Равенка во кои покрај функцијата и независно променливата величина се јавуваат и диференцијали или изводи, се нарекува диференцијална равенка. Ако функцијата е функција од една поменлива, тогаш диференцијалната равенка се нарекува обична диференцијална равенка. Ако пак таа е функција од повеќе променливи, равенката која содржи парцијални изводи или диференцијали се нарекува парцијална диференцијална равенка. Следните примери се обични диференцијални равенки:
x
y
'
+
y
=
y
2
x
y
'
+
y
=
y
2
size 12{x { {y}} sup { ' }+y=y rSup { size 8{2} } } {}
(
1
−
xy
+
x
2
y
2
)
dx
=
x
2
dy
(
1
−
xy
+
x
2
y
2
)
dx
=
x
2
dy
size 12{ \( 1 - ital "xy"+x rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{2} } \) ital "dx"=x rSup { size 8{2} } ital "dy"} {}
y
'
y
'
'
'
=
3
(
y
'
'
)
2
y
'
y
'
'
'
=
3
(
y
'
'
)
2
size 12{ { {y}} sup { ' } { {y}} sup { ''' }=3 \( { {y}} sup { '' } \) rSup { size 8{2} } } {}
x
2
y
d
2
y
dx
2
−
x
dy
dx
−
y
2
=
0
x
2
y
d
2
y
dx
2
−
x
dy
dx
−
y
2
=
0
size 12{x rSup { size 8{2} } y { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital "dx" rSup { size 8{2} } } } - left (x { { ital "dy"} over { ital "dx"} } - y right ) rSup { size 8{2} } =0} {}
додека следните примери се парцијални диференцијални равенки:
∂
z
∂
x
=
xy
∂
z
∂
x
=
xy
size 12{ { { partial z} over { partial x} } = ital "xy"} {}
∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } u} over { partial x rSup { size 8{2} } } } + { { partial rSup { size 8{2} } u} over { partial y rSup { size 8{2} } } } + { { partial rSup { size 8{2} } u} over { partial z rSup { size 8{2} } } } =0} {}.
Во оваа глава предмет на изучување ќе бидат обичните диференцијални равенки.
Диференцијалната равенка се дефинира со следната
Дефиниција 1. Равенката
f(x,y,y',y'',...,y(n))=0f(x,y,y',y'',...,y(n))=0 size 12{f \( x,y, { {y}} sup { ' }, { {y}} sup { '' }, "." "." "." ,y rSup { size 8{ \( n \) } } \) =0} {},
во која се јавува независната променлива xx size 12{x} {}, функцијата yy size 12{y} {} и нејзините изводи до nn size 12{n} {}-ти ред, се нарекува обична диференцијална равенка од nn size 12{n} {}-ти ред или само диференцијална равенка nn size 12{n} {}-ти ред.
Со дефиницијата на диференцијална равенка се воведува и поимот за ред на равенката со следната
Дефиниција 2. Ред на диференцијална равенка е редот на највисокиот извод кој се јавува во равенката.
Затоа, равенка во која се јавува само првиот извод или првиот диференцијал се нарекува диференцијална равенка од прв ред. Таквите равенки имплицитно може да се запишат со општата равенка
f(x,y,y')=0f(x,y,y')=0 size 12{f \( x,y, { {y}} sup { ' } \) =0} {}.
Ако равенката содржи втор извод или втор диференцијал, таа се нарекува диференцијална равенка од втор ред и е од облик
f
(
x
,
y
,
y
'
,
y
'
'
)
=
0
f
(
x
,
y
,
y
'
,
y
'
'
)
=
0
size 12{f \( x,y, { {y}} sup { ' }, { {y}} sup { '' } \) =0} {}
и т.н.
Друг основен поим за диференцијалните равенки е поимот за степен.
Дефиниција 3. Степен на диференцијална равенка е алгебарскиот степен на нејзиниот највисок извод.
Забелешка. Да ја нагласиме разликата меѓу
dydx2dydx2 size 12{ left ( { { ital "dy"} over { ital "dx"} } right ) rSup { size 8{2} } } {} и d2ydx2.d2ydx2. size 12{ { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital "dx" rSup { size 8{2} } } } "." } {}
Равенка која содржи dydx2dydx2 size 12{ left ( { { ital "dy"} over { ital "dx"} } right ) rSup { size 8{2} } } {} е диференцијална равенка од прв ред (го содржи првиот извод) и е од втор степен (изводот е на втор степен), додека равенка која содржи d2ydx2d2ydx2 size 12{ { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital "dx" rSup { size 8{2} } } } } {} е диференцијална равенка од втор ред (содржи втор извод) и е од прв степен (изводот е на прв степен).
Дефиницијa 4. Линерна диференцијална равенка е равенката
a
0
(
x
)
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
(
x
)
y
=
f
(
x
)
a
0
(
x
)
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
(
x
)
y
=
f
(
x
)
size 12{a rSub { size 8{0} } \( x \) y rSup { size 8{ \( n \) } } +a rSub { size 8{1} } \( x \) y rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } +` "." ` "." ` "." `+a rSub { size 8{n} } \( x \) y=f \( x \) } {}
во која функцијата yy size 12{y} {} и сите нејзини изводи се од прв ред.
Во оваа глава ќе се решаваат некои видови обични диференцијални равенки, односно ќе се бара нивното решение.
Дефиниција 5. Решение на обична диференцијална равенка е функцијата y=ϕ(x)y=ϕ(x) size 12{y=ϕ \( x \) } {} или нејзин имплицитен облик Φ(x,y)=0Φ(x,y)=0 size 12{Φ \( x,y \) =0} {} која ја задоволува диференцијалната равенка.
Графикот на решението на диференцијалната равенка y=ϕ(x)y=ϕ(x) size 12{y=ϕ \( x \) } {} се нарекува интегрална крива, а постапката за барање решение се нарекува интегрирање на диференцијалната равенка.
Следуваат примери во кои се покажува кога една функција е решение на диференцијална равенка.
Пример 1.
Да се покаже дека функцијата y=x3y=x3 size 12{y=x rSup { size 8{3} } } {} е решение на диференцијалната равенка y''=6x.y''=6x. size 12{ { {y}} sup { '' }=6x "." } {}
Решение.
За функцијата y=x3y=x3 size 12{y=x rSup { size 8{3} } } {} се пресметуваат изводите кои се јавуваат во диференцијалната равенка y'=3x2y'=3x2 size 12{ { {y}} sup { ' }=3x rSup { size 8{2} } } {} и y''=6x.y''=6x. size 12{ { {y}} sup { '' }=6x "." } {} Бидејќи во бараната диференцијална равенка се јавува само вториот извод, со негово заменување во дадената диференцијална равенка се добива идентитетот
6x≡6x6x≡6x size 12{6x equiv 6x} {},
што значи дека функцијата y=x3y=x3 size 12{y=x rSup { size 8{3} } } {} е решение на диференцијалната равенка.◄
Пример 2.
Да се покаже дека функцијата x2+y2=R2x2+y2=R2 size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {} е решение на диференцијалната равенка xdx+ydy=0.xdx+ydy=0. size 12{ ital "xdx"+ ital "ydy"=0 "." } {}
Решение.
Диференцијалната равенка xdx+ydy=0xdx+ydy=0 size 12{ ital "xdx"+ ital "ydy"=0} {} по делење со dxdx size 12{ ital "dx"} {} се запишува како
x+yy'=0x+yy'=0 size 12{x+y { {y}} sup { ' }=0} {}.
Диференцирајки ја имплицитната функција x2+y2=R2x2+y2=R2 size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {} се добива 2x+2yy'=02x+2yy'=0 size 12{2x+2y { {y}} sup { ' }=0} {}, а ако оваа равенка се реши по изводот се добива y'=−xyy'=−xy size 12{ { {y}} sup { ' }= - { {x} over {y} } } {} . Заменувајќи го овој извод во диференцијалната равенка се добива
x+y−xy=x−x=0x+y−xy=x−x=0 size 12{x+y left ( - { {x} over {y} } right )=x - x=0} {},
што значи дека дадената функција ја задоволува диференцијалната равенка и затоа е нејзино решение. ◄
Можно е една диференцијална равенка да има повеќе од едно решение. Така, може да се покаже дека ако во решението се вклучи произволна константа C∈RC∈R size 12{C in R} {}, тоа пак ќе биде решение на диференцијалната равенка. Во Примерот 1, решение ќе биде секоја функција од обликот y=x3+Cy=x3+C size 12{y=x rSup { size 8{3} } +C} {}.
Затоа се воведува поимот за партикуларно и општо решение на диференцијална равенка.
Дефиницијa 6. Партикуларно решение е секое решение кое ја задоволува диференцијалната равенка.
Дефиницијa 7. Општо решение на диференцијална равенка од nn size 12{n} {}-ти ред равенка е решение кое содржи n произволни константи.
Во Пример 1, општото решение на равенката од втор ред ќе содржи две произволни константи и е од облик y=x3+C1x+C2.y=x3+C1x+C2. size 12{y=x rSup { size 8{3} } +C rSub { size 8{1} } x+C rSub { size 8{2} } "." } {}
Најчесто, од општото решение се добива и партикуларното решение за определени вредности на произволните константи, но понекогаш постојат и партикуларни решенија кои не се добиваат од општото за ниедна вредност на произволните константи и таквото решение се нарекува сингуларно решение. Геометриски, општото решение на диференцијална равенка од nn size 12{n} {}-ти ред содржи nn size 12{n} {}-произволни константи и тоа е фамилија на криви со nn size 12{n} {}-параметри.
Иако основна задача во решавањето на диференцијални равенки е да се најде општото решение, обратната задача, формирањето на диференцијална равенка од познато (општо) решение е исто така интересен проблем. Постапката за формирање диференцијална равенка е диференцирање на нејзиното решение се’ додека не се елиминираат произволните константи.
Пример 3.
Да се формира диференцијална равенка за која
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
−
x
+
2x
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
−
x
+
2x
size 12{y=C rSub { size 8{1} } e rSup { size 8{x} } +C rSub { size 8{2} } e rSup { size 8{ - x} } +2x} {}
е општо решение.
Решение.
Диференцирајки го општото решение се добива
y
'
=
C
1
e
x
−
C
2
e
−
x
+
2
y
'
=
C
1
e
x
−
C
2
e
−
x
+
2
size 12{ { {y}} sup { ' }=C rSub { size 8{1} } e rSup { size 8{x} } - C rSub { size 8{2} } e rSup { size 8{ - x} } +2} {}
y''=C1ex+C2e−xy''=C1ex+C2e−x size 12{ { {y}} sup { '' }=C rSub { size 8{1} } e rSup { size 8{x} } +C rSub { size 8{2} } e rSup { size 8{ - x} } } {}.
Ако овие две равенки ги разгледуваме како систем од две равенки по произволните константи, решението на системот е
C
1
=
1
2
(
y
'
'
+
y
−
2
)
e
−
x
,
C
2
=
1
2
(
y
'
'
−
y
+
2
)
e
x
.
C
1
=
1
2
(
y
'
'
+
y
−
2
)
e
−
x
,
C
2
=
1
2
(
y
'
'
−
y
+
2
)
e
x
.
size 12{C rSub { size 8{1} } = { {1} over {2} } \( { {y}} sup { '' }+y - 2 \) e rSup { size 8{ - x} } ,~C rSub { size 8{2} } = { {1} over {2} } \( { {y}} sup { '' } - y+2 \) e rSup { size 8{x} } "." } {}
Заменувајќи ги овие вредности во општото решение
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
−
x
+
2x
=
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
−
x
+
2x
=
size 12{y=C rSub { size 8{1} } e rSup { size 8{x} } +C rSub { size 8{2} } e rSup { size 8{ - x} } +2x={}} {}
1
2
(
y
'
'
+
y
−
2
)
+
1
2
(
y
'
'
−
y
+
2
)
+
2x
=
y
'
'
+
2x
1
2
(
y
'
'
+
y
−
2
)
+
1
2
(
y
'
'
−
y
+
2
)
+
2x
=
y
'
'
+
2x
size 12{ { {1} over {2} } \( { {y}} sup { '' }+y - 2 \) + { {1} over {2} } \( { {y}} sup { '' } - y+2 \) +2x= { {y}} sup { '' }+2x} {}
се формира диференцијалната равенка
y−y''=2xy−y''=2x size 12{y - { {y}} sup { '' }=2x} {}. ◄
Диференцијалните равенки, како еден од основните математички поими, се јавуваат при проучување на разни процеси и појави од физиката, биологијата, хемијата и други науки кои аналитички се опишуваат со некоја променлива и нејзините изводи.
