Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Некои типови диференцијални равенки од втор ред

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Некои типови диференцијални равенки од втор ред

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се прикажува постапка за решавање на три типа диференцијални равенки од втор ред.

Некои типови диференцијални равенки од втор ред

Секоја равенка од обликот

f ( x , y , y ' , y ' ' ) = 0 f ( x , y , y ' , y ' ' ) = 0 size 12{f \( x,y, { {y}} sup { ' }, { {y}} sup { '' } \) =0} {}

се нарекува диференцијална равенка од втор ред. Општото решение на диференцијалната равенка од втор ред ќе содржи две произволни интегрални константи, бидејќи тоа се добива преку две квадратури, бидејќи при секое решавање на неопределен интеграл се додава една произволна интегрална константа. Затоа општото решение, ако може да се запише во експлицитен облик е

y=ϕ(x,C1,C2)y=ϕ(x,C1,C2) size 12{y=ϕ \( x,C rSub { size 8{1} } ,C rSub { size 8{2} } \) } {},

или поопшто, во имплицитен облик е

Φ(x,y,C1,C2)=0Φ(x,y,C1,C2)=0 size 12{Φ \( x,y,C rSub { size 8{1} } ,C rSub { size 8{2} } \) =0} {}.

Секое партикуларно решение на диференцијална равенка од втор ред се добива од општото решение со задавање на се два почетни услова од кои ќе се определат двете интегрални константи од општото решение. Тоа се условите:

y ( x 0 ) = y 0 y ' ( x 0 ) = y 0 ' . y ( x 0 ) = y 0 y ' ( x 0 ) = y 0 ' . alignl { stack { size 12{y \( x rSub { size 8{0} } \) =y rSub { size 8{0} } } {} # { {y}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) = { {y}} sup { ' } rSub { size 8{0} } "." {} } } {}

Во овој дел ќе се прикаже постапката за решавање на три типови диференцијални равенки од втор ред, т.н. непотполни диференцијални равенки од втор ред.

1. Диференцијална равенка од од обликот y''=f(x).y''=f(x). size 12{ { {y}} sup { '' }=f \( x \) "." } {}

Ова е наједноставниот тип на диференцијална равенка од втор ред кога во равенката не се јавува функцијата yy size 12{y} {} и нејзиниот прв извод y'y' size 12{ { {y}} sup { ' }} {}. Оваа равенка се решава преку две последователни интегрирања. Најпрво, со интегрирање на диференцијалната равенка

y ' ' = f ( x ) y ' ' = f ( x ) size 12{ { {y}} sup { '' }=f \( x \) } {}

се намалува редот на диференцијалната равенка

y'=f(x)dx+C1y'=f(x)dx+C1 size 12{ { {y}} sup { ' }= Int {f \( x \) ital "dx"+C rSub { size 8{1} } } } {},

а со уште едно интегрирање се добива

y = f ( x ) dx + C 1 dx + C 2 y = f ( x ) dx + C 1 dx + C 2 size 12{y= Int { left ( Int {f \( x \) ital "dx"+C rSub { size 8{1} } } right ) ital "dx"+C rSub { size 8{2} } } } {}

или

y=f(x)dxdx+C1x+C2y=f(x)dxdx+C1x+C2 size 12{y= Int { left ( Int {f \( x \) ital "dx"} right ) ital "dx"+C rSub { size 8{1} } x+C rSub { size 8{2} } } } {},

што претставува нејзино општо решение кое содржи две произволни интегрални константи.

Example 1

Пример 1.

Да се реши диференцијалната равенка y''=x22x+sinxy''=x22x+sinx size 12{ { {y}} sup { '' }=x rSup { size 8{2} } - 2x+"sin"x } {}.

Решение.

Од

y ' ' = x 2 2x + sin x y ' ' = x 2 2x + sin x size 12{ { {y}} sup { '' }=x rSup { size 8{2} } - 2x+"sin"x "" } {}

преку интегрирање се добива

y ' = ( x 2 2x + sin x ) dx + C 1 y ' = ( x 2 2x + sin x ) dx + C 1 size 12{ { {y}} sup { ' }= Int { \( } x rSup { size 8{2} } - 2x+"sin"x \) ital "dx"+C rSub { size 8{1} } } {}

или

y'=x33x2cosx+C1y'=x33x2cosx+C1 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {x rSup { size 8{3} } } over {3} } - x rSup { size 8{2} } - "cos"x+C rSub { size 8{1} } } {},

а после уште едно интегрирање

y = x 3 3 x 2 cos x + C 1 dx + C 2 y = x 3 3 x 2 cos x + C 1 dx + C 2 size 12{y= Int { left ( { {x rSup { size 8{3} } } over {3} } - x rSup { size 8{2} } - "cos"x+C rSub { size 8{1} } right ) ital "dx"+C rSub { size 8{2} } } } {}

и решавање на интегралот, се добива општото решение на диференцијалната равенка

y=x412x33sinx+C1x+C2y=x412x33sinx+C1x+C2 size 12{y= { {x rSup { size 8{4} } } over {"12"} } - { {x rSup { size 8{3} } } over {3} } - "sin"x+C rSub { size 8{1} } x+C rSub { size 8{2} } } {}.

2. Диференцијална равенка од обликот y''=f(x,y')y''=f(x,y') size 12{ { {y}} sup { '' }=f \( x, { {y}} sup { ' } \) } {}.

Овој тип на диференцијална равенка од втор ред е равенка во која не се појавува функцијата yy size 12{y} {}. Со воведување на смената

y ' = p y ' ' = p ' y ' = p y ' ' = p ' alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }= { {p}} sup { ' }} {} } } {}

таа се сведува на диференцијална равенка од прв ред по новата функција pp size 12{p} {} и е од облик

p'=f(x,p)p'=f(x,p) size 12{ { {p}} sup { ' }=f \( x,p \) } {}.

Со нејзино решавање се добива општо решение кое најопшто запишано е од обликот

p = ϕ ( x , C 1 ) p = ϕ ( x , C 1 ) size 12{p=ϕ \( x,C rSub { size 8{1} } \) } {}

или враќајки се на старата функција

y ' = ϕ ( x , C 1 ) y ' = ϕ ( x , C 1 ) size 12{ { {y}} sup { ' }=ϕ \( x,C rSub { size 8{1} } \) } {}

повторно се добива некоја диференцијална равенка од прв ред. Значи сега имаме уште едно решавање на диференцијална равенка од прв ред, во чие решение ќе се појави уште една интегрална константа C2C2 size 12{C rSub { size 8{2} } } {}.

Example 2

Пример 2.

Да се реши диференцијалната равенка y''(x2+1)=2xy'y''(x2+1)=2xy' size 12{ { {y}} sup { '' } \( x rSup { size 8{2} } +1 \) =2x { {y}} sup { ' }} {}.

Решение.

Во диференцијалната равенка не се јавува функцијата yy size 12{y} {} и затоа ќе се користи смената

y ' = p y ' ' = p ' y ' = p y ' ' = p ' alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }= { {p}} sup { ' }} {} } } {}

со која равенката се сведува на диференцијална равенка од прв ред по функцијата pp size 12{p} {}, односно

p ' ( x 2 + 1 ) = 2 xp p ' ( x 2 + 1 ) = 2 xp size 12{ { {p}} sup { ' } \( x rSup { size 8{2} } +1 \) =2 ital "xp"} {}

или

p'=2xpx2+1p'=2xpx2+1 size 12{ { {p}} sup { ' }= { {2 ital "xp"} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}.

Бидејќи p'=dpdxp'=dpdx size 12{ { {p}} sup { ' }= { { ital "dp"} over { ital "dx"} } } {}, диференцијалната равенка е

dp dx = 2 xp x 2 + 1 dp dx = 2 xp x 2 + 1 size 12{ { { ital "dp"} over { ital "dx"} } = { {2 ital "xp"} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}

во која променливите може да се раздвојат

dp p = 2x x 2 + 1 dx dp p = 2x x 2 + 1 dx size 12{ { { ital "dp"} over {p} } = { {2x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"} {}

и после интегрирање

dp p = 2x x 2 + 1 dx + C 1 dp p = 2x x 2 + 1 dx + C 1 size 12{ Int { { { ital "dp"} over {p} } } = Int { { {2x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"} +C rSub { size 8{1} } } {}

се добива

ln p = ln ( x 2 + 1 ) + ln C 1 ln p = ln ( x 2 + 1 ) + ln C 1 size 12{"ln" \lline p \lline ="ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) +"ln" \lline C rSub { size 8{1} } \lline } {}

(константата C1C1 size 12{C rSub { size 8{1} } } {} ја запишуваме како логаритам) и затоа

lnp=lnC1(x2+1)lnp=lnC1(x2+1) size 12{"ln" \lline p \lline ="ln" \lline C rSub { size 8{1} } \lline \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } {},

или

p=C1(x2+1)p=C1(x2+1) size 12{p=C rSub { size 8{1} } \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } {}.

Од користената смена смената p=y'p=y' size 12{p= { {y}} sup { ' }} {} повторно се добива диференцијална равенка од прв ред

y ' = C 1 ( x 2 + 1 ) dx y ' = C 1 ( x 2 + 1 ) dx size 12{ { {y}} sup { ' }=C rSub { size 8{1} } \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ital "dx"} {}

во која променливите се раздвојуваат и по интегрирање

y = C 1 ( x 2 + 1 ) dx + C 2 y = C 1 ( x 2 + 1 ) dx + C 2 size 12{y= Int {C rSub { size 8{1} } \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ital "dx"} +C rSub { size 8{2} } } {}

и општото решение ќе гласи

y=C1(x33+x)+C2y=C1(x33+x)+C2 size 12{y=C rSub { size 8{1} } \( { {x rSup { size 8{3} } } over {3} } +x \) +C rSub { size 8{2} } } {}.

Example 3

Пример 3.

Да се реши диференцијалната равенка y''2ctgxy'=sin3x.y''2ctgxy'=sin3x. size 12{ { {y}} sup { '' } - 2"ctg"x cdot { {y}} sup { ' }="sin" rSup { size 8{3} } x "." } {}

Решение.

Со смената

y ' = p y ' ' = p ' y ' = p y ' ' = p ' alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }= { {p}} sup { ' }} {} } } {}

зададената диференцијална равенка се сведува на диференцијална равенка од прв ред

p ' 2 ctg x p = sin 3 x p ' 2 ctg x p = sin 3 x size 12{ { {p}} sup { ' } - 2"ctg"x cdot p="sin" rSup { size 8{3} } x} {}

која е линеарна равенка по pp size 12{p} {} со општо решение

p=e2ctgxdxC1+sin3xe2ctgxdxdxp=e2ctgxdxC1+sin3xe2ctgxdxdx size 12{p=e rSup { size 8{ Int {2 ital "ctgxdx"} } } left (C rSub { size 8{1} } + Int {"sin" rSup { size 8{3} } ital "xe" rSup { size 8{ - Int {2 ital "ctgxdx"} } } ital "dx"} right )} {}.

По решавање на интегралите, општото решение е

p = e 2 ln sin x C 1 + sin 3 xe 2 ln sin x dx p = e 2 ln sin x C 1 + sin 3 xe 2 ln sin x dx size 12{p=e rSup { size 8{2"ln" \lline "sin"x \lline } } left (C rSub { size 8{1} } + Int {"sin" rSup { size 8{3} } ital "xe" rSup { size 8{ - 2"ln" \lline "sin"x \lline } } ital "dx"} right )} {}

или

p=elnsin2xC1+sin3xelnsin2xdxp=elnsin2xC1+sin3xelnsin2xdx size 12{p=e rSup { size 8{"lnsin" rSup { size 6{2} } x} } left (C rSub {1} size 12{+ Int { { {"sin" rSup {3} size 12{x}} over {e rSup {"lnsin" rSup { size 6{2} } x} } } size 12{ ital "dx"}} } right )} {},

а по средување

p = sin 2 x C 1 + sin 3 x sin 2 x dx p = sin 2 x C 1 + sin 3 x sin 2 x dx size 12{p="sin" rSup { size 8{2} } x left (C rSub { size 8{1} } + Int { { {"sin" rSup { size 8{3} } x} over {"sin" rSup { size 8{2} } x} } ital "dx"} right )} {}

и по решавање на интегралот се добива

p=sin2xC1cosxp=sin2xC1cosx size 12{p="sin" rSup { size 8{2} } x left (C rSub { size 8{1} } - "cos"x right )} {}.

Последната равенка е

p = C 1 sin 2 x cos x sin 2 x p = C 1 sin 2 x cos x sin 2 x size 12{p=C rSub { size 8{1} } "sin" rSup { size 8{2} } x - "cos"x"sin" rSup { size 8{2} } x} {}

и тоа е пак диференцијална равенка од прв ред (променливите се раздвојуваат) со враќање на старата променлива од смената p=y'p=y' size 12{p= { {y}} sup { ' }} {}

y ' = C 1 sin 2 x cos x sin 2 x y ' = C 1 sin 2 x cos x sin 2 x size 12{ { {y}} sup { ' }=C rSub { size 8{1} } "sin" rSup { size 8{2} } x - "cos"x"sin" rSup { size 8{2} } x} {}

чие што општо решение е

y = C 1 1 cos 2x 2 dx sin 2 x cos xdx + C 2 y = C 1 1 cos 2x 2 dx sin 2 x cos xdx + C 2 size 12{y=C rSub { size 8{1} } Int { { {1 - "cos"2x} over {2} } } ital "dx" - Int {"sin" rSup { size 8{2} } x"cos" ital "xdx"+C rSub { size 8{2} } } } {}

и по решавање на интегралите се добива општото решение

y=C1(x2sin2x4)13sin3x+C2y=C1(x2sin2x4)13sin3x+C2 size 12{y=C rSub { size 8{1} } \( { {x} over {2} } - { {"sin"2x} over {4} } \) - { {1} over {3} } "sin""" lSup { size 8{3} } x+C rSub { size 8{2} } } {}.

3. Диференцијална равенка од обликот y''=f(y,y')y''=f(y,y') size 12{ { {y}} sup { '' }=f \( y, { {y}} sup { ' } \) } {}.

Во овој тип диференцијална равнка од втор ред не се појавува независната променлива xx size 12{x} {}. За нејзино решавање се користи смената

y'=py'=p size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {},

а во вториот извод диференцирањето наместо по променливата xx size 12{x} {} ќе се врши по yy size 12{y} {} и затоа

y''=dpdx=dpdydydx=dpdypy''=dpdx=dpdydydx=dpdyp size 12{ { {y}} sup { '' }= { { ital "dp"} over { ital "dx"} } = { { ital "dp"} over { ital "dy"} } cdot { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { { ital "dp"} over { ital "dy"} } p} {},

што значи дека за овој тип диференцијална равенка со смената

y ' = p y ' ' = p dp dy y ' = p y ' ' = p dp dy alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }=p { { ital "dp"} over { ital "dy"} } } {} } } {}

зададената равенка ја сведуваме на диференцијална равенка од прв ред по pp size 12{p} {} и yy size 12{y} {}. Откога ќе се реши таквата диференцијална равенка, се враќаме на старите променливи p=y'p=y' size 12{p= { {y}} sup { ' }} {} и xx size 12{x} {}, со што треба уште еднаш да се реши диференцијална равенка од прв ред.

Example 4

Пример 4.

Да се реши диференцијалната равенка 2yy''=1+(y')22yy''=1+(y')2 size 12{2y { {y}} sup { '' }=1+ \( { {y}} sup { ' } \) rSup { size 8{2} } } {}.

Решение.

Со смената

y ' = p y ' ' = p dp dy y ' = p y ' ' = p dp dy alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }=p { { ital "dp"} over { ital "dy"} } } {} } } {}

зададената равенка се сведува на равенка од прв ред

2 yp dp dy = 1 + p 2 2 yp dp dy = 1 + p 2 size 12{2 ital "yp" { { ital "dp"} over { ital "dy"} } =1+p rSup { size 8{2} } } {}

која по делење со 2yp2yp size 12{2 ital "yp"} {} се запишува во обликот

dpdy=12yp+p22ypdpdy=12yp+p22yp size 12{ { { ital "dp"} over { ital "dy"} } = { {1} over {2 ital "yp"} } + { {p rSup { size 8{2} } } over {2 ital "yp"} } } {},

односно се добива Бернулиева диференцијална равенка по функцијата pp size 12{p} {}

p ' 1 2y p = 1 2 yp p ' 1 2y p = 1 2 yp size 12{ { {p}} sup { ' } - { {1} over {2y} } p= { {1} over {2 ital "yp"} } } {}

во која степенот на pp size 12{p} {} е n=1n=1 size 12{n= - 1} {}. Со делење на равенката со p1p1 size 12{p rSup { size 8{ - 1} } } {} се добива

p ' 1 2y p = 1 2 yp /: p 1 p ' 1 2y p = 1 2 yp /: p 1 size 12{ { {p}} sup { ' } - { {1} over {2y} } p= { {1} over {2 ital "yp"} } "/:"p rSup { size 8{ - 1} } } {}

или

p ' p 1 1 2y p p 1 = 1 2y p ' p 1 1 2y p p 1 = 1 2y size 12{ { { { {p}} sup { ' }} over {p rSup { size 8{ - 1} } } } - { {1} over {2y} } { {p} over {p rSup { size 8{ - 1} } } } = { {1} over {2y} } } {}

и по средување се добива равенката

pp'12yp2=12ypp'12yp2=12y size 12{p { {p}} sup { ' } - { {1} over {2y} } p rSup { size 8{2} } = { {1} over {2y} } } {}.

Оваа равенка со смената

t = p 2 t ' = 2p p ' p p ' = t ' 2 t = p 2 t ' = 2p p ' p p ' = t ' 2 size 12{t=p rSup { size 8{2} } drarrow { {t}} sup { ' }=2p { {p}} sup { ' } drarrow p { {p}} sup { ' }= { { { {t}} sup { ' }} over {2} } } {}

се сведува на

t ' 2 1 2y t = 1 2y t ' 2 1 2y t = 1 2y size 12{ { { { {t}} sup { ' }} over {2} } - { {1} over {2y} } t= { {1} over {2y} } } {}

односно се добива линеарна диференцијална равенка од прв ред

t'1yt=1yt'1yt=1y size 12{ { {t}} sup { ' } - { {1} over {y} } t= { {1} over {y} } } {}.

Решението на оваа равенка е

t=e1ydyC1+1ye1ydydyt=e1ydyC1+1ye1ydydy size 12{t=e rSup { size 8{ Int { { {1} over {y} } ital "dy"} } } left (C rSub { size 8{1} } + Int { { {1} over {y} } } e rSup { size 8{ - Int { { {1} over {y} } ital "dy"} } } ital "dy" right )} {},

t=elnyC1+1yelnydyt=elnyC1+1yelnydy size 12{t=e rSup { size 8{"ln" \lline y \lline } } left (C rSub { size 8{1} } + Int { { {1} over {y} } } e rSup { size 8{ - "ln" \lline y \lline } } ital "dy" right )} {},

t=yC1+1y2dyt=yC1+1y2dy size 12{t=y left (C rSub { size 8{1} } + Int { { {1} over {y rSup { size 8{2} } } } ital "dy"} right )} {},

t=yC11yt=yC11y size 12{t=y left (C rSub { size 8{1} } - { {1} over {y} } right )} {},

и конечно

t=C1y1t=C1y1 size 12{t=C rSub { size 8{1} } y - 1} {}.

Заменувајќи за t=p2t=p2 size 12{t=p rSup { size 8{2} } } {} се добива

p 2 = C 1 y 1 p = C 1 y 1 p 2 = C 1 y 1 p = C 1 y 1 size 12{p rSup { size 8{2} } =C rSub { size 8{1} } y - 1 drarrow p= sqrt {C rSub { size 8{1} } y - 1} } {}

и пак од замената p=y'p=y' size 12{p= { {y}} sup { ' }} {} се добива уште една диференцијална равенка од прв ред

y ' = C 1 y 1 dy dx = C 1 y 1 y ' = C 1 y 1 dy dx = C 1 y 1 size 12{ { {y}} sup { ' }= sqrt {C rSub { size 8{1} } y - 1} drarrow { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = sqrt {C rSub { size 8{1} } y - 1} } {}

во која променливите се раздвојуваат

dy C 1 y 1 = dx + C 2 dy C 1 y 1 = dx + C 2 size 12{ Int { { { ital "dy"} over { sqrt {C rSub { size 8{1} } y - 1} } } } = Int { ital "dx"} +C rSub { size 8{2} } } {}

и по решавање на интегралите се добива

2C1C1y1=x+C22C1C1y1=x+C2 size 12{ { {2} over {C rSub { size 8{1} } } } sqrt {C rSub { size 8{1} } y - 1} =x+C rSub { size 8{2} } } {},

а по квадрирање се добива општото решение

4(C1y1)=C12(x+C2)24(C1y1)=C12(x+C2)2 size 12{4 \( C rSub { size 8{1} } y - 1 \) =C rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } \( x+C rSub { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } {}.

Example 5

Пример 5.

Да се реши диференцијалната равенка yy''=(y')2(y')3yy''=(y')2(y')3 size 12{y { {y}} sup { '' }= \( { {y}} sup { ' } \) rSup { size 8{2} } - \( { {y}} sup { ' } \) rSup { size 8{3} } } {}.

Решение.

Се користи смената

y ' = p y ' ' = p dp dy y ' = p y ' ' = p dp dy alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=p} {} # size 12{ { {y}} sup { '' }=p { { ital "dp"} over { ital "dy"} } } {} } } {}

која дадената диференцијална равенка од втор ред ја сведува на диференцијална равенка од прв ред

ypdpdy=p2p3ypdpdy=p2p3 size 12{ ital "yp" { { ital "dp"} over { ital "dy"} } =p rSup { size 8{2} } - p rSup { size 8{3} } } {}.

Со средување, горната рвенка се сведува на диференцијална равенка во која променливите се раздвојуваат

pp2p3dp=dyypp2p3dp=dyy size 12{ { {p} over {p rSup { size 8{2} } - p rSup { size 8{3} } } } ital "dp"= { { ital "dy"} over {y} } } {},

1pp2dp=dyy+lnC11pp2dp=dyy+lnC1 size 12{ Int { { {1} over {p - p rSup { size 8{2} } } } ital "dp"} = Int { { { ital "dy"} over {y} } } +"ln" \lline C rSub { size 8{1} } \lline } {}.

Интегралот од левата страна 1pp2dp1pp2dp size 12{ Int { { {1} over {p - p rSup { size 8{2} } } } ital "dp"} } {} се решава како интеграл од дробнорационална функција со две реални и различни решенија

1 p p 2 = 1 p ( 1 p ) 1 p p 2 = 1 p ( 1 p ) size 12{ { {1} over {p - p rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {p \( 1 - p \) } } } {}

1 p ( 1 p ) A p + B 1 p 1 A ( 1 p ) + Bp A = 1, B = 1 1 p ( 1 p ) A p + B 1 p 1 A ( 1 p ) + Bp A = 1, B = 1 size 12{ { {1} over {p \( 1 - p \) } } equiv { {A} over {p} } + { {B} over {1 - p} } drarrow 1 equiv A \( 1 - p \) + ital "Bp" drarrow A=1,B=1} {}

1 p p 2 dp = 1 p ( 1 p ) dp = 1 p dp + 1 1 p dp = ln p ln 1 p = ln p 1 p 1 p p 2 dp = 1 p ( 1 p ) dp = 1 p dp + 1 1 p dp = ln p ln 1 p = ln p 1 p size 12{ Int { { {1} over {p - p rSup { size 8{2} } } } ital "dp"} = Int { { {1} over {p \( 1 - p \) } } ital "dp"} = Int { { {1} over {p} } } ital "dp"+ Int { { {1} over {1 - p} } } ital "dp"="ln" \lline p \lline - "ln" \lline 1 - p \lline ="ln" lline { {p} over {1 - p} } rline } {}

и заменето во решението на диференцијалната равенка

ln p 1 p = ln y + ln C 1 ln p 1 p = ln y + ln C 1 size 12{"ln" lline { {p} over {1 - p} } rline ="ln" \lline y \lline +"ln" \lline C rSub { size 8{1} } \lline } {}

доведува до

p1p=C1yp1p=C1y size 12{ { {p} over {1 - p} } =C rSub { size 8{1} } y} {},

а оваа равенка ја средуваме

p = C 1 y ( 1 p ) p = C 1 y ( 1 p ) size 12{p=C rSub { size 8{1} } y \( 1 - p \) } {}

и добиваме

p(1+C1y)=yC1p(1+C1y)=yC1 size 12{p \( 1+C rSub { size 8{1} } y \) = ital "yC" rSub { size 8{1} } } {}.

Враќајки се на смената p=y'=dydxp=y'=dydx size 12{p= { {y}} sup { ' }= { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {} се добива диференцијална равенка од прв ред во која променливите се раздвојуваат

1 + C 1 y C 1 y dy = dx 1 + C 1 y C 1 y dy = dx size 12{ { {1+C rSub { size 8{1} } y} over {C rSub { size 8{1} } y} } ital "dy"= ital "dx"} {}

чие решение е изаразено преку интегралите

1C1ydy+C1yC1y=dx+C21C1ydy+C1yC1y=dx+C2 size 12{ Int { { {1} over {C rSub { size 8{1} } y} } } ital "dy"+ Int { { {C rSub { size 8{1} } y} over {C rSub { size 8{1} } y} } } = Int { ital "dx"} +C rSub { size 8{2} } } {},

а по нивно решавање општото решение на поставенката диференцијална равенка е

1C1lny+y=x+C21C1lny+y=x+C2 size 12{ { {1} over {C rSub { size 8{1} } } } "ln" \lline y \lline +y=x+C rSub { size 8{2} } } {}.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks