Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Meetkunde: Transformasies

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Meetkunde: Transformasies

Module by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Transformasies: nie in CAPS

In hierdie afdeling gaan jy leer oor die verandering wat die koördinate van ʼn punt ondergaan wanneer die punt horisontaal of vertikaal op die Cartesiese vlak skuif. Jy gaan ook leer wat met die koördinate van ʼn punt gebeur wanneer dit reflekteer word in die xx-as, yy-as en die lyn y=xy=x.

Translasie van ʼn Punt

Waneer ʼn voorwerp langs ʼn reguitlyn beweeg word, sê ons dit word getransleer. Wat gebeur met die koördinate van ʼn punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?

Bespreking : Vertikale Translasie van ʼn Punt

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte soos op die figuur in te vul.

Figure 1
Figure 1 (MG10C14_022.png)

Table 1
Punt xx-koördinaat yy-koördinaat
A    
B    
C    
D    
E    
F    
G    

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A indien dit verskuif word na die posisie van punt G?

Wanneer ʼn punt vertikaal op- of afgeskuif word op die Cartesiese vlak, bly die xx-koördinaat van die punt dieselfde, maar die yy-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt op- of afgeskuif is.

Byvoorbeeld: in (Reference) word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe xx-koördinaat van punt A is dieselfde (xx=1), maar die nuwe yy-koördinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe yy-rigting en word yy=-2+4=2. Die nuwe koördinate van punt A is gevolglik G(1;2). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede afgeskuif word, bly die xx-koördinaat dieselfde (x=-2,5x=-2,5), maar die yy-koördinaat het 5 eenhede in die negatiewe yy-rigting geskuif. Die nuwe yy-koördinaat is dus yy=2,5 -5=-2,5.

Figure 2: Punt A het 4 eenhede opgeskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede afgeskuif tot by H.
Figure 2 (MG10C14_023.png)

Tip:

Wanneer ʼn punt opgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede by die ou yy-koördinaat by te tel. Wanneer ʼn punt afgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede van die ou yy-koördinaat af te trek.

Bespreking: Horisontale Translasie van ʼn Punt

Voltooi die tabel deur al die koördinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.

Figure 3
Figure 3 (MG10C14_024.png)

Table 2
Punt xx-koördinaat yy--koördinaat
A    
B    
C    
D    
E    
F    
G    

Wat let jy op omtrent die xx-koördinate? Wat let jy op omtrent die yy-koördinate?

Wat sal gebeur met die koördinate van punt A, as dit geskuif word na posisie G?

Wanneer ʼn punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die yy-koördinaat van die punt dieselfde, maar die xx-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt links of regs geskuif word.

Byvoorbeeld, in (Reference) word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe yy-koördinaat van punt A is dieselfde (yy=1), maar die nuwe xx-koördinaat is 4 eenhede in die positiewe xx-rigting geskuif en word xx=-2+4=2. Die nuwe koördinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word, bly die yy-koördinaat dieselfde (y=-2,5y=-2,5), maar die xx-koördinaat word 5 eenhede in die negatiewe xx-rigting geskuif. Die nuwe xx-koördinaat is dus xx=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koördinate van punt B by H is dus (-2,5;1).

Figure 4: Punt A skuif 4 eenhede regs na posisie G. Punt B skuif 5 eenhede links na posisie H.
Figure 4 (MG10C14_025.png)

Tip:

Wanneer ʼn punt regs geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede by die oorspronklike xx-koördinaat by te tel. Wanneer ʼn punt na links geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede van die oorspronklike xx-koördinaat af te trek.

Refleksie van ʼn Punt

Wanneer jy voor ʼn spieël staan, is die afstand tussen jou en die spieël gelyk aan die afstand tussen jou refleksie en die spieël.(dd)

Figure 5
Figure 5 (MG10C14_026.png)

Ons kan dieselfde idee toepas op ʼn punt wat reflekteer word in die xx-as, die yy-as en die lyn y=xy=x.

Refleksie in die xx-as

Wanneer ʼn punt reflekteer word in die xx-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees as wat die punt bo die xx-as is en vice-versa, asof dit ʼn spieelbeeld is.

Figure 6: Punte A en B word reflekteer in die xx-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur en die gereflekteerde punte word aangedui deur .
Figure 6 (MG10C14_027.png)
Tip:
Wanneer ʼn punt reflekteer word in die xx-as, verander slegs die yy-koördinaat van die punt.
Exercise 1: Refleksie in die xx-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt P in die xx-as. Die koördinate van P is (5;10).

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat gegee is en wat gevra word :

    Ons het die koördinate (5;10) van punt P en moet die koördinate van die refleksie van die punt in die xx-as kry.

  2. Step 2. Bepaal hoe jy die probleem gaan benader :

    Die punt P is bo die xx-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees. Daarom is yy=-10.

    Vir ʼn refleksie in die xx-as, bly die xx-koördinaat onveranderd. Daarom is xx=5.

  3. Step 3. Skryf die finale antwoord :

    Die koördinate van die gereflekteerde punt is (5;-10).

Refleksie in die yy-as

As ʼn punt reflekteer word in die yy-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die yy-as wees.

Figure 7: Punte A en B word reflekteer in die yy-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur en die gereflekteerde punte word aangedui met .
Figure 7 (MG10C14_028.png)
Tip:
Wanneer ʼn punt reflekteer word in die yy-as, verander net die xx-koördinaat van die punt. Die yy-koördinaat bly dieselfde.
Exercise 2: Refleksie in die yy-as

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die yy-as.

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is :

    Ons het punt Q (15;5) en moet die koördinate van die refleksie daarvan in die yy-as kry.

  2. Step 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak :

    Die punt Q regs van die yy-as, daarom sal sy refleksie dieselfde afstand links van die yy-as wees as wat dit regs van die yy-as is. Daarom is xx=-15.

    Vir ʼn refleksie in die yy-as, bly die yy koördinaat onveranderd. Daarom is yy=5.

  3. Step 3. Skryf die finale antwoord :

    Die koördinate van die gereflekteerde punt is (-15;5).

Refleksie in die lyn y=xy=x

Die laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel, is refleksie in die lyn y=xy=x.

Gevallestudie : Refleksie van ʼn punt in die lyn y=xy=x

Figure 8
Figure 8 (MG10C14_029.png)

Bestudeer die gegewe inligting en voltooi die volgende tabel:

Table 3
  Punt Refleksie
A (2;1) (1;2)
B (-112112;-2) (-2;-11212)
C (-1;1)  
D (2;-3)  

Wat kan jy aflei omtrent die koördinate van die punte wat reflekteer word in die lyn y=xy=x?

Die xx- en yy- koördinate van punte wat in die lyn y=xy=x reflekteer word, ruil net om. Dit beteken dat die xx-koördinaat van die oorspronklike punt, die yy-koördinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die yy-koördinaat van die oorspronklike punt, die xx-koördinaat van die nuwe punt word.

Figure 9: Punte A en B word reflekteer in die lyn y=xy=x. Die oorspronklike punte word aangedui met en die reflekteerde punte word aangedui met .
Figure 9 (MG10C14_030.png)
Tip:
Die xx- en yy- koördinate van die gereflekteerde punte in die lyn y=xy=x word dus omgeruil.
Exercise 3: Refleksie in die lyn y=xy=x

Bepaal die koördinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y=xy=x.

Solution
  1. Step 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra :

    Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan in die lyn y=xy=x bepaal.

  2. Step 2. Besluit hoe jy die probleem gaan benader :

    Die xx-koördinaat van die gereflekteerde punt is die yy-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is xx=5.

    Die yy-koördinaat van die gereflekteerde punt is die xx-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is yy=-5.

  3. Step 3. Skryf die finale antwoord neer:

    Die koördinate van die reflekteerde punt is (5;-5).

Reëls vir Translasie

ʼn Vinnige manier om ʼn translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld (x;y)(x+a;y+b)(x;y)(x+a;y+b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.

As ons dus die punt (1;2) volgens die reël (x;y)(x+3;y-1)(x;y)(x+3;y-1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.

Translasie van ʼn Gebied

Om ʼn gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.

Voorbeeld

Gebied A is getransleer na gebied B deur die reël: (x;y)(x+4;y+2)(x;y)(x+4;y+2)

Figure 10
Figure 10 (MG10C14_031.png)

Bespreking : Transformasiereëls

Werk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.

Table 4
Kolom 1 Kolom 2
1. (x;y)(x;y-3)(x;y)(x;y-3) a) refleksie in die x=y lyn
2. ( x ; y ) ( x - 3 ; y ) ( x ; y ) ( x - 3 ; y ) b) refleksie in die x-as
3. ( x ; y ) ( x ; - y ) ( x ; y ) ( x ; - y ) c) verskuiwing van 3 eenhede na links
4. ( x ; y ) ( - x ; y ) ( x ; y ) ( - x ; y ) d) verskuiwing van 3 eenhede afwaarts
5. ( x ; y ) ( y ; x ) ( x ; y ) ( y ; x ) e) refleksie in die y-as
Transformasies
  1. Beskryf die translasies in elk van die volgende deur gebruik te maak van die reël (x;y) (...;...)
    Figure 11
    Figure 11 (mg10c14_4.png)
    1. Van A to B
    2. Van C to J
    3. Van F to H
    4. Van I to J
    5. Van K to L
    6. Van J to E
    7. Van G to H
    Kliek hier vir die oplossing
  2. A is die punt (4;1). Stip elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koördinate van die punte wat jy neergestip het.
    1. B is die refleksie van A in die x-as.
    2. C is die refleksie van A in die y-as.
    3. D is die refleksie van B in die lyn x=0.
    4. E is die refleksie van C in die lyn y=0.
    5. F is die refleksie van A in die lyn y= x.
    Kliek hier vir die oplossing
  3. In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is om die beeld te verkry, ʼn refleksie en ʼn translasie van A. Skryf die letter neer van elke beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.
    Figure 12
    Figure 12 (mg10c14_5.png)
    Kliek hier vir die oplossing
Ondersoek : Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe
  1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop, koeldrank, ens.)
  2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
  3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:
    Figure 13
    Figure 13 (MG10C14_034.png)
  4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm22, afgerond tot 2 desimale):
    1. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
    2. die oppervlak van die bo- en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
    3. die totale oppervlakarea (buite-oppervlakte) van die blikkie
  5. As die metaal 0,17 sent/cm22kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
  6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm33, afgerond tot 2 desimale plekke).
  7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
  8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud (koeldrank, sop, ens.) verpak is?
  9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
  10. As jy die volume van ʼn blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet die hoogte toeneem?
  11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor sal die:
    1. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
    2. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?

Opsomming

  • Die eienskappe van vlieërs, rombusse, parallelogamme, vierkante, reghoeke en trapesiums is ondersoek. Al hierdie vorme word vierhoeke genoem.
  • Jy behoort die formules te ken vir die oppervlakarea van reghoekige en driehoekige prismas sowel as silinders.
  • Die volume van ʼn regte prisma is bereken deur area van die basis te vermenigvuldig met die loodregte hoogte. Dus vir ʼn vierkantige prisma met sylengte aa en hoogte hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.
  • Gelykvormigheid van poligone: Twee poligone is gelykvormig as:
    • hulle ooreenkomstige hoeke gelyk is
    • die lengtes van die sye eweredig is
    Alle vierkante is gelykvormig.

Finale oefeninge

  1. Deur die reëls te gebruik wat verskaf is, identifiseer elke tipe transformasie en teken die vorms.
    1. (x;y)(x+3;y-3)
      Figure 14
      Figure 14 (MG10C14_037.png)
    2. (x;y)(x-4;y)
      Figure 15
      Figure 15 (MG10C14_038.png)
    3. (x;y)(y;x)
      Figure 16
      Figure 16 (MG10C14_039.png)
    4. (x;y)(-x;-y)
      Figure 17
      Figure 17 (MG10C14_040.png)
    Kliek hier vir die oplossing
  2. PQRS is ʼn veelhoek met hoekpunte P(0; −3) ; Q(−2;5) ; R(3;2) en S(3;–2) in die Cartesiese-vlak.
    1. Bepaal die lengte van QR.
    2. Bepaal die helling van PS.
    3. Bepaal die middelpunt van PR.
    4. Is PQRS ʼn parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.
    Kliek hier vir die oplossing
  3. A(–2;3) en B(2;6) is punte in die Cartesiese-vlak. C(a;b) is die middelpunt van AB. Bereken die waardes van a en b.
    Kliek hier vir die oplossing
  4. Beskou driehoek ABC met hoekpunte A (1; 3), B (4; 1) en C (6; 4):
    1. Skets driehoek ABC in die Cartesiese vlak.
    2. Wys dat ABC ʼn gelykbenige driehoek is.
    3. Bepaal die koordinate van M, die middelpunt van AC.
    4. Bepaal die helling van AB.
    5. Wys dat die volgende punte saamlynig is: A, B en D(7;-1).
    Kliek hier vir die oplossing
  5. In die diagram is A die punt (-6;1) en B is die punt (0;3).
    Figure 18
    Figure 18 (MG10C14_5.png)
    1. Wat is die vergelyking van die lyn AB?
    2. Bereken die lengte van AB.
    3. A’ is die beeld van A en B’ is die beeld van B. Beide hierdie beelde is verkry uit die transformasie: (x;y)(x-4;y-1). Gee die koördinate van beide A’ en B’.
    4. Bepaal die vergelyking van A’B’.
    5. Bereken die lengte van A’B’.
    6. Kan jy met sekerheid bevestig dat AA'B'B ʼn parallelogram is? Regverdig jou antwoord.
    Kliek hier vir die oplossing
  6. Die hoekpunte van driehoek PQR het koordinate soos in die diagram.
    Figure 19
    Figure 19 (mg10c14_6.png)
    1. Gee die koordinate van P', Q' en R', die beelde van P, Q en R wanneer P, Q en R reflekteer word in die lyn y=x.
    2. Bepaal die area van driehoek PQR.
    Kliek hier vir die oplossing

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks