Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Waarskynlikheid: deel 1

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • FETWisk display tagshide tags

    This module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
    By: Siyavula

    Review Status: Approved

    Click the "FETWisk" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Waarskynlikheid: deel 1

Module by: Free High School Science Texts Project. E-mail the author

Inleiding

Ons kan wiskunde in suiwer- en toegepastewiskunde opdeel. Suiwer-wiskunde is die teorie van wiskunde en dit is baie abstrak. Die werk wat jy tot dusver in algebra gedoen het is meestal suiwerwiskunde. Toegepastewiskunde neem die teorie (of suiwerwiskunde) en pas dit op die regte wêreld toe. Om toegepastewiskunde te kan doen, moet jy eers die suiwerwiskunde bemeester.

Wat het dít nou te doen met waarskynlikheid? Wel, net soos wiskunde in suiwer- en toegepastewiskunde verdeel kan word, só kan statistiek ook in waarskynlikheidsteorie en toegepaste-statistiek opgedeel word. Waar jy nie toegepastewiskunde sonder teorie kan doen nie, só kan jy ook nie statistiek baasraak sonder om eers met ’n bietjie waarskynlikheidsteorie te begin nie. Voorts, soos dit nie moontlik is om te beskryf wat rekenkunde is sonder die beskryf van wiskunde as ’n geheel nie, is dit nie moontlik om te beskryf wat waarskynlikheidsteorie is sonder ’n basiese begrip van wat statistiek as ’n geheel is nie. Statistiek, in sy breedste sin, gaan oor 'prosesse'.

Note: Interessante feit:

Galileo het ’n paar idees oor dobbelsteenspeletjies in die sewentiende eeu neergeskryf. Sedertdien is daar al baie besprekings gevoer en artikels geskryf oor die waarskynlikheidsteorie, maar dit bly steeds 'n deel van Wiskunde wat nie goed verstaan word nie.

’n Proses is hoe ’n voorwerp verander oor tyd. Byvoorbeeld, kom ons beskou ’n muntstuk: die muntstuk opsigself is nie ’n proses nie; dit is slegs ’n voorwerp. Wanneer ek die muntstuk sou opskiet (dit deur ’n proses sit), na ’n sekere hoeveelheid tyd (hoe lank dit sal neem om te land), sal dit ’n finale toestand bereik. Ons verwys gewoonlik na hierdie finale toestand as ‘kop’ of ‘stert’, na gelang van watter kant van die muntstuk die gesig geland het. Dit is hierdie kop of stert waarin die statistikus (persoon wat statistiek bestudeer) belangstel. Sonder die proses is daar niks om te bestudeer nie. Wanneer die muntstuk bloot stil lê, is dit natuurlik óók ’n proses. Omdat ons alreeds weet dat die finale toestand identies aan die oorspronklike toestand is, is dit nie juis ’n besondere interessante proses nie. Indien daar van ’n proses gepraat word, bedoel ons een waar die uitslag nog nie bekend is nie, anders is daar geen werklike punt in die analise nie. Met bogenoemde begrip is dit baie maklik om te verstaan presies wat waarskynlikheidsleer is.

Wanneer ons praat van waarskynlikheidsteorie as ’n geheel, bedoel ons die manier waarop ons die hoeveelheid moontlike uitkomstes van prosesse bepaal. Net soos toegepastewiskunde die metodes van suiwerwiskunde neem en toepas op werklike situasies, neem toegepastestatistiek die middele en metodes van waarskynlikheidsteorie (dws die middele en metodes wat gebruik word om moontlike uitkomste van gebeure te bepaal) en pas dit op werklike gebeure toe in een of ander manier. Byvoorbeeld, ons kan waarskynlikheidsteorie gebruik en die moontlike uitkoms van bogenoemde munt-opskiet op 50% kop, 50% stert vaspen. Statistiek kan dan gebruik word om dit toe te pas op ’n werklike situasie deur te sê dat indien daar ses munte op die tafel lê, die mees waarskynlike uitkoms is dat drie munte kop en drie munte stert sal land. Natuurlik kan die uitkoms verskil, maar indien ons op slegs EEN uitkoms kon wed, sal ons vermoedelik dáárop wed omdat dit die mees waarskynlike is. Ons gaan alreeds hier te vêr vooruit, so kom ons neem 'n stap terug.

Om die resultate te bepaal, kan ons ’n verskeidenheid van metodes, name en notasies gebruik. ’n Paar algemenes is:

  • ’n persentasie (byvoorbeeld: 50%)
  • ’n verhouding van die totale hoeveelheid uitkomste (byvoorbeeld: ‘vyf uit tien’)
  • ’n breukdeel van een (byvoorbeeld, ½)

Jy sal opmerk dat al drie van die bogenoemde voorbeelde dieselfde waarskynlikheid verteenwoordig. In werklikheid is ENIGE metode van waarskynlikheid gegrond op die volgende proses:

  1. Omskryf 'n proses.
  2. Omskryf die totale maatreël vir alle uitkomste van die proses.
  3. Beskryf die waarskynlikheid van elke moontlike uitkoms van die proses met betrekking tot die totale maatstaf.

Die term “maatstaf” kan verwarrend wees, maar mens kan daaraan dink as ’n liniaal. Wanneer ons ’n liniaal neem wat 1 meter lank is, dan is die helfte van die liniaal 50 sentimeter, ’n kwart van die liniaal is 25 sentimeter, ens. Dit is belangrik om te onhou dat sonder die liniaal maak dit geen sin om te praat van die liniaal afmetinge nie! Trouens, die drie voorbeelde hierbo (50%, ‘vyf uit tien’ en ½) verteenwoordig dieselfde waarskynlikheid, die enigste verskil is hoe die totale maatstaf (liniaal) gedefinieer was. As ons terug gaan en nadink in terme van ’n liniaal beteken 50%, 50 uit 100, of dat ons 50 dele van die oorspronklike 100 dele (sentimeter) gebruik om die uitslag se hoeveelheid te bepaal. Vyf uit tien beteken vyf dele uit die oorspronklike 10 dele (tien sentimeter deeltjies) bepaal die uitslag. In die laaste voorbeeld beteken ½ dat ons die liniaal in twee dele verdeel en sê dat een van daardie twee dele die uitslag bepaal. Onthou net dat hierdie notasies bloot verskillende maniere is om na dieselfde 50 eenhede van die 100 sentimeter liniaal te verwys! In terme van kansrekening stel ons slegs in die verhouding tot die geheel belang.

Alhoewel daar baie maniere bestaan om ’n maatstaf te definieer, is die mees algemeen en maklikste een om ‘1’ as die totale maatstaf te gebruik. Wanneer ons dan ’n munt-opskiet beskou, sal ons sê dat die kans vir kop ½ is (dws helfte van een) en die kans vir stert ook ½. Aan die ander kant, wanneer ons die geval beskou waar die munt nie opgeskiet word nie en tans kop-boontoe lê is die waarskynlikheid van kop nou 1 terwyl die kans vir stert 0 is. Ons kon net sowel 14 as die oorspronklike maatstaf gebruik het. In daardie geval sou die waarskynlikheid vir kop of stert met die opskiet beide 7 uit 14 gewees het, terwyl die waarskynlikheid 14 uit 14 sou wees vir kop as die munt nie opgeskiet is nie en 0 uit 14 vir stert. Soortgelyk, wanneer ons die gooi van ’n dobbelsteen ondersoek, sal dit makliker wees om die maatstaf as 6 te kies en te sê dat die waarskynlikheid dat ’n 4 gegooi word ‘1 uit die 6’ is, gewoonlik sal ons sommer sê dat dit 1/6 is.

Definisie

Daar is drie belangrike konsepte verbonde aan ’n lukrake eksperiment: ‘uitkoms,’ ‘steekproefgrootte’ en ‘gebeurtenis.’ Twee voorbeelde van eksperimente sal gebruik word om jou met hierdie terme vertroud te maak:

  • In Eksperiment 1 word ’n enkele dobbelsteen gerol en die waarde van die boonste vlak nadat dit tot rus gekom het word neergeskryf.
  • In Eksperiment 2 word twee dobbelstene gerol op dieselfde tyd en die som van die waardes van elke boonste vlak na stilstand word aangeteken.

Uitkomste

Die uitkoms van ’n eksperiment is ’n enkele resultaat van daardie eksperiment.

  • ’n Moontlike uitkoms van Eksperiment 1: die waarde van die boonste vlak is ‘3’
  • ’n Moontlike uitkoms van Eksperiment 2: die totale waarde van die boonste vlakke is ‘9’

Steekproefruimte

Die steekproefruimte van ’n eksperiment is die volledige stel moontlike uitkomste van die eksperiment.

  • Eksperiment 1: die steekproefruimte is 1,2,3,4,5,6
  • Eksperiment 2: die steekproefruimte is 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Note: Interessante feit:

Wanneer jy twee dobbelstene werp en die resultate sommeer, is die mees algemene uitkoms sewe. Om dit te verstaan, onthou dat daar net een manier bestaan waarop twee as ’n resultaat verkry kan word (beide stene land op een) en daar is slegs een manier om 12 as ’n resultaat te kry (beide stene land op ses). Die teenoorgestelde kante van ’n ses-kantige dobbelsteen sommeer na sewe. Van hierdie inligting moet jy kan uitredeneer dat daar 12 maniere bestaan waarop sewe verkry kan word.

Gebeurtenisse

’n Gebeurtenis is enige stel uitkomste van ’n eksperiment

  • ’n Moontlike gebeurtenis van Eksperiment 1: ’n ewe-nommer op die boonste vlak van die dobbelsteen
  • ’n Moontlike gebeurtenis van Eksperiment 2: die getalle op die boonste vlakke is gelyk

Ewekansige Eksperimente

Die begrip ewekansige eksperiment of statistiese eksperiment word gebruik om enige herhaalbare proses te beskryf waarvan die resultate op een of ander manier ontleed is. Byvoorbeeld, die opskiet van ’n muntstuk en aantekening van die resultaat is ’n ewekansige eksperiment, want die proses is herhaalbaar. Aan die ander kant, jou lees van hierdie sin vir die eerste keer en aantekening van of jy dit verstaan of nie is nie ’n ewekansige eksperiment nie, omdat dit nie herhaalbaar is nie (indien jy wel ’n reeks verskeie mense vra om dit te lees en ’n aantekening te maak oor of hulle dit verstaan, al dan nie, sal dit ’n ewekansige eksperiment word).

Venn diagramme

’n Venn-diagram kan gebruik word om die verhouding tussen die moontlike uitkomste van ’n ewekansige eksperiment en die steekproefruimte te toon. Die Venn-diagram op Figure 1 toon die verskil tussen die universele stel, ’n voorbeeldruimte en gebeure en hul uitkomste as deelversamelings van die steekproefruimte.

Figure 1: Diagram om die verskil tussen die universele stel en voorbeeldruimte uit te beeld. Die voorbeeldruimte bestaan uit alle moontlike uitkomste van ’n statistiese eksperiment en ’n gebeurtenis is 'n deelruimte van die voorbeeld ruimte.
Figure 1 (MG10C17_001.png)

Ons kan Venn-diagramme teken vir eksperimente met twee en drie gebeurtenisse. Hulle word gewys in Figure 2 en Figure 3. Venn-diagramme vir eksperimente met meer as drie gebeurtenisse is meer kompleks en word nie op hierdie vlak behandel nie.

Figure 2: Venn-diagram vir ’n eksperiment met twee gebeurtenisse.
Figure 2 (venn1.png)
Figure 3: Venn-diagram vir ’n eksperiment met drie gebeurtenisse.
Figure 3 (venn2.png)

Note: Interessante feit:

Die Grieks-, Russiese- en Latynse-alfabet kan geïllustreer word deur middel van Venn-diagramme. Al drie hierdie alfabette het sommige gemene letters. Die Venn-diagram word hier onder gegee:
Figure 4
Figure 4 (venn_ifact.png)

Die vereniging van AA en BB is die stel van alle elemente in AA of in BB (of in beide). AofBAofB word ook geskryf asA∪BA∪B. Die snypunt van AA en BB is die stel van alle elemente in beide AA én BB. AenBAenB word ook geskryf as A∩BA∩B.

Venn-diagramme kan ook gebruik word om die vereniging en snypunte tussen gebeure in 'n monsterruimte aan te dui (Figure 5 en Figure 6).

Figure 5: Venn-diagram om die vereniging (samesmelting) van twee gebeurtenisse, AA en BB, te wys in die steekproefruimte SS.
Figure 5 (union.png)
Figure 6: Venn-diagram om die kruising van die twee gebeurtenisse, AA en BB, te wys in die steekproefruimte SS. Die swart gedeelte dui op die kruispunt.
Figure 6 (intersect.png)

Ons gebruik n(S)n(S) om na die hoeveelheid elemente in ’n stel, SS, te verwys. Ook n(X)n(X) vir die hoeveelheid elemente in XX, ens.

Exercise 1: Ewekansige Eksperimente

Gestel jy het ’n boks met stukkies papier daarin waarop die getalle van een tot nege geskryf is. Jy trek nou ’n papiertjie en kyk na die nommer daarop. Laat SS die steekproefruimte voorstel, PP dui op die ‘trek van ’n priemgetal’ en EE wys op die ‘trek van ’n ewegetal.’ Deur van die gepaste notasie gebruik te maak, op hoeveel maniere is dit moontlik om die volgende te trek: i) enige getal? ii) ’n priemgetal? iii) ’n ewegetal? iv) ’n getal wat óf priem óf ewe is? v) ’n getal wat beide priem én ewe is?

Solution
  1. Step 1. Beskou die gebeure: :
    • Trek ’n priemgetal: P={2;3;5;7}P={2;3;5;7}
    • Trek ’n ewegetal: E={2;4;6;8 }E={2;4;6;8 }
  2. Step 2. Teken ’n diagram :

    Figure 7
    Figure 7 (MG10C17_003.png)

  3. Step 3. Bepaal die vereniging :

    Die vereniging van PP en EE is die stel van alle elemente in PP of EE (of in albei). P∪E=2,3,4,5,6,7,8 P∪E=2,3,4,5,6,7,8 .

  4. Step 4. Bepaal die kruispunt :

    Die kruispunt van PP en EE is die stel van alle elemente in beide PP en EE. P∩E=2P∩E=2.

  5. Step 5. Bepaal die getal in elke stel :
    ∴ n ( S ) = 9 n ( P ) = 4 n ( E ) = 4 n ( P ∪ E ) = 7 n ( P ∩ E ) = 2 ∴ n ( S ) = 9 n ( P ) = 4 n ( E ) = 4 n ( P ∪ E ) = 7 n ( P ∩ E ) = 2
    (1)

Exercise 2

In 'n opname is 100 mense gevra watter kitskosrestaurant hulle verkies (Nando’s, Debonairs of Steers). Die volgende resultate is aangeteken:

  • 50 het Nando’s verkies
  • 66 het Debonairs verkies
  • 40 het Steers verkies
  • 27 het Nando’s en Debonairs verkies, maar nie Steers nie
  • 13 het Debonairs en Steers verkies, maar nie Nando’s nie
  • 4 het van al drie gehou
  • 94 het van ten minste een gehou
  1. Hoeveel mense het nie van een van die restaurante gehou nie?
  2. Hoeveel mense het van Nando’s en Steers gehou maar nie van Debonairs nie?

Solution
  1. Step 1. Teken ’n Venn-diagram: Die hoeveelheid mense wat van Nando’s en Debonairs gehou het is 27, dus is dít die kruising van hierdie twee gebeure. Die aantal mense wat Debonairs en Steers verkies het is 13, dus is die kruising van dié twee gebeure 13. Ons word ook vertel dat daar vier mense is wat van al drie opsies hou, dus beteken dit dat daar vier mense in die kruising van al drie opsies is. Só kan ons bepaal dat die getal mense wat net van Debonairs hou 66–4–27-13=2266–4–27-13=22 is. (Dit is bloot die totale getal mense wat van Debonairs hou minus die hoeveelheid mense wat Debonairs en Steers verkies, of Debonairs en Nando’s of al drie). Ons teken die volgende diagram om die data voor te stel:
    Figure 8
    Figure 8 (Vennwex1.png)
  2. Step 2. Werk uit hoeveel mense geeneen verkies nie.: Ons word vertel dat daar 100 mense is en dat 94 van tenminste een hou. Dus is die aantal mense wat nie van een hou nie: 100–94=6100–94=6. Hierdie is die antwoord van a).
  3. Step 3. Bepaal hoeveel van Nandos en Steers hou, maar nie Debonairs nie: Ons kan die deel van die Venn-diagram oorteken wat hier van belang is:
    Figure 9
    Figure 9 (Vennwex2.png)
    Totale aantal mense wat van Nando’s hou: 50
     Van hierdie hou 27 van beide Nando’s en Debonairs en vier van al drie opsies. Die totale aantal mense wat slegs van Nando’s hou is dus: 50–27–4=1950–27–4=19
     Totale aantal mense wat van Steers hou: 40
     Van hierdie hou 13 van beide Steers en Debonairs en vier hou van al drie opsies. Ons kan dus vasstel dat die totale aantal mense wat slegs van Steers hou: 40–13–4=2340–13–4=23 is.
     Gebruik nou die identiteit n(Nando’s of Steers)=n(Nando’s)+n(Steers)–n(Nando’s en Steers)n(Nando’s of Steers)=n(Nando’s)+n(Steers)–n(Nando’s en Steers) om die getal mense te bepaal wat van Nando’s en Steers hou, maar nie van Debonairs nie.
    n(Nando’s of Steers) = n(Nando’s)+n(Steers)–n(Nando’s en Steers) 28 = 23+19–n(Nando’s en Steers) n(Nando’s en Steers) = 14 n(Nando’s of Steers) = n(Nando’s)+n(Steers)–n(Nando’s en Steers) 28 = 23+19–n(Nando’s en Steers) n(Nando’s en Steers) = 14
    (2)
    Die Venn-diagram wat al hierdie informasie voorstel is:
    Figure 10
    Figure 10 (Vennwex3.png)

Aktiwiteit: Venn-diagramme

Van watter selfoonnetwerk maak jy tans gebruik (VodaCom, MTN of Cell C) Vorder hierdie inligting van jou klasmaats in en gebruik dit om vas te stel hoeveel van jou klas gebruik slegs een netwerk en hoeveel gebruik al drie.

Ter afronding

'n Laaste begrip wat belangrik is om te verstaan, is dié van komplementêre gebeurtenis. In meetkunde, as ons twee hoeke het wat komplementêr genoem word, beteken dit dat die som van hierdie twee hoeke 90 grade is (hierdie twee hoeke 'komplementeer' mekaar om 'n regte hoek te vorm). Net so is die komplement van 'n stel uitkomstes AA al die uitkomstes in die steekproefruimte en nie binne AA nie. Dit word gewoonlik aangedui as A'A' of soms AcAc en word genoem die 'komplement van AA' of net 'AA-komplement'. Dus, as SS die totale steekproefruimte van alle uitkomstes voorstel, en AA is 'n deelruimte van enige uitkomstes waarin ons belangstel (dws enige gebeurtenis), dan is die stelling A∪A' = SA∪A' = S altyd waar, (dws A'A' komplementeer AA om die totale steekproefruimte te vorm). Dus, in bogenoemde oefening, P'={1,4,6,8,9}P'={1,4,6,8,9}, while E'={1,3,5,7,9}E'={1,3,5,7,9}. So n(P')=n(E')=5n(P')=n(E')=5.

Die waarskynlikheid van 'n komplementêre gebeurtenis verwys na die waarskynlikheid wat ons verbind met die komplement van 'n gebeurtenis. Dws. die waarskynlikheid dat iets anders eerder as die gebeurtenis waarna verwys word, sal gebeur. Byvoorbeeld, as P(A)=0,25P(A)=0,25, dan is die waarskynlikheid dat AA nie sal gebeur nie, die waarskynlikheid dat alle ander gebeurtenisse in SS wel sal plaasvind, minus die gebeurtenis van AA.

In teorie is dit baie maklik om 'n komplement te bereken, aangesien die aantal elemente in die komplement van' n stel net die totale aantal uitkomste in die steekproefruimte is minus die uitkomste wat in daardie stel is. (In die voorbeeld hierbo, was daar 9 moontlike uitkomste in die steekproefruimte, en 4 moontlike uitkomste in elk van die stelle wat ons in belangstel. Dus bevat beide komplemente 9-4 = 5 elemente). Net so, is dit maklik om waarskynlikheid van 'n komplementere gebeurtenis te bepaal, want dit is eenvoudig die totale waarskynlikheid (bv. 1, indien ons totale maatreël 1 is) minus die waarskynlikheid van die gebeurtenis waarin ons belangstel.Daarom,

P(A')=1 - P(A)P(A')=1 - P(A)

Dit is soms makliker om die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis te bereken deur eerder eers die waarskynlikheid dat die komplementêre gebeurtenis NIE sal plaasvind nie, te bereken. Byvoorbeeld, kom ons neem aan dat die proses waarin ons belangstel is om drie dobbelstene te werp, en die gebeurtenis waarin ons belangstel is dat ten minste een van die dobbelstene se vlakke 'n een toon. Dit is beslis makliker om eers te bereken wat die waarskynlikheid is dat 'n een NIE sal plaasvind nie, as om al die moontlike kombinasies te bereken van die drie dobbelstene waar 'n een wel sal plaasvind!

Exercise 3

Indien jy twee dobbelstene werp, een rooi en een blou, wat is die waarskynlikheid dat ten minste een van hierdie twee 'n ses sal toon?

Solution
  1. Step 1. Bereken die waarskynlikheid van gebeurtenis 1:
    Om hierdie tipe vraag op te los, bereken die waarskynlikheid dat daar geen ses sal wees nie.
  2. Step 2. Bereken die waarskynlikheid van gebeurtenis 2:
    Die waarskynlikheid dat die rooi dobbelsteen nie 'n ses sal wees nie is 5 uit 6, en die waarskynlikheid dat die blou dobbelsteen nie 'n ses sal wees nie is ook 5 uit 6.
  3. Step 3. Die waarskynlikheid dat nie een van hierdie 'n ses sal wees nie:
    Dit kan bereken word soos volg: 5/6×5/6=25/36.
  4. Step 4. Die waarskynlikheid van een:
    Die waarskynlikheid dat slegs een 'n ses sal wees kan bereken word soos volg: 1−25/36=11/36

Exercise 4

'n Sak bevat drie rooi balle, vyf wit balle, twee groen balle en vier blou balle:

1. Bereken die waarskynlikheid dat 'n rooi bal uit die sak gehaal sal word.
2. Bereken die waarskynlikheid dat 'n bal wat NIE rooi is nie, uit die sak gehaal sal word.

Solution
  1. Step 1. Vind gebeurtenis 1:

    Gestel R is die gebeurtenis waar 'n rooi bal uit die sak gehaal word.
     • P(R)-n(R)/n(S)=3/14
    • R en R' is komplementêre gebeurtenisse
  2. Step 2. Bereken die waarskynlikhede:

    ∴ P(R') = 1 - P(R) = 1 -3/14 = 11/14.
  3. Step 3. Alternatiewe oplossing:

    • Alternatiewelik, P(R') = P(B) + P(W) + P(G)
    • P(R') = 4/14 + 5/14 + 2/14 = 11/14

Waarskynlikheid in die Alledaagse Lewe

Waarskynlikheidsleer hou verband met onsekerheid. In enige statistiese eksperiment, kan die moontlike uitkomste bekend wees, maar om presies te sê watter een, is nie bekend nie. Waarskynlikheidsteorie formuleer, op 'n Wiskundige wyse, onvolledige kennis met betrekking tot die moontlikheid of waarskynlikheid van 'n gebeurtenis. Byvoorbeeld, 'n weervoorspeller sal sê dat daar 'n 60% kans is dat dit môre gaan reën. Dit beteken dat 6 van elke 10 keer wanneer die wêreld in die huidige toestand verkeer, dit môre sal reën.

Nog 'n manier om na waarskynlikheid te verwys is kans. Die kans van 'n gebeurtenis word gedefinieer as die verhouding van die waarskynlikheid dat die gebeurtenis plaasvind na die waarskynlikheid dat dit nie plaasvind nie. Byvoorbeeld, die kans dat 'n muntstuk op 'n gegewe kant land is 0.50.5=10.50.5=1, gewoonlik geskryf "1 tot 1" of "1:1". Dit beteken dat die muntstuk gemiddeld so veel keer op die een kant sal land as wat dit op die ander kant sal land.

Die Eenvoudigste Voorbeeld: Ewe Waarskynlike Uitkomste

Ons sê dat twee uitkomste ewe waarskynlik is as hulle 'n gelyke kans het om te gebeur. Byvoorbeeld wanneer 'n billike muntstuk opgeskiet word, sal elke uitkoms in die steekproefruimte S={kop,stert}S={kop,stert} ewe waarskynlik wees om voor te kom.

Waarskynlikheid is 'n funksie van gebeurtenisse (sedert dit nie moontlik is dat vir 'n enkele gebeurtenis twee verskillende waarskynlikhede bestaan nie), so ons dui gewoonlik die waarskynlikheid PP dat 'n seker gebeurtenis EE voorkom as P(E)P(E). Wanneer al die uitkomste ewe waarskynlik is (in enige aktiwiteit), is dit redelik maklik om die waarskynlikheid dat 'n sekere gebeurtenis sal plaasvind te bepaal. In hierdie geval,

P(E) = n(E)/n(S)P(E) = n(E)/n(S)

Byvoorbeeld, wanneer ons 'n ewekansige dobbelsteen rol is die steekproefruimtee space is S={1;2;3;4;5;6}S={1;2;3;4;5;6} so die totale aantal moontlike uitkomste n(S)=6n(S)=6.

Gebeurtenis 1: Rol 'n 4

Die enigste moontlike uitkom is 44, i.e E={4}E={4}. So n(E)=1n(E)=1.

Die waarskynlikheid dat 'n 4 gerol word: P(k=4) = n(E)/n(S) = 1/6P(k=4) = n(E)/n(S) = 1/6.

Gebeurtenis 2: Rol 'n nommer groter as 3

Gunstige uitkomste: E={4;5;6}E={4;5;6}

Aantal gunstige uitkomste : n(E)=3n(E)=3.

Die waarskynlikheid om 'n nommer groter as 3 te rol: P(k>3) = n(E)/n(S) = 3/6 = 1/2P(k>3) = n(E)/n(S) = 3/6 = 1/2.

Exercise 5

'n Standaard pak kaarte (sonder harlekyne) het 52 kaarte. Daar is vier stelle kaarte: harte, klawers, skoppe, en diamante wat die pas genoem word. Die pas waaraan 'n kaart behoort word aangedui deur' n simbool op die kaart. Elke pas het 13 kaarte (4 passe ×13 kaarte =524 passe ×13 kaarte =52) wat opgemaak word deur een van elke tipe - ase, koning, koningin, boer en die nommerkaarte 2 tot 10.

As ons lukraak 'n kaart uit die pak trek, kan ons die gekose kaart beskou as 'n moontlike uitkoms. Dus is daar is 52 moontlike uitkomstes. Ons kan nou kyk na verskeie gebeurtenisse en hul waarskynlikhede bereken:

  1. Slegs 13 van die 52 kaarte is klawers. Daarom, as die gebeurtenis van belang die trek van 'n klawer is, sal daar 13 gunstige uitkomste wees. Wat is die waarskynlikheid van hierdie gebeurtenis?
  2. Daar is 4 konings in 'n pak (een van elke pas). Wat is die waarskynlikheid dat 'n koning getrek word?
  3. Wat is die waarskynlikheid om 'n koning of klawer te trek?
Solution
  1. Step 1. Eerste vraag :

    Die waarskynlikheid van hierdie gebeurtenis is 1352=141352=14.

  2. Step 2. Tweede vraag :

    452=113452=113.

  3. Step 3. Derde vraag :

    Hierdie voorbeeld is 'n bietjie meer ingewikkeld. Ons kan nie bloot die aantal uitkomste in elke geval afsonderlik bymekaar tel nie (4 + 13 = 17) want dan word een van die uitkomste dubbeld getel (die koning van klawers). Hoekom is dit so? Wel, soos aangedui in vraag 3, deel (f) hierbo, n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). In die resultate met die gooi van die dobbelsteen, was die kruising van enige twee uitkomste leeg (en dus n(A∩B)=0n(A∩B)=0) aangesien dit nie moontlik is vir die bokant van 'n dobbelsteen om twee verskillende waardes gelyktydig te hê. Maar in hierdie geval, kan 'n kaart op dieselfde tyd sowel as' n klawer en 'n koning wees (dws n(A∩B)=1n(A∩B)=1). Daarom, n(A∪B)=4+13-1=16n(A∪B)=4+13-1=16. So die korrekte antwoord is 16521652.

Waarskynlikheids modelle
  1. 'n Houer bevat 1 wit, 6 rooi, 3 blou en 2 groen balle. 'n Bal word lukraak gekies. Wat is die waarskynlikheid dat dit die volgende kleur het:
    1. rooi
    2. blou of wit
    3. nie groen nie (wenk: dink 'komplement')
    4. nie groen of rooi nie?
    Kliek hier vir die antwoord.
  2. 'n Enkele kaart word lukraak uit 'n pak van 52 kaarte getrek. Wat is die waarskynlikheid dat die kaart:
    1. die 2 van harte is
    2. rooi
    3. 'n prent kaart
    4. 'n ase
    5. 'n nommer kaart kleiner as 4?
    Kliek hier vir die antwoord.
  3. Ewe getalle van 2-100 word elk op 'n kaart geskryf. Wat is die waarskynlikheid daarvan dat die getal'n veelvoud van 5 is as 'n kaart lukraak getrek word?
    Kliek hier vir die antwoord.

Waarskynlikheids Identiteite

Die volgende resultate is van toepassing op waarskynlikhede, vir die steekproefruimte SS en die twee gebeurtenisse AA en BB, binne SS.

P ( S ) = 1 P ( S ) = 1
(3)
P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )
(4)
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )
(5)

Ons kan die laaste resultaat demonstreer met behulp van 'n Venn-diagram. Die vereniging van A en B is die versameling van al die elemente in 'n of in B of beide.

Figure 11
Figure 11 (venn1.png)

Die waarskynlikheid dat gebeurtenis A voorkom word gegee as P(A)P(A) en die waarskynlikheid dat gebeurtenis B voorkom deur P(B)P(B). Maar, as ons die sirkels wat hierdie gebeurtenisse voorstel ondersoek sal ons opmerk dat dat die waarskynlikheid 'n klein deeltjie van die ander gebeurtenis insluit. So gebeurtenis A bevat 'n stukkie van B en andersom. Dit word in die volgende diagram aangedui:

Figure 12
Figure 12 (identity1.png)
Ons merk op dat hierdie klein gedeelte die snyding van die twee gebeurtenisse is.

Wanneer ons die waarskynlikheid van P ( A ∪ B )P(A∪B) wil bepaal merk ons die volgende op:

  • Ons kan P ( A )P(A) en P ( B )P(B) bymekaar tel
  • Maar deur dit te doen tel ons die snyding dubbeld: een keer in P ( A )P(A) en nog 'n keer in P ( B )P(B).
So, as ons net die waarskynlikheid van die snyding aftrek, dan sal ons vind dat die totale waarskynlikheid van die unie is: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

Exercise 6: Waarskynlikheids identiteite

Wat is die waarskynlikheid dat ons 'n swart of rooi kaart uit 'n pak van 52 kaarte sal trek.

Solution
  1. Step 1. Skryf die antwoord neer:

    P(S)=n(E)n(S)=5252=1P(S)=n(E)n(S)=5252=1 want al die kaarte is of swart of rooi!

Exercise 7: Waarskynlikheids identiteite

Wat is die waarskynlikheid om met 'n enkele trekbeurt uit 'n pak van 52 kaarte 'n klawer of ase te trek.

Solution
  1. Step 1. Besluit watter identiteit beskryf die situasie :
    P ( klawer ∪ ase ) = P ( klawer ) + P ( ase ) - P ( klawer ∩ ase ) P ( klawer ∪ ase ) = P ( klawer ) + P ( ase ) - P ( klawer ∩ ase )
    (6)
  2. Step 2. Bereken die antwoord :
    = 1 4 + 1 13 - 1 4 × 1 13 = 1 4 + 1 13 - 1 52 = 16 52 = 4 13 = 1 4 + 1 13 - 1 4 × 1 13 = 1 4 + 1 13 - 1 52 = 16 52 = 4 13
    (7)

    Neem kennis hoe ons gebruik gemaak het van P(C∪A)=P(C )+P(A)-P(C∩A)P(C∪A)=P(C )+P(A)-P(C∩A).

Die volgende video verskaf 'n kort opsomming van sommige van die werk wat ons tot dusver behandel het.

Figure 13
Khan academy video oor waarskynlikheid

Oefeninge met waarskynlikheidsidentiteite

Beantwoord die volgende vrae:

  1. Rory oefen vir 'n skyfskiet kompetisie. Sy waarskynlikheid om die teiken te tref is 0,70,7. Hy vuur vyf skote af. Wat is die waarskynlikheid dat al vyf skote mis is?
    Kliek hier vir die antwoord.
  2. 'n Boogskut skiet op 'n teiken. Die waarskynlikheid vir 'n kolskoot is 0,40,4. As sy drie pyle skiet, wat is die waarskynlikheid van drie kolskote?
    Kliek hier vir die antwoord.
  3. 'n Dobbelsteen met die nommers 1,3,5,7,9,11 word gerol. Op dieselfde tyd word 'n ewekansige munt opgeskiet. Wat is die waarskynlikheid dat :
    1. Die munt land op "kop" en 'n 9 word gerol?
    2. Die munt land op "stert" en 'n 3 word gerol?
    Kliek hier vir die antwoord.
  4. Vier leerder skryf 'n toets. Die waarskynlikhede dat elkeen slaag is as volg. Sarah: 0,80,8, Kosma: 0,50,5, Heather: 0,60,6, Wendy: 0,90,9. Wat is die waarskynlikheid dat:
    1. al vier slaag?
    2. al vier druip?
    Kliek hier vir die antwoord.
  5. Met 'n enkele trekbeurt uit 'n pak van 52 kaarte, wat is die waarskynlikheid dat die kaart 'n ase of 'n swart kaart is?
    Kliek hier vir die antwoord.

Onderling Uitsluitende Gebeurtenisse

Onderling uitsluitende gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie op dieselfde tyd waar kan waar wees nie.

Voorbeelde van onderling uitsluitende gebeure is:

  1. 'n Dobbelsteen wat op 'n ewe of op 'n onewe getal land.
  2. 'n Student wat 'n eksamen dop of slaag.
  3. 'n Muntstuk wat op kop of stert land

Dit beteken dat as ons die elemente ondersoek wat die stelle AA en BB opmaak, sal daar geen gemeenskaplike elemente wees nie. Daarom, A∩B=∅A∩B=∅ (waar ∅∅ verwys na die leë stel). Since, P(A∩B)=0P(A∩B)=0, vergelyking Equation 5 word:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
(8)

vir onderling uitsluitende gebeurtenisse.

Ons kan onderling uitsluitende gebeurtenisse op 'n Venn-diagram voorstel. In hierdie geval raak die twee sirkels nie aan mekaar raak, maar is eerder heeltemal aparte dele van die steekproefruimte.

Figure 14: Venn diagram vir onderlinge uitsluitende gebeurtenisse
Figure 14 (mutualexclusive.png)

Oefeninge met onderling uitsluitende gebeutrenisse

  1. 'n Boks bevat gekleurde blokkies. Die aantal van elke kleur word deur die volgende tabel voorgestel.
    Table 1
    KleurPersOranjeWitPienk
    Aantal blokkies24324119
    'n Blokkie word ewekansig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat die blokkie:
    1. pers
    2. pers of wit is
    3. pienk en oranje is
    4. nie oranje is nie?
    Klik hier vir die oplossing.
  2. 'n Klein private skool het' n klas met kinders van verskillende ouderdomme. Die tabel gee die aantal leerlinge van elke ouderdomsgroep in die klas.
    Table 2
    3 jarige meisies 3 jarige seuns4 jarige meisies4 jarige seuns5 jarige meisies5 jarige seuns
    625746
    As 'n leerder lukraak gekies word, wat is die waarskynlikheid dat dat die leerder:
    1. 'n meisie is
    2. 'n 4 jarige seun is
    3. 3 of 4 jaar oud is
    4. 3 en 4 jaar oud is
    5. nie 5 jaar oud is nie
    6. 3 jaar oud of 'n meisie is?
    Kliek hier vir die oplossing.
  3. Fiona het 85 gemerkte skyfies wat genommer is vanaf 1 tot 85. As 'n skyfie lukraak gekies word, wat is die waarskynlikheid dat die nommer van die skyfie:
    1. eindig met 'n 5
    2. met 3 vermenigvuldig kan word
    3. met 6 vermenigvuldig kan word
    4. die nommer 65 is
    5. nie 'n veelvoud van 5 is nie
    6. 'n veelvoud van 4 of 3 is
    7. 'n veelvoud van 2 en 6 is
    8. die nommmer 1 is?
    Kliek hier vir die oplossing.

Komplementêre Gebeurtenisse

Die waarskynlikheid van komplementêre gebeurtenis verwys na die waarskynlikheid dat gebeure nie sal plaasvind nie. Byvoorbeeld: as P(A)=0.25P(A)=0.25, dan is die warskynlikheid dat AA nie gebeur nie dieselfde as die waarskynlikheid dat al die ander gebeure in SS gebeur minus as die waarskynlikheid dat AA gebeur. Dit beteken dat

P ( A ' ) = 1 - P ( A ) P ( A ' ) = 1 - P ( A )
(9)

waar A' verwys na `nie A' Met ander woorde, die waarskynlikheid van `nie A' is gelyk aan een minus die waarskynlikheid van A.

Exercise 8: Waarskynlikheid

As jy twee dobbelstene gooi, een rooi en die ander blou, wat is die waarskynlikheid dat ten minste een van hulle 'n ses sal wees?

Solution
  1. Step 1. Bereken die waarskynlikheid van gebeurtenis 1 :

    Om hierdie tipe probleem op te los, bereken die waarskynlikheid dat daar geen 6 sal wees nie.

  2. Step 2. Werk uit die waarskynlikheid van gebeurtenis 2 :

    Die waarskynlikheid dat die rooi dobbelsteen nie 'n 6 is nie is 5/6 en die waarskynlikheid dat die bloue nie 'n 6 is nie, is ook 5/6.

  3. Step 3. Waarskynlikheid dat nie :

    So die waarskynlikheid dat geeneen 'n ses sal wees nie is 5/6×5/6=25/365/6×5/6=25/36.

  4. Step 4. Waarskynlikheid van een :

    So die waarskynlikheid dat ten minste een 'n 6 sal wees is 1-25/36=11/361-25/36=11/36.

Exercise 9: Waarskynlikheid

'n Sak bevat drie rooi balle, vyf wit balle, twee groen balle en vier blou balle:

1. Bereken die waarskynlikheid dat 'n rooi bal getrek word.

2. Bereken die waarskynlikheid dat 'n bal wat nie rooi is nie getrek word.

Solution
  1. Step 1. Vind gebeurtenis 1 :

    Laat R die gebeurtenis waar 'n rooi bal getrek word wees:

    • P(R)-n(R)/n(S)=3/14
    • R en R' is komplementêre gebeure.
  2. Step 2. Vind die waarskynlikhede :

    ∴∴ P(R') = 1 - P(R) = 1 -3/14 = 11/14

  3. Step 3. Alternatiewe manier van oplossing :
    • Alternatiewelik P(R') = P(B) + P(W) + P(G)
    • P(R') = 4/14 + 5/14 + 2/14 = 11/14

Ewekansige Eksperimente

  • S={ heel getalle vanaf 1 tot 16}S={ heel getalle vanaf 1 tot 16}, X={ ewe getalle vanaf1 tot 16}X={ ewe getalle vanaf1 tot 16} en Y={ priemgetalle vanaf 1 tot 16}Y={ priemgetalle vanaf 1 tot 16}
    1. Teken 'n Venn-diagram SS, XX en YY.
    2. Skryf neer n(S)n(S), n(X)n(X), n(Y)n(Y), n(X∪Y)n(X∪Y), n(X∩Y)n(X∩Y).
    Klik hier vir die oplossing.
  • Daar is 79 Graad 10 leerders by die skool. Almal van hulle neem Wiskunde, Aardrykskunde of Geskiedenis. Die aantal wat Aardrykskunde neem is 41, die wat Geskiedenis neem is 36 en 30 neem Wiskunde. Die aantal wat Wiskunde en Geskiedenis neem is 16; die aantal wat Geskiedenis en Aardrykskunde neem is 6. Dan is daar 8 wat slegs Wiskunde en 16 wat slegs Geskiedenis neem.
    1. Teken 'n Venn-diagram om al die inligting voor te stel.
    2. Hoeveel leerders neem Wiskunde en Aardrykskunde, maar nie Geskiedenis nie?
    3. Hoeveel leerders neem slegs Aardrykskunde?
    4. Hoeveel leerders neem al drie hierdie vakke?
    Klik hier vir die oplossing.
  • Stukkies papier met die getalle 1 tot 12 word in 'n boks geplaas en die boks word geskud. Een stukkie papier word getrek en dan terug geplaas.
    1. Wat is die steekproefruimte, SS ?
    2. Skryf die versameling AA neer, wat die gebeurtenis om 'n faktor van 12 te trek, voorstel.
    3. Skryf die versameling BB neer, wat die gebeurtenis om 'n priemgetal te trek, voorstel.
    4. Doen nou 'n voorstelling van AA, BB en SS deur middel van 'n Venn-diagram.
    5. Skryf die volgende neer:
      1. n(S)n(S)
      2. n(A)n(A)
      3. n(B)n(B)
      4. n(A∩B)n(A∩B)
      5. n(A∪B)n(A∪B)
    6. Is n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)?
    Klik hier vir die oplossing.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks