En la figura 7 se muestra un esquema que incluye el transmisor, el efecto del canal y la primera etapa del receptor.
Se tiene a la salida del transmisor una señal modulada, que puede ser similar a la mostrada en figuras anteriores, con un ancho de banda W y potencia ST. Luego el canal produce una atenuación de potencia L y el filtro pasabanda del receptor una amplificación gR. Así, la potencia de señal a la salida de este filtro será:
SD=gR⋅STLSD=gR⋅STL size 12{S rSub { size 8{D} } = { {g rSub { size 8{R} } cdot S rSub { size 8{T} } } over {L} } } {}
(6)Esto es asumiendo que el filtro del receptor tiene un ancho de banda apropiado (W) para que pase todo el contenido de señal. Por su parte el ruido sólo se afecta por gR. La DEP del ruido de entrada es constante (ruido blanco) y con valor η/2; al pasar por el filtro, la DEP queda confinada entre los valores que limitan en ancho de banda W de tal forma que al integrar la DEP para obtener la potencia del ruido a la salida queda:
ND=gR⋅η⋅WND=gR⋅η⋅W size 12{N rSub { size 8{D} } =g rSub { size 8{R} } cdot η cdot W} {}
(7)Finalmente, se calcula la relación señal a ruido (S/N) a la salida del filtro dividiendo la potencia de la señal entre la potencia del ruido en este punto:
SND=gR⋅STL⋅η⋅gR⋅W=STL⋅η⋅WSND=gR⋅STL⋅η⋅gR⋅W=STL⋅η⋅W size 12{ left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} } = { {g rSub { size 8{R} } cdot S rSub { size 8{T} } } over {L cdot η cdot g rSub { size 8{R} } cdot W} } = { {S rSub { size 8{T} } } over {L cdot η cdot W} } } {}
(8)Se observa que la relación señal a ruido recibida aumenta cuando la potencia de señal ST aumenta, cuando la atenuación L disminuye o cuando La potencia del ruido (η o W) disminuye. Además se nota que la relación señal a ruido, y por ende la calidad de la transmisión:
- No depende de la ganancia del receptor.
- Es inversamente proporcional al ancho de banda del filtro.
- Es inversamente proporcional a la atenuación que produce el canal.
Una manera de mejorar la relación señal a ruido es colocando estaciones repetidoras equi-espaciadas en zonas intermedias del trayecto de transmisión. El diagrama de la figura 8 ilustra el uso de estas estaciones para un caso en el que se cuenta con 2 repetidoras intermedias más el receptor; el receptor se cuenta también como una repetidora, ya que el mismo también amplifica la señal de la misma forma que lo hacen las demás:
Normalmente la ganancia de cada repetidor compensa la pérdida del trayecto (Lk=gk); de esta forma, la potencia de señal se mantiene a la salida del sistema (ST = SD). Se asumirá que el ruido que ingresa al sistema en cualquier trayecto es el mismo y que las pérdidas parciales son iguales (L1= L2 = L3)
Por su parte, la potencia de ruido a la salida de la primera repetidora será:
ND1=g1⋅η⋅W=L1⋅η⋅WND1=g1⋅η⋅W=L1⋅η⋅W size 12{N rSub { size 8{D1} } =g rSub { size 8{1} } cdot η cdot W=L rSub { size 8{1} } cdot η cdot W} {}
(9)La potencia de este ruido al final de las m repetidoras queda igual ya que cada pérdida de canal será compensada por la ganancia de cada repetidora. Sin embargo se irán sumando contribuciones idénticas de ruido, tantas como repetidoras existan. Al final para m repetidoras (incluyendo al receptor):
ND=m⋅L1⋅η⋅WND=m⋅L1⋅η⋅W size 12{N rSub { size 8{D} } =m cdot L rSub { size 8{1} } cdot η cdot W} {}
(10)Finalmente
SND=gT⋅Sxm⋅L1⋅η⋅WSND=gT⋅Sxm⋅L1⋅η⋅W size 12{ left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} } = { {g rSub { size 8{T} } cdot S rSub { size 8{x} } } over {m cdot L rSub { size 8{1} } cdot η cdot W} } } {}
(11)Para comparar con la relación señal a ruido sin repetidoras se sustituyen en esta ecuación los valores de la ecuación 8 obteniéndose:
SND(conRep.)=LmL1SND(sinRep.)SND(conRep.)=LmL1SND(sinRep.) size 12{ left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} rSub { size 8{ \( ital "con""Re"p "." \) } } } = { {L} over { ital "mL" rSub { size 8{1} } } } left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} rSub { size 8{ \( "sinRe"p "." \) } } } } {}
(12)Interesa también esta comparación en decibelios, para esto se aplica 10Log a ambos lados de la ecuación obteniéndose:
SND(conRep.)[dB]=10LogLmL1+SND(sinRep.)[dB]SND(conRep.)[dB]=10LogLmL1+SND(sinRep.)[dB] size 12{ left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} rSub { size 8{ \( ital "con""Re"p "." \) \[ ital "dB" \] } } } ="10" ital "Log" left ( { {L} over { ital "mL" rSub { size 8{1} } } } right )+ left ( { {S} over {N} } right ) rSub { size 8{D} rSub { size 8{ \( "sinRe"p "." \) \[ ital "dB" \] } } } } {}
(13)Para ilustrar esto, considere un sistema basado en un medio inalámbrico con una pérdida total de 60 dB (L=1060/10) en lineal, si se coloca una repetidora intermedia, existirán dos trayectos con la mitad de la atenuación, es decir 30dB (L1=1030/10), el receptor se cuenta como repetidora, por tanto m=2. La ganancia en este caso será de:
10Log1062⋅103=10Log500=27dB10Log1062⋅103=10Log500=27dB size 12{"10" ital "Log" left ( { {"10" rSup { size 8{6} } } over {2 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } right )="10" ital "Log" left ("500" right )="27" ital "dB"} {}
(14)Esto significa que la relación señal a ruido lineal se multiplica por 500 o que la relación señal a ruido en dB se incrementa en 27dB produciéndose una mejora considerable en la calidad de la transmisión. Si en vez de agregar una sola, se agregan dos repetidoras intermedias, existirán 3 trayectos con una atenuación de 20dB (L1=1020/10=100), para este caso m es igual a 3 y la ganancia aumentará con respecto al caso anterior:
10Log1063⋅100=10Log3333.33=35.23dB10Log1063⋅100=10Log3333.33=35.23dB size 12{"10" ital "Log" left ( { {"10" rSup { size 8{6} } } over {3 cdot "100"} } right )="10" ital "Log" left ("3333" "." "33" right )="35" "." "23" ital "dB"} {}
(15)Para toda transmisión existe un número M máximo de repetidoras, esto significa que la ganancia aportada por M+1 repetidoras es menor que la ganancia aportada por M repetidoras, para este número se cumple que: (M+1)L1[M+1] >M L1[M]
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