# OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Grafieke van die trig funksies

### Lenses

What is a lens?

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

#### Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• FETWisk

This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
By: Siyavula

Module Review Status: Approved
Collection Review Status: Approved

Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

### Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

### Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

Inside Collection:

Collection by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

# Grafieke van die trig funksies

## Grafieke van Trigonometriese Funksies

Hierdie afdeling beskryf die grafieke van trigonometriese funksies.

### Grafiek van sinθsinθ

#### Grafiek van sinθsinθ

Volgooi die volgende tabel en gebruik jou sakrekenaar om die waardes te bereken. Stip dan die waardes metsinθsinθ op die yy-as en θθ op die xx-as. Rond die antwoorde af tot 1 desimale plek.

 θ θ 0∘∘ 30∘∘ 60∘∘ 90∘∘ 120∘∘ 150∘∘ sin θ sin θ θ θ 180∘∘ 210∘∘ 240∘∘ 270∘∘ 300∘∘ 330∘∘ 360∘∘ sin θ sin θ

Laat ons terugkyk na ons waardes vir sinθ .sinθ .

 θ θ 0 ∘ 0 ∘ 30 ∘ 30 ∘ 45 ∘ 45 ∘ 60 ∘ 60 ∘ 90 ∘ 90 ∘ 180 ∘ 180 ∘ sin θ sin θ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0

Soos jy kan sien, die funksie sinθsinθ het 'n waarde van 0 by θ=0θ=0. Sy waarde neem egalig toe tot by θ=90θ=90 wanneer sy waarde 1 is. Ons weet ook dat dit later afneem na 0 as θ=180θ=180. Deur dit alles bymekaar te sit, kan ons 'n idee kry van die volle omvang van die sinuskurwe. Die sinuskurwe word gewys in Figure 2. Let op die kurwe se vorm, waar elke kurwe die lengte het van 360360. Ons sê die grafiek het 'n periode van 360360. Die hoogte van die kurwe bo (of onder) die xx-as word die kurwe se amplitude genoem. Dus is die amplitude van die sinuskurwe is 1.

### Funksies in die vorm y=asin(x)+qy=asin(x)+q

In die vergelyking, y=asin(x)+qy=asin(x)+q, aa en qq is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van hierdie grafiek word gewys in Figure 3 vir die funksief(θ)=2sinθ+3f(θ)=2sinθ+3.

#### Funksies van die vorm y=asin(θ)+qy=asin(θ)+q :

1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
1. a(θ)=sinθ-2a(θ)=sinθ-2
2. b(θ)=sinθ-1b(θ)=sinθ-1
3. c(θ)=sinθc(θ)=sinθ
4. d(θ)=sinθ+1d(θ)=sinθ+1
5. e(θ)=sinθ+2e(θ)=sinθ+2
Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
1. f(θ)=-2·sinθf(θ)=-2·sinθ
2. g(θ)=-1·sinθg(θ)=-1·sinθ
3. h(θ)=0·sinθh(θ)=0·sinθ
4. j(θ)=1·sinθj(θ)=1·sinθ
5. k(θ)=2·sinθk(θ)=2·sinθ
Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Dis duidelik dat qq 'n vertikale verskuiwing teweegbring. As q=2q=2, sal die hele sinusgrafiek 2 eenhede opskuif. As q=-1q=-1, suif die hele grafiek 1 eenheid af.

Hierdie eienskappe word opgesom in Table 3.

Jy behoort te vind dat die waarde van aa die hoogte van die pieke van die grafiek beïnvloed. As die grootte van aa toeneem, word die pieke hoër. As dit afneem, word die pieke laer.

 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 q > 0 q > 0 q < 0 q < 0

#### Gebied en Terrein

Vir f(θ)=asin(θ)+qf(θ)=asin(θ)+q, is die gebied {θ:θR}{θ:θR} omdat daar geen waarde is van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieerd is nie.

Die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q hang daarvan af of die waarde vir aa positief of negatief is. Ons sal die twee gevalle afsonderlik oorweeg.

As a>0a>0 we have:

- 1 sin θ 1 - a a sin θ a ( Vermenigvuldiging met 'n positiewe getal handhaaf die aard van die ongelykheid ) - a + q a sin θ + q a + q - a + q f ( θ ) a + q - 1 sin θ 1 - a a sin θ a ( Vermenigvuldiging met 'n positiewe getal handhaaf die aard van die ongelykheid ) - a + q a sin θ + q a + q - a + q f ( θ ) a + q
(1)

Dit vertel ons dat vir alle waardes van θθ, f(θ)f(θ) altyd tussen -a+q-a+q en a+qa+q is. Daarom as a>0a>0, is die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q dus {f(θ):f(θ)[-a+q,a+q]}{f(θ):f(θ)[-a+q,a+q]}.

Insgelyks, daar kan getoon word dat as a<0a<0, dan is die terrein van f(θ)=asinθ+qf(θ)=asinθ+q is {f(θ):f(θ)[a+q,-a+q]}{f(θ):f(θ)[a+q,-a+q]}. Dit word as 'n oefening gelaat.

##### Tip:
Die maklikste manier om die terrein te bepaal is om bloot vir die "bokant" en die "onderkant" van die grafiek te soek.

#### Snypunte

Die yy-snypunt, yintyint, van f(θ)=asin(x)+qf(θ)=asin(x)+q is eenvoudig die waarde van f(θ)f(θ) by θ=0θ=0.

y i n t = f ( 0 ) = a sin ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q y i n t = f ( 0 ) = a sin ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q
(2)

### Grafiek van cosθcosθ

#### Grafiek van cosθcosθ :

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar om die waardes korrek tot 1 desimale plek te bereken. Stip dan die waardes met cosθcosθ op die yy-as en θθ op die xx-as.

 θ θ 0∘∘ 30∘∘ 60∘∘ 90∘∘ 120∘∘ 150∘∘ cos θ cos θ θ θ 180∘∘ 210∘∘ 240∘∘ 270∘∘ 300∘∘ 330∘∘ 360∘∘ cos θ cos θ

Laat ons terugkyk na ons waardes vir cosθcosθ.

 θ θ 0 ∘ 0 ∘ 30 ∘ 30 ∘ 45 ∘ 45 ∘ 60 ∘ 60 ∘ 90 ∘ 90 ∘ 180 ∘ 180 ∘ cos θ cos θ 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 - 1 - 1

As jy noukeurig kyk, sal jy oplet dat die cosinus van 'n hoek θθ dieselfde is as die sinus van die hoek (90-θ90-θ). Neem byvoorbeeld,

cos 60 = 1 2 = sin 30 = sin ( 90 - 60 ) cos 60 = 1 2 = sin 30 = sin ( 90 - 60 )
(3)

Dit wys ons dat ten einde 'n cosinusgrafiek te skep, al wat ons hoef te doen is om die sinusgrafiek 9090 na links te skuif. die grafiek van cosθcosθ word gewys in Figure 9. As die cosinusgrafiek eenvoudig 'n geskuifde sinusgrafiek is, sal dit dieselfde periode en amplitude as die sinuskurwe hê.

### Funksies in die vorm y=acos(x)+qy=acos(x)+q

In die vergelyking, y=acos(x)+qy=acos(x)+q. aa and qq is konstantes en het verskillende invloede op die grafiek van die funksie. Die algemene vorm van die grafieke van hierdie soort funksies word getoon in Figure 10 vir die funksie f(θ)=2cosθ+3f(θ)=2cosθ+3.

#### Funksies van die vorm y=acos(θ)+qy=acos(θ)+q :

1. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
1. a(θ)=cosθ-2a(θ)=cosθ-2
2. b(θ)=cosθ-1b(θ)=cosθ-1
3. c(θ)=cosθc(θ)=cosθ
4. d(θ)=cosθ+1d(θ)=cosθ+1
5. e(θ)=cosθ+2e(θ)=cosθ+2
Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
2. Op dieselfde stel asse, trek die volgende grafieke:
1. f(θ)=-2·cosθf(θ)=-2·cosθ
2. g(θ)=-1·cosθg(θ)=-1·cosθ
3. h(θ)=0·cosθh(θ)=0·cosθ
4. j(θ)=1·cosθj(θ)=1·cosθ
5. k(θ)=2·cosθk(θ)=2·cosθ
Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Ons vind dat die waarde van aa die amplitude van die cosinusgrafiek op dieselfde manier beïnvloed as wat dit vir die sinusgrafiek gedoen het.

Verandering in die waarde van qq sal die die cosinusgrafiek op dieselfde manier skuif as wat dit vir die sinusgrafiek gedoen het.

Die verskillende eienskappe word opgesom in Table 6.

 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 q > 0 q > 0 q < 0 q < 0

#### Gebied en Terrein

Vir f(θ)=acos(θ)+qf(θ)=acos(θ)+q, is die gebied {θ:θR}{θ:θR} want daar is geen waarde van θRθR waarvoor f(θ)f(θ) ongedefinieërd is nie.

Dit is maklik om te sien dat die terrein van f(θ)f(θ) dieselfde sal wees as die terrein van asin(θ)+qasin(θ)+q. Dit is omdat die maksimum en minimumwaardes van acos(θ)+qacos(θ)+q dieselfde is as die maksimum en minimumwaardes van asin(θ)+qasin(θ)+q.

#### Snypunte

Die yy-afsnit van f(θ)=acos(x)+qf(θ)=acos(x)+q word bereken op dieselfde wyse as vir sinus.

y i n t = f ( 0 ) = a cos ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q y i n t = f ( 0 ) = a cos ( 0 ) + q = a ( 1 ) + q = a + q
(4)

### Vergelyking van die Grafieke van sinθsinθ en cosθcosθ

Let daarop dat die twee grafieke baie eenders lyk. Beide ossilleer op en af rondom die xx-as soos wat jy beweeg langs die as. Die afstande tussen die pieke van die twee grafieke is dieselfde en is konstant vir elke grafiek. Die hoogte van elke piek en die diepte van elke trog is dieselfde.

Die enigste verskil is dat die sinsingrafiek skuif 'n bietjie na regs ten opsigte van die coscos grafiek, met 90. Dit beteken dat as ons die hele coscosgrafiek 90 na regs skuif, sal dit perfek oorvleul met die sinsin grafiek. Jy kan ook die sinsin grafiek 90 na links skuif en dan sal dit perfek oorvleul met die coscos grafiek. Dit beteken dat:

sin θ = cos ( θ - 90 ) ( skuif die cos grafiek na die regterkant ) en cos θ = sin ( θ + 90 ) ( skuif die sin grafiek na die linkerkant ) sin θ = cos ( θ - 90 ) ( skuif die cos grafiek na die regterkant ) en cos θ = sin ( θ + 90 ) ( skuif die sin grafiek na die linkerkant )
(5)

### Grafiek van tanθtanθ

#### Grafiek van tanθtanθ

Voltooi die volgende tabel, gebruik jou sakrekenaar en bereken die waardes korrek tot 1 desimale plek. Stip dan die waardes met tanθtanθ op die yy-as en θθ op die xx-as.

 θ θ 0∘∘ 30∘∘ 60∘∘ 90∘∘ 120∘∘ 150∘∘ tan θ tan θ θ θ 180∘∘ 210∘∘ 240∘∘ 270∘∘ 300∘∘ 330∘∘ 360∘∘ tan θ tan θ

Kom ons kyk weer na ons waardes vir tanθtanθ.

 θ θ 0 ∘ 0 ∘ 30 ∘ 30 ∘ 45 ∘ 45 ∘ 60 ∘ 60 ∘ 90 ∘ 90 ∘ 180 ∘ 180 ∘ tan θ tan θ 0 1 3 1 3 1 3 3 ∞ ∞ 0

Nou dat ons die grafieke het vir sinθsinθ en cosθcosθ, is daar 'n maklike manier om die tan-grafiek te visualiseer. Kom ons kyk weer na ons definisies van sinθsinθ en cosθcosθ vir 'n reghoekige driehoek.

sin θ cos θ = teenoorstaande skuinssy aangrensend skuinssy = teenoorstaande aangrensend = tan θ sin θ cos θ = teenoorstaande skuinssy aangrensend skuinssy = teenoorstaande aangrensend = tan θ
(6)

Dit is die eerste van 'n stel belangrike verbande wat ons trigonometriese identiteite noem. 'n Identiteit is waar vir enige waarde van die onbekende(s) wat daarin ingestel word. In hierdie geval het ons aangetoon dat

tan θ = sin θ cos θ tan θ = sin θ cos θ
(7)

vir enige waarde van θθ.

Dus weet ons dat vir die waardes van θθ waarvoor sinθ=0sinθ=0, moet ook tanθ=0tanθ=0. Soortgelyk, as cosθ=0cosθ=0 is die waarde van tanθtanθ ongedefiniëerd omdat ons nie mag deel met 0 nie. Die grafiek word getoon in Figure 17. Die vertikale stippellyne is die waardes van θθ waarvoor tanθtanθ nie gedefiniëerd is nie.

### Funksies van die vorm y=atan(x)+qy=atan(x)+q

Die figuur hieronder is 'n voorbeeld van 'n funksie van die vorm y=atan(x)+qy=atan(x)+q.

#### Funksies van die vorm y=atan(θ)+qy=atan(θ)+q :

1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
1. a(θ)=tanθ-2a(θ)=tanθ-2
2. b(θ)=tanθ-1b(θ)=tanθ-1
3. c(θ)=tanθc(θ)=tanθ
4. d(θ)=tanθ+1d(θ)=tanθ+1
5. e(θ)=tanθ+2e(θ)=tanθ+2
Gebruik jou resultate om die invloed van qq af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
1. f(θ)=-2·tanθf(θ)=-2·tanθ
2. g(θ)=-1·tanθg(θ)=-1·tanθ
3. h(θ)=0·tanθh(θ)=0·tanθ
4. j(θ)=1·tanθj(θ)=1·tanθ
5. k(θ)=2·tanθk(θ)=2·tanθ
Gebruik jou resultate om die invloed van aa af te lei.

Ons vind dat die waarde van aa die steilheid van die bene van die grafiek beinvloed. Hoe groter die absolute waarde van a, hoe vinniger nader die bene die waardes van hulle asimptote, die waardes waar hulle nie gedefinieërd is nie. Negatiwe aa waardes keer die rigting waarin die bene van die grafiek loop, om. Ons vind verder dat die waarde van qq beïnvloed die vertikale verskuiwing net soos by sinθsinθ and cosθcosθ. Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in Table 9.

 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 q > 0 q > 0 q < 0 q < 0

#### Domein en Omvang

Die domein vanf(θ)=atan(θ)+qf(θ)=atan(θ)+q is al die waardes van θθ sodat cosθcosθ nie gelyk is aan 0 nie. Ons het reeds gesien dat as cosθ=0cosθ=0, tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ ongedefinieerd is, want ons het deling deur nul. Ons weet dat cosθ=0cosθ=0 vir alleθ=90+180θnθ=90+180θn, waar nn 'n heelgetal is. Dus die gebied vanf(θ)=atan(θ)+qf(θ)=atan(θ)+q is alle waardes van θθ, behalwe die waardes θ=90+180nθ=90+180n.

Die omvang van f(θ)=atanθ+qf(θ)=atanθ+q is {f(θ):f(θ)θ(-,)}{f(θ):f(θ)θ(-,)}.

#### Snypunte

Die yy-snypunt, yintyint, of f(θ)=atan(x)+qf(θ)=atan(x)+q is slegs die waarde van f(θ)f(θ) by θ=0θ=0.

y i n t = f ( 0 ) = a tan ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q y i n t = f ( 0 ) = a tan ( 0 ) + q = a ( 0 ) + q = q
(8)

#### Asimptote

Soos θθ geleidelik naderkom aan 9090, sal tanθtanθ nader kom aan oneindig. Maar omdat θθ ongedefinieërd is by 9090, kan θθ slegs al nader kom aan 9090, maar nooit daarby uitkom nie. So, die tanθtanθ grafiek kom nader en nader aan die lyn θ=90θ=90, sonder om dit ooit te ontmoet. Dus die lyn θ=90θ=90 is 'n asimptoot van tanθtanθ. tanθtanθ het ook asimptote by θ=90+180nθ=90+180n, waar nn 'n heelgetal is.

##### Grafieke van Trigonometriese Funksies
1. Deur you kennis van die invloed van aa en qq te gebruik, skets elk van die volgende grafieke, sonder om 'n tabel van waardes te gebruik, vir θ[0;360]θ[0;360]
1. y=2sinθy=2sinθ
2. y=-4cosθy=-4cosθ
3. y=-2cosθ+1y=-2cosθ+1
4. y=sinθ-3y=sinθ-3
5. y=tanθ-2y=tanθ-2
6. y=2cosθ-1y=2cosθ-1
Kliek hier vir die oplossing.
2. Gee die vergelykings van elk van die volgende grafieke: Kliek hier vir die oplossing.

Die volgende aanbieding som op wat jy tot dusver in die hoofstuk geleer het. Ignoreer die laaste skyfie.

## Einde van Hoofstuk Oefeninge

1. Bereken die onbekende lengtes Kliek hier vir die oplossing.
2. In die driehoek PQRPQR, PR=20PR=20 cm, QR=22QR=22 cm en PR^Q=30PR^Q=30. Die loodregte lyn van PP to QRQR sny QRQR by XX. Bereken
1. die lengte XRXR,
2. die lengte PXPX, en
3. die hoek QP^XQP^X
Kliek hier vir die oplossing.
3. 'n Leer van 15 m lank rus teen 'n muur, die basis van die leer is 5 m van die muur. Vind die hoek tussen die muur en die leer.
Kliek hier vir die oplossing.
4. 'n Leer van 25 m rus teen 'n muur, die leer maak 'n hoek 3737 met die muur. Vind die afstand tussen die muur en die basis van die leer.
Kliek hier vir die oplossing.
5. In die volgende driehoek vind die hoek AB^CAB^CKliek hier vir die oplossing.
6. In die volgende driehoek vind die lengte van sy CDCDKliek hier vir die oplossing.
7. A(5;0)A(5;0) and B(11;4)B(11;4). Vind die hoek tussen die lyn deur A en B en die x-as.
Kliek hier vir die oplossing.
8. C(0;-13)C(0;-13) and D(-12;14)D(-12;14). Vind die hoek tussen die lyn deur C en D en die y-as.
Kliek hier vir die oplossing.
9. 'n 5m5m Leer word geplaas 2m2m van die muur. Wat is die hoek wat die leer met die muur maak?
Kliek hier vir die oplossing.
10. Gegewe die punte: E(5;0), F(6;2) and G(8;-2), vind 'n hoek FE^GFE^G.
Kliek hier vir die oplossing.
11. 'n Gelykbenige driehoek het sye 9 cm ,9 cm 9 cm ,9 cm and 2 cm 2 cm . Vind die grootste en kleinste hoeke van die driehoek.
Kliek hier vir die oplossing.
12. 'n Reghoekige driehoek het 'n skuissy 13 mm 13 mm . Vind die lengte van die ander twee sye as een van die hoeke van die driehoek 5050is.
Kliek hier vir die oplossing.
13. Een van die hoeke van 'n ruit (ruit - 'n Viersydige veelhoek, waarvan elkeen van die sye van gelyke lengte is) met 'n omtrek 20 cm 20 cm is 3030.
1. Vind die sye van die ruit.
2. Vind die lengte van beide diagonale.
Kliek hier vir die oplossing.
14. Kaptein Hook seil na 'n lighuis met 'n hoogte van 10m10m.
1. As die bopunt van die lighuis 30m30m weg is, wat is die hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
2. As die boot nog 7m7m nader aan die lighuis beweeg, wat is die nuwe hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
Kliek hier vir die oplossing.
15. (Kopkrapper) 'n Driehoek met hoeke 40,4040,40 en 100100 het 'n omtrek van 20 cm 20 cm . Vind die lengte van elke sy van die driehoek.
Kliek hier vir die oplossing.

## Content actions

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

#### Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

#### Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks