ʼn Piramide is ʼn soliede geometriese figuur met ʼn poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in (Reference). Die regterkantste figuur het ʼn toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word ʼn kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.
Oppervlakarea van ʼn Piramide
Die oppervlakarea van ʼn piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.
As ʼn kegel ʼn hoogte het van hh en ʼn basis met radius rr, toon dat die oppervlakarea gegee word deur πr2+πrr2+h2πr2+πrr2+h2.
- Step 1. Maak ʼn skets van die figuur :
- Step 2. Identifiseer die vlakke wat die kegel uitmaak :
Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is ʼn sirkel met radius rr en die wand kan ontvou word tot ʼn sektor van ʼn sirkel.
Die geboë vlak kan opgesny word in ʼn klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan
aa, die
skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is
12×12×basis××hoogte (van ʼn klein driehoekie) = 12×2πr×a=πra12×2πr×a=πra
- Step 3. Bereken aa :
aa kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus:
a
=
r
2
+
h
2
a
=
r
2
+
h
2
(8) - Step 4. Bereken die area van die sirkelvormige basis :
A
b
=
π
r
2
A
b
=
π
r
2
(9) - Step 5. Bereken die area van die geboë wand :
A
w
=
π
r
a
=
π
r
r
2
+
h
2
A
w
=
π
r
a
=
π
r
r
2
+
h
2
(10) - Step 6. Berken die oppervlakarea A :
A
=
A
b
+
A
w
=
π
r
2
+
π
r
r
2
+
h
2
A
=
A
b
+
A
w
=
π
r
2
+
π
r
r
2
+
h
2
(11)
Volume van ʼn Piramide: Die volume van ʼn piramide word gevind deur:
V
=
1
3
A
•
h
V
=
1
3
A
•
h
(12)waar AA die area van die basis is en hh die hoogte is.
ʼn Kegel is soos ʼn piramide, daarom word die formule vir die volume van ʼn kegel gegee deur:
V
=
1
3
π
r
2
h
V
=
1
3
π
r
2
h
(13)ʼn Vierkantige piramide se volume:
V
=
1
3
a
2
h
V
=
1
3
a
2
h
(14)waar aa die sylengte van die vierkantige basis is.
Wat is die volume van ʼn vierkantige piramide, 3cm hoog met ʼn sylengte van 2cm?
- Step 1. Bepaal die korrekte formule :
Die volume van ʼn piramide is
V
=
1
3
A
•
h
V
=
1
3
A
•
h
(15)waar AA die area van die basis en hh die hoogte van die piramide is. Vir ʼn vierkantige basis beteken dit
V
=
1
3
a
•
a
•
h
V
=
1
3
a
•
a
•
h
(16)waar aa die sylengte van die vierkantige basas is.
- Step 2. Vervang die gegewe waardes :
=
1
3
•
2
•
2
•
3
=
1
3
•
12
=
4
c
m
3
=
1
3
•
2
•
2
•
3
=
1
3
•
12
=
4
c
m
3
(17)
Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van ʼn sfeer (bal).
Oppervlakarea
=
4
π
r
2
Volume
=
4
3
π
r
3
Oppervlakarea
=
4
π
r
2
Volume
=
4
3
π
r
3
(18)
ʼn Driehoekige piramide word bo-op ʼn driehoekige prisma geplaas. Die prisma het ʼn gelyksydige driehoek met ʼn sylengte van 20 cm as basis en ʼn hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.
- Vind die totale volume van die voorwerp.
- Vind die area van elke vlak van die piramide.
- Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.
- Step 1. Vind die volume van die driehoekige prisma: Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn reghoekige prisma:
V
=
12bh2
=
1220422
=
17640
V
=
12bh2
=
1220422
=
17640
(19) - Step 2. Vind die volume van ʼn driehoekige piramide: Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn driehoekige piramide:
V
=
16bh2
=
1620422
=
5880
V
=
16bh2
=
1620422
=
5880
(20) - Step 3. Vind die volume: Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: 17640+5880=2352017640+5880=23520. Dit is die antwoord van a.
- Step 4. Vind die area van die vlakke van die piramide: Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
Area
=
12bh
=
122042
=
420
Area
=
12bh
=
122042
=
420
(21) - Step 5. Vind die oppervlakarea van die piramide: Die totale area is 4×420=16804×420=1680
- Step 6. Vind die area van die prisma: Die oppervlakarea van die prisma is:
Oppervlakarea
=
b×h+2×H×S+H×b
=
20×20+2×12×20+12×20
=
1120
Oppervlakarea
=
b×h+2×H×S+H×b
=
20×20+2×12×20+12×20
=
1120
(22) - Step 7. Vind die totale oppervlakarea: Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as:
1120-420+1680-420=19601120-420+1680-420=1960 Dit is die antwoord van vraag c.
- Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)
Kliek hier vir die oplossing
- Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?
Kliek hier vir die oplossing
