardeversameling,

2 x ≥ 0 3 · 2 x ≥ 0 3 · 2 x + 2 ≥ 2 2 x ≥ 0 3 · 2 x ≥ 0 3 · 2 x + 2 ≥ 2
(3)

Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)∈[2;∞)}{g(x):g(x)∈[2;∞)}.

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, y=ab(x)+qy=ab(x)+q, word die afsnitte met die xx en yy-as bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q y = a b ( x ) + q y i n t = a b ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q
(4)

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 word gegee deur x=0x=0 te stel, om dan te kry:

y = 3 . 2 x + 2 y i n t = 3 . 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5 y = 3 . 2 x + 2 y i n t = 3 . 2 0 + 2 = 3 + 2 = 5
(5)

Die xx-afsnitte word bereken deur y=0y=0 te stel, soos volg:

y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a y = a b ( x ) + q 0 = a b ( x i n t ) + q a b ( x i n t ) = - q b ( x i n t ) = - q a
(6)

Dit het net ‘n rëele oplossing as een van beide a<0a<0 of q<0q<0. Anders, het die grafiek van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q geen xx-afsnitte.

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 word gegee deur y=0y=0 te stel:

y = 3 · 2 x + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3 y = 3 · 2 x + 2 0 = 3 · 2 x i n t + 2 - 2 = 3 · 2 x i n t 2 x i n t = - 2 3
(7)

en dit het geen rëele oplossing nie. Dus, die grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2 het geen xx-afsnitte nie.

Asimptote

Daar is een asimptoot vir funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q. Die asimptoot kan bepaal word deur die analise van die waardeversameling.

Ons het gesien dat die terrein bepaal word deur die waarde van q. As a>0a>0, dan is die terrein {f(x):f(x)∈[q;∞)}{f(x):f(x)∈[q;∞)}.

Dit wys dat die funksiewaarde neig na die waarde van q as x→−∞ x . Dus die horisontale asimptoot lê by y=qy=q.

Sketse van Grafieke van die vorm f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q

Om grafieke te skets van funksies van die vorm, f(x)=ab(x)+qf(x)=ab(x)+q, moet ons vier eienskappe bereken:

  1. Definisieversameling en Waardeversameling
  2. yy-afsnit
  3. xx-afsnit

Byvoorbeeld, skets die grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2. Merk die afsnitte.

Ons het die definisieversameling bepaal om {x:x∈R}{x:x∈R} te wees en die waardeversameling om {g(x):g(x)∈(2,∞)}{g(x):g(x)∈(2,∞)} te wees.

Die yy-afsnit is yint=5yint=5 en daar is geen xx-afsnitte.

Figure 6: Grafiek van g(x)=3.2x+2g(x)=3.2x+2
Figure 6 (MG10C11_032.png)

Exercise 1: Trek van 'n Eksponsiële Grafiek

Trek die grafiek van y=-2.3x+5y=-2.3x+5.

Solution
  1. Step 1. Vind die gebied en die terrein: Die gebied is: {x:x∈R}{x:x∈R} en die terrein is: {f(x):f(x)∈(-∞;5]}{f(x):f(x)∈(-∞;5]}.
  2. Step 2. Bereken die asimptoot: Funksies van hierdie vorm het een asimptoot. Dit lê by y=qy=q. Dus die asimptoot van die grafiek is by y=5y=5
  3. Step 3. Bereken die y-afsnit: Ons kry die y-afsnit waar x=0x=0.
    y = -2.3x+5 y = -2.30+5 y = -2(1)+5 yint = 7 y = -2.3x+5 y = -2.30+5 y = -2(1)+5 yint = 7
    (8)
    Daar is dus een y-afsnit by (0,7)(0,7).
  4. Step 4. Bereken die x-afsnit: Die x-afsnit lê by y=0y=0. Berekening van die x-afsnit gee:
    y = -2.3x+5 0 = -2.3x+5 -5 = -2.3x 3xint = 52 xint = 0,83 y = -2.3x+5 0 = -2.3x+5 -5 = -2.3x 3xint = 52 xint = 0,83
    (9)
    Dus daar is een x-afsnit by (0,83,0)(0,83,0).
  5. Step 5. Trek die grafiek: As ons dit alles bymekaarsit, gee dit die volgende grafiek:
    Figure 7
    Figure 7 (exponent1.png)

Eksponensiele Funksies en Grafieke

  1. Skets die grafieke van y=2xy=2x en y=(12)xy=(12)x op dieselfde assestelsel.
    1. Is die xx-as die asimptoot en/of simmetrie-as in albei grafieke? Verduidelik jou antwoord.
    2. Watter grafiek word aangedui met die volgende vergelyking y=2-xy=2-x? Verduidelik jou antwoord.
    3. Los die vergelyking 2x=(12)x2x=(12)x met behulp van 'n skets op en kontroleer jou antwoord deur middel van translasie.
    4. Voorspel hoe die grafiek y=2.2xy=2.2x vergelyk met y=2xy=2xen teken vervolgens die grafiek van y=2.2xy=2.2x op dieselfde assestelsel.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Die kurwe van die eksponensiele funksie ff in die meegaande diagram sny die y-as by die punt A(0; 1). Die punt B(2; 4) is op ff.
    Figure 8
    Figure 8 (MG10C11_033.png)
    1. Bepaal die vergelyking van funksie ff.
    2. Bepaal die vergelyking van hh, die refleksie van die kurwe van ff in die xx-as.
    3. Bepaal die waardeversameling van hh.
    Kliek hier vir die oplossing

Opsomming

  • Jy behoort die volgende kenmerke van funksies te ken:
    • Afhanklike en onafhanklike veranderlikes: Die gegewe of gekose x-waarde is bekend as die onafhanklike veranderlike want die waarde van x kan vrylik gekies word. Die berekende y-waarde staan bekend as die afhanklike veranderlike aangesien die waarde van y afhang van die gekose waarde van x.
    • Gebied en terrein: Die gebied van 'n relasie is die versameling van al die x-waardes waarvoor daar ten minste een y-waarde bestaan volgens die funksievoorskrif. Die terrein is die versameling van al die y-waardes wat verkry kan word deur ten minste een van die x-waardes te gebruik.
    • Afsnitte met asse: Die afsnit is die punt waar die grafiek 'n as sny. Die x-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek die x-as sny en die y-afsnit(te) is die punt(e) waar die grafiek die y-as sny.
    • Draaipunte: Slegs vir grafieke van funksies met 'n hoogste mag van groter as 1. Daar is twee tipes draaipunte: 'n minimum draaipunt en 'n maksimum draaipunt. 'n Minimum draaipunt is 'n punt op die grafiek waar die grafiek ophou afneem in waarde en begin toeneem in waarde. 'n Maksimum draaipunt is 'n punt op die grafiek waar die grafiek ophou toeneem in waarde en begin afneem in waarde.
    • Asimptote: 'n Asimptoot is 'n reguitlyn of kurwe wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit raak nie.
    • Asse van simmetrie: 'n Lyn ten opsigte waarvan die grafiek simmetries is.
    • Intervalle waar die funksie toeneem / afneem: Die interval waar die grafiek toeneem of afneem.
    • Kontinue aard van die funksie: 'n Grafiek is kontinu as daar geen onderbreking in die grafiek is nie.
  • Versamelingnotasie: 'n versameling van sekere x-waardes het die volgende notasie: {x : voorwaardes, meer voorwaardes}
  • Interval notasie: hier skryf ons 'n interval in die vorm ’laer hakie, laer getal, kommapunt, hoër getal, hoër hakie’
  • Jy moet die volgende funksies en hulle eienskappe ken:
    • Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Dit is reguitlyne.
    • Funksies van die vorm y=ax2+qy=ax2+q. Dit staan bekend as paraboliese funksies of parabole.
    • Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Dit staan bekend as hiperboliese funksies of hiperbole.
    • Funksies van die vorm y=ab(x)+qy=ab(x)+q. Hulle staan bekend as eksponensiële funksies.

Einde van Hoofstuk Oefeninge

  1. Gegee die funksies f(x)=-2x2-18f(x)=-2x2-18 en g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6
    1. Skets ff en gg op dieselfde assestelsel.
    2. Bereken die snypunte van ff en gg.
    3. Gebruik dan jou grafieke en hulle snypunte om vir xx op te los wanneer:
      1. f(x)>0f(x)>0
      2. f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0
    4. Gee die vergelyking van die refleksie van ff in die xx-as.
    Kliek hier vir die antwoord
  2. Nadat 'n bal neergegooi is, is die hoogte wat die bal terugbons elke keer minder. Die vergelyking y=5.(0,8)xy=5.(0,8)x toon die verwantskap tussen xx, die nommer van die bons, en yy, die hoogte van die bons vir 'n spesifieke bal. Wat is die benaderde hoogte van die vyfde bons tot die naaste tiende van 'n eenheid ?
     Kliek hier vir die oplossing
  3. Mark het 15 muntstukke in R5- en R2-stukke. Hy het 3 meer R2-stukke as R5-stukke. Hy het ‘n stelsel van vergelykings opgestel om die situasie te toon, waar xx die hoeveelheid R5-stukke voorstel en yy die hoeveelheid R2-stukke voorstel. Hy het vervolgens die probleem grafies opgelos.
    1. Skryf die sisteem van vergelykings neer.
    2. Skets die grafieke op dieselfde assestelsel.
    3. Wat is die oplossing?
    Kliek hier vir die oplossing

Collection Navigation

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks