# Connexions

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Hiperboliese funksies

### Lenses

What is a lens?

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

#### Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• FETWisk

This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
By: Siyavula

Module Review Status: Approved
Collection Review Status: Approved

Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

### Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

### Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

Inside Collection:

Collection by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

# Hiperboliese funksies

## Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q staan bekend as hiperboliese funksies. Die algemene vorm van die grafiek van die funksie word geïllustreer in Figure 1.

### Ondersoek: Funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q

1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
1. a(x)=-2x+1a(x)=-2x+1
2. b(x)=-1x+1b(x)=-1x+1
3. c(x)=0x+1c(x)=0x+1
4. d(x)=+1x+1d(x)=+1x+1
5. e(x)=+2x+1e(x)=+2x+1
Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
1. f(x)=1x-2f(x)=1x-2
2. g(x)=1x-1g(x)=1x-1
3. h(x)=1x+0h(x)=1x+0
4. j(x)=1x+1j(x)=1x+1
5. k(x)=1x+2k(x)=1x+2
Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa bepaal of die grafiek in die eeste en derde kwardrante of in die tweede en vierde kwadrante van die Cartesiese vlak lê.

Jy behoort ook te vind dat die waarde van qq bepaal of die grafiek bo die xx-as (q>0q>0) of onder die xx-as is (q<0q<0).

Hierdie eienskappe word opgesom in Table 1. Die simmetrie as vir elke grafiek word aangetoon as die stippellyn.

 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 q > 0 q > 0 q < 0 q < 0

### Definisieversameling en Waardeversameling

Die funksie y=ax+qy=ax+q, is ongedefiniëerd vir x=0x=0. Die definisieversameling is dus {x:xR,x0}{x:xR,x0}.

Ons kan sien dat y=ax+qy=ax+q herskryf kan word as:

y = a x + q y - q = a x As x 0 dan : ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q y = a x + q y - q = a x As x 0 dan : ( y - q ) ( x ) = a x = a y - q
(1)

Dit wys dat die funksie ongedefiniëerd is by y=qy=q. Die waardeversameling van f(x)=ax+qf(x)=ax+q is {f(x):f(x)(-;q)(q;)}{f(x):f(x)(-;q)(q;)}.

Byvoorbeeld, die waardeversameling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0},omdat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by x=0x=0.

y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x As x 0 dan: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2 y = 2 x + 2 ( y - 2 ) = 2 x As x 0 dan: x ( y - 2 ) = 2 x = 2 y - 2
(2)

Ons sien dat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by y=2y=2. Die waardeversamling is dus {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

### Afsnitte

Vir funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q, word die afsnitte met die xx- en yy-as bereken deur x=0x=0 te stel vir die yy-afsnit en deur y=0y=0 te stel vir die xx-afsnit.

Die yy-afsnit word as volg bereken:

y = a x + q y afsnit = a 0 + q y = a x + q y afsnit = a 0 + q
(3)

Dit is ongedefiniëerd omdat ons deur nul deel. Daar is dus geen yy-afsnit nie.

Byvoorbeeld, die yy-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gegee deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2 y = 2 x + 2 y afsnit = 2 0 + 2
(4)

Dit is egter ongedefiniëerd.

Die xx-afsnit word bereken deur y=0y=0 te stel:

y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q y = a x + q 0 = a x afsnit + q a x afsnit = - q a = - q ( x afsnit ) x afsnit = a - q
(5)

Byvoorbeeld, die xx-afsnit van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 word gekry deur x=0x=0 te stel:

y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1 y = 2 x + 2 0 = 2 x afsnit + 2 - 2 = 2 x afsnit - 2 ( x afsnit ) = 2 x afsnit = 2 - 2 x afsnit = - 1
(6)

### Asimptote

Daar is twee asimptote vir die funksies van die vorm y=ax+qy=ax+q. Net 'n herinnering, 'n asimptoot is 'n lyn wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Die asimptote word gevind deur na die definisieversameling en waardeversameling te kyk.

Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by x=0x=0 en vir y=qy=q. Dus is die asimtote x=0x=0 en y=qy=q.

Byvoorbeeld, die waardeversameling van g(x)=2x+2g(x)=2x+2 is {x:xR,x0}{x:xR,x0}, omdat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by x=0x=0. Ons het ook gesien dat g(x)g(x) ongedefiniëerd is by y=2y=2. Dus is die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)}.

Hiervan kan ons aflei dat die asimptote by x=0x=0 en y=2y=2 is.

### Skets die Grafieke van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q

Om grafieke van funksies van die vorm f(x)=ax+qf(x)=ax+q te skets, het ons vier eienskappe nodig.

1. Definisieversameling en waardeversamling
2. Asimptote
3. yy-afsnitte
4. xx-afsnitte

Byvoorbeeld, die skets van die grafiek van g(x)=2x+2g(x)=2x+2. Merk die afsnitte en asimptote.

Ons het vasgestel dat die definisieversameling {x:xR,x0}{x:xR,x0} is en die waardeversameling {g(x):g(x)(-;2)(2;)}{g(x):g(x)(-;2)(2;)} is. Die asimptote kan dus gevind word by x=0x=0 en y=2y=2.

Daar is geen yy-afsnit nie en die xx-afsnit is xint=-1xint=-1.

#### Exercise 1: Trek van 'n Hiperbool

Trek die grafiek van y=-4x+7y=-4x+7.

##### Solution
1. Step 1. Vind die gebied en die terrein: Die gebied is {x:xR,x0}{x:xR,x0} en die terrein is {f(x):f(x)(-;7)(7;)}{f(x):f(x)(-;7)(7;)}.
2. Step 2. Vind die asimptote: Ons kyk na die gebied en die terrein om te bepaal waar die asimptote lê. Van die gebied kan ons sien dat die funksie ongedefiniëerd is wanneer x=0x=0. Dus daar is een asimptoot by x=0x=0. Die ander asimptoot word gevind vanaf die terrein. Die funksie is ongedefiniëerd by y=qy=q. Dus die tweede asimptoot is by y=7y=7
3. Step 3. Bereken die y-afsnit: Daar is geen y-afsnit vir grafieke van hierdie vorm nie.
4. Step 4. Bereken die x-afsnit: Die x-afsnit is waar y=0y=0. Berekening van die x-afsnit gee:
y = -4x+7 0 = -4x+7 -7 = -4x xint = 47 y = -4x+7 0 = -4x+7 -7 = -4x xint = 47
(7)
Daar is dus een x-afsnit by (47,0)(47,0).
5. Step 5. Trek die grafiek: Al hierdie inligting gee ons die volgende grafiek:

#### Grafieke

1. Gebruik grafiekpapier en teken die grafiek van xy=-6xy=-6.
1. Lê die punt (-2; 3) op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.
2. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die grafiek nie?
3. As die xx-waarde van ‘n punt op die grafiek 0,25 is, wat is die ooreenstemmende yy-waarde?
4. Wat gebeur met die yy-waardes as die xx-waardes baie groot word?
5. Met die lyn y=-xy=-x as 'n lyn van simmetrie, watter punt is simmetries ten opsigte van (-2; 3)?
Kliek hier vir die oplossing
2. Skets die grafiek van xy=8xy=8.
1. Hoe sal die grafiek y=83x+3y=83x+3 vergelyk met die grafiek van xy=8xy=8? Verduidelik jou antwoord.
2. Skets die grafiek van y=83x+3y=83x+3 op dieselfde assestelsel.
Kliek hier vir die oplossing

## Content actions

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

#### Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

#### Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks