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Convolución

Module by: José Miguel Hobaica Alvarado. E-mail the author

Summary: La convolución y sus propiedades

Es una herramienta temporal para la resolución del problema del paso de señales por sistemas que aplica para el caso específico en el que el sistema sea Lineal e Invariante en el Tiempo. Si se tiene la señal en el dominio del tiempo y la respuesta impulsiva del sistema, se puede aplicar la operación convolución entre ambos y se obtiene la salida del sistema en el dominio del tiempo.

Se define la convolución entre dos funciones f(t) y g(t) como el área bajo la curva formada por el producto de las mismas luego de invertir una de ellas y desplazarla una cantidad de tiempo que varía entre –infinito e infinito; la expresión para la convolución viene dada por la ecuación 1:

y ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) dτ y ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) dτ size 12{y \( t \) =f \( t \) * g \( t \) = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {f \( τ \) g \( t - τ \) dτ} } {}
(1)

Una mejor forma de entender este proceso es haciendo el análisis gráfico del mismo, para ello supónganse las dos funciones f(t) y g(t) mostradas en la figura 1:

Figura 1: Funciones a convolucionar
Figura 1 (Imagen 12.png)

Las ecuaciones para cada uno de los pulsos de la figura 1 son:

f ( t ) = 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 5 f ( t ) = 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 5 size 12{f \( t \) =2 drarrow 0 <= t <= 5} {}
(2)
g ( t ) = − t + 3 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 g ( t ) = − t + 3 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 size 12{g \( t \) = - t+3 drarrow 0 <= t <= 3} {}
(3)

Para comenzar se debe crear una función similar a f(t) pero expresada en términos de la variable τ presente en la ecuación , también se debe crear una función similar a g(t) pero con la variable τ negativa, además desplazada una cantidad t, tal como se indica en la figura 2:

Figura 2: funciones similares en términos de τ
Figura 2 (Imagen 13.png)

La cantidad t irá tomando valores desde –infinito hasta infinito, lo que causará que la función g haga un recorrido completo por el eje τ, en dicho recorrido se multiplican ambas funciones y se toma el área bajo el producto, por lo que la convolución valdrá 0 en todos los puntos donde las funciones no se intersecten, como sucede en la figura 2. Con esto ya se puede concluir que, para este caso:

y ( t ) = 0 ⇒ t < 0 y ( t ) = 0 ⇒ t < 0 size 12{y \( t \) =0 drarrow t<0} {}
(4)

Desde el instante en el que t es igual a 0 hasta que es igual a 3 se dará la situación descrita en la figura 3:

Figura 3: Convolución para t entre 0 y 3
Figura 3 (Imagen 14.png)

Para este intervalo se cumple que:

y ( t ) = ∫ 0 t 2 τ − t + 3 dτ = − t 2 + 6t ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 y ( t ) = ∫ 0 t 2 τ − t + 3 dτ = − t 2 + 6t ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} = - t rSup { size 8{2} } +6t drarrow 0 <= t <= 3} {}
(5)

Una vez las dos funciones se solapan completamente como se observa en la figura 4, la expresión para la convolución será como la descrita en la ecuación , esto ocurre para valores de t situados entre 3 y 5:

Figura 4: Convolución para t entre 3 y 5
Figura 4 (Imagen 15.png)
y ( t ) = ∫ t − 3 t 2 τ − t + 3 dτ = 9 ⇒ 3 < t ≤ 5 y ( t ) = ∫ t − 3 t 2 τ − t + 3 dτ = 9 ⇒ 3 < t ≤ 5 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{t - 3} } cSup { size 8{t} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} =9 drarrow 3<t <= 5} {}
(6)

El siguiente intervalo es el ocurrido para valores de t entre 5 y 8, el mismo se observa en la figura 5 y se describe con la ecuación :

Figura 5: Convolución para t entre 5 y 8
Figura 5 (Imagen 16.png)
y ( t ) = ∫ t − 3 5 2 τ − t + 3 dτ = t − 8 2 ⇒ 5 < t ≤ 8 y ( t ) = ∫ t − 3 5 2 τ − t + 3 dτ = t − 8 2 ⇒ 5 < t ≤ 8 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{t - 3} } cSup { size 8{5} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} = left (t - 8 right ) rSup { size 8{2} } drarrow 5<t <= 8} {}
(7)

Para valores de t mayores a 8 las funciones no volverán a intersectarse como puede observarse en la figura 6:

Figura 6: Convolución para t mayor que 8
Figura 6 (Imagen 17.png)

Como se explicó antes, la convolución vale 0 en los puntos donde las funciones no se intersectan:

y ( t ) = 0 ⇒ t > 8 y ( t ) = 0 ⇒ t > 8 size 12{y \( t \) =0 drarrow t>8} {}
(8)

Con los resultados obtenidos para cada intervalo, mostrados en las ecuaciones anteriores puede construirse la función resultante y(t) = f(t) *g(t):

Figura 7: Resultado de la Convolución
Figura 7 (Imagen 18.png)

Propiedades de la convolución

Propiedad conmutativa:

f ( t ) ∗ g ( t ) = g ( t ) ∗ f ( t ) f ( t ) ∗ g ( t ) = g ( t ) ∗ f ( t ) size 12{f \( t \) * g \( t \) =g \( t \) * f \( t \) } {}
(9)

De esta propiedad puede concluirse que es indiferente cuál de las dos funciones será la que se invierta y traslade, y cuál se queda fija.

Propiedad asociativa:

f ( t ) ∗ g ( t ) ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) ∗ h ( t ) f ( t ) ∗ g ( t ) ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) ∗ h ( t ) size 12{f \( t \) * left [g \( t \) * h \( t \) right ]= left [f \( t \) * g \( t \) right ] * h \( t \) } {}
(10)

Propiedad distributiva:

f ( t ) ∗ g ( t ) + h ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) + f ( t ) ∗ h ( t ) f ( t ) ∗ g ( t ) + h ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) + f ( t ) ∗ h ( t ) size 12{f \( t \) * left [g \( t \) +h \( t \) right ]= left [f \( t \) * g \( t \) right ]+ left [f \( t \) * h \( t \) right ]} {}
(11)

Multiplicación por escalar:

af ( t ) ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ag ( t ) = a f ( t ) ∗ g ( t ) af ( t ) ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ag ( t ) = a f ( t ) ∗ g ( t ) size 12{ ital "af" \( t \) * g \( t \) =f \( t \) * ital "ag" \( t \) =a left [f \( t \) * g \( t \) right ]} {}
(12)

Siendo a cualquier número real o complejo.

Derivación:

∂ f ( t ) ∂ t ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ∂ g ( t ) ∂ t = ∂ f ( t ) ∗ g ( t ) ∂ t ∂ f ( t ) ∂ t ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ∂ g ( t ) ∂ t = ∂ f ( t ) ∗ g ( t ) ∂ t size 12{ { { partial left (f \( t \) right )} over { partial t} } * g \( t \) =f \( t \) * { { partial left (g \( t \) right )} over { partial t} } = { { partial left [f \( t \) * g \( t \) right ]} over { partial t} } } {}
(13)

Transformada de Fourier de la convolución:

F g ( t ) ∗ h ( t ) = F f ( t ) ⋅ F g ( t ) F g ( t ) ∗ h ( t ) = F f ( t ) ⋅ F g ( t ) size 12{F left [g \( t \) * h \( t \) right ]=F left [f \( t \) right ] cdot F left [g \( t \) right ]} {}
(14)

Con esta propiedad puede demostrarse la propiedad de la Convolución por delta de Dirac:

f ( t ) ∗ δ ( t ) = f ( t ) f ( t ) ∗ δ ( t ) = f ( t ) size 12{f \( t \) * δ \( t \) =f \( t \) } {}
(15)

Si se aplica la transformada de Fourier a la expresión f(t)∗δ(t)f(t)∗δ(t) size 12{f \( t \) * δ \( t \) } {} se obtendrá el producto de las transformadas; la transformada de Fourier de la función Delta de Dirac es igual a 1, por lo que sólo quedará la transformada de la función f(t)f(t) size 12{f \( t \) } {}. Generalizando la ecuación 15 se obtiene que:

f ( t ) ∗ δ ( t − t 1 ) = f ( t − t 1 ) f ( t ) ∗ δ ( t − t 1 ) = f ( t − t 1 ) size 12{f \( t \) * δ \( t - t rSub { size 8{1} } \) =f \( t - t rSub { size 8{1} } \) } {}
(16)
f ( t − t 2 ) ∗ δ ( t − t 1 ) = f ( t − t 1 − t 2 ) f ( t − t 2 ) ∗ δ ( t − t 1 ) = f ( t − t 1 − t 2 ) size 12{f \( t - t rSub { size 8{2} } \) * δ \( t - t rSub { size 8{1} } \) =f \( t - t rSub { size 8{1} } - t rSub { size 8{2} } \) } {}
(17)

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