'n Kwadratiese vergelyking, is 'n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.
2
x
2
+
2
x
=
1
2
-
x
3
x
+
1
=
2
x
4
3
x
-
6
=
7
x
2
+
2
2
x
2
+
2
x
=
1
2
-
x
3
x
+
1
=
2
x
4
3
x
-
6
=
7
x
2
+
2
(1)Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings daarin dat 'n lineêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl ‘n kwadratiese vergelyking hoogstens 2 oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar 'n kwadratiese vergelyking slegs een oplossing het.
Om 'n kwadratiese vergelyking op te los, herskryf ons dit met 'n 0 aan die een kant van die gelykaanteken en die produk van twee lineêre uitdrukkings, in hakies, aan die anderkant. Ons weet byvoorbeeld dat:
(
x
+
1
)
(
2
x
-
3
)
=
2
x
2
-
x
-
3
(
x
+
1
)
(
2
x
-
3
)
=
2
x
2
-
x
-
3
(2)Om op te los:
2
x
2
-
x
-
3
=
0
2
x
2
-
x
-
3
=
0
(3)moet ons in staat wees om 2x2-x-32x2-x-3 te herskryf as (x+1)(2x-3)(x+1)(2x-3), en ons weet reeds hoe om dit te doen.
Faktoriseer die volgende kwadratiese uitdrukkings:
-
x
+
x
2
x
+
x
2
-
x
2
+
1
+
2
x
x
2
+
1
+
2
x
-
x
2
-
4
x
+
5
x
2
-
4
x
+
5
-
16
x
2
-
9
16
x
2
-
9
-
4
x
2
+
4
x
+
1
4
x
2
+
4
x
+
1
As jy 'n kwadratiese uitdrukking kan faktoriseer, is jy een stap weg daarvan om 'n kwadratiese vergelyking op te los. Byvoorbeeld, x2-3x+2=0x2-3x+2=0 kan geskryf word as
(x-1)(x-2)=0(x-1)(x-2)=0. Dit beteken dat x-1=0x-1=0 of x-2=0x-2=0, wat x=1x=1 en
x=2x=2 gee as die 2 oplossings van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0.
- Deel heel eerste die hele vergelyking deur enige gemene faktore van die koëffisiënte, ten einde 'n vergelyking te kry van die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 waar aa, bb en
cc geen gemeenskaplike faktore het nie. Byvoorbeeld, 2x2+4x+2=02x2+4x+2=0
kan geskryf word as
x2+2x+1=0x2+2x+1=0
deur te deel met 2.
- Skryf ax2+bx+cax2+bx+c in terme van sy faktore (rx+s)(ux+v)(rx+s)(ux+v).
Dit beteken (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0.
- Wanneer ons die vergelyking geskryf het in die vorm (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0, volg dit dat die oplossing sal wees
x=-srx=-sr of x=-vux=-vu.
- Vervang elke moontlike waarde van die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om te toets of dit 'n geldige oplossing is.
'n Kwadratiese vergelyking het 2 wortels omdat enige een van die 2 waardes die vergelyking kan bevredig.
Los op vir xx: 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0.
- Step 1. Kry die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 :
Ons het gesien die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 is (x+1)(x+1) and (3x-1)(3x-1).
- Step 2. Skryf die vergelyking in gefaktoriseerde vorm :
(
x
+
1
)
(
3
x
-
1
)
=
0
(
x
+
1
)
(
3
x
-
1
)
=
0
(4) - Step 3. Bepaal die 2 wortels :
Ons het
of
3
x
-
1
=
0
3
x
-
1
=
0
(6)Dus, x=-1x=-1 of x=13x=13.
- Step 4. Toets die antwoorde: As ons die antwoorde instel in die oorspronklike vergelyking in, vind ons die vergelyking is waar vir beide antwoorde.
- Step 5. Skryf die finale oplossing :
3x2+2x-1=03x2+2x-1=0
vir x=-1x=-1 of x=13x=13.
Dit mag gebeur dat die vergelyking met die eerste oogopslag nie soos 'n kwadratiese vergelyking lyk nie, maar deur 'n paar bewerkings in een verander kan word. Onthou dat dieselfde bewerking aan elke kant gedoen moet word om die vergelyking geldig (waar) te hou.
Dit mag nodig wees om een of meer van die volgende te doen:
- Vermenigvuldig weerskante: Byvoorbeeld,
ax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=cax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=c
(7) - Kry weerskante die resiproke: Dit beteken om beide kante te verhef tot die mag -1-1. Byvoorbeeld,
1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c
(8) - Kwadreer weerskante: Dit beteken om weerskante te verhef tot die mag 2.
Byvoorbeeld,
ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2
(9)
Hierdie strategieë kan op verskillende wyses gekombineer word en die sekerste manier om jou intuïsie te ontwikkel oor wat die beste ding is om te doen, is om te oefen. 'n Gekombineerde stel bewerkings kan byvoorbeeld wees:
1
a
x
2
+
b
x
=
c
(
1
a
x
2
+
b
x
)
-
1
=
(
c
)
-
1
(
kry weerskante die resiprook
)
a
x
2
+
b
x
1
=
1
c
a
x
2
+
b
x
=
1
c
(
a
x
2
+
b
x
)
2
=
(
1
c
)
2
(
kwadreer weerskante
)
a
x
2
+
b
x
=
1
c
2
1
a
x
2
+
b
x
=
c
(
1
a
x
2
+
b
x
)
-
1
=
(
c
)
-
1
(
kry weerskante die resiprook
)
a
x
2
+
b
x
1
=
1
c
a
x
2
+
b
x
=
1
c
(
a
x
2
+
b
x
)
2
=
(
1
c
)
2
(
kwadreer weerskante
)
a
x
2
+
b
x
=
1
c
2
(10)
Los op vir xx: x+2=xx+2=x.
- Step 1. Kwadreer beide kante van die vergelyking :
Beide kante van die vergelyking behoort gekwadreer te word om die vierkantswortelteken te verwyder.
x
+
2
=
x
2
x
+
2
=
x
2
(11) - Step 2. Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
x
+
2
=
x
2
(
trek
x
2
af van beide kante
)
x
+
2
-
x
2
=
0
(
deel weerskante deur
-
1
)
-
x
-
2
+
x
2
=
0
x
2
-
x
-
2
=
0
x
+
2
=
x
2
(
trek
x
2
af van beide kante
)
x
+
2
-
x
2
=
0
(
deel weerskante deur
-
1
)
-
x
-
2
+
x
2
=
0
x
2
-
x
-
2
=
0
(12) - Step 3. Faktoriseer die kwadratiese drieterm :
x
2
-
x
-
2
x
2
-
x
-
2
(13)Die faktore van x2-x-2x2-x-2 is (x-2)(x+1)(x-2)(x+1).
- Step 4. Skryf die vergelyking met die faktore :
(
x
-
2
)
(
x
+
1
)
=
0
(
x
-
2
)
(
x
+
1
)
=
0
(14) - Step 5. Bepaal die 2 oplossings :
Ons het
of
Dus, x=-1x=-1 of x=2x=2.
- Step 6. Kontroleer of die oplossings geldig is :
Vervang x=-1x=-1
in die oorspronklike vergelyking x+2=xx+2=x:
LK
=
(
-
1
)
+
2
=
1
=
1
maar
RK
=
(
-
1
)
LK
=
(
-
1
)
+
2
=
1
=
1
maar
RK
=
(
-
1
)
(17)Daarom LK ≠≠ RK. Die twee kante van 'n vergelyking moet altyd balanseer; 'n moontlike oplossing wat NIE die vergelyking bevredig nie, is nie geldig nie. In hierdie geval balanseer die twee kante van die vergelyking nie.
Dus x≠-1x≠-1.
Stel nou x=2x=2 in die oorspronklike vergelyking in x+2=xx+2=x:
LK
=
2
+
2
=
4
=
2
en
RK
=
2
LK
=
2
+
2
=
4
=
2
en
RK
=
2
(18)Dus, LK = RK
Dus x=2x=2 is die enigste geldige oplossing.
- Step 7. Skryf die finale antwoord neer :
x+2=xx+2=x vir x=2x=2 alleenlik.
Los die vergelyking op: x2+3x-4=0x2+3x-4=0.
- Step 1. Kontroleer of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 :
Die vergelyking is in die verlangde vorm, met a=1a=1.
- Step 2. Faktoriseer die kwadratiese drieterm :
Jy benodig die faktore van 1 en 4 sodat die middelterm +3+3 is.
So, die faktore is:
(
x
-
1
)
(
x
+
4
)
(
x
-
1
)
(
x
+
4
)
- Step 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
x
2
+
3
x
-
4
=
(
x
-
1
)
(
x
+
4
)
=
0
x
2
+
3
x
-
4
=
(
x
-
1
)
(
x
+
4
)
=
0
(19)Dus x=1x=1 of x=-4x=-4.
- Step 4. Toets die oplossings:
12+3(1)-4=012+3(1)-4=0
(20)(-4)2+3(-4)-4=0(-4)2+3(-4)-4=0
(21)Beide oplossings is geldig.
- Step 5. Gee die finale oplossing :
Dus, die oplossing is x=1x=1 of x=-4x=-4.
Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2.
- Step 1. Bepaal of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 is met geen gemeenskaplike faktore :
Daar is 'n gemeenskaplike faktor: -2.
Dus, deel weerskante van die vergelyking deur -2.
-
2
x
2
+
4
x
-
2
=
0
x
2
-
2
x
+
1
=
0
-
2
x
2
+
4
x
-
2
=
0
x
2
-
2
x
+
1
=
0
(22) - Step 2. Faktoriseer x2-2x+1x2-2x+1 :
Die middelterm is negatief. Dus, die faktore is (x-1)(x-1)(x-1)(x-1).
As ons uitvermenigvuldig (x-1)(x-1)(x-1)(x-1), kry ons x2-2x+1x2-2x+1.
- Step 3. Los die kwadratiese vergelyking op :
x
2
-
2
x
+
1
=
(
x
-
1
)
(
x
-
1
)
=
0
x
2
-
2
x
+
1
=
(
x
-
1
)
(
x
-
1
)
=
0
(23)In hierdie geval is die kwadratiese uitdrukking 'n volkome vierkant, so daar is net een oplossing vir xx: x=1x=1.
- Step 4. Toets die oplossing:
-2(1)2+4(1)-2=0-2(1)2+4(1)-2=0
- Step 5. Skryf die finale oplossing neer :
Die wortel van 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2 is x=1x=1.
