Supóngase una señal S_i(t) que representa a un símbolo m_i. Se estima que esta señal pase por el receptor que está encargado de obtener cada símbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la señal se contaminará debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condición ideal, el resultado sería el siguiente:

Figura 1: Sistema ideal de recepción (sin ruido). Cada símbolo mi de la señal se recibe sin interferencia.

Al introducir ruido blanco gaussiano en el sistema, quedaría como sigue:

Figura 2: Sistema de recepción con introducción de ruido

La segunda situación ocasiona que a la salida del receptor no se obtenga precisamente el símbolo m_i, sino que se obtenga un estimado del símbolo original.

Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalización G-S: La señal S_i(t) puede expresarse en función de un conjunto finito de bases (o vectores) ortonormales (U), de forma tal que cada forma de onda estaría relacionada con un coeficiente que será denominado s. Matemáticamente se tiene que:

Es decir, a cada símbolo m_i se le asocia una forma de onda s. desarrollando la fórmula anterior, para todos los símbolos posibles, se obtiene un sistema de ecuaciones como sigue:

El objetivo cuando se tiene un sistema como el mostrado en la figura 2 es el de obtener el estimado que más se aproxime al valor real. Esto se hace minimizando la energía de la señal de error entre el símbolo original y el estimado:

Visto desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

Figura 3: Ejemplo aplicado a vectores. ŝ(t) es el estimado de cada forma de onda original S(t) y e(t) sería la introducción de ruido en el sistema.

A continuación se explica paso a paso la metodología para la obtención de las bases necesarias para representar cada símbolo de una determinada señales de potencia:

Se tiene un conjunto de señales de energía S_i(t) con existencia en un intervalo de tiempo [0, T] que se quieren representar por medio de bases U_j, tal y como se indica en el sistema de ecuaciones 3.

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

Para comenzar se fija s_ij = 0 exceptuando el primer valor: s₁₁:

Se eleva toda la ecuación al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T]:

Por el principio de ortonormalidad, la integral de la derecha es igual a 1, quedando s₁₁ sólo en función de S₁(t) por lo que se puede despejar:

Finalmente:

Con esto se obtiene la primera base para representar la señal. Para calcular U₂(t), se debe restar a S₂(t) su proyección sobre U₁(t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Ahora se fijará Sij=0 exceptuando los valores de s₂₁ y s₂₂:

Reordenando esta ecuación queda:

Multiplicando la ecuación por U₁(t) e integrándola en el intervalo [0,T] queda:

Se aplica el principio de ortonormalidad quedando:

Al igual que para el paso 1, se eleva toda la ecuación 10 al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, queda s₂₂ en función de la señal S₂(t), el coeficiente s₂₁ y la base U₁(t):

Finalmente, despejando y sustituyendo las ecuaciones 13 y 15 en la ecuación 11:

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que U_n=0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

Donde:

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal S₁(t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Es la representación gráfica de cada señal S_i(t) en función de las bases U_i. Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Se considerarán los ‘ejes’ de la gráfica las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj. El procedimiento es el siguiente: se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s_i sobre el eje de la base. Supónganse dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U₁:

Figura 4: Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía. Si se eleva al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación se obtiene la energía de la primera forma de onda S₁:

Para calcular la Energía de S₂ se hace exactamente el mismo procedimiento.

La introducción del ruido en el sistema ocasionará una situación como la descrita en la figura 3, es decir, en la constelación el punto correspondiente al símbolo no estará ubicado exactamente en el sitio que se ubicaría si no existiese el ruido. En las comunicaciones digitales se hace uso de un “valor umbral” con el cual el receptor distingue si el símbolo recibido es uno u otro. Este valor umbral es representado gráficamente en la constelación como una línea ubicada en el punto medio entre los puntos de los símbolos sin ruido.

Figura 5: Otro ejemplo de constelación, las líneas azules representan valores de umbral entre puntos cercanos

ESTE VINCULO contiene una carpeta con un programa realizado en LabVIEW pero haciendo uso exclusivamente de "MATLAB Script" que calcula bases ortogonales por medio de Gram-Schmidt; puede obtenerse también un programa similar realizado netamente en LabVIEW por medio de ESTE VINCULO; la interfaz de ambos programas es prácticamente igual. Cada carpeta incluye el .vi correspondiente y todos los archivos necesarios para el funcionamiento de cada uno, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, podría haber fallas en el funcionamiento del programa. La figura 6 contiene un video explicativo acerca del uso de los programas.