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Los Sistemas y sus diferentes clasificaciones

Module by: José Miguel Hobaica Alvarado. E-mail the author

Summary: Se define el concepto de sistema y se muestran sus diferentes clasificaciones

Un sistema hace referencia a cualquier medio físico que modifique las características de una señal; el mismo puede tratarse de algún dispositivo electrónico como un filtro, un amplificador, entre otros, como también puede tratarse del canal por el que se transmite la señal como el aire o los cables. Los sistemas se modelan por medio de la Respuesta Impulsiva h(t), una función en el dominio del tiempo que representa la salida del sistema cuando la entrada es la función delta de Dirac; y por medio de la Función de Transferencia H(ω), una función en el dominio de la frecuencia que corresponde con la Transformada de Fourier de la respuesta impulsiva. Si una señal es procesada por un sistema, puede convolucionarse la respuesta impulsiva del sistema con la expresión temporal de dicha señal y se obtendrá la expresión temporal de la señal de salida; puede obtenerse también la expresión frecuencial de la señal de salida multiplicando la respuesta impulsiva del sistema por la expresión frecuencial de la señal de entrada.

y ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) y ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) size 12{f \( t \) * g \( t \) =g \( t \) * f \( t \) } {}
(1)
Y ( ω ) = H ( ω ) X ( ω ) Y ( ω ) = H ( ω ) X ( ω ) size 12{f \( t \) * g \( t \) =g \( t \) * f \( t \) } {}
(2)

Gráficamente, los sistemas suelen representarse de la siguiente forma:

Figura 1: Representación gráfica de un sistema
Figura 1 (Imagen 31.png)

Existen varias formas de clasificar los sistemas, entre las que se encuentran las siguientes:

Sistemas Lineales y No Lineales

Si la salida de un sistema es igual a y1(t) cuando se estimula con una la señal x1(t) y es igual a y2(t) cuando se estimula con una la señal x2(t), dicho sistema será lineal si se cumple que cuando se estimula con la señal x1(t) + x2(t), su salida será igual a y1(t) + y2(t); esto se conoce como principio de superposición. Para la linealidad se debe cumplir también que si la señal de entrada se multiplica por una constante, la salida se multiplicará también por dicha constante.

Como primer ejemplo, supóngase un sistema que duplica la amplitud de la señal entrante:

x 1 ( t ) → y 1 ( t ) = 2x 1 ( t ) 3x 2 ( t ) → y 2 ( t ) = 6x 2 ( t ) x 1 ( t ) → y 1 ( t ) = 2x 1 ( t ) 3x 2 ( t ) → y 2 ( t ) = 6x 2 ( t ) alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{1} } \( t \) rightarrow y rSub { size 8{1} } \( t \) =2x rSub { size 8{1} } \( t \) } {} # 3x rSub { size 8{2} } \( t \) rightarrow y rSub { size 8{2} } \( t \) =6x rSub { size 8{2} } \( t \) {} } } {}
(3)

Para que el sistema sea lineal debe cumplirse que su salida sea igual a:

y 1 ( t ) + y 2 ( t ) = 2x 1 ( t ) + 6x 2 ( t ) y 1 ( t ) + y 2 ( t ) = 2x 1 ( t ) + 6x 2 ( t ) size 12{y rSub { size 8{1} } \( t \) +y rSub { size 8{2} } \( t \) =2x rSub { size 8{1} } \( t \) +6x rSub { size 8{2} } \( t \) } {}
(4)

Si el sistema se alimenta con x1(t) + 3x2(t), en la salida se obtiene:

x 1 ( t ) + 3x 2 ( t ) → 2 x 1 ( t ) + 3x 2 ( t ) = 2x 1 ( t ) + 6x 2 ( t ) x 1 ( t ) + 3x 2 ( t ) → 2 x 1 ( t ) + 3x 2 ( t ) = 2x 1 ( t ) + 6x 2 ( t ) size 12{x rSub { size 8{1} } \( t \) +3x rSub { size 8{2} } \( t \) rightarrow 2 left (x rSub { size 8{1} } \( t \) +3x rSub { size 8{2} } \( t \) right )=2x rSub { size 8{1} } \( t \) +6x rSub { size 8{2} } \( t \) } {}
(5)

Como puede observarse, las ecuaciones 4 y 5 arrojan el mismo resultado, de donde se concluye que el sistema es lineal. Como un segundo ejemplo, supóngase un sistema que eleva al cuadrado la señal de entrada:

x 1 ( t ) → y 1 ( t ) = x 1 ( t ) 2 x 2 ( t ) → y 2 ( t ) = x 2 ( t ) 2 x 1 ( t ) → y 1 ( t ) = x 1 ( t ) 2 x 2 ( t ) → y 2 ( t ) = x 2 ( t ) 2 alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{1} } \( t \) rightarrow y rSub { size 8{1} } \( t \) = left (x rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } } {} # x rSub { size 8{2} } \( t \) rightarrow y rSub { size 8{2} } \( t \) = left (x rSub { size 8{2} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } {} } } {}
(6)

Para que el sistema sea lineal debe cumplirse que su salida sea igual a:

y 1 ( t ) + y 2 ( t ) = x 1 ( t ) 2 + x 2 ( t ) 2 y 1 ( t ) + y 2 ( t ) = x 1 ( t ) 2 + x 2 ( t ) 2 size 12{y rSub { size 8{1} } \( t \) +y rSub { size 8{2} } \( t \) = left (x rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } + left (x rSub { size 8{2} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } } {}
(7)

Si el sistema se alimenta con x1(t) + x2(t), en la salida se obtiene:

x 1 ( t ) + x 2 ( t ) → x 1 ( t ) + x 2 ( t ) 2 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) → x 1 ( t ) + x 2 ( t ) 2 size 12{x rSub { size 8{1} } \( t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) rightarrow left (x rSub { size 8{1} } \( t \) +x rSub { size 8{2} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } } {}
(8)

Al no ser iguales las ecuaciones 7 y 8 el sistema no es lineal.

Sistemas Causales y No Causales

Los sistemas causales son también conocidos como sistemas No anticipativos, esto quiere decir que su salida no depende del futuro de la señal de entrada, sólo depende del presente o del pasado. Por ejemplo, un sistema que al ser estimulado con una señal x(t), su salida y(t) es igual a x(t+2) será un sistema no causal, ya que para t=0 su entrada es x(0) y su salida es x(2), es decir la salida depende del futuro de la señal de entrada. Si por el contrario se tiene un sistema que al ser estimulado con una señal x(t), su salida es igual a x(t-2), dicho sistema será causal, ya que en este caso la salida depende del pasado de la señal; un sistema que duplica la amplitud de la señal de entrada (x(t)→2x(t)) es un sistema causal, ya que la salida depende en este caso del presente de la señal de entrada.

Sistemas Variantes e Invariantes en el Tiempo.

Un sistema es invariante en el tiempo si se cumple que: x(t-T)→y(t-T), esto quiere decir que si hay un retardo T, será igual si el mismo se aplica a la señal antes de pasar por el sistema o si se aplica luego de pasada por el sistema, como se ilustra en la Figura 2:

Figura 2: Sistema Invariante en el Tiempo
Figura 2 (Imagen 30.png)

Si no se cumple esta propiedad, se dice que el sistema es Variante en el Tiempo; como ejemplo, supóngase un sistema con un comportamiento como el siguiente:

x ( t ) → y ( t ) = t ⋅ x ( t ) x ( t ) → y ( t ) = t ⋅ x ( t ) size 12{x \( t \) rightarrow y \( t \) =t cdot x \( t \) } {}
(9)

Si la señal se retarda primero y luego se pasa por el sistema se obtiene:

t ⋅ x ( t − T ) t ⋅ x ( t − T ) size 12{t cdot x \( t - T \) } {}
(10)

Si la señal se pasa por el sistema primero y luego se retarda se obtiene:

( t − T ) ⋅ x ( t − T ) ( t − T ) ⋅ x ( t − T ) size 12{ \( t - T \) cdot x \( t - T \) } {}
(11)

Como puede observarse, el resultado para ambos casos difiere, de donde se concluye que el sistema es variante en el tiempo.

Sistemas Estables e Inestables.

Un sistema estable es aquel cuya salida no diverge cuando es alimentado con una señal acotada; esto es resumido en la ecuación 12:

∣ x ( t ) ∣ ≤ M → y ( t ) < ∞ ∣ x ( t ) ∣ ≤ M → y ( t ) < ∞ size 12{ lline x \( t \) rline <= M rightarrow y \( t \) < infinity } {}
(12)

Un ejemplo de sistema inestable es el descrito en la ecuación 9, ya que aun si x(t) es una señal acotada (como cos(t), por ejemplo), la salida divergirá para t→∞. Si en cambio, el sistema se trata de un duplicador de amplitud, el mismo es estable, ya que si se alimenta con una señal acotada como cos(t), la salida tendrá valores entre -2 y 2 para todo valor de t.

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