Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Die trig funksies en 2D probleme

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Module Review Status: Approved
    Collection Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Die trig funksies en 2D probleme

Module by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Definisies van die Trigonometriese Funksies

Ons is bekend met funksies in die vorm f( x)f( x), waar ff die funksie en xx die veranderlike is. Byvoorbeeld:

f ( x ) = 2 x (eksponensiële funksie) g ( x ) = + 2 (lineêre funksie) h ( x ) = 2 x 2 (paraboliese funksie) f ( x ) = 2 x (eksponensiële funksie) g ( x ) = + 2 (lineêre funksie) h ( x ) = 2 x 2 (paraboliese funksie)
(1)

Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies. Daar is drie basiese trigonometriese funksies:

  1. sinus
  2. cosinus
  3. tangens

Dit word afgekort na:

  1. sin
  2. cos
  3. tan

Hierdie funksies word gedefinieer vanaf 'n reghoekige driehoek, 'n driehoek waar een interne hoek 90 is.

Beskou 'n reghoekige driehoek.

Figure 1
Figure 1 (MG10C15_003.png)

In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulle geplasing in verhouding tot die hoek θθ. Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aan die oorkant van θθ word die teenoorstande sy genoem, en die sy langs θθ word die aangrensende sy genoem. Let daarop dat die keuse van 'n nie-90-graad binnehoek arbitrêr is. Jy kan enige binnehoek kies en dan die aangrensende en teenoorgestelde sye dienooreenkomstig definieer. Die skuinssy bly egter dieselfde ongeag na watter interne hoek jy verwys.

Ons definieer die trigonometriese funksies as volg:

sin θ = teenoorstaande skuinssy cos θ = aangrensend skuinssy tan θ = teenoorstaande aangrensend sin θ = teenoorstaande skuinssy cos θ = aangrensend skuinssy tan θ = teenoorstaande aangrensend
(2)

Hierdie funksies gee die verwantskap tussuen die sylengtes en die binnehoeke van 'n reghoekige driehoek.

Note:

Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengte van die driehoek se sye en is slegs afhanklik van die hoeke. Dit is waarom ons die verhoudings as funksies van die hoeke kan beskou.

Een manier om die definisies te memoriseer is om die volgende Engelse geheuehulpmiddel te gebruik wat dit miskien makliker maak om te onthou:

Table 1
Silly Old Hens S in = O pposite H ypotenuse S in = O pposite H ypotenuse
Cackle And Howl C os = A djacent H ypotenuse C os = A djacent H ypotenuse
Till Old Age T an = O pposite A djacent T an = O pposite A djacent

Jy mag ook hoor mense sê Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies te onthou.

Tip:

Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssye is slegs van toepassing wanneer jy besig is met 'n reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regte hoek voordat jy dit gebruik, anders sal jy die verkeerde antwoord kry. Ons sal in Graad 11 maniere vind om met ons kennis van reghoekige driehoeke die trigonometrie van nie-reghoekige driehoeke te hanteer.

Ondersoek: Definisies van Trigonometriese Funksies

  1. In elk van die volgende driehoeke, sê watter van aa, bb en cc die skuinssy, die teenoorstaande sy en die aangrensende sy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.
    Figure 2
    Figure 2 (MG10C15_004.png)
  2. Voltooi elk van die volgende. Die eerste een is vir jou gedoen:
    Figure 3
    Figure 3 (MG10C15_005.png)
    a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=
    (3)
    d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=
    (4)
  3. Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar:
    Figure 4
    Figure 4 (MG10C15_006.png)
    sin60=cos30=tan60=sin60=cos30=tan60=
    (5)
    Figure 5
    Figure 5 (MG10C15_007.png)
    sin45=cos45=tan45=sin45=cos45=tan45=
    (6)

Vir die meeste hoeke θθ is dit baie moeilik om die waardes van sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ te bereken. 'n Mens moet gewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Ons het egter in die bogenoemde aktiwiteit gesien ons kan hierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkant die 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante van die ander twee sye.

Table 2
  0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 180 180
cos θ cos θ 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 - 1 - 1
sin θ sin θ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0
tan θ tan θ 0 1 3 1 3 1 3 3 - - 0

Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

Exercise 1: Die berekening van lengtes

Kry die lengte van x in die volgende driehoek.

Figure 6
Figure 6 (MG10C15_008.png)

Solution

  1. Step 1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig:

    In hierdie geval werk ons met 'n hoek van 5050, die teenoorstaande sy en die skuinssy.

    Dus moet jysinsingebruik.

    sin 50 = x 100 sin 50 = x 100
    (7)
  2. Step 2. Herrangskik die vergelyking om xx op te los :
    x = 100 × sin 50 x = 100 × sin 50
    (8)
  3. Step 3. Gebruik jou sakrekenaar om die antwoord te kry :

    Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.

    x = 76 . 6 m x = 76 . 6 m
    (9)

Exercise 2: Die berekening van hoeke

Vind die waarde van θθ in die volgende driehoek.

Figure 7
Figure 7 (MG10C15_009.png)

Solution

  1. Step 1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig :

    In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek θθ.

    Dus moet jytantangebruik.

    tan θ = 50 100 tan θ = 50 100
    (10)
  2. Step 2. Bereken die breuk as 'n desimale getal :
    tan θ = 0 . 5 tan θ = 0 . 5
    (11)
  3. Step 3. Gebruik jou sakrekenaar om die hoek te kry :

    Omdat jy die hoek wil kry,

    gebruik tan-1tan-1 op jou sakrekenaar.

    Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!

    θ = 26 . 6 θ = 26 . 6
    (12)

In die vorige voorbeeld het ons tan-1tan-1 gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en cos het ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak.

Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.

Figure 8
Khan Akademie video oor trigonometrie - 1

Figure 9
Khan Akademie video oor trigonometrie - 2

Hoe om Sylengtes te kry

Kry die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.

Figure 10
Figure 10 (MG10C15_010.png)
Figure 11
Figure 11 (MG10C15_011.png)

Kliek hier vir die oplossing.

Twee-dimensionele Probleme

Ons kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoeke bevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil kry, kan jy 'n reghoekige driehoek konstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namate jy deur die voorbeelde werk.

Exercise 3

ABCD is 'n trapesium met AB=4cmAB=4cm, CD=6cmCD=6cm, BC=5cmBC=5cm en AD=5cmAD=5cm. Punt E op die diagonaal AC verdeel die diagonaal sodat AE=3cmAE=3cm. Kry A B ^ CA B ^ C.

Solution

  1. Step 1. Maak 'n skets: Ons maak 'n skets en konstrueer reghoekige driehoeke om ons te help om die probleem visueel voor te stel.
    Figure 12
    Figure 12 (q1trig.png)
  2. Step 2. Bepaal hoe om die probleem op te los: Ons sal driehoeke ABE en BEC gebruik om die twee hoeke te bereken wat ons dan kan optel om die gevraagde hoek te kry.
  3. Step 3. Bepaal watter trigonometriese funksies om te gebruik: Ons gebruik sin vir beide driehoeke aangesien ons die skuinssye en die teenoorstaande sye het.
  4. Step 4. Los die probleem op: In driehoek ABE kry ons:
    sin ( A B ^ E ) = opp hyp sin ( A B ^ E ) = 34 A B ^ E = sin-1 (34) A B ^ E = 48,59 sin ( A B ^ E ) = opp hyp sin ( A B ^ E ) = 34 A B ^ E = sin-1 (34) A B ^ E = 48,59
    (13)
    Ons gebruik die Stelling van Pythagoras en kry EC=4,4cmEC=4,4cm. In driehoek BEC kry ons:
    sin ( C B ^ E ) = opp hyp sin ( C B ^ E ) = 4,45 A B ^ E = sin-1 (4,45 ) C B ^ E = 61,64 sin ( C B ^ E ) = opp hyp sin ( C B ^ E ) = 4,45 A B ^ E = sin-1 (4,45 ) C B ^ E = 61,64
    (14)
  5. Step 5. Skryf die finale antwoord neer: Ons tel die twee hoeke saam en kry 48,59+61,64=110,2348,59+61,64=110,23

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks