Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Екстремни вредности на функција од една променлива

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Екстремни вредности на функција од една променлива

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Екстремни вредности на функција од една променлива

Во Основни теореми на диференцијалното сметање воведени се поимите за локален екстрем. Така, функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {} има локален минимум (максимум) во точката x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} ако вредноста f(x0)f(x0) size 12{f \( x rSub { size 8{0} } \) } {} е помала (поголема) од блиските вредности на функцијата кои и претходат или следуваат после оваа вредност на функцијата.

За разлика од локалниот минимум (максимум) на функција, постои и апсолутен минимум (максимум), а тоа е најмалата (најголемата) вредност на функцијата која ја добива на целиот интервал на кој таа се разгледува.

На Сл. 1 е прикажан графикот на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} на затворениот интервал [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {}. На овој интервал се испитуваат вредностите на функцијата во локалните екстреми и вредностите на функцијата на краевите од интервалот. Забележуваме дека функцијата има локален максимум во точката x=gx=g size 12{x=g} {} со вредност на функцијата f(g)f(g) size 12{f \( g \) } {}, а локалниот минимум е во точката x=ex=e size 12{x=e} {} со вредност на функцијата f(e)f(e) size 12{f \( e \) } {}. Вредностите на функцијата на краевите од интервалот се f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {} и f(b)f(b) size 12{f \( b \) } {}. Апсолутен минимум е најмалата вредност на функцијата од сите овие вредности, а тоа е локланиот минимум т.е. f(e)f(e) size 12{f \( e \) } {}. Апсолутниот максимум е најголемата од сите вредности на функцијата, а во наведениот пример тоа е f(a)f(a) size 12{f \( a \) } {}. Гледаме дека апсолутен екстрем може да се постигне или во локален екстрем или на еден од краевите на интервалот.

Figure 1: Сл.1
Figure 1 (graphics1.jpg)

Вообичаено е локалниот ектрем да се нарекува само екстрем, затоа понатаму под поимот екстем ќе се подразбира локален екстрем.

Во делот Основни теореми на диференцијалното сметање, со теоремата на Ферма е даден потребниот услов за постоење на екстрем во точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}, а тоа е таа да биде стационарна точка, односно f'(x0)=0f'(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}. Секоја стацинорна точка не мора да биде точка на ектрем, тоа е потребен услов, а доволниот услов за екстем може да се спроведе преку две постапки:

  • со извод од прв ред преку испитување на интервалите на монотоност;
  • со извод од повисок ред.

Постапка за испитување на екстрем преку првиот извод

Оваа постапка го користи знакот на првиот извод за утврдување на монотоноста на функцијата на интервал, а се базира на теоремата Лагранж.

За монотоноста (растењето и опаѓањето) на функцијата на итервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} ако важи:

f'(x)>0f'(x)>0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) >0} {}, ∀x∈(a,b)⇒∀x∈(a,b)⇒ size 12{ forall x in \( a,b \) drarrow } {} функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е строго монотоно растечка;

f'(x)<0f'(x)<0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) <0} {}, ∀x∈(a,b)⇒∀x∈(a,b)⇒ size 12{ forall x in \( a,b \) drarrow } {} функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е строго монотоно опаѓачка.

Figure 2: Сл. 2. Растечка функција
Figure 2 (graphics2.jpg)

Навистина, ако на интервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} функцијата расте, тогаш ∀x1,x2∈(a,b)∀x1,x2∈(a,b) size 12{ forall x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } in \( a,b \) } {} и x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x1<x2⇒f(x1)<f(x2) size 12{x rSub { size 8{1} } <x rSub { size 8{2} } drarrow f \( x rSub { size 8{1} } \) <f \( x rSub { size 8{2} } \) } {}. Од теоремата на Лагранж следува дека постои точка x0∈(x1,x2)x0∈(x1,x2) size 12{x rSub { size 8{0} } in \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } \) } {} за која ќе важи f(x2)−f(x1)=f'(x0)(x2−x1)f(x2)−f(x1)=f'(x0)(x2−x1) size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) - f \( x rSub { size 8{1} } \) = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) \( x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } \) } {}. Бидејќи функцијата е растечка, знакот на f'(x0)f'(x0) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } {} ќе биде ист со знакот на разликата f(x2)−f(x1)>0f(x2)−f(x1)>0 size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) - f \( x rSub { size 8{1} } \) >0} {}, т.е. знакот е позитивен и затоа f'(x0)>0f'(x0)>0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) >0} {} кога функцијата расте (Сл. 2.).

Со аналогна постапка се покажува дека ако f'(x0)<0f'(x0)<0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) <0} {}, функцијата опаѓа (Сл. 3.).

Figure 3: Сл. 3. Опаѓачка функција
Figure 3 (graphics3.jpg)

Овој факт ќе се примени во постапка за испитување на екстреми на функција f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} преку знакот првиот извод и таа постапка се одвива во следните чекори:

1. Со решавање на равенката f'(x)=0f'(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} по xx size 12{x} {} се добиваат стационарните точки.

2. Секоја стационарна точка се подредува по својата вредност на бројната оска и со нив дефиниционата област се раздробува на таканаречени интервали на монотоност. Во секој од овие интервали изводната функцијата f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} има постојан знак.

3. Се определува знакот за f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} во секој од овие интервали.

Ако во околина на стационарната точка x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {}, со зголемување на xx size 12{x} {}:

- знакот на f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од ++ size 12{+{}} {} во – , функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има максимум во точката (x0,f(x0))(x0,f(x0)) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {}(Сл. 4);

Figure 4: Сл. 4. Максимум
Figure 4 (graphics4.jpg)

- знакот на f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од – во + , функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} има минимум во точката (x0,f(x0))(x0,f(x0)) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {}(Сл. 5);

Figure 5: Сл. 5. Минимум
Figure 5 (graphics5.jpg)

- ако знакот на f'(x)f'(x) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} не се менува, функцијата нема екстрем во точката (x0,f(x0))(x0,f(x0)) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Превојна точка, Сл. 6).

Figure 6: Сл. 6. Превој
Figure 6 (graphics6.jpg)

Пред да го изнесеме вториот начин на испитување на екстремите, ќе ја дефинираме закривеноста на лакот од графикот на кривата, односно неговата конвексност или конкавност. Овие поими се дефинираат во зависност од позицијата на точката на гледање на графикот и ако гледаме оддгоре надолу (од позитивниот дел на y−y− size 12{y - {}} {} оската), следат дефиниции:

Дефиниција 1. Функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е конвексна (вдлабната) на интервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е над тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 7).

На интервалот на кој функцијата е конвексна, знакот на првиот извод се менува од – во +, што значи дека првиот извод расте и затоа неговиот извод ќе биде позитивен. Извод од првиот извод е втор извод и критериум за конвексност на функција на даден интервал е f''(x)>0f''(x)>0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) >0} {}.

Figure 7: Сл. 7 Конвексен лак
Figure 7 (graphics7.jpg)

Дефиниција 2. Функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} е конкавна (испакната) на интервалот (a,b)(a,b) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е под тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 8).

Аналогно, на интервалот на кој функцијата е конкавна, знакот на првиот извод се менува од + во –, значи првиот извод се намалува и затоа неговиот извод ќе биде негативен, односно изводот од првиот извод т.е. вториот извод ќе биде негативен. Затоа критериум за конкавност на лак на функција на даден интервал е f''(x)<0f''(x)<0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) <0} {}.

Figure 8: Сл. 8 Конкавен лак
Figure 8 (graphics8.jpg)

Но, што е со точките во кои f''(x)=0f''(x)=0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {}?

Дефиниција 3. Точката се нарекува превојна точка ако во неа графикот преминува од конкавен во конвексен и обратно .

На Сл. 1 превојни точки се :

x=cx=c size 12{x=c} {} во која f'(c)=0,f''(c)=0f'(c)=0,f''(c)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( c \) =0, { {f}} sup { ' ' } \( c \) =0} {},

x=dx=d size 12{x=d} {} во која f'(d)<0,f''(d)=0f'(d)<0,f''(d)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( d \) <0, { {f}} sup { ' ' } \( d \) =0} {},

x=fx=f size 12{x=f} {} во која f'(f)>0,f''(f)=0f'(f)>0,f''(f)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( f \) >0, { {f}} sup { ' ' } \( f \) =0} {}.

Од дефиницијата за превојна точка произлегува дека во превојните точки графикот на функцијата ја менува закривеноста, односно во нив се менува знакот за вториот извод и затоа превојните точки се добиваат со решавање на равенката f''(x)=0f''(x)=0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {}. Условот f''(x0)=0f''(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} е потребен услов точката x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} да биде превојна, но не е доволен.

Сега можеме да да ја прикажеме втората постапка за определување на ектрем на функција во која се користи вториот извод.

Постапка за испитување на екстрем преку вториот извод

Постапката се изведува преку следните чекори:

1. се решава равенката f'(x)=0f'(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} која ги определува стационарните точки;

2. стационарната точка x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} е:

- точка на максимум ако f''(x0)<0f''(x0)<0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) <0} {},

- точка на минимум ако f''(x0)>0f''(x0)>0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) >0} {},

- ако f''(x0)=0f''(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}, потребни се дополнителни испитувања.

Example 1: Пример 1.

За функцијата y=13x3+12x2−6xy=13x3+12x2−6x size 12{y= { {1} over {3} } x rSup { size 8{3} } + { {1} over {2} } x rSup { size 8{2} } - 6x} {} да се определат стационарните точки, интервалите на монотоност и екстремите преку првиот извод.

Решение.

а ) Стационарни точки

Стационатните точки се определуваат од првиот извод на функцијата

y'=x2+x−6y'=x2+x−6 size 12{ { {y}} sup { ' }=x rSup { size 8{2} } +x - 6} {},

односно со решавање на равенката y'=0y'=0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0} {}. Равенката

x 2 + x − 6 = 0 x 2 + x − 6 = 0 size 12{x rSup { size 8{2} } +x - 6=0} {}

има две решенија x1=−3x1=−3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x2=2x2=2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {}. Вредностите на функцијата во овие точки се

y(−3)=272y(−3)=272 size 12{y \( - 3 \) = { {"27"} over {2} } } {} и y(2)=−223y(2)=−223 size 12{y \( 2 \) = { { - "22"} over {3} } } {} и стационарните точки имаат координати:

A(−3,273)A(−3,273) size 12{A \( - 3, { {"27"} over {3} } \) } {} и B(2,−223)B(2,−223) size 12{B \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {}.

б ) Интервали на монотоност

Со стационарните точки x1=−3x1=−3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x2=2x2=2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {}, дефиниционата област на функцијата D=(−∞,+∞)D=(−∞,+∞) size 12{D= \( - infinity ,+ infinity \) } {} се разделува на подинтервали т.н. интервали на монотоност во кои знакот на првиот извод е постојан.

Интервалите на монотоност се:

(−∞,−3),(−3,2),(2,+∞)(−∞,−3),(−3,2),(2,+∞) size 12{ \( - infinity , - 3 \) ,` \( - 3,2 \) ,` \( 2,+ infinity \) } {}.

За секој интервал поединечно се испитува знакот на y'y' size 12{ { {y}} sup { ' }} {}.

Така:

На интервалот (−∞,−3)(−∞,−3) size 12{ \( - infinity , - 3 \) } {}, на пример за x=−5,y'(−5)=25−5−6>0⇒x=−5,y'(−5)=25−5−6>0⇒ size 12{x= - 5,` { {y}} sup { ' } \( - 5 \) ="25" - 5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

На интервалот (−3,2)(−3,2) size 12{ \( - 3,2 \) } {}, на пример за x=0,y'(0)=−6<0⇒x=0,y'(0)=−6<0⇒ size 12{x=0,` { {y}} sup { ' } \( 0 \) = - 6<0 drarrow } {} функцијата опаѓа на овој интервал.

На интервалот (2,+∞)(2,+∞) size 12{` \( 2,+ infinity \) } {}, на пример за x=5,y'(5)=25+5−6>0⇒x=5,y'(5)=25+5−6>0⇒ size 12{x=5,` { {y}} sup { ' } \( 5 \) ="25"+5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

в ) Екстреми

Во околина на стационарната точка −3−3 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од ++ size 12{+{}} {} во – , а тоа значи дека функцијата од растечка преминува во опаѓачка и затоа во x=−3x=−3 size 12{x= - 3} {} функцијата има max (максимум) и се означува max(−3,272)(−3,272) size 12{ \( - 3, { {"27"} over {2} } \) } {}.

Во околина на стационарната точка 22 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од – во ++ size 12{+{}} {}, односно функцијата од опаѓачка преминува во растечка и затоа во x=2x=2 size 12{x=2} {} функцијата има min (минимум) и се означува min(2,−223)(2,−223) size 12{ \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {}.

Example 2: Пример 2.

Да се пресметаат екстремите на функцијата y=2x1+x2y=2x1+x2 size 12{y= { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} преку вториот извод и да се определат интервалите на конвексност/конкавност.

Решение. Најпрво се пресметува првиот извод

y ' = 2 ( 1 + x 2 ) − 2x ( 2x ) ( 1 + x 2 ) 2 y ' = 2 ( 1 + x 2 ) − 2x ( 2x ) ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) - 2x \( 2x \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {}

и по средување

y'=2−2x2(1+x2)2y'=2−2x2(1+x2)2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {}.

Определување на стационарни точки:

y'=0⇒2−2x2(1+x2)2=0⇒2−2x2=0⇒x2=1⇒x=±1y'=0⇒2−2x2(1+x2)2=0⇒2−2x2=0⇒x2=1⇒x=±1 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow 2 - 2x rSup { size 8{2} } =0 drarrow x rSup { size 8{2} } =1 drarrow x= +- 1} {}.

Добивме дека функцијата има две стационарни точки x1=−1,x2=1x1=−1,x2=1 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 1,`x rSub { size 8{2} } =1} {} во кои вредноста на функцијата е

y(−1)=2(−1)1+1=−1y(−1)=2(−1)1+1=−1 size 12{y \( - 1 \) = { {2 \( - 1 \) } over {1+1} } = - 1} {} и y(1)=2(1)1+1=1y(1)=2(1)1+1=1 size 12{y \( 1 \) = { {2 \( 1 \) } over {1+1} } =1} {} и стационарните точки се (−1,−1)(−1,−1) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {} и (1,1)(1,1) size 12{ \( 1,1 \) } {}.

Го пресметуваме вториот извод:

y''=−4x(1+x2)2−(2−2x2)2(1+x2)2x(1+x2)4=−4x(1+x2)(1+x2+2−2x2)(1+x2)4y''=−4x(1+x2)2−(2−2x2)2(1+x2)2x(1+x2)4=−4x(1+x2)(1+x2+2−2x2)(1+x2)4 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } - \( 2 - 2x rSup { size 8{2} } \) 2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) 2x} over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } = { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( 1+x rSup { size 8{2} } +2 - 2x rSup { size 8{2} } \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } } {},

или по средување

y''=4x(x2−3)(1+x2)3y''=4x(x2−3)(1+x2)3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } } {}.

Според критериумот за утврдување на екстрем преку вториот извод:

y''(−1)=4(−1)(1−3)(1+1)3=++>0⇒x=−1y''(−1)=4(−1)(1−3)(1+1)3=++>0⇒x=−1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( - 1 \) = { {4 \( - 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { {+{}} over {+{}} } >0 drarrow x= - 1} {} е точка во која функцијата има минимум, т.е. min(−1,−1)(−1,−1) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {};

y''(1)=4(1)(1−3)(1+1)3=−+<0⇒x=1y''(1)=4(1)(1−3)(1+1)3=−+<0⇒x=1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) = { {4 \( 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { { - {}} over {+{}} } <0 drarrow x=1} {} е точка во која функцијата има максимум, т.е. max(1,1)(1,1) size 12{ \( 1,1 \) } {}.

Забелешка. Во определувањето на екстремот преку вториот извод го испитуваме само знакот на вториот извод во стационарната точка, без да ја испитуваме неговата точна бројна вредност.

Превојни точки:

y''=0⇒4x(x2−3)(1+x2)3=0⇒4x(x2−3)=0⇒x1=0,x2/3=±3y''=0⇒4x(x2−3)(1+x2)3=0⇒4x(x2−3)=0⇒x1=0,x2/3=±3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }=0 drarrow { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } =0 drarrow 4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) =0 drarrow x rSub { size 8{1} } =0,x rSub { size 8{2/3} } = +- sqrt {3} } {}.

Со овие три точки дефиниционата област се раздробува на четири подинтервали, при што функцијата е:

конвексна (y''>0y''>0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }>0} {}) на интервалите (−3,0)(−3,0) size 12{ \( - sqrt {3} ,0 \) } {} и (3,+∞)(3,+∞) size 12{ \( sqrt {3} ,+ infinity \) } {},

конкавна (y''<0y''<0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }<0} {}) на интервалите (−∞,−3)(−∞,−3) size 12{ \( - infinity , - nroot {} {3} \) } {} и (0,3)(0,3) size 12{ \( 0, sqrt {3} \) } {}.

Се забележува симетрија во конвексноста/конкавноста заради симетричноста на функцијата, односно таа е непарна функција.

Example 3: Пример 3.

На интервалот [−1,2][−1,2] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} да се определат најмата и најголемата вредност на функцијата y=x5−5x4+5x3+1y=x5−5x4+5x3+1 size 12{y=x rSup { size 8{5} } - 5x rSup { size 8{4} } +5x rSup { size 8{3} } +1} {}.

Решение. Од изводот

y ' = 5x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 y ' = 5x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 size 12{ { {y}} sup { ' }=5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } } {}

преку решавање на равенката

y ' = 0 ⇒ 5x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 = 0 y ' = 0 ⇒ 5x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 = 0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow 5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } =0} {}

5x 2 ( x 2 − 4x + 3 ) = 0 5x 2 ( x 2 − 4x + 3 ) = 0 size 12{5x rSup { size 8{2} } \( x rSup { size 8{2} } - 4x+3 \) =0} {}

се добиваат четири стационарни точки (првите две се исти)

x 1 / 2 = 0 x 3 = 1 x 4 = 3 . x 1 / 2 = 0 x 3 = 1 x 4 = 3 . alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{1/2} } =0} {} # x rSub { size 8{3} } =1 {} # x rSub { size 8{4} } =3 "." {} } } {}

Во бараниот интервал [−1,2][−1,2] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} припаѓаат стационарните точки x=0,x=1x=0,x=1 size 12{x=0,x=1} {}, додека стационарната точка x=3∉[−1,2]x=3∉[−1,2] size 12{x=3 notin \[ - 1,2 \] } {}. Затоа понатаму ќе испитуваме екстреми само за стационатните точки x=0x=0 size 12{x=0} {} и x=1x=1 size 12{x=1} {}.

y''=20x3−60x2+30xy''=20x3−60x2+30x size 12{ { {y}} sup { ' ' }="20"x rSup { size 8{3} } - "60"x rSup { size 8{2} } +"30"x} {},

y''(0)=0⇒y''(0)=0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 0 \) =0 drarrow } {} ништо не можеме да кажеме за екстремот во стационарната точка x=0x=0 size 12{x=0} {}.

y''(1)=20−60=30<0⇒y''(1)=20−60=30<0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) ="20" - "60"="30"<0 drarrow } {} точката x=1x=1 size 12{x=1} {} е точка на максимум.

Се пресметуваат вредностите на функцијата во екстремот и на краевите од интервалот:

y ( 1 ) = 1 − 5 + 5 + 1 = 2, y ( − 1 ) = − 1 − 5 − 5 + 1 = − 10 , y ( 2 ) = 32 − 80 + 40 + 1 = − 7 . y ( 1 ) = 1 − 5 + 5 + 1 = 2, y ( − 1 ) = − 1 − 5 − 5 + 1 = − 10 , y ( 2 ) = 32 − 80 + 40 + 1 = − 7 . alignl { stack { size 12{y \( 1 \) =1 - 5+5+1=2,} {} # size 12{y \( - 1 \) = - 1 - 5 - 5+1= - "10",} {} # size 12{y \( 2 \) ="32" - "80"+"40"+1= - 7 "." } {} } } {}

Од вредностите на функцијата y=2,y=−10,y=−7y=2,y=−10,y=−7 size 12{y=2,y= - "10",y= - 7} {} најголема е y=2y=2 size 12{y=2} {}, а најмала е y=−10y=−10 size 12{y= - "10"} {}.

При тоа, најголемата вредност 22 size 12{2} {} се постигнува во локалниот максимум во точката x=1x=1 size 12{x=1} {}, а најмалата вредност −10−10 size 12{ - "10"} {} е во почетната точна на интервалот [−1,2][−1,2] size 12{ \[ - 1,2 \] } {}, т.е.во x=−1x=−1 size 12{x= - 1} {}.

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks