Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Примена на изводите во испитување и скицирање график на функција

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Примена на изводите во испитување и скицирање график на функција

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дава постапка по која со помош на изводите се испитува функцијата и потоа се скицира нејзиниот график.

Примена на изводите во испитување и скицирање график на функција

Под испитување на функција се подразбира низа од различни постапки кои се извршуваат со цел да се добијат информации за функцијата како што се: вредности за кои е дефинирана функцијата, пресечни точки на функцијата со координатните оски, дали функцијата е симетрична, дали има асимптоти, каде расте а каде опаѓа, дали има екстреми, превои. Овие испитувања беа прикажани во делот за Основни својства на функциите и сите овие испитувања водат кон добивање сознанија за особините на функцијата врз чија основа можеме да го скицираме графикот на функцијата.

Затоа постапката за испитување на функцијата y=f(x)y=f(x) size 12{y=f \( x \) } {}, а потоа и скицирање на нејзиниот график, вообичаено се спроведува преку следниве испитувања:

1. ДЕФИНИЦИОНА ОБЛАСТ. Во зависност од обликот на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се определува нејзината дефинициона област.

2. НУЛИ. Се определуваат пресечните точки на функцијата со координатните оски. Пресечните точки со x−x− size 12{x - {}} {} оската се нарекуваат нули на функцијата и се добиваат од y=0y=0 size 12{y=0} {}, односно преку решавање на равенката f(x)=0f(x)=0 size 12{f \( x \) =0} {}. Функцијта може да има една или повеќе нули, но може да нема ниту една. Освен овие нули, бидејќи ќе разгледуваме само еднозначни функции, ќе бараме и пресечна точка на функцијата со y−y− size 12{y - {}} {} оската (доколку ја има само една е) и тоа е точката (0,f(0)).(0,f(0)). size 12{ \( 0,f \( 0 \) \) "." } {}

3. СИМЕТРИЧНОСТ. Се испитува и утврдува дали функцијата е парна, непарна или е ни парна ни непарна (можен е само еден од овие три случаи). Функцијата е парна ако f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) size 12{f \( - x \) =f \( x \) } {} и графикот на функција е симетричен во однос на y−y− size 12{y - {}} {} оската. За непарната функција важи f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x) size 12{f \( - x \) = - f \( x \) } {} и нејзиниот график е симетричен во однос на координатниот почеток. Кај парните и непарните функции освен што имаат симетричен график, исто така и нивната дефинициона област е симетрична. Третиот вид на функции се оние кои не се ниту парни ниту непарни и кај нив не постои симетрија ниту во графикот ниту во дефиниционата област.

4. ПЕРИОДИЧНОСТ. Доколку функцијата е периодична, се испитува колкав е нејзиниот период. Периодот TT size 12{T} {} е најмалиот позитивен број за кој важи f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) size 12{f \( x+T \) =f \( x \) } {}.

5. АСИМПТОТИ. Постојат три вида асимптоти и тоа: вертикални, хоризонтални и коси и тие се определуваат преку гранични вредности. Вертикалните асимптоти се вертикални прави кои се во точките во кои функцијата не е дефинирана (има бескрајна вредност). Ако функцијата е дробно рационална од облик h(x)g(x)h(x)g(x) size 12{ { {h \( x \) } over {g \( x \) } } } {}, тогаш вертикалните асимптоти се добиваат преку решавање на равенката g(x)=0g(x)=0 size 12{g \( x \) =0} {}. Хоризонталната асимптота се добива преку границата limx→±∞f(x)=blimx→±∞f(x)=b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow +- infinity } } f \( x \) =b} {} и тогаш правата y=by=b size 12{y=b} {} е хоризонтална асимптота. Косата асимптота е од облик y=kx+ny=kx+n size 12{y= ital "kx"+n} {}, каде што k=limx→±∞f(x)xk=limx→±∞f(x)x size 12{k= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow +- infinity } } { {f \( x \) } over {x} } } {} а n=limx→±∞f(x)−kxn=limx→±∞f(x)−kx size 12{n= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow +- infinity } } left (f \( x \) - ital "kx" right )} {}. Во делот за асимптоти нагласивме дека функција може да има една или повеќе вертикални асимптоти, а хоризонталната и косата асимптота взаемно се исклучуваат (може да постои само една од нив).

6. ИСПИТУВАЊЕ СО ПРВ ИЗВОД. Се пресметува првиот извод на функцијата и се утврдуваат стационарните точки преку решавање на равенката f'(x)=0f'(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {}. Со стационарните точки се раздробува дефиниционата област и се формираат интервали на монотоност преку утврдување на знакот на првиот извод на секој од овие интервали. На интервалот на кој првиот извод е позитивен функцијата расте, а ако тој е негативен функцијата опаѓа.

7. ИСПИТУВАЊЕ СО ВТОР ИЗВОД. Вториот извод f''(x)f''(x) size 12{ { {f}} sup { ' ' } \( x \) } {} се пресметува и тој се користи за утврдување која стационарна точка е ектрем и каков е екстремот. Ако за стационарната точка x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} важи f''(x0)>0f''(x0)>0 size 12{ { {f}} sup { ' ' } \( x rSub { size 8{0} } \) >0} {}, во неа се постигнува минимум, а ако f''(x0)<0f''(x0)<0 size 12{ { {f}} sup { ' ' } \( x rSub { size 8{0} } \) <0} {}, во неа се постигнува максимум. Ако f''(x0)=0f''(x0)=0 size 12{ { {f}} sup { ' ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {}, преку интервалите на монотоност утврдуваме каква е стационарната точка. Со вториот извод преку решавање на равенката f''(x)=0f''(x)=0 size 12{ { {f}} sup { ' ' } \( x \) =0} {} се определуваат превојните точки, тоа се точки во кои функцијата си ја менува закривеноста. Со превојните точки се определуваат интервалите на конкавност и конвексност на функцијата. На интервал на кој f''>0f''>0 size 12{ { {f}} sup { ' ' }>0} {} функцијата е конвексна (вдлабната size 12{ union } {}), а ако f''<0f''<0 size 12{ { {f}} sup { ' ' }<0} {} функцијата е конкавна (испакната size 12{ intersection } {}).

8. ГРАФИК. По проследување на сите овие чекори во испитувањето на функција, може да се скицира нејзиниот график. Доколку сите испитувања се коректно спроведени и точно пресметани, сите елементи од испитувањето се вклопуваат во графикот на функцијата.

Дел од наведените чекори во испитувањето на функцијата не мора да се спроведат по наведениот редослед, битно е само сите да се извршат за да се добијат информации за функцијата врз база на кои таа ќе може да се скицира.

Пример 1.

Да се испита и графички претстави функцијата y=3x2+13xy=3x2+13x size 12{y= { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } } {} .

Решение.

1. Бидејќи функцијата е дробно рационална, потребно е именителот да биде различен од нула, т.е. 3x≠0⇒x≠03x≠0⇒x≠0 size 12{3x <> 0 drarrow x <> 0} {} и затоа

Df=(−∞,0)∪(0,+∞)Df=(−∞,0)∪(0,+∞) size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,0 \) union \( 0,+ infinity \) } {}.

2. Графикот не ја сече x−x− size 12{x - {}} {} оскaта затоа што функцијата за ниедна вредност на xx size 12{x} {} не е нула, т.е. 3x2+13x≠03x2+13x≠0 size 12{ { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } <> 0} {}. Исто така графикот не ја сече y−y− size 12{y - {}} {}оската бидејќи x=0∉Dfx=0∉Df size 12{x=0 notin D rSub { size 8{f} } } {}.

3. Проверуваме парност/непарност на функцијата. Се забележува дека функцијата е количник на парна и непарна функција, затоа таа е непарна. Навистина, y(−x)=3(−x)2+13(−x)=3x2+1−3x=−3x2+13x=−y(x)⇒y(−x)=3(−x)2+13(−x)=3x2+1−3x=−3x2+13x=−y(x)⇒ size 12{y \( - x \) = { {3 \( - x \) rSup { size 8{2} } +1} over {3 \( - x \) } } = { {3x rSup { size 8{2} } +1} over { - 3x} } = - { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } = - y \( x \) drarrow } {} функцијата е непарна.

4. Функцијата не е периодична.

5. Асимптоти:

x=0x=0 size 12{x=0} {} e вертикална асимптота;

limx→∞3x2+13x=∞⇒limx→∞3x2+13x=∞⇒ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } = infinity ~ drarrow } {} функцијата нема хоризонтална асимптота;

k=limx→∞f(x)x=limx→∞3x2+13xx=limx→∞3x2+13x2=1k=limx→∞f(x)x=limx→∞3x2+13xx=limx→∞3x2+13x2=1 size 12{k= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {f \( x \) } over {x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { { { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } } over {x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x rSup { size 8{2} } } } =1} {} ,

n=limx→∞(f(x)−kx)=limx→∞3x2+13x−x=limx→∞13x=0⇒n=limx→∞(f(x)−kx)=limx→∞3x2+13x−x=limx→∞13x=0⇒ size 12{n= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } \( f \( x \) - ital "kx" \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } left ( { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } - x right )= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {1} over {3x} } =0 drarrow } {}y=xy=x size 12{y=x} {} е коса асимптота.

6. Се пресметува првиот извод:

y'=6x⋅3x−(3x2+1)39x2=3x2−13x2y'=6x⋅3x−(3x2+1)39x2=3x2−13x2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {6x cdot 3x - \( 3x rSup { size 8{2} } +1 \) 3} over {9x rSup { size 8{2} } } } = { {3x rSup { size 8{2} } - 1} over {3x rSup { size 8{2} } } } } {}.

Се определуваат стационарни точки:

y'=0⇒3x2−13x2=0⇒3x2−1⇒x=±13=±33y'=0⇒3x2−13x2=0⇒3x2−1⇒x=±13=±33 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { {3x rSup { size 8{2} } - 1} over {3x rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow 3x rSup { size 8{2} } - 1 drarrow x= +- { {1} over { sqrt {3} } } = +- { { sqrt {3} } over {3} } } {}.

Вредноста на функцијата во овие точки е:

y33=3332+1333=233y33=3332+1333=233 size 12{y left ( { { sqrt {3} } over {3} } right )= { {3 left ( { { sqrt {3} } over {3} } right ) rSup { size 8{2} } +1} over {3 { { sqrt {3} } over {3} } } } = { {2 sqrt {3} } over {3} } } {} и y−33=3−332+1−333=−233y−33=3−332+1−333=−233 size 12{y left ( - { { sqrt {3} } over {3} } right )= { {3 left ( - { { sqrt {3} } over {3} } right ) rSup { size 8{2} } +1} over { - 3 { { sqrt {3} } over {3} } } } = - { {2 sqrt {3} } over {3} } } {}

и стационарни точки се: 33,23333,233 size 12{ left ( { { sqrt {3} } over {3} } ,` { {2 sqrt {3} } over {3} } right )} {} и −33,−233−33,−233 size 12{ left ( - { { sqrt {3} } over {3} } ,` - { {2 sqrt {3} } over {3} } right )} {}.

Интервали на монотоност:

Со двете стационарни точки формираме четири интервали на монотоност во кои го испитуваме знакот на првиот извод. Знакот на првиот извод y'=3x2−13x2y'=3x2−13x2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {3x rSup { size 8{2} } - 1} over {3x rSup { size 8{2} } } } } {} ќе зависи само од знакот на броителот, бидејќи именителот е квадрат и како таков тој е секогаш позитивен. Броителот е квадратна равенка и тој ќе биде негативен за вредности меѓу неговите нули (стационарните точки), а позитивен надвор од тој интервал. Затоа интервалите на монотоност се:

на −∞,−33−∞,−33 size 12{ left ( - infinity , - { { sqrt {3} } over {3} } right )} {}y'>0⇒y'>0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }>0 drarrow } {} функцијата расте,

на −33,0−33,0 size 12{ left ( - { { sqrt {3} } over {3} } ,0 right )} {}y'<0⇒y'<0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }<0 drarrow } {} функцијата опаѓа,

на 0,330,33 size 12{ left (0, { { sqrt {3} } over {3} } right )} {}y'<0⇒y'<0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }<0 drarrow } {} функцијата опаѓа,

на 33,+∞33,+∞ size 12{ left ( { { sqrt {3} } over {3} } ,+ infinity right )} {}y'>0⇒y'>0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }>0 drarrow } {} функцијата расте.

7. Го пресметуваме вториот извод:

y''=6x⋅3x2−(3x2−1)6x9x4=6x(3x2−3x2+1)9x4=23x3y''=6x⋅3x2−(3x2−1)6x9x4=6x(3x2−3x2+1)9x4=23x3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {6x cdot 3x rSup { size 8{2} } - \( 3x rSup { size 8{2} } - 1 \) 6x} over {9x rSup { size 8{4} } } } = { {6x \( 3x rSup { size 8{2} } - 3x rSup { size 8{2} } +1 \) } over {9x rSup { size 8{4} } } } = { {2} over {3x rSup { size 8{3} } } } } {}.

Знакот на вториот извод ќе зависи само од знакот на именителот, односно за x<0⇒y''<0x<0⇒y''<0 size 12{x<0 drarrow { {y}} sup { ' ' }<0} {} и затоа функцијата ќе има максимум за негативната стационарна точка, а за x>0⇒y''>0x>0⇒y''>0 size 12{x>0 drarrow { {y}} sup { ' ' }>0} {} и позитивната стационарна точка е минимум. Екстремите на функцијата се: max−33,−233−33,−233 size 12{ left ( - { { sqrt {3} } over {3} } ,` - { {2 sqrt {3} } over {3} } right )} {} и min33,23333,233 size 12{ left ( { { sqrt {3} } over {3} } ,` { {2 sqrt {3} } over {3} } right )} {}.

Функцијата нема превојни точки, y''≠0y''≠0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } <> 0} {}, а како утврдивме дека знакот на y''y'' size 12{ { {y}} sup { ' ' }} {} е ист со знакот на xx size 12{x} {}, за x<0x<0 size 12{x<0} {} функцијата е конкавна, а за x>0x>0 size 12{x>0} {} функцијата е конвексна.

8. Графикот на функцијата е прикажан на Сл 1.

Figure 1: Сл. 1. График на функцијата y=3x2+13xy=3x2+13x size 12{y= { {3x rSup { size 8{2} } +1} over {3x} } } {}
Figure 1 (graphics1.jpg)

Пример 2.

Да се испита и графички претстави функцијата y=xx2+1y=xx2+1 size 12{y= { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}.

Решение.

1. Df=(−∞,+∞)Df=(−∞,+∞) size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,+ infinity \) } {} бидејќи именителот x2+1≠0x2+1≠0 size 12{x rSup { size 8{2} } +1 <> 0} {}.

2. Нула на функцијата е координатниот почеток O(0,0)O(0,0) size 12{O \( 0,0 \) } {}.

3. Функцијата е непарна, y(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−y(x)y(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−y(x) size 12{y \( - x \) = { { - x} over { \( - x \) rSup { size 8{2} } +1} } = - { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } = - y \( x \) } {}.

4. Функцијата не е приодична.

5. Асимптоти:

Нема верикална асимптота, функцијата е дефинирана за сите реални вредности.

limx→∞xx2+1=0⇒limx→∞xx2+1=0⇒ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } =0 drarrow } {} правата y=0y=0 size 12{y=0} {} е хоризонтална асимптота.

Функцијата нема коса асимптота бидејќи има хоризонтална асимптота.

6. Прв извод, стационарни точки и интервали на монотоност:

y'=1+x2−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2y'=1+x2−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {1+x rSup { size 8{2} } - x cdot 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } = { {1 - x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } } {}.

y'=0⇒1−x2(x2+1)2=0⇒1−x2=0⇒x=±1y'=0⇒1−x2(x2+1)2=0⇒1−x2=0⇒x=±1 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { {1 - x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow 1 - x rSup { size 8{2} } =0 drarrow x= +- 1} {}.

y(1)=11+1=12y(1)=11+1=12 size 12{y \( 1 \) = { {1} over {1+1} } = { {1} over {2} } } {},

y(−1)=−11+1=−12y(−1)=−11+1=−12 size 12{y \( - 1 \) = { { - 1} over {1+1} } = - { {1} over {2} } } {}.

Стационарни точки се −1,−12−1,−12 size 12{ left ( - 1, - { {1} over {2} } right )} {} и 1,121,12 size 12{ left (1, { {1} over {2} } right )} {}.

Бидејќи именителот на изводот е квадратна функција, тој е секогаш позитивен и знакот на изводот ќе зависи само од знакот на броителот. Во броителот квадратната функција 1−x21−x2 size 12{1 - x rSup { size 8{2} } } {} е позитивна меѓу нулите (стационарните точки) а негативна на интервалите надвот од нив. Затоа интервалите на монотоност се:

на −∞,−1−∞,−1 size 12{ left ( - infinity , - 1 right )} {}y'<0⇒y'<0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }<0 drarrow } {} функцијата опаѓа,

на −1,1−1,1 size 12{ left ( - 1,1 right )} {}y'>0⇒y'>0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }>0 drarrow } {} функцијата расте,

на 1,+∞1,+∞ size 12{ left (1,+ infinity right )} {}y'<0⇒y'<0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' }<0 drarrow } {} функцијата опаѓа.

Веќе од интерваите на монотоност согледуваме дека во стационарната точка x=−1x=−1 size 12{x= - 1} {} функцијата ќе има минимум, а во стационарната точка x=1x=1 size 12{x=1} {} ќе има максимум, што ќе го утврдиме и со вториот извод.

7. Втор извод, екстреми и превојни точки.

y ' ' = − 2x ( x 2 + 1 ) 2 − ( 1 − x 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) 2x ( x 2 + 1 ) 4 = ( x 2 + 1 ) [ − 2x ( x 2 + 1 ) − 4x ( 1 − x 2 ) ] ( x 2 + 1 ) 4 y ' ' = − 2x ( x 2 + 1 ) 2 − ( 1 − x 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) 2x ( x 2 + 1 ) 4 = ( x 2 + 1 ) [ − 2x ( x 2 + 1 ) − 4x ( 1 − x 2 ) ] ( x 2 + 1 ) 4 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { { - 2x \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } - \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) 2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{4} } } } = { { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) \[ - 2x \( x rSup { size 8{2} } +1 \) - 4x \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) \] } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{4} } } } } {}

y''=2x(x2−3)(x2+1)3y''=2x(x2−3)(x2+1)3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {2x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{3} } } } } {}.

y''(1)=2(1−3)(1+1)3=−+<0⇒x=1y''(1)=2(1−3)(1+1)3=−+<0⇒x=1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) = { {2 \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { { - {}} over {+{}} } <0 drarrow x=1} {} е точка на максимум.

y''(−1)=−2(1−3)(1+1)3=++>0⇒x=−1y''(−1)=−2(1−3)(1+1)3=++>0⇒x=−1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( - 1 \) = { { - 2 \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { {+{}} over {+{}} } >0 drarrow x= - 1} {} е точка на минимум.

Вредност на функцијата во екстремните точки:

y ( 1 ) = 1 1 + 1 = 1 2 y ( − 1 ) = − 1 1 + 1 = − 1 2 y ( 1 ) = 1 1 + 1 = 1 2 y ( − 1 ) = − 1 1 + 1 = − 1 2 alignl { stack { size 12{y \( 1 \) = { {1} over {1+1} } = { {1} over {2} } } {} # size 12{y \( - 1 \) = { { - 1} over {1+1} } = - { {1} over {2} } } {} } } {}

и екстремеите се:

max1,121,12 size 12{ left (1, { {1} over {2} } right )} {}, min−1,−12−1,−12 size 12{ left ( - 1, - { {1} over {2} } right )} {}.

Превои:

y''=0⇒2x(x2−3)(x2+1)3=0⇒2x(x2−3)=0⇒x=0,x=±3y''=0⇒2x(x2−3)(x2+1)3=0⇒2x(x2−3)=0⇒x=0,x=±3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }=0 drarrow { {2x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{3} } } } =0 drarrow 2x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) =0 drarrow x=0,x= +- sqrt {3} } {} се превојни точки.

y ( 0 ) = 0, y ( − 3 ) = − 3 4 , y ( 3 ) = 3 4 . y ( 0 ) = 0, y ( − 3 ) = − 3 4 , y ( 3 ) = 3 4 . alignl { stack { size 12{y \( 0 \) =0,} {} # size 12{y \( - sqrt {3} \) = - { { sqrt {3} } over {4} } ,} {} # size 12{y \( sqrt {3} \) = { { sqrt {3} } over {4} } "." } {} } } {}

Превојните точки се со координати;

( − 3 , − 3 4 ) ; ( 0,0 ) ; ( 3 , 3 4 ) . ( − 3 , − 3 4 ) ; ( 0,0 ) ; ( 3 , 3 4 ) . size 12{ \( - sqrt {3} , - { { sqrt {3} } over {4} } \) ; \( 0,0 \) ; \( sqrt {3} , { { sqrt {3} } over {4} } \) "." } {}

Интервали на конвексност/конкавност

x∈(−∞,−3)⇒y''<0⇒x∈(−∞,−3)⇒y''<0⇒ size 12{x in \( - infinity , - sqrt {3} \) drarrow { {y}} sup { ' ' }<0 drarrow } {} конкавна (∩)(∩) size 12{ \( intersection \) } {},

x∈(−3,0)⇒y''>0⇒x∈(−3,0)⇒y''>0⇒ size 12{x in \( - sqrt {3} ,0 \) drarrow { {y}} sup { ' ' }>0 drarrow } {} конвексна (∪)(∪) size 12{ \( union \) } {},

x∈(0,3)⇒y''<0⇒x∈(0,3)⇒y''<0⇒ size 12{x in \( 0, sqrt {3} \) drarrow { {y}} sup { ' ' }<0 drarrow } {} конкавна (∩)(∩) size 12{ \( intersection \) } {},

x∈(3,+∞)⇒y''>0⇒x∈(3,+∞)⇒y''>0⇒ size 12{x in \( sqrt {3} ,+ infinity \) drarrow { {y}} sup { ' ' }>0 drarrow } {} конвексна (∪)(∪) size 12{ \( union \) } {}.

8. Врз основа на претходните испитувања, графикот на функцијата е прикажан на Сл. 2.

Figure 2: Сл. 2. График на функцијата y=xx2+1y=xx2+1 size 12{y= { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}
Figure 2 (graphics2.jpg)

Пример 3.

Да се испита и графички претстави функцијата y=x2x2−1y=x2x2−1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } } over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {}.

Решение.

1. Df=(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)Df=(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞) size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) } {}.

Функцијата не е дефинирана во точките x=±1x=±1 size 12{x= +- 1} {} бидејќи именителот x2−1=0⇒x=±1x2−1=0⇒x=±1 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1=0 drarrow x= +- 1} {}.

2. Нула на функцијата е координатниот почеток O(0,0)O(0,0) size 12{O \( 0,0 \) } {} и во неа графикот ги сече двете оски.

Нулата е двократна и секогаш кога кратноста на нулата е од парен ред (двократна, четирикратна и т. н.) таа е екстрем, а ако од непарен ред (еднократна, трократна, ...) графикот во неа ја сече x−x− size 12{x - {}} {} оската. Затоа ќе очекуваме функцијата да има екстрем во координатниот почеток.

3. Функцијата е парна, y(−x)=(−x)2(−x)2−1=x2x2−1=y(x)y(−x)=(−x)2(−x)2−1=x2x2−1=y(x) size 12{y \( - x \) = { { \( - x \) rSup { size 8{2} } } over { \( - x \) rSup { size 8{2} } - 1} } = { {x rSup { size 8{2} } } over {x rSup { size 8{2} } - 1} } =y \( x \) } {}, и симетрична е во однос на y−y− size 12{y - {}} {} оската.

4. Функцијата не е приодична.

5. Асимптоти:

Верикални асимптоти се x=1x=1 size 12{x=1} {} и x=−1x=−1 size 12{x= - 1} {}.

limx→∞x2x2−1=1⇒limx→∞x2x2−1=1⇒ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow infinity } } { {x rSup { size 8{2} } } over {x rSup { size 8{2} } - 1} } =1 drarrow } {} правата y=1y=1 size 12{y=1} {} е хоризонтална асимптота.

Функцијата нема коса асимптота бидејќи има хоризонтална асимптота.

6. Прв извод, стационарни точки и интервали на монотоност:

y'=2x(x2−1)−x2⋅2x(x2−1)2=−2x(x2−1)2y'=2x(x2−1)−x2⋅2x(x2−1)2=−2x(x2−1)2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2x \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) - x rSup { size 8{2} } cdot 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{2} } } } = { { - 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } {}.

y'=0⇒−2x(x2−1)2=0⇒−2x=0⇒x=0y'=0⇒−2x(x2−1)2=0⇒−2x=0⇒x=0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { { - 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow - 2x=0 drarrow x=0} {} е стационарна точка.

y(0)=0y(0)=0 size 12{y \( 0 \) =0} {} и координатите на стационарната точка се (0,0)(0,0) size 12{ \( 0,0 \) } {}.

Од првиот извод y'=−2x(x2−1)2y'=−2x(x2−1)2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { { - 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } {} воочуваме дека именителот е квадратна функција и затоа секогаш е позитивен, а знакот на изводот ќе зависи само од знакот на броителот.

Така, за x<0⇒y'>0x<0⇒y'>0 size 12{x<0 drarrow { {y}} sup { ' }>0} {} и за x>0⇒y'<0x>0⇒y'<0 size 12{x>0 drarrow { {y}} sup { ' }<0} {} и интервалите на монотоност се:

на −∞,−1−∞,−1 size 12{ left ( - infinity , - 1 right )} {} функцијата расте,

на −1,0−1,0 size 12{ left ( - 1,0 right )} {} функцијата расте,

на 0,10,1 size 12{ left (0,1 right )} {} функцијата опаѓа,

на 1,+∞1,+∞ size 12{ left (1,+ infinity right )} {} функцијата опаѓа.

Од интервалите на монотоност согледуваме дека во стационарната точка x=0x=0 size 12{x=0} {} функцијата ќе има максимум, а тоа ќе го потврдиме со вториот извод.

7. Втор извод, екстреми и превојни точки.

y ' ' = − 2 ( x 2 − 1 ) 2 + 2x2 ( x 2 − 1 ) 2x ( x 2 − 1 ) 4 = 2 ( x 2 − 1 ) [ − ( x 2 − 1 ) + 4x 2 ] ( x 2 − 1 ) 4 y ' ' = − 2 ( x 2 − 1 ) 2 + 2x2 ( x 2 − 1 ) 2x ( x 2 − 1 ) 4 = 2 ( x 2 − 1 ) [ − ( x 2 − 1 ) + 4x 2 ] ( x 2 − 1 ) 4 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { { - 2 \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{2} } +2x2 \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) 2x} over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{4} } } } = { {2 \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) \[ - \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) +4x rSup { size 8{2} } \] } over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{4} } } } } {}

y''=2(3x2+1)(x2−1)3y''=2(3x2+1)(x2−1)3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {2 \( 3x rSup { size 8{2} } +1 \) } over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{3} } } } } {}.

y''(0)=+−=<0⇒x=0y''(0)=+−=<0⇒x=0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 0 \) = { {+{}} over { - {}} } "=<"0 drarrow x=0} {} е точка на максимум, т.е. max(0,0)(0,0) size 12{ \( 0,0 \) } {}.

y''(x)≠0⇒y''(x)≠0⇒ size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( x \) <> 0 drarrow } {} функцијата нема превојни точки.

Интервали на конвексност/конкавност:

Знакот на вториот извод y''=2(3x2+1)(x2−1)3y''=2(3x2+1)(x2−1)3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {2 \( 3x rSup { size 8{2} } +1 \) } over { \( x rSup { size 8{2} } - 1 \) rSup { size 8{3} } } } } {} ќе зависи само од знакот на изразот во именителот, бидејќи броителот секогаш е позитивен.

x∈(−∞,−1)⇒y''>0⇒x∈(−∞,−1)⇒y''>0⇒ size 12{x in \( - infinity , - 1 \) drarrow { {y}} sup { ' ' }>0 drarrow } {} конвексна (∪)(∪) size 12{ \( union \) } {},

x∈(−1,0)⇒y''<0⇒x∈(−1,0)⇒y''<0⇒ size 12{x in \( - 1,0 \) drarrow { {y}} sup { ' ' }<0 drarrow } {} конкавна (∩)(∩) size 12{ \( intersection \) } {},

x∈(0,1)⇒y''<0⇒x∈(0,1)⇒y''<0⇒ size 12{x in \( 0,1 \) drarrow { {y}} sup { ' ' }<0 drarrow } {} конкавна (∩)(∩) size 12{ \( intersection \) } {},

x∈(1,+∞)⇒y''>0⇒x∈(1,+∞)⇒y''>0⇒ size 12{x in \( 1,+ infinity \) drarrow { {y}} sup { ' ' }>0 drarrow } {} конвексна (∪)(∪) size 12{ \( union \) } {}.

8. Врз основа на спроведените испитувања, графикот на функцијата е прикажан на Сл. 3.

Figure 3: Сл. 3. График на функцијата y=xx2+1y=xx2+1 size 12{y= { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}
Figure 3 (graphics3.jpg)

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks