Connexions

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Meting

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• FETWisk

This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
By: Siyavula

Module Review Status: Approved
Collection Review Status: Approved

Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

Inside Collection:

Collection by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Meting

Meting

Area (Oppervlakte) van Poligone

1. Area van driehoek: 12×12× basis ×× loodregte hoogte
2. Area van trapesium: 12×12× (som van (parallelle) sye) ×× loodregte hoogte
3. Area van parallelogram en rombus: basis ×× loodregte hoogte
4. Area van reghoek: lengte ×× breedte
5. Area van vierkant: sylengte ×× sylengte
6. Area van sirkel: ππ x radius22

Figure 7
Khan Akademie video oor area en omtrek

Figure 8
Khan Akademie video oor area van ŉ sirkel

Exercise 1: Berekening van area

Vind die area van die volgende figure:

Solution
1. Step 1. Vind die hoogte: Ons moet eers vir BE, die loodregte hoogte van die parallelogram vind. Ons kan Pythagoras gebruik om dit te doen:
BE2 = AB2AE2 BE2 = 5232 BE2 = 16 BE = 4BE2 = AB2AE2 BE2 = 5232 BE2 = 16 BE = 4
(1)
2. Step 2. Pas die formule toe: Ons pas die formule vir die area van ŉ parallelogram toe om die berekening te doen:
Area = h × b = 4 × 7 = 28 Area = h × b = 4 × 7 = 28
(2)

Poligone

1. Sê of die bewering WAAR of VALS is in elk van die gevalle hieronder. Indien die bewering vals is, gee ŉ teen-voorbeeld om dit te staaf:
1. Alle vierkante is reghoeke.
2. Alle reghoeke is vierkante.
3. Alle pentagone is gelykvormig.
4. Alle gelyksydige driehoeke is gelykvormig.
5. Alle pentagone is kongruent.
6. Alle gelyksydige driehoeke is kongruent.
Kliek hier vir die oplossing
2. Vind die areas vir elk van die gegewe figure. Onthou area word gemeet in vierkante eenhede (cm22, m22, mm22). Kliek hier vir die oplossing

Reghoekige Prismas en Silinders

In hierdie afdeling leer ons hoe om die oppervlakarea (buite-oppervlakte) en volume van reghoekige prismas en silinders te bereken. ŉ Reghoekige prisma is ŉ veelhoek wat uitgerek word in ŉ kolom sodat die hoogte van die kolom reghoekig tot sy basis is. ŉ Vierkantige prisma het ŉ vierkantige basis en ŉ driehoekige prisma het ŉ driehoekige basis.

Dit is eenvoudig om die oppervlakarea en volume van prismas te bereken.

Oppervlakarea

Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as ŉ mens aan die prisma dink as ŉ soliede voorwerp.

As jy die prismas in Figure 11 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma ŉ eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van ŉ prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. ŉ Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en ŉ reghoekige kolom.

Oppervlakarea van Prismas

Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.

Bespreking: Oppervlakareas

In pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma.

Aktiwiteit: Oppervlakarea

Soek ŉ prentjie of neem ŉ foto van ŉ gebou wat nie ŉ eenvoudig gedefinieërde vorm het nie (byvoorbeeld een wat nie net ŉ reghoek is nie). Soek vir ŉ kasteel met torings of ŉ huis met gewels of ŉ stoep. Veronderstel jy moet die buitekant van die gebou verf. Hoeveel verf sal jy benodig? Dink aan dit wat jy geleer het omtrent oppervlakarea van poligone. Kan jy reëlmatige poligone in jou prent/foto vind en hulle gebruik om die oppervlakarea te bereken?

Oppervlakareas

1. Bereken die oppervlakarea van elk van die volgende: Kliek hier vir die oplossing
2. As ŉ liter verf nodig is vir ŉ area van 2m22m2, bereken hoeveel verf die verwer nodig het om die volgende areas te verf:
1. ŉ Reghoekige swembad met binnewande en bodem met die volgende afmetings: 4m×3m×2,5m4m×3m×2,5m
2. ŉ Sirkelvormige opgaardam waarvan die bodem ŉ middellyn het van 4m4m en met ŉ diepte van 2,5m2,5m
Kliek hier vir die oplossing

Volume

Die volume van ŉ reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te vermenigvuldig. Vir ŉ vierkantige prisma met ŉ sylengte van aa en ŉ hoogte van hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.

Volume van ŉ Prisma

Bereken die volume van ŉ prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma.

Exercise 2

Vind die oppervlakarea en volume van ŉ vierkantige prisma met hoogte 4cm4cm and basislengte 3cm3cm.

Solution
1. Step 1. Vind die oppervlakarea: Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van ŉ prisma:
S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2 S.A. = 2 2 L × b + b × h = 2 2 3 × 4 + 3 × 4 = 72cm 2
(3)
2. Step 2. Vind die volume: Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte:
V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3 V = l 2 × h = 3 2 × 4 = 36cm 3
(4)

Volume

1. Skryf die formule vir die berekening van elk van die volgende prismas se volumes neer: Kliek hier vir die oplossing
2. Bereken die volgende volumes: Kliek hier vir die oplossing
3. ŉ Kubus is ŉ spesiale prisma waarvan al die sye gelyk is. Dit beteken dat elke syvlak ŉ vierkant is. ŉ Dobbelsteen is ŉ voorbeeld van ŉ kubus. Bewys dat ŉ kubus met ŉ sylengte van aa, ŉ oppervlakte het van 6a26a2 en ŉ volume van a3a3. Kliek hier vir die oplossing

Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met ŉ konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van ŉ reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word?

Exercise 3: Verander die afmetings van ŉ prisma

Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het sye met lengtes LL, bb en hh.

1. Vergroot al die sye van die prisma met ŉ konstante faktor van xx, waar x>1x>1. Bereken die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as ŉ funksie van die faktor xx en die oorspronklike volume.
2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan ŉ geval waar 0<x<10<x<1. Bereken vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.
Solution
1. Step 1. Identifiseer:

Die volume van die prisma word beskryf deur: V=L×b×hV=L×b×h

Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A=2×(L×b+L×h+b×h)A=2×(L×b+L×h+b×h)

2. Step 2. Eweredige (proporsionele) verandering:

As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word:

L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h L ' = x × L b ' = x × b h ' = x × h
(5)

Die nuwe volume word beskryf deur:

V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V V ' = L ' × b ' × h ' = x × L × x × b × x × h = x 3 × L × b × h = x 3 × V
(6)

Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:

A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A A ' = 2 × ( L ' × b ' + L ' × h ' + b ' × h ' ) = 2 × ( x × L × x × b + x × L × x × h + x × b × x × h ) = x 2 × 2 × ( L × b + L × h + b × h ) = x 2 × A
(7)
3. Step 3. Interpreteer bostaande resultate:
1. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V'=x3×VV'=x3×V. Waar x>1x>1, sal die volume van die prisma vermeerder met die faktor van x3x3. Die oppervlakarea van die veranderde prisma word beskryf deur: A'=x2×AA'=x2×A. Weereens, omdat x>1x>1, sal die oppervlakarea vergroot met ŉ faktor van x2x2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
2. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar 0<x<10<x<1 sal die volume verminder met ŉ faktor van x3x3 en die oppervlakarea sal met verminder met ŉ faktor van x2x2

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met ŉ konstante, is dit soos om die oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in Figure 19.

Right Piramides, Regte Kegels (Keëls / Konusse), Sfere

ŉ Piramide is ŉ soliede geometriese figuur met ŉ poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in (Reference). Die regterkantste figuur het ŉ toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word ŉ kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.

Oppervlakarea van ŉ Piramide

Figure 23
Khan Akademie video oor die volume van soliede geometriese figure

Die oppervlakarea van ŉ piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.

Exercise 4: Oppervlakarea

As ŉ kegel ŉ hoogte het van hh en ŉ basis met radius rr, toon dat die oppervlakarea gegee word deur πr2+πrr2+h2πr2+πrr2+h2.

Solution

1. Step 1. Maak ŉ skets van die figuur :

2. Step 2. Identifiseer die vlakke wat die kegel uitmaak :

Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is ŉ sirkel met radius rr en die wand kan ontvou word tot ŉ sektor van ŉ sirkel.

Die geboë vlak kan opgesny word in ŉ klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan aa, die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is 12×12×basis××hoogte (van ŉ klein driehoekie) = 12×2πr×a=πra12×2πr×a=πra

3. Step 3. Bereken aa :

aa kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus:

a = r 2 + h 2 a = r 2 + h 2
(8)
4. Step 4. Bereken die area van die sirkelvormige basis :
A b = π r 2 A b = π r 2
(9)
5. Step 5. Bereken die area van die geboë wand :
A w = π r a = π r r 2 + h 2 A w = π r a = π r r 2 + h 2
(10)
6. Step 6. Berken die oppervlakarea A :
A = A b + A w = π r 2 + π r r 2 + h 2 A = A b + A w = π r 2 + π r r 2 + h 2
(11)

Volume van ŉ Piramide: Die volume van ŉ piramide word gevind deur:

V = 1 3 A h V = 1 3 A h
(12)

waar AA die area van die basis is en hh die hoogte is.

ŉ Kegel is soos ŉ piramide, daarom word die formule vir die volume van ŉ kegel gegee deur:

V = 1 3 π r 2 h V = 1 3 π r 2 h
(13)

ŉ Vierkantige piramide se volume:

V = 1 3 a 2 h V = 1 3 a 2 h
(14)

waar aa die sylengte van die vierkantige basis is.

Exercise 5: Volume van ŉ Piramide

Wat is die volume van ŉ vierkantige piramide, 3cm hoog met ŉ sylengte van 2cm?

Solution

1. Step 1. Bepaal die korrekte formule :

Die volume van ŉ piramide is

V = 1 3 A h V = 1 3 A h
(15)

waar AA die area van die basis en hh die hoogte van die piramide is. Vir ŉ vierkantige basis beteken dit

V = 1 3 a a h V = 1 3 a a h
(16)

waar aa die sylengte van die vierkantige basas is.

2. Step 2. Vervang die gegewe waardes :
= 1 3 2 2 3 = 1 3 12 = 4 c m 3 = 1 3 2 2 3 = 1 3 12 = 4 c m 3
(17)

Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van ŉ sfeer (bal).

Oppervlakarea = 4 π r 2 Volume = 4 3 π r 3 Oppervlakarea = 4 π r 2 Volume = 4 3 π r 3
(18)

Exercise 6

ŉ Driehoekige piramide word bo-op ŉ driehoekige prisma geplaas. Die prisma het ŉ gelyksydige driehoek met ŉ sylengte van 20 cm as basis en ŉ hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.

1. Vind die totale volume van die voorwerp.
2. Vind die area van elke vlak van die piramide.
3. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.

Solution

1. Step 1. Vind die volume van die driehoekige prisma: Ons gebruik die formule vir die volume van ŉ reghoekige prisma:
V = 12bh2 = 1220422 = 17640 V = 12bh2 = 1220422 = 17640
(19)
2. Step 2. Vind die volume van ŉ driehoekige piramide: Ons gebruik die formule vir die volume van ŉ driehoekige piramide:
V = 16bh2 = 1620422 = 5880 V = 16bh2 = 1620422 = 5880
(20)
3. Step 3. Vind die volume: Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: 17640+5880=2352017640+5880=23520. Dit is die antwoord van a.
4. Step 4. Vind die area van die vlakke van die piramide: Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
Area = 12bh = 122042 = 420 Area = 12bh = 122042 = 420
(21)
Dit is die antwoord van vraag b.
5. Step 5. Vind die oppervlakarea van die piramide: Die totale area is 4×420=16804×420=1680
6. Step 6. Vind die area van die prisma: Die oppervlakarea van die prisma is:
Oppervlakarea = b×h+2×H×S+H×b = 20×20+2×12×20+12×20 = 1120 Oppervlakarea = b×h+2×H×S+H×b = 20×20+2×12×20+12×20 = 1120
(22)
7. Step 7. Vind die totale oppervlakarea: Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: 1120-420+1680-420=19601120-420+1680-420=1960 Dit is die antwoord van vraag c.

Oppervlakarea en Volume

1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.) Kliek hier vir die oplossing
2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?
Kliek hier vir die oplossing

Content actions

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks