Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Еден практичен пример за диференцијална равенка од прв ред: Експонецијален раст

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Еден практичен пример за диференцијална равенка од прв ред: Експонецијален раст

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Преку моделот на експонцијален раст на популација, во кој промената на бројноста на популација (брзината на растење) во дадено време се зема да е пропорционална само на моменталната бројност, а се изразува преку диференцијална равенка од прв ред, се решаваат некои конкретни проблеми сврзани со растот на една популација како што се пресметување на коефициентот на растење и оценување на бројноста во определен временски период.

Експонецијален раст на популација

Интересено е да се разгледа проблемот на промена на бројноста на една популација во различни временски интервали или бројноста на популацијата во одредено време да се споредува со некоја почетна или сегашна бројност. Диференцијалните равенки ни даваат математичка алатка со која се овозможува проучување на растењето или опаѓањето (намалувањето) на популација како процес кој континуирано се одвива.

Нека бројноста на една популација во даден момент е y(t)y(t) size 12{y \( t \) } {}, каде tt size 12{t} {} е времето. Еден од моделите кои го опишуваат растот на популацијата е претставен преку т.н. екпоненцијално растење (опаѓање) кога во произволен временски интервал брзината на растењето (опаѓањето) е пропорционална само со нејзината бројност. Ова е доста груб модел на раст на популација, но е многу едноставен за брзи проценки на растот. Брзината dydtdydt size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dt"} } } {} на промената на бројноста на популацијата се изразува со

dy dt = ky dy dt = ky size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dt"} } = ital "ky"} {}

т.е. брзината е пропорционална со бројноста на популацијата y(t)y(t) size 12{y \( t \) } {}, каде kk size 12{k} {} е коефициент на пропорционалност. Во оваа диференцијална равенка од прв ред ако коефициентот k>0k>0 size 12{k>0} {}, тој се нарекува константа на растење бидејќи од k>0dydt>0k>0dydt>0 size 12{k>0 drarrow { { ital "dy"} over { ital "dt"} } >0} {}, што значи дека бројноста на популацијата се зголемува. Ако пак k<0k<0 size 12{k<0} {}, коефициентот kk size 12{k} {} се нарекува константа на опѓање (намалување) на растењето бидејќи од k<0dydt<0k<0dydt<0 size 12{k<0 drarrow { { ital "dy"} over { ital "dt"} } <0} {} и следува дека бројноста на популацијата се намалува. Затоа коефициентот kk size 12{k} {} се нарекува и брзина на растење/опаѓање на популацијата и обично се изразува во проценти.

Така на пример, ако брзината на растење е 2%2% size 12{2%} {}, тоа означува дека k=0,02k=0,02 size 12{k=0,"02"} {}, а ако пак брзината на растење е 500%500% size 12{ - "500"%} {}, тогаш k=5.k=5. size 12{k= - 5 "." } {}

Нека сега го решаваме проблемот на експоненцијален модел на растење во кој бројноста на популацијата во даден момент t=0t=0 size 12{t=0} {} е y0y0 size 12{y rSub { size 8{0} } } {}, т.е. нека е зададено растење со почетен услов

dydt=ky,dydt=ky, size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dt"} } = ital "ky",} {}y(0)=y0y(0)=y0 size 12{y \( 0 \) =y rSub { size 8{0} } } {}.

Најпрво ја решаваме диференцијалната равенка

dydt=kydydt=ky size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dt"} } = ital "ky"} {}.

Тоа е диференцијална равенка во која променливите се раздвојуваат

dy y = kdt dy y = kdt size 12{ { { ital "dy"} over {y} } = ital "kdt"} {}

dy y = kdt + C dy y = kdt + C size 12{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } = Int { ital "kdt"} +C} {}

ln y = kt + C ln y = kt + C size 12{"ln" \lline y \lline = ital "kt"+C} {}

y = e kt + C y = e kt + C size 12{y=e rSup { size 8{ ital "kt"+C} } } {}

и општото решение е

y=Cekty=Cekt size 12{y= ital "Ce" rSup { size 8{ ital "kt"} } } {}.

Во општото решение се заменува почетниот услов y(0)=y0y(0)=y0 size 12{y \( 0 \) =y rSub { size 8{0} } } {} и се добива

y 0 = Ce k 0 C = y 0 y 0 = Ce k 0 C = y 0 size 12{y rSub { size 8{0} } = ital "Ce" rSup { size 8{k cdot 0} } drarrow C=y rSub { size 8{0} } } {}

и партикуларно решение на експонецијален раст на популација со почетна бројност y0y0 size 12{y rSub { size 8{0} } } {} е

y(t)=y0ekty(t)=y0ekt size 12{y \( t \) =y rSub { size 8{0} } e rSup { size 8{ ital "kt"} } } {}.

Моделот на експоненцијален раст се користи за грубо оценување на растот и ако k>0k>0 size 12{k>0} {} популацијата расте, а ако k<0k<0 size 12{k<0} {}, популацијата опаѓа.

Обично во пракса, за растот на популација се добиваат вредности мерени во дискретни чекори, а добиените вредности за бројност на популацијата може да се апроксимираат со непрекината крива.

Сега ќе наведеме два примера во кои се користи моделот на експоненцијален раст на популација.

Example 1

Пример 1. Бројност на население на Земјата

Според податоците на Обединетите Нации, бројот на население на Земјата во почетокот на 1990 год изнесувал приближно 5,3 милијарди луѓе, а на крајот на 2011 год имало 7 милијарди. Од овие податоци, да се пресмета константата на раст на населението користејќи го моделот на експонецијален раст.

Решение.

Од зададените два податока, ја пресметуваме константата екпонецијалениот раст kk size 12{k} {} од равенката y(t)=y0ekty(t)=y0ekt size 12{y \( t \) =y rSub { size 8{0} } e rSup { size 8{ ital "kt"} } } {}.

Во ова партикуларно решение за раст на населението, почетната бројност на луѓе изразена во милијарди од 1990 год е y0=5,3y0=5,3 size 12{y rSub { size 8{0} } =5,3} {} , а за време t=21t=21 size 12{t="21"} {} година (2011-1990 =21) населението броело 7 милијарди и затоа y(21)=7y(21)=7 size 12{y \( "21" \) =7} {}. Од партикуларното решение

7 = 5,3 e 21 k 7 = 5,3 e 21 k size 12{7=5,3e rSup { size 8{"21"k} } } {}

се изразува коефициентот kk size 12{k} {}{}

ln 7 5,3 = 21 k ln 7 5,3 = 21 k size 12{"ln" { {7} over {5,3} } ="21"k} {}

или

1 21 ln 7 5,3 = k 1 21 ln 7 5,3 = k size 12{ { {1} over {"21"} } "ln" { {7} over {5,3} } =k} {}

од каде се пресметува дека

k=0,01325k=0,01325 size 12{k=0,"01325"} {} или k=1,325%k=1,325% size 12{k=1,"325"%} {}.

Example 2

Пример 2. Удвојување на населението

Користејќи го моделот на експонцијален раст на популација, да се оцени кога населението на Земјата двојно ќе се зголеми, ако k=0,01325k=0,01325 size 12{k=0,"01325"} {} и ако во 2011 год на Земјата имало 7 милијарди жители.

Решение.

Во моделот на експонецијален раст, непозната големина е времето tt size 12{t} {}, додека y=14y=14 size 12{y="14"} {}, затоа

14=7ekt2=ektt=ln2k14=7ekt2=ektt=ln2k size 12{"14"=7e rSup { size 8{ ital "kt"} } drarrow 2=e rSup { size 8{ ital "kt"} } drarrow t= { {"ln"2} over {k} } } {}.

За k=0,01325k=0,01325 size 12{k=0,"01325"} {}, се добива

t = ln 2 0, 01325 t = 0, 6931 0, 01325 t = 52 . 309 t = ln 2 0, 01325 t = 0, 6931 0, 01325 t = 52 . 309 size 12{t= { {"ln"2} over {0,"01325"} } drarrow t= { {0,"6931"} over {0,"01325"} } drarrow t="52" "." "309"} {}

што значи дека населението (при дадениот коерициен на растење) ќе се удвостручува приближно на секои 52 години.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks