Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Основни теореми на диференцијалното сметање

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Основни теореми на диференцијалното сметање

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Во испитување на функциите, како што е текот на функцијата и определување на стационите точки, од голема помош се теоремите на Дарбу, Рол, Лагранж и Коши кои се нарекуваат и основни теореми на диференцијалното сметање.

Основни теореми на диференцијалното сметање

Ќе наведеме неколку теореми за диференцијабилните функции кои имаат многу важна улога во нивното испитување. Овие теореми се користат за испитување на текот (растењето и опаѓањето) на функциите и за испитување на нивните локални екстреми и затоа се нарекуваат основни теореми на диференцијалното сметање.

Првата теорема која следи е Теоремата на Дарбу. Оваа теорема искажува важна особина на изводот f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} кој се смета за функција.

Теорема на Дарбу (Darboux, 1842-1917)

Ако функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има конечен извод на интервалот [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {}, тогаш изводот f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} не може од вредноста f'(a)f'(a) size 12{ { {f}} sup { ' } \( a \) } {} да премине на вредноста f'(b)f'(b) size 12{ { {f}} sup { ' } \( b \) } {}, а да не ги прими сите вредности меѓу f'(a)f'(a) size 12{ { {f}} sup { ' } \( a \) } {} и f'(b)f'(b) size 12{ { {f}} sup { ' } \( b \) } {}.

Ќе ги дефинираме поимите за локален минимум и локален максимум.

Definition 1: Дефиниција за локален максимум
Точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} се нарекува точка на локален максимум ако постои околина на таа точка (x0ε,x0+ε),ε>0,(x0ε,x0+ε),ε>0, size 12{ \( x rSub { size 8{0} } - ε,x rSub { size 8{0} } +ε \) ,`ε>0,} {} во која вредноста на функцијата f(x0)f(x)0f(x0)f(x)0 size 12{f \( x rSub { size 8{0} } \) - f \( x \) >= 0} {} за x(x0ε,x0+ε)x(x0ε,x0+ε) size 12{x in \( x rSub { size 8{0} } - ε,x rSub { size 8{0} } +ε \) } {}.

Figure 1: Локален максимум
Figure 1 (graphics1.jpg)

Definition 2: Дефиниција за локален минимум
Точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} се нарекува точка на локален минимум ако постои околина на таа точка (x0ε,x0+ε),ε>0,(x0ε,x0+ε),ε>0, size 12{ \( x rSub { size 8{0} } - ε,x rSub { size 8{0} } +ε \) ,`ε>0,} {} во која вредноста на функцијата f(x0)f(x)0f(x0)f(x)0 size 12{f \( x rSub { size 8{0} } \) - f \( x \) <= 0} {} за x(x0ε,x0+ε)x(x0ε,x0+ε) size 12{x in \( x rSub { size 8{0} } - ε,x rSub { size 8{0} } +ε \) } {}.

Figure 2: Локален минимум
Figure 2 (graphics2.jpg)

Теорема на Ферма (Fermat, 1601,1665)

Ако функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} е непрекината на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {} и диференцијабилна на (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} и ако таа има локален екстрем во точката x0(a,b)x0(a,b) size 12{x rSub { size 8{0} } in \( a,b \) } {}, тогаш f'(x0)=0f'(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}.

Доказ. За да ја докажеме точноста на теоремата на Ферма, се испитува закот на првиот извод на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} во околина на локалениот екстрем.

Нека на пример во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има локален минумум, тогаш на интервал лево од таа точка x(x0ε,x0)x(x0ε,x0) size 12{x in \( x rSub { size 8{0} } - ε,x rSub { size 8{0} } \) } {} за ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} ќе важи

x0ε<x0f(x0ε)f(x0)x0ε<x0f(x0ε)f(x0) size 12{x rSub { size 8{0} } - ε<x rSub { size 8{0} } drarrow f \( x rSub { size 8{0} } - ε \) >= f \( x rSub { size 8{0} } \) } {},

односно ќе важат неравенствата

f(x0ε)f(x0)0f(x0ε)f(x0)0 size 12{f \( x rSub { size 8{0} } - ε \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) >= 0} {} и ε>0ε>0 size 12{ε>0} {}.

Ако се формира количникот од овие две неравенста и пресмета знакот на количникот се добива

f(x0ε)f(x0)ε0f(x0ε)f(x0)ε0 size 12{ { {f \( x rSub { size 8{0} } - ε \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {ε} } >= 0} {} или f(x0)f(x0ε)ε0f(x0)f(x0ε)ε0 size 12{ { {f \( x rSub { size 8{0} } \) - f \( x rSub { size 8{0} } - ε \) } over {ε} } <= 0} {},

па и гранична вредност ќе ги има истиот знак со количникот

limε0f(x0)f(x0ε)ε0limε0f(x0)f(x0ε)ε0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{ε rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } \) - f \( x rSub { size 8{0} } - ε \) } over {ε} } <= 0} {},

што од дефиницијата за извод означува дека на овој интервал f'(x)0f'(x)0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) <= 0} {}, т.е. лево од точката на локален минимум функцијата опаѓа.

Сега ќе го испитаме знакот на првиот извод на функција на интервал десно од точката на локален минимум. На интервалот x(x0,x0+ε)x(x0,x0+ε) size 12{x in \( x rSub { size 8{0} } ,x rSub { size 8{0} } +ε \) } {} исто така

x0<x0+εf(x0)f(x0+ε)x0<x0+εf(x0)f(x0+ε) size 12{x rSub { size 8{0} } <x rSub { size 8{0} } +ε drarrow f \( x rSub { size 8{0} } \) <= f \( x rSub { size 8{0} } +ε \) } {},

односно за

ε > 0 f ( x 0 + ε ) f ( x 0 ) ε > 0 f ( x 0 + ε ) f ( x 0 ) size 12{ε>0 drarrow f \( x rSub { size 8{0} } +ε \) >= f \( x rSub { size 8{0} } \) } {}

и граничната вредност

limε0f(x0+ε)f(x0)ε0limε0f(x0+ε)f(x0)ε0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{ε rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +ε \) - f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {ε} } >= 0} {},

па затоа на овој интервал f'(x)0f'(x)0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) >= 0} {}, т.е. десно од точката на локален минимум функцијата расте.

Изводот во точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} мора да биде f'(x0)=0f'(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}, бидејќи изводот за да премине од негативна во позитивна вредност мора да ја достигне нулата (Теорема на Дарбу).

Definition 3: Дефиниција за стационарна точка
Точките за кои f'(x)=0f'(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} се нарекуваат стационарни точки.

Figure 3: Геометриска интерпретација на Теоремата на Ферма
Figure 3 (graphics3.jpg)

Геометриската интерпретација на Теоремата на Ферма е ако функцијата има локален екстрем во точка во која таа е диференцијабилна, таа точка е стационарна и тангентата во таа точка е паралелна со xx size 12{x - {}} {} оската (Сл. 3).

Условот f'(x)=0f'(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} е потребен за локален екстрем, што значи ако точката е локален екстерем таа мора да е и стационарна, додека обратното не важи, односно условот не е доволен бидејќи постојат стационарни точки кои не се локален екстрем. Таква е на пример функцијата y=x3y=x3 size 12{y=x rSup { size 8{3} } } {} за која првиот извод се анулира во точката x=0x=0 size 12{x=0} {}, а таа точка не е локален екстрем.

Заклучок: Aко функција има локален минимум во точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {}, во доволно мали интервали лево и десно од таа точка преминува од опаѓачка во растечка функција. Аналогно, ако точката е локален максимум, тогаш во доволно мали интервали лево и десно од таа точка функцијата преминува од растечка во опаѓачка.

Теорема на Рол (Rolle, 1652-1719)

Ако функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е непрекината на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {} и диференцијабилна на (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} и ако на краевите од интервалот има еднакви вредности f(a)=f(b)f(a)=f(b) size 12{f \( a \) =f \( b \) } {}, тогаш постои точка x0,(a<x0<b)x0,(a<x0<b) size 12{x rSub { size 8{0} } ,~ \( a<x rSub { size 8{0} } <b \) } {}, таква што

f'(x0)=0f'(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}.

Теоремата на Рол искажува дека ако на краевите од еден интервал вредностите на непрекинатата функцијата се еднакви, тогаш на тој интервал функцијата мора да има барем еден локален екстрем во кој тангентата ќе биде паралелна со xx size 12{x - {}} {} оската (Сл. 4).

Figure 4: Геометриска интерпретација на Теоремата на Рол со еден локален екстрем
Figure 4 (graphics4.jpg)

Ако пак функцијата е константна, тогаш нејзиниот график на целиот интервал ке биде паралелен со xx size 12{x - {}} {} оската.

Нагласено беше дека функцијата на дадениот интервал има барем една точка во која ќе има локален ектрем, што значи дека таа може да има и повеќе од една точка на локален екстрем (Сл. 5).

Figure 5: Геометриска интерпретација на Теоремата на Рол со повеќе локални екстреми
Figure 5 (graphics5.jpg)

Теорема на Лагранж (Lagrange, 1736-1813)

Ако функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е непрекината на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {} и диференцијабилна на (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {}, тогаш постои барем една точка x0,(a<x0<b)x0,(a<x0<b) size 12{x rSub { size 8{0} } ,~ \( a<x rSub { size 8{0} } <b \) } {}, таква што

f(b)f(a)=(ba)f'(x0)f(b)f(a)=(ba)f'(x0) size 12{f \( b \) - f \( a \) = \( b - a \) { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } {}.

Теоремата на Лагранж уште се нарекува и теорема за средна вредност и укажува дека во точката (x0,f(x0)),(a<x0<b)(x0,f(x0)),(a<x0<b) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) ,~ \( a<x rSub { size 8{0} } <b \) } {}, тангентата на функцијата ќе биде паралелна со правата која ги сврзува точките (a,f(a))(a,f(a)) size 12{ \( a,f \( a \) \) } {} и (b,f(b))(b,f(b)) size 12{ \( b,f \( b \) \) } {} кои се на краевите од интервалот (Сл. 6).

Figure 6: Геометриска интерпретација на Теоремата на Лагранж
Figure 6 (graphics6.jpg)

Теоремата на Лагранж е поопшта од теоремата на Рол, бидејќи во специјален случај кога f(a)=f(b)f(a)=f(b) size 12{f \( a \) =f \( b \) } {}, теоремата на Лагранж ја искажува теоремата на Рол.

И во оваа теорема се нагласува дека посто барем една точка, што не значи дека е само една, туку може да постојат повеќе точки за кои ќе важи теоремата (Сл. 7).

Figure 7
Figure 7 (graphics7.jpg)

Воопштување на теремата на Лагранж е теоремата на Коши која се однесува за две функции.

Теорема на Коши (Cauchy, 1789-1857)

Ако функциите f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и g(x)g(x) size 12{g \( x \) } {} се непрекинати на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {} и диференцијабилни на (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} и ако g'(x)0g'(x)0 size 12{ { {g}} sup { ' } \( x \) <> 0} {} за x(a,b)x(a,b) size 12{x in \( a,b \) } {}, тогаш постои барем една точка x0,(a<x0<b)x0,(a<x0<b) size 12{x rSub { size 8{0} } ,~ \( a<x rSub { size 8{0} } <b \) } {}, таква што

f(b)f(a)g(b)g(a)=f'(x0)g'(x0)f(b)f(a)g(b)g(a)=f'(x0)g'(x0) size 12{ { {f \( b \) - f \( a \) } over {g \( b \) - g \( a \) } } = { { { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } over { { {g}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } } } {}.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks